当前位置：文档库 › 高考数学专题复习系列导学案

高考数学专题复习系列导学案

数列1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题．

3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问

纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．

从解题思想方法的规律着眼，主要有：①方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；②函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③待定系数法、分类讨论等方法的应用．

第1课时数列的概念

1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数

N *或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第项．2．数列的通项公式

一个数列{a n }的与之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：

=n a ??

?≥==2

1n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法

⑴公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．

⑵观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．

⑶递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

例1.根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式．⑴－

312?，534?，－758?，9

716

?…；⑵ 1，2，6，13，23，36，…；⑶ 1，1，2，2，3，3，解：⑴ a n ＝(－1)n

)

12)(12(12+--n n n ⑵ a n ＝)

673(2

12+-n n （提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得

)673(2

)43)(1(2

1)]53(10741[12+-=

--+=-++++++=n n n n n a n ⑶将1，1，2，2，3，3，…变形为

3,202,211+++,,2

6,215,204 +++典型例题

∴4

)1(122

2)1(111

++-++=

-++

n n n n n a 变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式：① a n ＝

[1＋(－1)n ] ② a n ＝n )(11-+③ a n ＝??

)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是（）A ．①

B ．①②

C ．②③

D ．①②③

解：D

例2.已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项．⑴ S n ＝3n －2

⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1

解⑴ a n ＝S n －S n －1 (n≥2) a 1＝S 1解得：a n ＝???

=≥?-)

1(1

)

2(3

n n n ⑵ a n ＝??

?≥+=)

2(22)1(5

n n n 变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为．

解：,110101)1lg(+=?=-?=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n －10n －

1＝9·10 n －

1．故a n ＝????

?≥?=-)2(10

1(111

n n n 例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n≥2)⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n≥2)⑶ a 1＝1，a n ＝

--n a n

n (n≥2)解：⑴ a n ＝2a n －1＋1?(a n ＋1)＝2(a n －1＋1)(n≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1．

⑵a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1－a n －2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －

1＋3n －

2＋…＋33＋3＋1＝)13(2

1-n ．(3)∵

n a a n n 1

1-=-∴a n ＝

?--?-=?????-----1

111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n

n n 1

12123=???-- 变式训练3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2

2+n n

a a (n ∈N *)，求该数列的通项公式．解：方法一：由a n ＋1＝

2+n n

a a 得21111

+n n a a ，∴{n a 1}是以111=a 为首项，2

1为公差的等差数列．∴

n a 1＝1＋(n －1)·21,即a n ＝1

2+n 方法二：求出前5项，归纳猜想出a n ＝

+n ，然后用数学归纳证明．例4. 已知函数)(x f ＝2x －2－

x ，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．解：n

a f n a n a n 222)(log 2log 2log 2-=-=-n a a n

n 21

-=-

得n n a n -+=12变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *）．(1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；

(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1 (1)．

解：(1) 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴ n≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减，得：S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)

当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，∴ a 1＋a 2＝2a 1＋6,又a 1＝5，∴ a 2＝11∴

1+++n n a a ＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.(2) 由(1)知a n ＝3×2n －1

∵)(x f ＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n

∴)('x f ＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1

从而)1('f ＝a 1＋2a 2＋…＋na n

＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n －1)＝3(2＋2×22＋…＋n×2n )－(1＋2＋…＋n)＝3[n×2n ＋

1－(2＋…＋2n )]－2

)

1(+n n ＝3(n －1)·2n ＋

1－2

)

1(+n n ＋61．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常

归纳小结

用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.

2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．

3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，n

n a a 1

+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．

第2课时等差数列

1．等差数列的定义：－＝d （d 为常数）．2．等差数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1＋×d

⑵ a n ＝a m ＋×d

3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝＝．

4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝．5．数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：

⑴数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q(p, q ∈R)⑵数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn (a, b ∈R)

6．等差数列{a n }的两个重要性质：

⑴ m, n, p, q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则．

⑵数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成数列．例1.在等差数列{a n }中，

(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．

解：(1)方法一：???

???

=-=????=+==+=38

382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130．

方法二：

3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，由a n ＝a m ＋(n －m)d ?a 60＝a 45＋(60－45)d ＝90＋15×3

＝130． (2)不妨设S n ＝An 2＋Bn ，

∴???-==???

???=+=+172460202084

121222B A B A B A

∴S n ＝2n 2－17n

∴S 28＝2×282－17×28＝1092 (3)∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15，又S 6＝2)

10(62)(6161+=+a a a ∴15＝2)

10(61+a 即a 1＝－5 而d ＝

6=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16 S 8＝

442

)

(881=+a a 变式训练1.在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝．解：∵d ＝a 6－a 5＝－5， ∴a 4＋a 5＋…＋a 10＝

49)2(72

)

(75104-=+=+d a a a 例2. 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －1

-n a a （n≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝a a n -1．

⑴求证：数列{b n }是等差数列． ⑵求数列{a n }的通项公式．解：∵⑴ a n ＝2a －1

-n a a (n≥2) ∴ b n ＝

)

(11

2a a a a a a a a

a n n n n -=

=---- (n≥2)

∴ b n －b n －1＝

a a a a a a n n n 1

1)(111=------ (n≥2)

∴数列{b n }是公差为a

的等差数列． ⑵∵ b 1＝

a a -11＝a

故由⑴得：b n ＝a 1＋(n －1)×a 1＝a

即：

a a n -1＝a n 得：a n ＝a(1＋n

1) 变式训练2.已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*

,3N n b n a

n ∈=，且11=a ，

（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；

（2）若1

n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和

解：1）1

111333,13n n n n

a a a n n n a n

b a a b ++-++===∴-=，即{}n a 为等差数列。

（2）11111111111,11

n n n n n n n n n

C S n a a a a a a a ++++=

=-∴=-=-=

+。例3. 已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{n

S n

}前n 项和。求T n ．

解：设{a n }首项为a 1公差为d ，由

???

=?+==?+=7521415157267711517d a S d a S ????=-=121d a ∴ S n ＝n n 2521

2-2

521--=n n S n ∴

311-=S ∴T n ＝n n 4

412-- 变式训练3．两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和的比'

5327n n S n S n +=+，则5

a b 的值是（） A ．

2817 B ．4825 C ．5327 D ．23

解：B 解析：1955955919

()2482925

2()2

a a a a S

b b S b b +?

==+?。例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：

⑴从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？

⑵如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ ⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a 美元．问a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？

解：⑴设工作年数为n （n ∈N *），第一种方案总共加的工资为S 1，第二种方案总共加的工资为S 2．则：

S 1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n ＝500(n ＋1)n

S 2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n ＝300(2n ＋1)n

由S 2>S 1，即：300(2n ＋1)n>500(n ＋1)n 解得：n>2

∴从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多． ⑵当n ＝10时，由⑴得：S 1＝500×10×11＝55000 S 2＝300×10×21＝63000 ∴ S 2－S 1＝8000

∴在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元． ⑶若第二种方案中的300美元改成a 美元．

则12S ＝an(2n ＋1) n ∈N *

∴ a ＞12)1(500++n n ＝250＋12250+n ≥250＋3

250

＝

1000 变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 解：(1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列, 其中a 1=250,d=50,则S n =250n+

502

)

1(?-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列, 其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.

由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

1．欲证{a n }为等差数列，最常见的做法是证明：a n ＋1－a n ＝d(d 是一个与n 无关的常数)． 2．a 1，d 是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a 1，d ，再求其他的量，但有时运算较

繁．

3．对等差数列{a n }的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d 的等差数列进行求和．

4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．

第3课时等比数列

1．等比数列的定义：

)

(

)

(＝q （q 为不等于零的常数）． 2．等比数列的通项公式： ⑴ a n ＝a 1q n

－1

⑵ a n ＝a m q n －m

3．

等比数列的前n 项和公式：

S n ＝???

=≠)

1()

1(q q 4．等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝（或b ＝）． 5．等比数列{a n }的几个重要性质：

⑴ m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则．

⑵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成数列． ⑶若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝．例1.已知等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求项数n 和公比q 的值．解：∵{a n }是等比数列， ∴a 1·a n ＝a 2·a n －1， ∴??

?=?=+1286611n

n a a a a ，解得???==6421n a a 或???==264

1n a a

若a 1＝2，a n ＝64，则2·q n －

1＝64 ∴q n ＝32q 由S n ＝

1261)321(21)1(1=--=--q

q q q a n ，解得q ＝2，于是n ＝6

若a 1＝64，a n ＝2，则64·q n －

1＝2 ∴q n ＝

q 32

1 由S n ＝

1261)

3211(641)

1(1=--

--q

q q

q a n

解得q ＝2

，n ＝6

变式训练1.已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝．解：64或1

由???=+=?2064

7391a a a a ????=+=2064

7373a a a a

????==41673a a 或??

?==16

473a a ∴ q 2＝21或q 2＝2，∴ a 11＝a 7 q 2，∴ a 11＝64或a 11＝1

例2. 设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求数列的第2n 项．

解：若q ＝1，则na 1＝40，2na 1＝3280矛盾，∴ q≠1．∴???

??=--=--3280

1)1(401)

1(21

1q q a q

q a n

n 两式相除得：q n ＝81，q ＝1＋2a 1 又∵q>0，∴ q>1，a 1>0 ∴ {a n }是递增数列． ∴ a n ＝27＝a 1q n －

1＝

12181

a a +? 解得 a 1＝1，q ＝3，n ＝4

变式训练2.已知等比数列{a n }前n 项和S n ＝2n －1，{a n 2}前n 项和为T n ，求T n 的表达式．解：(1) ∵a 1＋2a 22＝0，∴公比q ＝2

112-=a a 又∵S 4－S 2＝8

，

将q ＝－2

1代入上式得a 1＝1， ∴a n ＝a 1q n －

1＝(－2

1) n －1

(n ∈N *)

(2) a n ≥

161?(－21) n －1≥(2

1)4 ?

n≤5

∴原不等式的解为n ＝1或n ＝3或n ＝5．

例3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

解：设这四个数为a －d ，a ，a ＋d ，a

d a 2

)(+

依题意有：??

???=++=++

-1216)(2

d a a a

d a d a

解得：??

?==44d a 或?

??-==69

d a ∴这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．

变式训练3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于（） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

答案： D 。解析：由6324,144n n S S -==得12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=，再由161()

326,36,324,182

n n n n a a S a a S n +=∴+=∴=

=∴=。例4. 已知函数f(x)＝(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的等比数列(q ≠1)，若a 1＝f(d －1)，a 3＝f(d ＋1)，b 1＝f(q －1)，b 3＝f(q ＋1)， (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 设数列{c n }对任意的自然数n 均有：

122

11)1(++=+++n n

n a n b c b c b c ，求数列{c n }前n 项和S n ．解：(1) a 1＝(d －2)2，a 3＝d 2，a 3－a 1＝2d 即d 2－(d －2)2＝2d ，解之得d ＝2 ∴a 1＝0，a n ＝2(n －1)

又b 1＝(q －2)2，b 3＝q 2，b 3＝b 1q 2 即q 2＝(q －2)2 q 2，解之得q ＝3 ∴b 1＝1，b n ＝3n －

1 (2)

1134,4)1(-+?==-+=n n n n n

n c n na a n b C S n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n

＝4(1×3°＋2×31＋3×32＋…＋n×3 n －

设='

n S 1×3°＋2×3′

＋3×32＋…＋n×3 n －1 3='n S 1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3 n

－2

S 1＋3＋32＋33＋…＋3

n －1

－n×3 n ＝2)

13(1-n －3 n ·n

332'

--?=

n n n n S ∴S n ＝2n·3n －3n ＋1

变式训练4.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式； ⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有

133

2211+=+??+++n n

n a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2007的

值．

解：⑴由题意得（a 1＋d ）(a 1＋13d)＝(a 1＋4d)2(d>0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n －

1． ⑵当n ＝1时，c 1＝3 当n ≥2时，∵

,1n n n

n a a b c -=+∴???≥?==-)

2(32)

1(31

n n c n n 故132-?=n n c 22006200712200732323233c c c ∴++?+=+?+?+?+?=

1．

在等比数列的求和公式中，当公比q≠1

时，适用公式S n ＝q

q a n --1)

1(1，且要注意n 表示项数；

当q ＝1时，适用公式S n ＝na 1；若q 的范围未确定时，应对q ＝1和q≠1讨论求和． 2．在等比数列中，若公比q > 0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．

3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设

这四个数，一般是设为x －d ，x ，x ＋d ，x

d x 2

)(+再依题意列出方程求x 、d 即可．

4．a 1与q 是等比数列{a n }中最活跃的两个基本量．

第4课时等差数列和等比数列的综合应用

1．等差数列的常用性质：

⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有． ⑵ {a n }是等差数列，则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是数列． ⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成数列．

2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．

⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组???<≥+00

n n

a a 可解得S n 达到最值时n 的值．

⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组??

可解得S n 达到最小值时n 的值．

3．等比数列的常用性质：

⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有． ⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{

a 1

}是数列． ⑶若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成数列．例1.是否存在互不相等的三个实数a 、b 、c ，使它们同时满足以下三个条件：

① a ＋b ＋c ＝6

② a 、b 、c 成等差数列．

③将a 、b 、c 适当排列后成等比数列．解：设存在这样的三位数a ，b ，c ．

由a ＋b ＋c ＝6，2b ＝a ＋c 得：b ＝2，a ＋c ＝4

①若b 为等比中项，则ac ＝4，∴ a ＝c ＝2与题设a≠c 相矛盾． ②若a 为等比中项，则a 2＝2c ，则a ＝c ＝2(舍去)或a ＝－4，c ＝8． ③若c 为等比中项，则c 2＝2a ，解得c ＝a ＝2(舍去)或c ＝－4，a ＝8． ∴存在着满足条件的三个数：－4，2，8或8，2，－4．

变式训练1.若a 、b 、c 成等差数列，b 、c 、d 成等比数列，111

,,c d e

成等差数列，则a 、c 、e 成

（）

A ．等差数列

B ．等比数列

C ．既成等差数列又成等比数列

D ．以上答案都不是

答案：B 。解析：由2,2a c b a c b +=+∴=，由22

2,c c bd d a c =∴=+，由211,d c e

∴

22,a c c e

c ae c ce

++=∴=，即,,a c e 成等比数列。例2.已知公差大于0的等差数列{n

a 1

}满足a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ．解：设{n a 1}的公差为d(d ＞0)，由a 2，a 4，a 8成等比数列可知21a ，41a ，8

1a 也成等比数列， ∴(41a )2＝21a ·8

1a ∴(

11a ＋3d)2＝(11a ＋d)(1

a ＋7d) 化简得d 2＝

1a d ，∴1

a ＝d 又a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1化简为

21a ＋41a ＋61a ＝6

421

a a a ∴3·41a ＝621a a ·4

a ∴

21a ·61a ＝3，即(11a ＋d)(1

a ＋5d)＝3 2d·6d ＝3 ∴d ＝2

，

11a ＝2

∴

n a 1＝11a ＋(n －1)d ＝2

n ∴a n ＝

变式训练2.已知

111,,a b c 成等差数列，求证：,,

b c a c a b

a b c +++也成等差数列。解析：由111,,a b c 成等差数列，则211

,2(),ac b a c b a c

=+∴=+

∴22222()()()()2()

b c a b b c c a a b bc c a ab b a c a c a c a c a c ac ac ac ac b

+++?+++++++++++=====

即

b c a c a b

a b c

+++成等差数列。例3. 已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形．

解：由2B ＝A ＋C ，且A ＋B ＋C ＝180°，B ＝60°，由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac cosB ＝

ac b c a 2222-+＝ac ac c a 222-+＝2

得(a －c)2＝0，∴ a ＝c ∴△ABC 为等边三角形．

变式训练3.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且

103=++c b a ，则a = （）

A.4

B.2

C.-2

D.-4

答案： D.解析：依题意有2

310.a c b bc a a b c +=??=???++=?

4,2,8.a b c =-??

=??=?

例4.数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3

1S n ，n ＝1，2，3…… 求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式； ⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.

解析：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3，…得a 2＝31S 1＝31a 1＝31，a 3＝31S 2＝3

1(a 1＋a 2)＝9

4，a 4＝3

1S 3＝3

1(a 1＋a 2＋a 3)＝

16 由a n ＋1－a n ＝3

1(S n －S n －1)＝3

1a n (n≥2)，得a n ＋1＝3

4a n (n≥2)，又a 2＝3

1，∴a n ＝3

1·(3

4)n －

2(n≥2)

∴ {a n }通项公式为a n ＝?????≥?=-2)3

4(31112n n n

(2) 由(1)可知a 2、a 4、…a 2n 是首项为31

，公比为(3

4)2，项数为n 的等比数列.

∴ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3

1×22)

4(1)34(1--n

＝73[(3

4)2n －1]

变式训练4.设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333

n n n S a +=-?+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。解析：（I ）2111412

2333

a S a ==

-?+，解得：12a = ()21111441

22333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++?+=+

所以数列{}

n a +是公比为4的等比数列

所以：

()11

1224n n n a a -+=+?

得：42n n

n a =-（其中n 为正整数）

1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m 、n 、p 、r ∈N*，若m ＋n ＝p ＋r ，则a m ＋a n ＝a p ＋a r （或a m ·a n ＝a p ·a r ）进行解答．

2．若a 、b 、c 成等差（或等比）数列，则有2b ＝a ＋c （或b 2＝ac ）．

3．遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质．

4．在涉及a n 与S n 相关式子中用S n －1和S n 的关系表示a n 时应该注意“n≥2”这个特点．

第5课时数列求和

求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 1．等差数列的前n 项和公式： S n ＝＝．

2．等比数列的前n 项和公式： ①当q ＝1时，S n ＝． ②当q≠1时，S n ＝．

3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．

4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．

5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．

例1. 已知数列：1，??

? ?

?+211，??

? ?

?++412

11，???

?+++814

1211，…，??

? ?

?+++-12141211n ，求它的前n

项的和S n ．

解：∵ a n ＝1＋2

＋4

1＋……＋

1-n

＝???

??-=--

n n 21122

11211∴a n ＝2－121-n

则原数列可以表示为：

(2－1)，??

? ?

?-212，??

? ?

?-2212，??

? ?

?-3212，…??

? ?

--12

12n

前n 项和S n ＝(2－1)＋??

? ?

?-212＋??

? ?

?-2212＋…＋??

? ?

?--12

12n

＝2n －??

? ??+++

+-1221212

1n ＝2n －2

11211-

n ＝2n －2???

??-n 211 ＝

1-n ＋2n －2

变式训练1.数列 ,16

,813,412,211前n 项的和为（） A ．2212n n n ++ B ．12212+++

-n

n n C ．2212n n n ++- D ．22

121n

n n -+-+

答案:B 。解析：2

11(1)11234122222n

n n

n n S n +=++++++

=+- 例2.求S n ＝1＋2

+＋3211++＋…＋n ++++...3211．解：∵ a n ＝n

++++ 3211

＝)1(2+n n ＝2(

n 1－1

+n ) ∴ S n ＝2(1－21

＋21－31＋…＋

n 1－11+n )＝1

2+n n

变式训练2：数列{a n }的通项公式是a n ＝1

1++n n ，若前n 项之和为10，则项数n 为（）

A ．11

B ．99

C ．120

D ．121 解：C .a n ＝

1++n n ＝n n -+1，

∴S n ＝11-+n ，由11-+n ＝10，∴1+n ＝11， ∴n ＝11

例3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝)()2

1(*2

N n a n ∈+，b n ＝a n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．

解：取n ＝1，则a 1＝2

1)2

1(+a ?a 1＝1 又S n ＝

2)(1n a a n +可得：2)(1n a a n +＝2)2

(+n a ∵a n ≠－1(n ∈N *) ∴a n ＝2n －1

∴T n ＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n －1)·2n ① 2T n ＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n －1)·2n ＋

1② ①－②得：

∴－T n ＝2＋23＋24＋25＋……＋2n ＋

1－(2n －1)·2n ＋

1 ＝2＋

1)21(213---n －(2n －1)·2n ＋1＝－6＋(1－n)·2n ＋

∴T n ＝6＋(n －1)·2n ＋

变式训练3.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. ⑴求数列{a n }和{b n }通项公式． ⑵设C n ＝

b a ，求数列{C n }前n 项和T n ．解：（1）当n ＝1时a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －2，故{a n }通项公式为a n ＝4n －2，即{a n }是a 1＝2，d ＝4的等差数列，设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1，d ＝4，∴ q ＝4

，故b n ＝b 1q n －

1＝

42-n

（2）∵C n ＝

n b a ＝14)12(1

4224--=--n n n n

∴T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n －1）4n －

1 ∴4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n －3）4n －

n ＋（2n －1）4n

两式相减 3T n ＝]54)56[(3

1+-n

∴ T n ＝]54)56[(9

1+-n n ．

例4. 求S n ＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n ！．解： a n ＝n·n!＝(n ＋1)!－n! ∴ S n ＝(n ＋1)!－1!＝(n ＋1)!－1

变式训练4.以数列{a n }的任意相邻两项为坐标的点P n (a n 、a n ＋1)均在一次函数y ＝2x ＋k 的图象上，数列{b n }满足条件：b n ＝a n ＋1－a n ，且b 1≠0． ⑴求证：数列{b n }为等比数列．

⑵设数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若S 6＝T 4，S 5＝－9，求k 的值．解：⑴由题意，a n ＋1＝2a n ＋k ∴ b n ＝a n ＋1－a n ＝2a n ＋k －a n ＝a n ＋k b n ＋1＝a n ＋1＋k ＝2a n ＋2k ＝2b n ∵ b 1≠0，∴

n b b 1

+＝2 ∴ {b n }是公比为2的等比数列． ⑵由⑴知a n ＝b n －k ∵ b n ＝b 1·2n －

1∴ T n ＝

)12(2

21(11-=--n n b b S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )－nk ＝T n －nk ＝b 1(2n －1)－nk

∵?

??-==95

46S T S ∴?

??-=-=-9531156631

11k b b

k b

1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．

2．对通项中含有(－1)n 的数列，求前n 项和时，应注意讨论n 的奇偶性．

3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n 项和用到的方法，在复习中应给予重视．

数列章节测试题

一、选择题：

1,…则

A ．第6项

B ．第7项

C ．第10项

D ．第11项 2．方程2640x x -+=的两根的等比中项是（）

A ．3

B ．2± C

． D ．2

3．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138

B ．135

C ．95

D ．23

4、已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =

A ．342n ??? ???

B ．243n ??

? ???

C ．1

342n -??? ?

?? D ．1

243n -??

? ?

5．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（）

A ．12

B ．14

C ．16

D ．18 6、若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（）（A ）12 （B ）13（C ）14（D ）15

7、在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n

+=++，则n a =（）

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++

8．两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和的比'5327n n S n S n +=+，则5

b a 的值是（） A ．

2817 B ．2315 C ．5327 D ．48

9．{a n }是等差数列，10110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案则第n 个图案中有白色地面砖的块数是（）

A.33n +

B.42n -

C.24n +

D. 42n +

第1个第2个第3个

11.若数列2233

1,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθ前100项之和为0，则θ的值为（）

A. ()3

k k Z π

π±

∈ B. 2()3

k k Z π

π±

∈ C. 22()3

k k Z π

π±

∈ D.以上的答案均不对 12.设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c 成

A.等差

B.等比

C.非等差也非等比

D.既等差也等比二、填空题

13、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16=.

14、由正数构成的等比数列{a n }，若132423249a a a a a a ++=，则23a a +=．

15．已知数列{}n a 的前n 项和为2

,n S n =某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角

为．

16、给定(1)log (2)n n a n +=+（n ∈N*），定义乘积12k a a a ???为整数的k （k ∈N*）叫做“理想

数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为．三、解答题

17、已知函数()f x 是一次函数，且(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列，设()n a f n =，(n N *

∈)（1）求1

i i a =∑；

（2）设2n n

b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S 。

18、数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥ （1）求{a n }的通项公式;

（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n

19、假设某市2004年新建住房400万2

m ，其中有250万2

m 是中低价房。预计在今后的若干

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是（） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

2020届江苏高考数学应用题专题复习

高三数学应用题专题 1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满足u ＝? ??100v ＋23，050.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时为300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元． (1) 设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式； (2) 卡车应该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？ 2. 某城市受雾霾影响严重，现欲在该城市中心P 的两侧建造A ，B 两个空气净化站（A ，P ， B 三点共线），A ，B 两站对该城市的净化度分别为1a a -，，其中(01)a ∈，．已知对该城市总净化效果为A ，B 两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心P 到净化站距离成反比．若1AB =，且当 34AP =时，A 站对该城市的净化效果为3a ，B 站对该城市的净化效果为1a -．（1）设AP x =，(01)x ∈，，求A ，B 两站对该城市的总净化效果()f x ；（2）无论A ，B 两站建在何处，若要求A ，B 两站对该城市的总净化效果至少达到2 5，求a 的取值集合． 3. 如图,直线1l 是某海岸线，2l 是位于近海的虚拟线，12l l ⊥于点P,点A,C 在2l 上，AC 的中点为O ，且km AC PA 2==. （1）原计划开发一片以AC 为一条对角线,周长为8 km 的平行四边形水域ABCD,建深水养殖场.求深水养殖场的最大面积; （2）现因资金充裕,计划扩大开发规模,开发如图五边形水域QABCD,建养殖场,其中ABCD 是周长为8 km 的平行四边形,点Q 在1l 上,且在点P 的上方,AD OQ ⊥, ?≤∠90OCD . 养殖场分两个区域,四边形QAOD 区域内养殖浅水产品,其他区域内养殖深水产品,要求养殖浅水产品区域的面积最大.求点Q 与点P 的距离.

高考数学大题练习

高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2）（1）若a ⊥b ，求tan θ的值；（2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分）在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小；（2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值；（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值；（3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.

江苏高考数学专题练习函数(含解析)

江苏高考数学专题练习——函数 1. 已知函数，，则的解集是． 2. 设函数，则满足的的取值范围为． 3. 已知函数，不等式对恒成立，则．* 4. 已知函数f (x )＝e x -1 －tx ，?x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围． 5. 已知函数f (x )＝2x 3 +7x 2 +6x x 2+4x ＋3，x ∈0,4］，则f (x )最大值是．* 6. 已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数的取值范围是 . 7. 已知函数2()12f x x x =-的定义域为[]0m ，，值域为2 0am ????，，则实数a 的取值范围是 . * 8. 若存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为． 9. 设函数，若关于的不等式在实数集上有解，则实数的取值范围是．* 10. 已知函数f (x )＝???x 2 －1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数 k 的取值范围是． 11. 设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈1 2，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是． 2()||2 x f x x += +x R ∈2 (2)(34)f x x f x -<-???≥<-=1 ,21,13)(2x x x x x f 2 ))((2))((a f a f f =2()()()(0)f x x a x b b =--≠()()f x mxf x '≥x R ?∈2m a b +-=222101, ()2 1,x mx x f x mx x ?+-=?+>? ，，≤≤()f x [)0,+∞m 2e 2e 10x x a +≥-()33,2,x x x a f x x x a ?-<=?-≥? ，()4f x a >R