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暑线段的比及黄金分割

暑线段的比及黄金分割
暑线段的比及黄金分割

宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来! 蒋老师

第六讲 线段的比及黄金分割

姓名:____________

【基础知识精讲】

一、两条线段的比:同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。

例1.已知线段AB=2.5m ,线段CD=400cm ,则线段AB 与CD 的比为___ ______. 二、比例尺:在地图或工程图纸上,图上距离与实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。

例2.(1)在1:50000的地图上的A 、B 两地的距离是15cm ,则A 、B 两地的实际距离是__ _____km.

(2)在比例尺为1:n 的某市地图上,规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区,则该工业区的实际面积是 平方米. 三、成比例线段:

1.比例线段:四条线段a ,b ,c ,d 中,如果d

c

b a =,那么这四条线段a ,b ,

c ,

d 叫做成比例线段,简称比例线段。 2.比例中项:如果

c

b

b a =(或a

c b =2)

,则b 叫做a 、c 的比例中项。 例3、已知1,5,5三个数,如果再添一个数,使之能与已知的三个数成比例,则这个数应该为多少?

四、比例的性质:

1.比例的基本性质:如果

d c

b a =,那么b

c a

d =。 (两外项之积等于两内项之积) 2.更比性质:如果d c b a =,那么d b

c a =。 (两外项或内项可分别交换位置)

3.反比性质:如果d c b a =,那么c

d

a b =。 (等号两边同时交换前项和后项的位置)

4.合(分)比性质:如果d c b a =,那么a b c d

b d

±±=

。(即为左右加减1) (等号两边前项同时加上或减去后项,本质即为两边同时加减1) 例4.(1)已知2a c a b c d b d b d

--==,求和.

(2)已知0,0,a c a b c d a b c d b d a b c d

++=-≠-≠=--,且求证:

解决比例问题常用方法:设K 法

例5.已知x ∶y ∶z =3∶4∶5,①求z

y

x +的值;②若x +y +z =6,求x 、y 、z .

5.等比性质:如果

(0)a c m b d n b d n ===+++≠……,那么a c m a b d n b

+++=+++……。 例6.(1)试证明等比性质:

(2).若43===f e d c b a , 则______a c e

b d f ++=++.

(3).若222a b b c c a

k c a b

---=

==,且a +b +c ≠0,则k 的值为( ) (A) -1 (B)

2

1

(C) 1 (D) - 12

(4).已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ,y = ,z = .

(5)已知一次函数y=kx-1中,比例系数k 满足c a b

k a b b c c a

===+++,试求直线y=kx-1与x 轴的交点坐标.

五、黄金分割:点c 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC>BC ),如果

AC

BC

AB AC =

,那么点c 叫做线段AB 黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比,

618.02

1

5≈-=AB AC 。

全长较短2

5

3)...2(-=

全长较长2

1

5)...1(-=

全长

其距离割点一条线段有两个黄金分)25(,)..3(-=

例7.(1)已知点C 是线段AB 的黄金分割点,AC>BC ,若AB=4cm ,则BC 的长为____________

(2)以长为2cm 的线段AB 为边作正方形ABCD ,取AB 的中点P ,在BA 的延长线上取点F ,使PF=PD ,以AF 为边作正方形AFEM ,点M 落在AD 上(如图所示)

①试求AM 、DM 的长;

②点M 是线段AD 的黄金分割点吗?请说明理由。

六、平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

特殊:平行线等分线段定理:一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么它在其他直线上所截得

的线段也相等。

推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例。 例8.如图1,已知在△ABC 中,点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点, DE ∥BC ,EF ∥AB ,且AD ∶DB = 3∶5,那么CF ∶CB 等于( ) (A ) 5∶8 ; (B )3∶8 ; (C ) 3∶5 ; (D )2∶5.

【同步练习】

A 组

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.已知一矩形的长a =1.35m ,宽b =60cm ,则a ∶b 的值为( )

(A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4 2.下列线段能成比例线段的是( )

(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm

3.如果线段a =4,b =16,c =8,那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( )

(A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知

32=b a ,则

b b

a +的值为( ) (A)23 (B)34 (C)35 (D)5

3

5.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上,玄武湖隧道长约为7cm ,它的实际长度约为( ) (A)0.226km (B)2.66km (C)2

6.6km (D)266km

6.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度,在同一时刻,量得某一同学的身高是1.5米,影长是1米,旗杆的影长是8米,则旗杆的高度是( )

(A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米

7.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC),若AB=4cm ,则AC 的长为( )

(A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm

8.已知线段AB ,点P 是它的黄金分割点,AP >PB ,设以AP 为边的正方形面积为S 1,以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2,则( )

F B

C

D

E

A M

P F

E

A B C

D

图1

A.、S 1>S 2 B 、S 1=S 2 C 、S 1<S 2 D 、S 1、S 2大小关系不确定 二、填空题(每小题3分,共30分)

1.在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ;

2.若1089

x y z ==, 则 ______=+++z y z y x . 3.若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ,b = ,c = .

4.已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .

5.若322=-y y x , 则_____=y

x .

三、解答题(每小题8分,共40分)

1.已知0753≠==z

y x ,求下列各式的值:(1)y z y x +- (2)z

y x z y x +-++35432.

2.若ΔABC 的三内角之比为1∶2∶3,求ΔABC 的三边之比.

B 组

1.如图,在△ABC 中,∠ACB= 90,∠B=

30,AC=1,过点C 作AB CD ⊥1 于1D ,过1D 作12D D BC

⊥于2D ,过2D 作AB D D ⊥32于3D ,这样继续作下去,线段1+n n D D 的长度(n为正整数)等于( )

A .1

21+??

? ??n B .1

23+?

?

?

??n C .n

???

? ??23 D .1

23+???

? ??n

2.已知,线段a = 2 cm ,(23)c =-cm ,则线段a 、c 的比例中项b 是 . 3、(规律探究题)科学研究表明,当人的下肢长与身高之比为0.618时,?看起来最美.某成年女士身高为153cm ,下肢长为92cm ,该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为______cm .(结果精确到0.1cm )

4.已知a 、b 、c 是非零实数,且

k c

b a d

d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++,求k 的值.

5.已知

111x y x y +=+,求y x x y

+的值。

6.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边,且满足(a-c ):(a+b ):(c-b )=-2:7:1,判断ΔABC 的形状。.

7.已知在等腰直角三角形ABC 中,∠C =90°,AC =BC =5+1,M ,N 分别为BC ,AC 上的黄金分割点,且AN <NC ,BM <MC ,求线段MN 的长.

【家庭作业】

1、已知

7

5

==d c b a ,则

d b c a ++(其中0≠+d b )的值等于( ) A 、73 B 、75 C 、710 D 、145

2.已知230.5

x y z ==,则32x y z x y z

+--+的值是( )

A .17 B.7 C.1 D.1

3

3.若137a b a +=,则a

b

= . 4.如果点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP>PB ,则下列命题,①PB AP AB ?=2②AB AP BP ?=2

③AP 2

=PB·AB,④AP PB AB AP ::=,其中正确的是

5.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边,且a+b+c =60cm ,a ∶b ∶c =3∶4∶5,求ΔABC 的面积.

比例线段;黄金分割;平行线分三角形两边成比例

比例线段;黄金分割;平行线分三角形两边成比例 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 第十九章相似形 第一节比例线段 第二节黄金分割 第三节平行线分三角形两边成比例 二. 教学目标: 1. 了解成比例线段的概念,会判断已知线段是否成比例。 2. 了解比例的性质,会运用比例的性质进行简单的比例变形。 3. 了解黄金分割。 4. 掌握平行线截三角形两边成比例定理。 三. 教学重点、难点: 平行线截三角形两边成比例定理 四. 教学过程: (一)知识要点: 1. 线段的比: 一般地,用同一长度单位(如米或厘米或毫米)去度量线段a,b所得的量数分别为m,n, 那么这两条线段的比为a:b=m:n,或a b m n =,其中a叫比的前项,b叫比的后项。 注:①用同一长度单位去度量。 ②两条线段的比和所选用的长度单位无关。 ③两条线段的比总是正数。 2. 成比例线段: 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。 如a b c d =(或a:b=c:d)中,a、b、c、d叫四条线段成比例线段。a、b、c、d叫做 组成比例的项,线段a、d叫比例外项,线段b、c叫做比例内项,线段d叫做a、b、c的第四比例项。 3. 比例的性质: (1)比例的基本性质: 如果a:b=c:d,那么ad=bc,反之,若ad=bc且bd≠0,那么a:b=c:d。 (2)合比性质: 如果a b c d =,那么 a b b c d d + = + 。 (3)分比性质: 如果a b c d =,那么 a b b c d d - = - 。

补充:等比性质: 若a b c d e f b d f ===+++≠…,且…,则0a c e b d f a b ++++++=……。 4. 黄金分割: 若点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果AC AB BC AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫黄金比, A C A B =-+152≈0.618。 注:黄金分割重在实际问题中的应用。 5. 平行线截三角形两边成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边,所得的对应线段成比例。 如图:△ABC 中,EF//BC ∴A E B E A F F C A E A B A F A C ==,,… A B C E F 【典型例题】 例1. 已知:A 、B 两地的实际距离AB=5000m ,而画在地图上A 、B 两点距离A 'B '=5cm ,求该地图的比例尺(即图上距离与实际距离的比)。 解:A B mc m A B c m ===50005000005'' ∴==A B A B ''55000001100000 ∴该地图的比例尺为1:100000 例2. 已知:a ::235 =,求a 。 解:∵a :2=3:5 ∴5a=6(比例的基本性质) ∴a =65 例3. 若a b b c a c m c c m ===,且,43,求 b 。

初三数学第2讲 比例线段与黄金分割

一、知识要点: 1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。 2、在四条线段中,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。 如果a、b、c、d是比例线段,即 段b、c是比例内项。 3、比例线段有以下性质: (1)基本性质 如果ac,那么线段a、d是比例外项,线=(或a:b=c:d)bdac=,那么ad=bc bd aca+bc+da-bc-d,; =,那么==bdbdbd aca+cac=,那么===k。 bdb+dbd a1a2a3===k,那么 b1b2b3(2)合比性质如果(3)等比性质如果等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如:如果 a1+a2+a3a1a2a3====k b1+b2+b3b1b2b3 小试牛刀: 一、填空题 1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________,记作 ____________。 2、在四条线段中,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________,那么这四条线段叫做成比例线段,简称____________。 3、合(分)比性质:如果aca±b=_____________。 =,那么bdb 4、等比性质:如果aceace== =,且_____________,那么__________=(== =) bdfbdf 5、若4x=5y,则x:y=____________ 6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项,其中a=2厘米,b=4厘米,c=5厘米,则d为_______ 7、下列各组线段成比例的是() A、1cm、3cm、2cm、4cm B、1m、20cm、5cm、25cm C cm

比例线段与黄金分割

比例线段与黄金分割 【知识要点】 1.把b a 的值叫做线段b a ,的比,若d c b a =,则称线段 d c b a ,,,成比例线段。 2.bc ad d c b a d c b a =?=?=::,其中 d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项,d a ,称为外项,c b ,称为内项;外项的积等于内项的积。 3.n 1=实际距离图上距离,我们称为比例尺,进行有关比例尺的计算时,要注意统一单位 4.比例性质:①基本性质: bc ad d c b a =?=;②反比性质:c d a b d c b a =?=; ③更比性质:a b c a d c b a =?=; ④合比性质:d b c b b a d c b a ±=±?=; ⑤等比性质:n n b a b a b a b a === 332211,则1 12121b a b b b a a a n n =+++++ 5.比例中项:若ac b =2,则称b 是ac 的比例中项 6.若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项,则称点P 是线段AB 的黄金分割点; 7.2 15,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 相似多边形 相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个或多个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比。 相似多边形性质 相似多边形性质定理1:相似多边形周长比等于相似比。 相似多边形性质定理2:相似多边形对应对角线的比等于相似比。 相似多边形性质定理3:相似多边形中的对应三角形相似,其相似比等于相似多边形的相似比。 相似多边形性质定理4:相似多边形面积的比等于相似比的平方。 相似多边形性质定理5:若相似比为1,则全等 相似多边形的性质定理主要根据它的定义:对应角相等,对应边成比例。 相似多边形的判定 对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形. 所有对应边成比例,那么这两个多边形相似 练习: 1、若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c 的值等于( )

黄金分割及比例线段

1、“黄金分割”之美 2、“黄金分割”应用两例 3、黄金分割矩形 4、人体中的黄金分割之美 5、美妙的黄金分割和黄金数 6、线段黄金分割点的几种求法 7、中考黄金分割问题两例 8、“黄金分割”考题透视 9、“比例线段”变式多多 10、证明比例线段方法多多 11、巧用面积比来证线段比 12、巧用面积比,妙解几何题 1、“黄金分割”之美 黄金分割是指一条直线(或矩形)被分割成两个不同的部分,分割点(或线)将较大的部分与较小的部分分割成一定的比例(如下图所示)。具体的比例公式是:AC AB BC AC (AC 为长边,BC 为短边),其比值约为1.618∶1或1∶0.618。 5 2 1D C B A BC AC ≈ 1.618 ≈1.618 黄金分割广泛应用于建筑、艺术与设计中。早在埃及设计金字塔的时候就开始使用黄金分割, 如图 古希腊的巴台农神庙是希腊繁荣和美德的象征,它的外框矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比.这样的矩形称为黄金矩形.

古希腊几何学家毕达哥拉斯对黄金分割甚感兴趣,他提出人身体的各个部分就是以确定的黄金比例分布的。 达芬奇的蒙娜里莎,也是个很好的例子,如图 著名的巴黎圣母院的设计中也应用了黄金分割,如图 芭蕾舞演员翩翩起舞时不时地踮起脚尖,就为了使肚脐以下的部分和身高的比值接近0.618. 电视节目主持人在主持节目时,也往往是站在近于舞台的“黄金分割点”处,显得自然大方. 生活中还我许许多多地方存在“黄金分割”。 2、“黄金分割”应用两例 “黄金分割”虽然不好理解,但运用其实也很广,现举两例与大家共赏。 例1.如图1,已知线段AB,点C在AB上,且有AC BC AB AC =,则 AC AB 的数值为; 若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长,那么节目主持人应站在位置最好。 A 析解:由黄金分割的定义可知AC AB 的数值为 2 1 5- 。依据“黄金分割”知识可知节目主 持人站在线段AB的黄金点C,这样台下的观众看上去感觉最好. 点评:本题实际上是属于黄金分割问题,即若点C把线段AB分成两条线段AC和BC (AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点. 例2.若一个矩形的短边与长边的比值为 21 5- (黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形。

比例黄金分割平行线分线段成比例定理及例题

要点一、比例线段 1.成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 2.比例的性质: (1)基本性质:如果,那么. (2)合比性质:如果如果 要点诠释: (1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示,若单位长度不同,先化成同一单位,再求它们的比; (2)两条线段的比,没有长度单位,它与所采用的长度单位无关; (3)两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是正数. 要点二、黄金分割 1.定义:点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 要点诠释: ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点: 如图,已知线段AB,按照如下方法作图: (1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB. (2)连接AD,在DA上截取DE=DB. (3)在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

要点诠释: 一条线段的黄金分割点有两个. 要点三、平行线截线段成比例 基本事实: 两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,所得的对应线段成比例 已知如图,直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线,l4、l5是任意画的两条直线,分别于这组平行线相交于点A,B,C,D,E,F,则比例式 成立. 要点诠释: 上图的变式图形:分A型和X型; A型X型 则常用的比例式:依然成立. 要点四、把已知线段AB五等分. 已知线段AB,请利用尺规作图把线段AB五等分.

作法 1.以A为端点作一条射线,并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2.连结A5B,并过点A1,A2,A3,A4分别作A5B的平行线,依次交AB于点B1,B2,B3,B4.则点B1,B2,B3,B4就 是所求作的把线段AB五等分的点. 依据:实际上,过点A作l∥A5B,根据平行线分线段成比例的基本事实,就可以得到如下关系式 ∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5, ∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1,B2,B3,B4把线段AB五等分. 要点诠释: 在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 例题: 1. (2016?兰州模拟)若a:b=2:3,则下列各式中正确的式子是() A.2a=3b B.3a=2b C.D. 【思路点拨】根据比例的性质,对选项一一分析,选择正确答案. 【答案】B. 【解析】 A、2a=3b?a:b=3:2,故选项错误;

比例线段与黄金分割练习题

2017 年 8 月2 2 日数学随堂练 习 试卷 、选择题(共8小题;共40 分) 2.如图是一只美丽的蝴蝶图片,任强同学通过测量发现,蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之 比是黄金分割比,已知蝴蝶展开的双翅的长度是h:-啦I,则蝴蝶身体的长度约是 __________ 3.已知’,那么下列比例式中正确的是 4.已知:知-泠>丁心,那么下列比例式中成立的是 5._________________________________________________________________________ 已知线段?沁二::;I-V,点是线段'的黄金分割点'f,则AC的长为_______________________________________ A (3\I'5—lOXm B(15-Sv^Xm C (5\S—5)cnn D (1U—2i/5)cm 6.如果匚 '),那么下列比例式变形正确的是 1.若紐二'M芋匚则下列比例式成立的是 B. C. 4.4 em x _ fl D. A. 4.2 cm A.

7. 根据有关测定,当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适(人体正常体温约 为),这个气温大约为______________ A. 23 飞 B. ^"C 8.如图所示,回为线段的黄金分割点,四边形卜W、四边形应聚谒都为正方形, 且面积分别为耳,%四边形APHM、四边形APEQ都为矩形,且面积分别为巧,下列说 法正确的是__________ 、填空题(共8小题;共40 分) 10.已知线段a、山满足加=玖则二 ___________________ _____ M 14.已知加?弘,贝U ______________ a 3 b + n 15.若,则的值是_________________ D. 11.已知以:二那么 13.若2u-3i = 0 12.若

浙教版初中数学九年级比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解

比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段; 2、会运用比例线段解决简单的实际问题; 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【: 394495 图形的相似 预备知识】 1.成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 2.比例的性质: (1)基本性质:如果 a c b d =,那么ad bc =. (2)合比性质:如果++==.a c a b c d b d b d ,那么 如果--==.a c a b c d b d b d ,那么 要点诠释: (1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示,若单位长度不同,先化成同一单位,再求它们的比; (2)两条线段的比,没有长度单位,它与所采用的长度单位无关; (3)两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是正数. 要点二、黄金分割 1.定义: 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释: AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点: 图4-7 如图,已知线段AB ,按照如下方法作图: (1)经过点B 作BD ⊥AB ,使BD = 2 1AB . (2)连接AD ,在DA 上截取DE =DB .

(3)在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释: 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. (2016?兰州模拟)若a :b=2:3,则下列各式中正确的式子是( ) A .2a=3b B .3a=2b C . D . 【思路点拨】根据比例的性质,对选项一一分析,选择正确答案. 【答案】B . 【解析】A 、2a=3b ?a :b=3:2,故选项错误; B 、3a=2b ?a :b=2:3,故选项正确; C 、=?b :a=2:3,故选项错误; D 、=?a :b=3:2,故选项错误. 故选B . 【总结升华】考查了比例的性质.在比例里,两个外项的乘积等于两个内项的乘积. 举一反三: 【变式】(2015?崇明县一模)已知=,那么下列等式中,不一定正确的是( ). A .2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72 += 【答案】C . 2. 设432z y x ==,求2222232z xy x z yz x --+-的值. 【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ,y ,z 的值,因此用设参数法代入化简. 【答案与解析】设4 32z y x ===k 则x =2k ,y =3k ,z =4k 原式=2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -??-+??-?=222412k k --=2 1 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后,未知数越多更不易解出,实际上分子、分母能产生公因式约去. 类型二、黄金分割

最新8、1比例线段与黄金分割汇总

8、1比例线段与黄金 分割

精品资料 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢2 比例线段与黄金分割 【知识要点】 1.把b a 的值叫做线段b a ,的比,若d c b a =,则称线段 d c b a ,,,成比例线段。 2.bc ad d c b a d c b a =?=?=::,其中 d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项,d a ,称为外项,c b ,称为内项;外项的积等于内项的积。 3.n 1=实际距离图上距离,我们称为比例尺,进行有关比例尺的计算时,要注意统一单位 4.比例性质:①基本性质:bc ad d c b a =?=;②反比性质:c d a b d c b a =?=; ③更比性质:a b c a d c b a =?=; ④合比性质:d b c b b a d c b a ±=±?=; ⑤等比性质:n n b a b a b a b a === 332211,则1 12121b a b b b a a a n n =+++++ 5.比例中项:若ac b =2,则称b 是ac 的比例中项 6.若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项,则称点 P 是线段AB 的黄金分割点; 7.2 15,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 相似多边形 相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个或多个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比。 相似多边形性质 相似多边形性质定理1:相似多边形周长比等于相似比。 相似多边形性质定理2:相似多边形对应对角线的比等于相似比。

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2、把ab = -cd 写成比例式,下列写法不正确的是 2 a d A 、—=— c 2 b a d 2a d —=—C 、—=— 2 c b c b 3、己知P 为线段AB 的黄金分割点,且APPB,若AB = 8cm,则AP=PB =o 四、解答题。(每题7分,共28分) 1、(1)若七箜二2,求4的值。 (2)、若2Q = 3" = 4C ,求a:h:c 的值。 3 y

比例线段(设K法)与黄金分割

比例线段(设K 法)与黄金分割 【知识要点】 一、比例与成比例的线段 1. 把b a 的值叫做线段b a ,的比,若d c b a =,则称线段 d c b a ,,,成比例线段。 例如: (1)下列各线段的长度成比例的是( ). A .2cm ,5cm ,6cm ,8cm B .1cm ,2cm ,3cm ,4cm C .3cm ,6cm ,7cm ,9cm D .3cm ,6cm ,9cm ,18cm (2)边长为3cm 、4cm 、5cm 的三角形三边与一条线段成比例,则这条线段为____cm (3)已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度,试判断它们是否是成比例线段? (1)cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ; (2)cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a 二、比例的三个性质 比例的基本性质: bc ad d c b a d c b a =?=?=::,其中 d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项,d a ,称为外项,c b ,称为内项;外项的积等于内项的积。 另外两个重要的性质: 合比性质:d b c b b a d c b a ±=±?= 等比性质:如果d c b a ==…=n m (b +d +…+n ≠0),那么b a n d b m c a =++++++ 三、归纳比例的解题思想与方法(多元变一元;方法:设K 法如第2题,关系式表示法如第3、4题) 例如:

1、3 x =6y ,则y :x=________ ;如果, 那么 =_______. ⒉若2x =3y =4z ≠0,则z y x 32+=________ ; x+y+z x+y-z =________ ⒊已知2723=+b b a ,求b a 的值 ⒋已知4=y x ,求y y x -,y x x +的值 ⒌已知 3a=2b, 5b=4c,那么a:b:c=_______________ ⒍已知a ∶b ∶c = 4∶3∶2,且a +3b -3c =14. (1)求a ,b ,c (2)求4a -3b +c 的值. 7、如果, ,且x +y +z =12,求x ,y ,z 的值. 482334+=+=+z y x

初三数学第2讲:比例线段与黄金分割

教学内容 一、知识要点: 1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。 2、在四条线段中,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。 如果a、b、c、d是比例线段,即(或),那么线段a、d是比例外项,线段b、c是比例内项。 3、比例线段有以下性质: (1)基本性质 如果,那么 (2)合比性质 如果,那么,; (3)等比性质 如果,那么。 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如:如果,那么小试牛刀: 一、填空题 1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________,记作 ____________。 2、在四条线段中,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比 ____________,那么这四条线段叫做成比例线段,简称____________。 3、合(分)比性质:如果,那么=_____________。 4、等比性质:如果,且_____________,那么__________= 5、若4x=5y,则x:y=____________ 6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项,其中a=2厘米,b=4厘米,c=5厘米,则d为_______ 7、下列各组线段成比例的是()

A、1cm、3cm、2cm、4cm B、1m、20cm、5cm、25cm C、cm、cm、cm、4m D、4cm、8cm、6m、12cm 8、已知点C是AB延长线上一点,且AC:CB=5:3,AB=52,则CB的值为() A、13 B、19.5 C、78 D、130 9、在比例尺为40:1的图纸上,一零件的长度为16厘米,则该零件的实际长度为() A、6.4厘米 B、64分米 C、0.4厘米 D、4厘米 二、典型例题: 例1、有两组线段,每组分别有四条,长度如下: (1)a=16厘米,b=18厘米,c=5厘米,d=10厘米; (2)a=10厘米,b=0.5厘米,c=0.6分米,d=12厘米。 试判断它们是否成比例。 分析:判断四条线段是否成比例,可以先把它们按从小到大的顺序排列,由比例的基本性质可知,即如果第一、四两个数之积等于第二、三两数之积,则四条线段成比例,否则不成比例。 例2、如图:已知 A 求证:(1)(2) D E B C

比例线段与黄金分割练习题

2017年8月22日数学随堂练习试卷 一、选择题(共8小题;共40分) 1. 若3x=4y(xy≠0),则下列比例式成立的是( ) A. x 4=y 3 B. x 3 =4 y C. x y =3 4 D. x 3 =y 4 2. 如图是一只美丽的蝴蝶图片,任强同学通过测量发现,蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之 比是黄金分割比,已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm,则蝴蝶身体的长度约是 A. 4.2cm B. 4.3cm C. 4.4cm D. 2.7cm 3. 已知5x=6y(y≠0),那么下列比例式中正确的是( ) A. x 5=y 6 B. x 6 =y 5 C. x y =5 6 D. x 5 =6 y 4. 已知:2x=3y(y≠0),那么下列比例式中成立的是( ) A. x 2=y 3 B. x 3 =y 2 C. x y =2 3 D. x 2 =3 y 5. 已知线段AB=10cm,点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为 A. (5√5?10)cm B. (15?5√5)cm C. (5√5?5)cm D. (10?2√5)cm 6. 如果4a=5b(ab≠0),那么下列比例式变形正确的是( ) A. 5 a =4 b B. a 4 =b 5 C. a b =4 5 D. 4 a =b 5

7. 根据有关测定,当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适(人体正常体温约为37°C),这个气温大约为 A. 23°C B. 28°C C. 30°C D. 37°C 8. 如图所示,P为线段AB的黄金分割点(PB>PA),四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形, 且面积分别为S1,S2.四边形APHM、四边形APEQ都为矩形,且面积分别为S3,S4,下列说法正确的是 A. S2=√5?1 2S1 B. S2=S3 C. S3=√5?1 2 S4 D. S4=√5?1 2 S1 二、填空题(共8小题;共40分) 9. 若3a=4b,则a:b=. 10. 已知线段a、b满足2a=3b,则a b =. 11. 已知3x=2y,那么x x+y =. 12. 若1+x x =7 5 ,则x=. 13. 若2a?3b=0,b≠0,则a:b=. 14. 已知2x=5y,则x y =. 15. 若a b =3 5 ,则a+b b 的值是. 16. 若x 2=y 3 =z 4 (x,y,z均不为0),则x+2y?z z 的值为.

比例和黄金分割讲解

比例和黄金分割讲解 一、知识要点 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2 比例线段的相关概念 (1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是n m b a =,或写成n m b a ::=. (2)在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:a d c b =.②()a c a b c d b d ==在比例式 ::中,a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =。 (3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =?,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 2 15-=≈0.618AB . 注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0) (1) 基本性质: ①bc ad d c b a =?=::;②2::a b b c b a c =?=?.

黄金分割教学设计

第四章相似图形 2.黄金分割 王伟 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:学生在学习了基本作图之后,懂得了作图的方法。又在学习本章第一节后,掌握了线段的比、成比例线段的概念,比例的基本性质,会比和比例尺的计算,坚实了基础。 学生的活动经验基础:学生的作图学习,强化了学生动手的能力;比的计算、比例尺的计算,感受了数学在现实生活中的作用,增强了学生学习数学的信心。通过变换的鱼来推导成比例线段、比例性质推导、变换发展了的逻辑推理能力。本章第一节例题的讲解,培养了学生灵活运用的能力。 二、教学任务分析 学习《黄金分割》不仅实现线段比例的要求,更是体现数学的文化价值,0.618的意义,体现数学与建筑、艺术等学科必然联系的纽带。教学中,通过国旗上的图案五角星引入黄金分割,使学生真正体会到其中的文化价值,同时,在建筑、艺术上实例欣赏,应用中进一步强化线段的比、成比例线段、黄金分割等相关内容。为此,本节课的教学目标是: 1、知道黄金分割的定义;会找一条线段的黄金分割点;会判断某一点是否为一条线段 的黄金分割点; 2、通过找一条线段的黄金分割点,培养学生理解与动手能力。 3、理解黄金分割的意义,并能动手找到和制作黄金分割点和图形,让学生认识教学与 人类生活的密切联系对人类历史发展的作用。 教学重点:了解黄金分割的意义并能运用 教学难点:找出黄金分割点和黄金矩形 三、教学过程分析

本节课设计了七个环节:第一个环节:情境引入;第二个环节:图片欣赏;第三个环节:操作感知;第四个环节:联系实际,丰富想象;第五个环节:巩固练习;第六个环节:课堂小结;第七个环节:布置作业。 第一环节 情境导入 活动内容: 展示课件,提出问题: 问题⒈ 从国旗中找出共同的图案 问题⒉ 度量点C 到A 、B 的距离,AC BC AB AC 与相等吗? 教师操作课件,提出问题与共同学交流、观察 回答问题⒈ 五角星 回答问题⒉ 相等 展示课件,导入新知 在线段AB 上,点C 把线段分成两条线段AC 和BC ,如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫黄金比。 其中618.01:215:≈-= AC AB 即618.0≈AB AC 教师讲解,学生观察、思考、交流。 活动目的:利用五角星,创设一个有利于学生探究和综合运用线段比的情境。引入黄金分割的概念、黄金比约为0.618。 注意事项:学生通过观察、思考、交流,教师引导、回答问题。因为学生尚未学习一元二次方程,所以无法理解比值为 2 15-的理由,只需让学生了解这一事实即可。 第二环节 图片欣赏 B C

线段比与比例线段概念

线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 Ⅰ梳理知识 比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割 1.线段的比的定义 在同一单位长度下,两条线段 的比叫做这两条线段的比. 2.比例线段的定义 在四条线段中,如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ,那么这四条线段叫做成比例线段,简称 .在a :b =c :d 中,a 、d 叫做比例的 ,b 、c 叫做比例的 ,称d 为a 、b 、c 的 . 3.比例的性质 (1)比例的基本性质:如果a ∶b =c ∶d ,那么 .特别地,若a ∶b =b ∶c ,即 ,则b 叫a ,c 的比例中项. (2)合(分)比性质:若 d c b a =,则 . (3)等比性质:若n m f e d c b a ==== ,且 ,则 . 4.黄金分割 (1)黄金分割的意义:如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果 ,那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 ,AC 与AB 的比叫做 . (2)黄金分割的作法 【例题讲解】 例1.(1)已知1,5,5三个数,如果再添一个数,使之能与已知的三个数成比例,则这个数应该是 . (2)在比例尺为1:n 的某市地图上,规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区,则该工业区的实际面积是 平方米. 例2.(1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5,①求 z y x +的值;②若x +y +z =6,求x 、y 、z. (2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数,且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++,求k 的值.

培优专题训练五比例线段与黄金分割

培优专题训练五 比例线段与黄金分割 【知识要点】 1.把b a 的值叫做线段 b a ,的比,若d c b a =,则称线段 d c b a ,,,成比例线段。 2.bc ad d c b a d c b a =?=?=::,其中 d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项,d a ,称为外项,c b ,称为内项;外项的积等于内项的积。 3.n 1=实际距离图上距离,我们称为比例尺,进行有关比例尺的计算时,要注意统一单位 4.比例性质:①基本性质: bc ad d c b a =?=;②反比性质:c d a b d c b a =?=; ③更比性质:a b c a d c b a =?=; ④合比性质:d b c b b a d c b a ±=±?=; ⑤等比性质:n n b a b a b a b a === 332211,则1 12121b a b b b a a a n n =+++++ 5.比例中项:若ac b =2 ,则称b 是ac 的比例中项 6.若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项,则点P 是线段AB 的黄金分割点; 7.215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 【典型例题】 例1.下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a=2,b=3,c=2,d=3 B.a=4,b=6,c=5,d=10 C.a=2,b=5,c=23,d=15 D.a=2,b=3,c=4,d=1 例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ,把它改写成比例式,错误的是( ) A.a ∶d=c ∶b B.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶c D.a ∶c=d ∶b 例3. 若a=2,b=3,c=33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为 。 例4. 若ac=bd ,则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.c c b d d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知d c b a =,则下列式子中正确的是( ) A. a ∶b=c 2∶ d 2 B. a ∶d=c ∶b C. a ∶b=(a+c )∶(b+d ) D. a ∶b=(a -d )∶(b -d ) 例6.已知5:4:2::=c b a ,且632=+-a b a ,求c b a 23-+的值。

M08B15 比例线段与黄金分割

第十五节 比例线段与黄金分割 【知识要点】 1.线段的比:在同一长度单位下,两条线段的长度的比叫做这两条线 段的比。 即如果用同一长度单位量得线段a,b的长度分别是m,n,那么。在中,a 叫比的前项,b叫比的后项。 (1)两条线段比是一个正数,它没有单位. (2)两条线段比与所选的长度单位无关. (3)求两条线段比时.如果单位不同.那么必须先化成同一单位.再求它 们的比 . 生活常识: (1)同一时刻物高与影长成比例. (2)图上长度与实际长度的比通常称为比例尺. 2.已知四条线段a、b、c、d,如果a∶b=c∶d,那么a、b、c、d叫做 组成比例的 ,线段a、d叫做比例 ,线段b、c叫做比例 ,线段d叫做a、b、c的 ;比例中项:如果比例内项是两 条相同的线段,即 ,那么线段b叫做线段a和c的比例中 项。 3.比例的基本性质:a∶b=c∶d ; a∶b=b∶c (a、b、c、d不为零)。 4.几个常用的性质: (1)若,则 (2)若,则或 (3)若,则 (4)若,则 (5)若,则(当)

5.黄金分割 (1)黄金分割的意义:如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割.其中点C叫做线段AB的 ,AC 与AB的比叫做 . (2)黄金分割的作法 【典型例题】 成比例的线段 例1-1 (1)若线段AB=3 cm,CD=6 cm,则AB∶CD= _ , CD∶AB=_________ (2)若线段a,b的比值等于1,则a与b的之间关系为__________ (3) 已知AB=5cm,延长AB到点C,使BC=10cm,则AB∶BC=______, AC∶BC=_____,AB:AC=_____ 。 (4).如果a=15cm,b=10cm,且b是a和c的比例中项,则c=________. 例1-2 求下列各题中a:b的值。 (1)a=2m , b=0.4m; (2)a=6cm , b=6m; (3)a=50mm , b=6cm; (4)a=3m , b=10mm。

比例线段和黄金分割练习题

比例线段和黄金分割练习题 姓名________学号_________ 一、选择题(每题4分,共24分) 1、在比例尺为1:400000的地图上,量得AB 两地距离是24cm ,则A 、B 两地实际距离为( ) A 、960m B 、9600m C 、96000m D 、960000m 2、把cd ab 2 1=写成比例式,下列写法不正确的是 A 、b d c a 2= B 、b d c a =2 C 、b d c a =2 D 、b c d a =2 3、已知P 为线段AB 的黄金分割点,且AP <PB ,则( ) A 、PB AB AP ?=2B 、PB AP AB ?=2;C 、AB AP PB ?=2; D 、222AB BP AP =+ 4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点,且AB =10cm ,则PQ 长为( ) A 、)15(5- B 、)15(5+ C 、)25(10- D 、)53(5- 5、若15 1011c a c b b a +=+=+ ,则=c b a ::( ) A 、11:10:15 B 、8:3:7; C 、3:2:5; D 、6:7:8 6、某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度,在同一时刻,量得某一同学的身高是 1.5米,影长是1米,旗杆的影长是8米,则旗杆的高度是( ) A 、12米 B 、11米 C 、10米 D 、9米 二、填空题(每空3分,共24分) 1、已知04.0,2.0==b a ,则=b a : 。 2、正方形的边长与对角线的比为: 。 3、若43=b a ,则=+a b a =-b a a 2 =-+b a b a 工 。 4、若2:3:=y x ,2:3:=z y 则=z y x :: 。 5、若P 为AB 的黄金分割点,且AP >PB ,若AB =8cm ,则AP =__________PB = 。 四、解答题。(每题7分,共28分) 1、(1)若 322=-y y x , 求y x 的值。 (2)、若c b a 432==,求c b a ::的值。

八年级下学期数学《比例线段与黄金分割》检测题

八年级下学期数学《比例线段与黄金分割》检测题 时间:45分钟卷面满分:100分姓名:得分: 一、选择题(每题3分,共30分) 1、在比例尺为1:400000的地图上,量得AB两地距离是24cm,则A、B两地实际距离为() A、960m B、9600m C、96000m D、960000m 2、把写成比例式,下列写法不正确的是() A、B、C、D、 3、已知P为线段AB的黄金分割点,且AP<PB,则() A、; B、; C、; D、 4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点,且AB=10cm,则PQ长为() A、B、C、D、 5、若,则() A、11:10:15 B、8:3:7; C、3:2:5; D、6:7:8 6、某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度,在同一时刻,量得某一同学的身高是1.5米,影长是1米,旗杆的影长是8米,则旗杆的高度是() A、12米 B、11米 C、10米 D、9米 7、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是……() A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12 8、已知,则在①②③④这四个式子中正确的个数是……………………………()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9、已知,则下列等式中不成立的是…………………………() A. B. C. D. 10、如果a:b=12:8,且b是a和c的比例中项,那么b:c等于………() A. 4:3 B. 3:2 C. 2:3 D. 3:4 二、填空题(每空3分,共36分) 1、已知,则。 2、正方形的边长与对角线的比为:。 3、若,则工。 4、若,则。 5、若P为AB的黄金分割点,且AP>PB,若AB=8cm,则AP=__________PB=。 6、已知b是a,c的比例中项,且a=3cm,c=6cm,则b= cm。 7、已知3 ,则, 8、比例尺为1:50000的地图上,两城市间的图上距离为20cm,则这两城市的实际距离是公里。 9、如图,点C是AB的黄金分割点,AB=4,则AC2=_______;(结果保留根号) 10、若线段AB=4cm,点C是线段AB的一个黄金分割点,则AC的长为 11、我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形,若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________;(结果保留根号) 12、科学研究表明,当人的下肢与身高比为0.618时,看起来最美,某成年女士身高为153cm,下肢长为92cm,该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为cm(精确到0.1cm); 三、尺规作图。(3分)

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