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抽象函数的周期
抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。
本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x 取定义域内的任意值且a、
b、 T 为非零常数，a≠ b）。
1. f ( x) f ( x T) 型： f (x) 的周期为T。
证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有 f ( x T ) f (x) ，则 f ( x) 为周期函数，T 叫函数 f (x) 的周期。
2. f ( x a) f ( x b) 型： f ( x) 的周期为|b a|。
证明： f ( x a) f ( x b) f ( x) f ( x b a) 。
3. f ( x a) f ( x) 型： f ( x) 的周期为2a。
证明： f ( x 2a) f [( x a) a] f (x a) [ f (x)] f ( x)
例 . 设f ( x)是 R 上的奇函数， f ( x 2) f ( x) ，当0 x 1时， f ( x) x ，则
f (20055. ) 等于（）
A. 0.5
B. － 0.5
C.
D. －
4. f ( x a)
1
型： f ( x) 的周期为2a。
f ( x)
证明： f (x 2a) f [( x a) a]
1 1
f ( x) 。
f ( x a) 1
f ( x)
5. f ( x a)
1
型： f (x) 的周期为 2a 。
f ( x)
证明： f (x 2a) f [( x a) a]
1 1
f (x) 。
f ( x a) 1
f (x)
6. f ( x a) 1 f ( x)
型： f ( x) 的周期为4a。
1 f ( x)
证明： f ( x
1 f ( x a) 2a) f [( x a) a]
f ( x a)
1
1 f ( x)
1 1 f ( x) 1 f ( x)
1
1 f ( x)
1 ，
f ( x)
∴ f (x
4a)
f [( x 2a) 2a]
1
1
f ( x)
。
f ( x 2a)
1
f ( x)
7. 两线对称型：函数 f ( x) 关于直线 x
a 、 x
b 对称，则 f ( x) 的周期为 |2b 2a|。
证明：
f ( x) f (2a x)， f (2a x)
f (2b x)
f ( x)
f ( x
2b 2a) 。
f ( x)
f (2b
x)
正 弦 函 数 y sin x 关 于 直 线 x
、 x
3 对 称 ， 则 y sin x 的 周 期 为
2
2
|2×
3
2× | 2 。
2 2
8. 一线一点对称型
： 函数 f ( x) 关于直线 x a 及点（ b ， 0）对称，则 f ( x) 的周期为
|4b 4a|。
证明：
f (x) f (2a x)
f (2a x)
f ( 2b x)
f ( x 2b 2a)
f ( x) ，所以
f (2b x)
f ( x)
f ( x 4b
4a) f [( x 2b 2a) 2b 2a] f ( x 2b 2a) [ f ( x)] f (x)
余 弦 函 数 y
cosx 关 于 直线 x 0 及 点 （ 2 ， 0 ） 对 称 ，则 y
cosx 的 周 期 为
|4× 4× 0| 2 。
2
9. 两点对称型： 函数 f ( x) 关于点（ a ，0）、（ b ，0）对称，则 f ( x) 的周期为 |2b 2a|。
证明：
f (2a x) f ( x) f (2a x)
f (2b
x) f (x)
f ( x 2b 2a) 。
f (2b
x) f ( x)
正 弦 函 数 y sin x 关 于 点 （ 0 ， 0 ） 、 ( ， 0) 对 称 ， 则 y sin x 的 周 期 为
|2× 2× 0| 2 。
习题
⒈若 y f (2x ) 的图象关于直线x a
和 x
b
( b a ) 对称，则 f ( x) 的一个周期为
a b
2 2
2 ( b a ) C.
b a
D. 4 ( b a )
A. B.
2
2
⒉ 设函数y f ( x) 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线x 2 对称，已知
x [ 2, 2 ] 时，函数 f ( x) x 2 1，则 x [ 6, 2 ] 时， f (x) .
⒊在 R 上定义的函数 f (x ) 是偶函数，且 f (x ) f (2 x ) ，若 f (x ) 在
区间 [ 1, 2 ] 上是减函数，则 f (x )
A. 在区间 [ 2, 1] 上是增函数，在区间[ 3, 4] 上是增函数
B. 在区间 [ 2, 1] 上是增函数，在区间[ 3, 4] 上是减函数
C. 在区间 [ 2, 1] 上是减函数，在区间[ 3, 4] 上是增函数
D. 在区间 [ 2, 1] 上是减函数，在区间[ 3, 4] 上是减函数
⒋设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且y f (x )的图象关于直线x
对称，则 f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) .
⒌已知定义在 R 上的奇函数f ( x ) 满足 f ( x 2) f ( x) ，则 f (6) 的值为
A. 1
B. 0
C. 1
D. 2
⒍已知偶函数 y f (x ) 满足 f ( x 1) f ( x 1) ，且当 x [ 1, 0 ] 时， f ( x) 3x
则f ( log 1 5 ) 的值等于
3
1 2
4
，9
A. 1
B. 29
C.
101
D. 1
50 45
⒎设 f ( x) 为R上的奇函数，且 f ( x ) f ( x 3) 0 ，若 f ( 1) 1 ，
f (2) lo
g a 2 ，则a的取值范围是.
1
⒏函数 f (x) 对于任意实数x 满足条件 f (x 2) ，若 f (1) 5 ，则 f ( f ( 5 ) ) 等于
f ( x)
1 1
A. 5
B. 5
C.
D.
5 5
⒐已知定义在 R 上的函数y f ( x )满足下列三个条件：
①对于任意的 x R ，都有 f ( x 4) f (x ) ；
② 对于任意的0 x1 x 2 2 ，都有 f (x 1 ) f (x 2) ；
③函数 y f ( x 2) 的图象关于y 轴对称。
则下列结论正确的是
A. f ( 6.5) f ( 5 ) f ( 15.5 )
B. f (5 ) f ( 6.5) f (15.5)
C. f ( 5 ) f ( 15.5 ) f ( 6.5 )
D. f (15.5) f ( 5 ) f ( 6.5)
⒑定义在 ( , ) 上的偶函数 f (x ) 满足 f ( x 1) f (x) ，且在 [ 1, 0 ]
上是增函数，下面是关于 f (x ) 的判断：
① f (x) 是周期函数；
② f (x) 的图象关于直线x 1 对称；
③ f (x) 在 [ 0, 1] 上是增函数；
④ f ( 2 ) f ( 0 ).
其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）。
⒒设函数 f ( x) 在( , ) 上满足 f ( 2 x ) f ( 2 x ) ，
f ( 7 x ) f ( 7 x ) ，且在闭区间 [ 0, 7 ] 上只有 f (1) f ( 3) 0.
⑴试判断函数 y f ( x ) 的奇偶性；
⑵试求方程 f (x) 0 在闭区间 [ 2005, 2005 ] 上的根的个数，并证明你的结论。
⒓函数 y f ( x) 的图象为 C1， C 1关于直线 x 1 对称的图象为 C 2，将 C 2 向左平移2 个单位后得到图象 C 3，则 C 3 对应函数为
A.y f ( x )
B. y f (1 x)
C. y f (2 x )
D. y f (3 x ) ⒔函数 y f (x) ( x R ) 满足 f (x ) 是偶函数，又 f (0) 2003 ，g( x ) f (x 1) 为奇函数，则 f (2004) .
1 答案：⒈ D ；⒉f ( x ) ( x 4 )
2 1 ；⒊B；⒋0；⒌B；⒍D；⒎ a 1 或0 a
2
⒏ D ；⒐ A ；⒑①②④；⒒⑴ 非奇非偶函数；⑵802 个根；⒓ A ；⒔ 2003.
函数对称性周期性全解析
函数对称性与周期性研究学习报告 新高2011级35班数学 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数 )(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =- 也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成： )()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得证。 若写成： c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称 （3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y 值与其 对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、)()(x f T x f -=+ B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+= +或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形
函数周期性公式大总结
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结 篇一：函数周期性结论总结 函数周期性结论总结 ①f(x+a)=-f(x)T=2a ②f(x+a)=±1T=2af(x) ③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得 f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式 f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称 所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以 f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)
代换x=x+2a得： f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+t f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x)假设 a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 ⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞ b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称 =f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)]
函数对称性与周期性关系
函数 对称性与周期性关系 【知识梳理】 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即 点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，
对抽象函数周期性的认识
对抽象函数周期性的认识 麻城实验高中 阮 晓 锋 对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。 几种特殊的抽象函数的周期： 设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足： （1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k ?Z)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。 （2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。 (3）()() 1f x a f x +=± ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； （4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； （5）1()()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. （6）()+1(+)= ()-1 f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. （7）1()()1() f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. （8）1()()1() f x f x a f x ++= -，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. （9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b| 推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。 （10）若函数f(x)有两条对称轴x=a 和x=b （a≠b ），那么该函数一定为周期函数，且其中 一个周期为T ＝2|a －b| 推论：若偶函数()f x 满足)()(x a f x a f -=+，则其周期为2T a =. (11)若函数f(x)有两个对称点(a,c),(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且其中一个周期 为T ＝2|a －b| (12)若.2 , )2 ()(,0p T p px f px f p = -=>则 认识：
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性 一、相关结论 1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同） ① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反） ①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4．互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函 数，||4a b -为一个周期。
抽象函数的性质问题解析
抽象函数的性质问题解析 抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。 1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域。 解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x 的范围等同。 2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。 材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。 解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。 总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。 3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。 材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ） A 、直线0=y 对称 B 直线0=x 对称 C 直线1=y 对称 D 直线1=x 对称 解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ， 所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。 解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的
抽象函数的周期性
抽象函数的周期 抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x 取定义域内的任意值且a 、b 、T 为非零常数，a ≠b ）。 1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。 证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T 叫函数f x ()的周期。 2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。 证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+?=+-。 3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x () 例. 设f x ()是R 上的奇函数，f x f x ()()+=-2，当01≤≤x 时，f x x ()=，则 f (.)20055等于（ ） A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 4. f x a f x ()() +=- 1 型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++=- +=- - =21 1 1。 5. f x a f x ()() += 1 型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++= += =21 1 1。 6. f x a f x f x ()() () += +-11型：f x ()的周期为4a 。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]? ??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于
抽象函数周期性的判断及其简单运用
抽象函数周期性的判断及其简单运用 朱永瑛 江苏省洪泽县教师进修学校(223100) 所谓周期函数就是：对定义域为D 的函数()f x ，对任意x D ∈，存在常数0T >()x T D +∈有()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数．对具体的函数其周期性可以借助函数表达式，根据周期函数的定义进行判断．那么，抽象函数的周期性如何判断？又如何运用于解题呢？ 1抽象函数周期性的判断 1.１类型一 ()()f x a f x b +=+ 定理一：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()y f x =是周期函数，||a b ?是函数的一个周期． 证明：∵()()f x a f x b +=+对任意x D ∈都成立，∴()()f x a a f x a b ?+=?+， 即()()f x f x b a =+?. ∴||b a ?为函数()f x 的一个周期. 1.2 类型二 ()()f x a f x b +=+ 定理二：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=?+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()y f x =是周期函数，2||a b ?是函数的一个周期． 证明：∵()()f x a f x b +=?+对任意x D ∈都成立, ∴()()()f x a a f x a b f x b a ?+=??+=?+?， 即()()f x f x b a =?+?. ∴()[2()]f x b a f x b a +?=?+?， ∴(){[2()]}[2()]f x f x b a f x b a =??+?=+?， ∴()f x 是周期函数,2||b a ?为函数的一个周期. 1.3 类型三1()()f x a f x +=，(或者1 ()()f x a f x +=?) 定理三：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有1()()f x a f x +=，(或1 ()() f x a f x +=? ) (其中a 为常数，0a ≠)，则函数()y f x =是周期函数，2||a 是函数的一个周期． 证明：∵()1/()f x a f x +=， ∴11 (2)()()1/() f x a f x f x a f x +===+， ∴函数()f x 是周期函数，2||a 是它的一个周期. 同理可证()1/()f x a f x +=?是周期函数，且 2||a 是它的一个周期． 1.4 类型四()()f a x f a x +=?且()()f b x f b x +=? 定理四：定义在R 上的函数()f x ，若对任意的x R ∈，有()()f a x f a x +=?且()()f b x f b x +=?，(其中,a b 是常数，a b ≠)则函数()y f x =是周期函数，2||a b ?是函数的一个周期． 证明：∵()()f a x f a x +=?且()(f b x f b +=? )x 对任意x R ∈都成立， ∴[(2())][(2)]f x x b f a x a b +?=++? [(2)](2)[()]f a x a b f b x f b b x =?+?=?=+? [()]()f b b x f x =??=， ∴[2()]()f x a b f x +?=， ∴()f x 是周期函数,2||a b ?是函数的一个周期. 注：1．上述函数的定义域未必一定是实数集，符合条件的任意数集都可以； 2．定理四中，由()()f a x f a x +=?且()f b x + ()f b x =?可知函数图象关于直线x a =和直线x b =对称，即函数有两条对称轴，故本定理又可通俗地说成:有两条(或两条以上)对称轴的函数为周期函数． 2 利用周期性求值 在解决一些抽象函数的函数值问题时，若能充分利用函数的周期性，问题常会得到巧妙的解决． 例１函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，都有(1)(3)f x f x +=+，求(2)(4)(6)f f f ++ (2008)f ++ 的值． 解析：∵(1)(3)f x f x +=+， ∴函数()f x 是周期函数，周期为2， ∴(0)(2)(4)(6)(2008)f f f f f ===== ． ∵()f x 是奇函数， ∴(0)0f =，∴(2)(4)(6)(2008)0f f f f ===== ， ∴(2)(4)(6)(2008)0f f f f ++++= . 例2函数()f x 对任意的x R ∈，有()(1)f x f x =+ (1)f x +?，且(0)9,(10)30f f ==.求(101)f 的值． 解析：本题看起来不属于所述抽象函数中任意一种类型，但若对()(1)(1)f x f x f x =++?稍作变形，将式中的x 取作1x +，再将两式联立，便可发现其属于类型2． ∵()(1)(1)f x f x f x =++?①，将式中x 取作1 x +34 福建中学数学 2008年第8期
(完整版)常见函数对称性和周期性
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
6抽象函数的周期性
抽象函数的周期和对称性 一、关于周期性的结论 1. ()()f x T f x +=型：f x ()的周期为T 。 2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。 证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+?=+-。 3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x () 4. ) (1 )(x f a x f ± =+型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++= += =21 1 1。 5. f x a f x f x ()() () += +-11型：f x ()的周期为4a 。 证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]() ()+=++=++-+211 = + +--+- =-1111111f x f x f x f x f x () ()()() ()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++=- +=- - =4221 21 1。 6. 两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为||22b a -。 证明： f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()=-=-?? ? ?-=-?=+-222222， 。
例析抽象函数周期的求法
例析抽象函数周期的求法 抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题，其周期求法能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮助。下面举例说明求周期的常用方法及技巧。 一、仅含抽象关系式的周期函数 例1 若存在常数m>0，使函数f(x)满足，则的一个正周期是____________。 解：设，则，依题意有 ，由周期函数的定义，是的一个周期 所以期 例2 已知函数满足，求证：函数 为周期函数。 证明：因为对有 （2）代入（1）得 这样 所以为周期函数，且为它的一个周期。
例3 设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意，有 ，且存在常数，使。试证：是周期函数，且有一个周期为4a。 证明：设，则 所以y=f(x)为周期函数，且有一个周期为4a。 说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。 例4 设是定义在R上的函数，且对任意，都有 ，又，求的值。 解：
又 所以 可知是以2为一个周期的周期函数 所以 二、图象中有两条对称轴的抽象函数 例5 若函数的图象关于两条直线和都对称，试证：是周期函数，且是它的一个周期。 证明：因为的图象关于直线和（a
周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明
周期函数的定义 1、对于函数f(x)，如果存在一个非零常数.T ,使得当x 取定义域内的每一个值.时，都有 f(x T) f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。 ① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其 定义域必为至少一端无界的集合。 理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n 是整数),即x+nT 也在定义域内，故周期函数定义域必是无界集。 例题：y sin x(0 x 10 )是周期函数吗？ ② 变的只能是x T 的变化只能发生在 x 上。例如f(x) sin(3x 8)是周期函数，则 f (x T) sin[3( x T) 8]，不能写成 f (x T) sin(3x T 8)。 ③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。 例如：f (x) x [x] ( 3 x 3 ) ([x]是取整函数，表示不超过 x 的 最大整数)，该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域 两端都有界，所以其必不为周期函数。 周期函数问题的相关题型及解答。 核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期 T ,即将题目里各种f(x)的等 式往f(x T) f (x)方向化简。 化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意f(x)本身的对称 性和奇偶性。 抽象函数的周期总结 周期函数 例题：sin - 2 3 sin -，那么2 3 是sin (为的周期吗? 3
1. f(x) f(x T)型：f(x)的周期为 T o 证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x T) f (x)，贝y f (x)为周期函数，T 叫 函数f (x)的周期。 2. f (x a) f (x b)型：f(x)的周期为 |b a|。 证明：f (x a) f (x b) f (x) f (x b a)。 3. f (x a) f (x)型：f (x)的周期为 2a o 1 4. f (x a) 型：f (x)的周期为2a o f(x) 1 —f(x)。 f(x) 1 5. f (x a) —型：f (x)的周期为 2a 。 f(x) 6. f (x a) 1一型 型：f (x)的周期为4a 。 1 f(x) f(x) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] f (x a) [f(x)] f(x) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] 1 f(x a) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] 1 f (x a) 1 1 f(x) f (x) o 证明：f (x 2a) 1 1 f (x a) 1 f (x) 1 1 f (x a) 1 1 f(x) 1 f (x) f(x)' f (x 4a) f [(x 2a) 2a] 1 f(x 2a) f (x) o 7. f (x a) 1 f (x) 1 f (x) y f(x)的周期为T 2a f [(x a) a] 1 1 f(x)
函数的对称性和周期性练习题本部
函数的对称性与周期性练习题 1.已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且满足3)()1(=++x f x f ，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =+，则)5.2007(-f 的值为（ ） A ．0.5 B ．1.5 C ． 1.5- D ．1 2．定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()() ()()112,214 f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 35 3.已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()()0,11f x f x f x f x +-=-=+，当()0,1x ∈时，()2f x x x =-+，则函数()f x 的最小值为（ ） A. 14 B. 14- C. 12- D. 12 4.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增，如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ） A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0 5．函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数 C. ()()2f x f x =+ D. ()3f x +是奇函数 6．函数31()1f x x x =++关于点__________对称 7．设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________ 8．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()242,10,01 x x f x x x ?-+-≤<=?≤
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性与周期性 一、 抽象函数的对称性 定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)， 则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 2a b +对称。 推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x) （或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。 推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。 定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ， （a,b,c 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点( ,)22a b c + 对称。 推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。 定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两 函数的图象关于直线x=2b a -对称。 定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b － x)两函数的图象关于点( ,)22b a c -对称。 性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b －x)成立，则y=f(x)的图象关于点（2b a +,0）对称。 性质2：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。 性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。 性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b －x)图象关于点（2a b -,0）对称。 二、抽象函数的周期性 定理5.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为周期的周期函数。 定理6.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。 定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)为周期的周期函数。 定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)为周期的周期函数。 定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(a ≠b)对称，则
高中数学抽象函数专题含答案-教师版
抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期