2013新人教A版(选修2-1)3.2《立体几何中的向量方法》word教案
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：秦雪峰 审稿人：张林
3.2立体几何中的向量方法
教学目标：
1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法
2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法
3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质
重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法
教学过程：
相关知识与能力：
一.空间距离的计算
1. 空间两点间的距离：设A 、B 是空间两点，则A 、B 两点间的距离d=|AB |
2.两条异面直线间的距离：设a 、b 是两条异面直线，n 是a 、
b 的公共法向量（即b n a n ⊥⊥且），点A ∈a,B
∈b
则异面直线a 、b 间的距离 d = 即n AB 在方向上的射影长为异面直线a 、b 间的距离。
3.点（或线）到平面的距离：
1）设,.,外一点是平面点的法向量是平面ααo P
P
是平面α内任一点，则P O
d = 2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。
二.空间角度的计算
1. 两条异面直线所成的角：设l 1与l 2两条异面直线，n ∥l 1 ， m ∥l 2，则l 1与l 2所成的角
α=<，>或α=л -<，> （0<α≤2
π） 所示图）
见第一3.cos sin ==βθ
cos （0<α≤2 π） 2. 斜线P 0P 与平面α所成的角θ)20(π θ<< 3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为m n ,，则α与β所成的角的大小为 典例分析： 例1.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BD D D ,1的中点，G 在棱CD 上，且CD CG 4 1=，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题。 （1）求证：EF ⊥B 1C ； （2）求EF 与C 1G 所成的角的余弦； （3）求FH 的长。 解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，则E （0，0，2 1） F （ 0,21,21）C （0，1，0）B 1（1，1，1）C 1（0，1，1），G （0，4 3，0） ∵ )1,0,1(),21,21,21(1--=-=B ∴ 0210211=++-=?B 则B 1⊥即C B EF 1⊥ α B C D β A （2）)1,41,0(1-=C ∴ 4171)41(0222=+-+= 由（18 30)21(4321021231)21()21(1222=?-+?+?=??=++=C 故EF 与G C 1所成角的余弦值为17 51 （3）∵ H 为C 1G 1的中点 ∴ H （0， 21,87），又F （0,21,21） ∴ 8 41)021()2187()210(222=-+-+-= 即841=FH 例2.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系。 （1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标； （2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值。 解：（1）A （2，2，0）B 1（2，0，2），E （0，1，0），D 1（0，2，2） （2）∵ )2,1,0(),2,2,0(11=-=ED AB ∴ 22=2420,511=+-=?=ED AB