2014年上海中考二模数学第24-25题《含答案》

图12

A

B C

备用图

D

E 图11

24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）《2014崇明》

已知⊙O 的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，3

1cos =∠BAO ，设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ．

（1）求AB 的长；

（2）如图，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6

分）《2014崇明》

如图，反比例函数的图像经过点A （–2，5）和点B （–5，p ），□ABCD 的顶点C 、D 分别在y 轴的负半轴、x 轴的正半轴上，二次函数的图像经过点A 、C 、D ．

（1） 求直线AB 的表达式； （2） 求点C 、D 的坐标；

（3）如果点E 且∠DCE ＝∠BDO ，求点E

（第25题图）

（第24题图）

24. （本题满分12分）《2014徐汇》

如图，直线44y x =+与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，抛物线2

2(0)y ax ax c a =-+≠过点B 、C ，且与x 轴另一个交点为A ，以OC 、OA 为边作矩形OADC ，CD 交抛物线于点G ． （1）求抛物线的解析式以及点A 的坐标；

（2）已知直线x m =交OA 于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线（CD 上方部分）于点P ，请用含m 的代数式表示PM 的长；

（3）在（2）的条件下，联结PC ，若△PCF 和△AEM 相似，求m 的值．

25. （本题满分14分）《2014徐汇》

如图，已知∠MON 两边分别为OM 、ON ， sin ∠O =

3

5

且OA =5，点D 为线段OA 上的动点(不与O 重合)，以A 为圆心、AD 为半径作⊙A ，设OD=x ．

（1） 若⊙A 交∠O 的边OM 于B 、C 两点，BC y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2） 将⊙A 沿直线OM 翻折后得到⊙A ′．

① 若⊙A ′与直线OA 相切，求x 的值；

② 若⊙A ′与以D 为圆心、DO 为半径的⊙D 相切，求x 的值．

图1 备用图

23. 抛物线2

y ax bx =+经过点A （4，0）、B （2，2），联结OB 、AB .《2014普陀》 (1) 求此抛物线的解析式；（5分）

(2) 求证：△ABO 是等腰直角三角形；（4分）

(3) 将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转135°得到△O 11A B ，写出边11A B 中点P 的坐标，

并判断点P 是否在此抛物线上，说明理由. （3分）

25．如图，已知在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点D 为BC 边上一动点（不与点B 重合），过点D 作射线DE 交AB 于点E ，∠BDE=∠A ，以点D 为圆心，DC 的长为 半径作⊙D . 《2014普陀》

（1） 设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出 定义域；（3分）

（2） 当⊙D 与边AB 相切时，求BD 的长；（2分）

（3） 如果⊙E 是以E 为圆心，AE 的长为半径的圆，那么当BD

为多少长时，⊙D 与⊙E 相切？（9分）

24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，) 《2014杨浦》

已知抛物线422

--=ax ax y 与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12.

（1）求抛物线的对称轴及表达式；

（2）若点P 在x 轴上方的抛物线上，且tan ∠PAB =2

1

，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，过C 作射线交线段AP 于点E ，使得tan ∠BCE =2

1

，联结BE ，试

问BE 与BC 是否垂直？请通过计算说明。

B

第25题

E

A C

D

x

（第24题图）

25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第（3）小题5分）《2014杨浦》

已知AM 平分∠BAC ，AB =AC =10，cos ∠BAM =

4

5

。点O 为射线AM 上的动点，以O 为圆心，BO 为半径画圆交直线AB 于点E （不与点B 重合）。

（1）如图（1），当点O 为BC 与AM 的交点时，求BE 的长；

（2）以点A 为圆心，AO 为半径画圆，如果⊙A 与⊙O 相切，求AO 的长；

（3）试就点E 在直线AB 上相对于A 、B 两点的位置关系加以讨论，并指出相应的AO 的取值范围；

24．（本题满分12分，其中每小题各4分）《2014浦东》 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=

2

4

1与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C (0，-3)，且OA =2OC ． （1）求这条抛物线的表达式及顶点M 的坐标； （2）求MAC ∠tan 的值；

（3）如果点D 在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD =45o，求点D 的坐标.

A B C M O E 图（1）

备用图 A

B C M （第25题图） （第24题图）

25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）《2014浦东》

如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，BC 比AB 大3，5

4

sin

B ，点G 是△AB

C 的重心，AG 的延长线交边BC 于点

D .过点G 的直线分别交边AB 于点P 、交射线AC 于点Q . （1）求AG 的长；

（2）当∠APQ=90o时，直线PG 与边BC 相交于点M .求

MQ

AQ

的值； （3）当点Q 在边AC 上时，设BP =x ，AQ =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域.

24、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2

43

y mx m =

-与x 轴、y 轴分别交点A 、B ，点C 在线段AB 上，且2AOB AOC S S D D =.《2014虹口》 （1）求点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；

（2）将△AOC 沿x 轴翻折，当点C 的对应点C’恰好落在抛物线232

3

y x mx m =

++上时，求该抛物线的表达式；

（3）设点M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标.

（第25题图）

C

B

A

y

x

O

25如图，扇形OAB 的半径为4，圆心角∠AOB=90?，点C 是?

AB 上异于点A 、B 的一动点，过点C 作CD ⊥OB 于点D ，作CE ⊥OA 于点E ，联结DE ，过O 点作OF ⊥DE 于点F ，点

M 为线段OD 上一动点，联结MF ，过点F 作NF ⊥MF ，交OA 于点N. 《2014虹口》

（1）当1tan 3

MOF

?时，求OM NE 的值；

（2）设OM x =，ON y =，当1

2

OM OD =时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义

域；

（3）在（2）的条件下，联结CF ，当△ECF 与△OFN 相似时，求OD 的长.

24．（本题满分12分）《2014长宁》

如图，在直角坐标平面内，四边形OABC 是等腰梯形，其中OA=AB=BC =4，tan ∠BCO =3. (1) 求经过O 、B 、C 三点的二次函数解析式；

(2) 若点P 在第四象限，且△POC ∽△AOB 相似，求满足条件的所有点P 的坐标； (3) 在（2）的条件下，若⊙P 与以OC 为直径的⊙D 相切，请直接写出⊙P 的半径.

25．（本题满分14分）《2014长宁》

在△ABC 中，已知BA=BC ，点P 在边AB 上，联结CP ，以PA 、PC 为邻边作平行四边形APCD ，AC 与PD 交于点E ，∠ABC =∠AEP =()?<

(1) 如图（1），求证:∠EAP =∠EPA ；

(2) 如图（2），若点F 是BC 中点，点M 、N 分别在PA 、FP 延长线上，且∠MEN =∠AEP ，判断EM 和EN 之间的数量关系，并说明理由.

(3) 如图（3），若DC =1，CP =3，在线段CP 上任取一点Q ，联结DQ ，将△DCQ 沿直线DQ 翻折，点C 落在四边形APCD 外的点C ’处，设CQ=x ，△DC ’Q 与四边形APCD 重合部分的面积为y ，写出y 与x 的函数关系式及定义域.

25题图（1）

25题图（3）

24．（本题满分12分，每小题6分）《2014奉贤》 已知：如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线

y =交x 轴于A (4,0)、B (1,0)-两点，交y 轴于点C . （1）求抛物线的表达式和它的对称轴；

（2）若点P 是线段OA 上一点（点P 不与点O 和点A

重合），点Q 是射线AC 上一点，且PQ PA =， 在x 轴上是否存在一点D ，使得ACD ?与APQ ? 相似，如果存在，请求出点D 的坐标；如不存在，请说明理由．

第24题

25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）《2014奉贤》

已知：如图1，在梯形ABCD 中，∠A =90°,AD ∥BC , AD =2,AB =3, tan C =12

,点P 是AD 延长线上一点，F 为DC 的中点， 联结BP ，交线段DF 于点G ． （1）若以AB 为半径的⊙B 与以PD 为半径的⊙P 外切，求PD 的长； （2）如图2，过点F 作BC 的平行线交BP 于点E ，

①若设DP =x ，EF =y ，求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； ②联结DE 和PF ，若DE =PF ，求PD 的长．

24．（本题共2题，每小题6，满分12分）《2014闵行》

已知：如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A （1，2），过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛

物线2

y ax bx c =++经过O 、A 、C 三点．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的

对称轴和顶点坐标；

（2）点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴

的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）

《2014闵行》

已知：如图①，△ABC 中，AI 、BI 分别平分∠BAC 、∠ABC ．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BI 延长线于E ，联结CI ．

（1）设∠BAC =2α．如果用α表示∠BIC 和∠E ，那么∠BIC = ，

∠E = ；

A

P 第25题图1

D

C B

F

G C E

A

P 第25题图2

D B

F

G

A

备用图

D

C

B

F

（第24题图）

（2）如果AB =1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长；

（3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F ，如果∠ =30°，sin ∠F=3

5

，设BC =m ，

试用m 的代数式表示BE ．

（第25题图②）

F

A

B

C

D

E

I

（第25题图①）

A

B

C

D

E

I

答案

宝山

24．（1）易知抛物线n mx mx y +-=2

的对称轴为直线2

1

2=--

=m m x …………1分 将)32,0(A 代入抛物线n mx mx y +-=2

得：32=n …………1分

依题意tan ∠ABC=3,易得)0,2(B …………1分

将)0,2(B 代入可得抛物线的表达式为32332

++-=x x y …………1分

（注：若学生求出3-=m ，即可得分.）

（2）)0,2(B 向右平移四个单位后的对应点E 的坐标为（6，0）.……1分 向右平移四个单位后的新抛物线的对称轴为直线X=2

9

…………1分 将)32,0(A 、E （6，0）代入直线b kx y +=得

直线A E 的表达式为323

3

+-

=x y ， …………1分 交点D 的坐标D （

2

9，23） …………1分

（3）易证∠BAE=∠AEB=30° …………1分

若△ADB ∽△EDF ， 则有AD

ED

AB EF = …………1分 EF=

3

4

431=?， …………1分 若△ADB ∽△EFD ， 则有AB

ED

AD EF = EF=4

9

， …………1分

B

B

25.解：（1）∵在等腰三角形ABC 中，腰AB=AC=10，底角B 满足cos B =5

4

，

∴BC=10×5

4×2=16. …………1分

∵EF ∥AC ， ∴

BC

BE

AC EF =

. …………1分 BD =x ，EF =y ， DE =3

∴)3(8

5

+=x y . （0≤x ≤13）. …………1+1分

（2）依题意易得在三角形FBE 中， FB=FE=)3(8

5

+x . …………1分

若∠FDB 为直角时有BD=DE . ∴3=x …………1分

又∵cos B =54

， ∴FD=4

934343=?=BD . …………1分

∴三角形BDF 的面积为8

27

34921=??. …………1分

若∠BFD 为直角时，BF=EF=)3(85+x =x 54 ∴7

75

=x …………1分

∴三角形BDF 的面积为49

1350

537755477521=

???? …………1分

(3) 平行四边形. 面积为8

13

．…………………………………………2+2分

崇明

24．解：（1）在⊙O 中，作OD ⊥AB ，垂足为D ，…………………………………………（1分）

在Rt △OAD 中，3

1

cos ==

∠OA AD BAO ，……………………………………（1分）

∴AD =

3

1

AO =1． ∴AB =2AD =2．……………………………………………（1分）

（2）联结OB 、PA 、PC ，

∵⊙P 与⊙O 相切于点A ，∴点P 、A 、O 在一直线上．…………………（1分） ∵PC =PA ，OA =OB ，∴∠PCA =∠PAC =∠OAB =∠OBA ，∴PC //OB ．……（1

分）

∴

AO PA AB AC =，∴AC 3

2x

AC AB PA =

?=． ……………………………………（1分）

∵81322222=-=-=AD OA OD ，CD =AD +AC =

13

2

+x ， ∴OC =8)13

2

(222++=+x CD OD ，……………………………………（1

分）

∴811243

1

2++=

x x y ，定义域为0>x ．………………………………（1分）

（3） 当⊙P 与⊙O 外切时，∵OB//PC ，∴∠BOA =∠OPC =∠OCA ．

∵∠OAB =∠CBO ，∴△BCO ∽△BOA ．……………………………………（1分）

∴BA

BO BO BC =

，∴292==BA BO BC ．∵,AB AC BC += ∴29232=+x ，∴415

=x ，∴这时⊙P 的半径为4

15．……………………（1分）

当⊙P 与⊙O 内切时，同理由△OCA ∽△BOA 可得2

9

=AC ．……………（1分）

∴

2932=x ，427=

x ，∴这时⊙P 的半径为4

27

．……………………………（1分）

∴⊙P 的半径为415或4

27

．

25．解：（1）设反比例函数的解析式为x

k

y =．∵它图像经过点A （–2，5）和点B （–5，p ），

∴5=

2-k

，∴10-=k ，∴反比例函数的解析式为x y 10-=．…………………（1分）

∴25

10

=--

=p ，∴点B 的坐标为（–5，2）．…………………………………（1分）

设直线AB 的表达式为n mx y +=，则?

??+-=+-=,52,

25n m n m ……………………………（1

分）

∴?

??==.7,

1n m ∴直线AB 的表达式为7+=x y ．……………………………………（1分）

（2）由□ABCD 中，AB //CD ，设CD 的表达式为c x y +=，…………………………（1分）

∴C （0，c ），D （–c ，0），………………………………………………………（1

分）

∵CD ＝AB ，∴22AB CD =∴2222)52()25(-++-=+c c ，…………………（1分）∴c ＝–3，∴点C 、D 的坐标分别是（0，–3）、（3，0）．……………………（1分）

或：∵□ABCD 的顶点C 、D 分别在y 轴的负半轴、x 轴的正半轴上，

∴线段AB 向右平移5个单位，再向下平移5个单位后与线段CD 重合．………（2

分）

∴点C 、D 的坐标分别是（0，–3）、（3，0）．……………………………………

（2分）

或：作AH ⊥x 轴，BG ⊥y 轴，垂足分别为H 、G ，证得△AHD ≌△CGB ，………（2分）

由DH ＝BG ＝5，CG ＝AH ＝5得C 、D 的坐标．…………………………………（2

分）

（3）设二次函数的解析式为32-+=bx ax y ，?

??-+=--=,3390,

3245b a b a ……………………（1

分）

∴???-==.

2,

1b a ∴二次函数的解析式为322--=x x y ．………………………（1分）

作EF ⊥y 轴，BG ⊥y 轴，垂足分别为F 、G ．∵OC ＝OD ，BG ＝CG ， ∴∠BCG ＝∠OCD =∠ODC ＝45 o．∴∠BCD =90o，

∵∠DCE ＝∠BDO ，∴∠ECF =∠BDC ．…………………………………………（1

分）

∴tan ∠ECF =tan ∠BDC=35)

30()03()23()50(2222=++-+++=CD BC .………………………（1

分）

设CF ＝3t ，则EF ＝5t ，OF ＝3–3t ，∴点E （5t ，3t –3），……………………（1

分）

∴31025332--=-t t t ，2513

,(021==t t 舍去）.∴点E （513，25

36-）.………（1分）

普陀23. 解：（1）抛物线2y ax bx =+经过点A （4，0）、B （2，2），

∴

得

1640,

42 2.a b a b +=??

+=?

，…………………………………………………………………………2′ 解

得

：

1,22.

a b ?=-?

?

?=? …………………………………………………………………………2′ ∴

抛

物

线

解

析

式

是

21

2.2

y x x =-+…………………………………………………………

证明：（2）过点B 作BC ⊥OA 于点C ，……………………………1′

∴BC=OC=CA=2．………………………………………1′ ∠BOC=∠BAC=45°， ………………………………1′

∴∠OBA=90°， ………………………………………1′ ∴△ABO 等腰直角三角形．

解：（3）点P 坐标

（

，-）．………………………………………………………………1′

当

x=

21

(2(2

y =-?+?

=1--≠-1′

∴点P 不在此抛物

线

上．……………………………………………………………………………1′

25.

解：(1)∵∠B=∠B ，∠BDE=∠A ，

∴△BDE ∽△BAC ，………………………………………………1′

∴

BD BE AB BC =

，即556

x y

-=， ∴6

55

y x =-．……………………………………………………1′

定义域： 0

6

≤．……………………………………………1′

(2) 当⊙D 与边AB 相切时， DC=6–x ，

64

5

x x -=，………………………………………………………………………………………1′ 解

得

10

3

x =

．…………………………………………………………………………………1′ (3) 由（1）知ED=BD=x ，

E

r =AE=

655

y x

=-，

D

r = DC=6–

x ．………………………………………………………2′

要使⊙D 与⊙E 相切，只有E r +D r =x 或D r –E r =x 或E r –

D r =x ． ………………………3′

①E r +D r =x 时， 655

x -

+6–x=x ，解得

x

y 5-y 5 B

第25题

E A C

D

55

16

x =

；……………………………………………………………1′ ②D r –E r =x 时， 6

–

x

–

（

655

x -）=x ，解得

5

4

x =

；…………………………………………………………1′ ③E r –D r =x 时， 655x -

–（6–x ）=x ，解得 1

6

x =-（不合题意，舍去） 此时

无

解．………………………………………………………………………………………1′ 综上所述：∵5516x =<256，54x =<256

， ∴

当BD=5516或5

4

时，⊙

D 与⊙

E 相

切．……………………………………………1′

杨浦

24. 解：(1)∵抛物线422

--=ax ax y ,∴与y 轴交点C （0，-4） ∴对称轴为直线212a

x a

=

=，---------------------------------1分 ∵抛物线与x 轴交于点A 、B ，且△ABC 的面积为12，∴AB=6 -----1分 ∴点A （-2,0），B （4,0）-----------------------------------1分 ∵抛物线过点A ，∴0444a a =+-，∴1

2

a =-----------------1分 ∴抛物线表达式为2

142

y x x =

-- （2）过P 作PH ⊥x 轴，∵tan ∠PAB=2

1

，∴设PH=k ，AH=2k,-------1分

∴P 点的坐标是（2k-2，k ）（k>0）--------------------------1分 ∵点P 在抛物线上，∴21(22)(22)42k k k =----，∴72

k =, ∴P(5，

7

2

)-----------------------------------------------2分 （3）是---------------------------------------------------1分 证明：设AE 交y 轴于点D ，

∵A （-2,0），C （0，-4），∴tan ∠ACO=

21，∵tan ∠PAB=2

1

，∴∠PAB=∠ACO, ∵∠ACO+∠OAC=90?,∴∠PAB+∠OAC=90?,∴PA ⊥AC, -------------------------1分

∵tan ∠BCE=

2

1

，∴∠ACO=∠BCE ，∴∠ACE=∠OCB ∵B （4,0）, C （0，-4），∴∠OCB=45?,∠ACE=45?,

∵A （-2,0），C （0，-4），∴AO=2，OC=4，∴

AO=∴

CE=分 ∵B （4,0）, C （0，-4）, ∴

BC=在△AOC 和△EBC

中，

42AC OC ==

,CE CB ==,∴AC OC =CE

CB , 又∠ACO=∠BCE ，∴△AOC ∽△EBC ，

∴∠EBC=∠AOC=90?,∴BE ⊥BC 。

25. 解（1）∵AM 平分∠BAC ，AB =BC ，

∴AM ⊥BC ，

∵cos ∠BAM =

4

5

，AB =10，∴cos ∠B =5分）

作OH ⊥AE ，∵O 为圆心，∴BH =EH ,----------------------------------------（1分） 在Rt △BOH 中，cos BH

B BO

=,∴318655BH =?=,

∴BE =2BH =

36

5

.--------------------------------------------------------（1分） (2) ∵⊙A 与⊙O 相切，AO 为⊙A 半径，

∴⊙A 与⊙O 只可能相内切，且⊙A 在⊙O 的内部，------------（1分） ∴OA=OB-OA ，∴OB=2OA ，-------------------------------（1分）

设OA=x ，则OB=2x ，

作 BP ⊥AM ，则AP=8，BP=6，OP=8-x ，

在Rt △BPO 中，2

2

2

OP BP OB +=,即2

2

2

(8)64x x -+=，-----------（1分） ∴23161000x x +-=，∴83x -±=，（负舍），∴OA =83

x -+=.-------（2分）

（3）过AB 中点作AM 的垂线交AM 于点O 1，可得AO 1=25

4

,-----------------(1分) 过B 作AM 的垂线交AM 于点O 2，可得AO 2=

25

2

,-----------------(1分) x

A

B

C

O P

M

当25

04

AO ≤<时，点E 在BA 的延长线上；--------------------（1分） 当252542

AO ≤<时，点E 在线段AB 上；--------------------（1分） 当25

2

AO >时，点E 在AB 的延长线上。--------------------（1分）

浦东24.（1）解:∵C (0，-3)，∴OC =3.2

134

y x bx =+-……………………………………

（1分）

∵OA =2OC ,∴OA =6. ∵04

1

>=

a ，点A 在点B 右侧，抛物线与y 轴交点C (0，-3). ∴)0,6(A .………………………………………………………………………（1分）

∴2

134y x x =

--.……………………………………………………………（1分）

∴4)2(4

12

--=x y ，∴)4,2(M . …………………………………………（1分）

（2）过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为点H ，交AC 于点N ，过点N 作NE ⊥AM 于 点E ，垂足为点E . 在

Rt

△

AHM

中,HM =AH =4,42AM =,45AMH HAM ?∠=∠=.

求得直线AC 的表达式为1

32

y x =

-．………………（1分） ∴N （2,-2）．∴MN =2.…………………………………（1分） 在Rt △MNE 中,∴2ME NE ==

,

∴32AE =.…………………………………………（1分） 在Rt △AEN 中,22

1

tan 3

3

NE

MAC AE =

∠==

.………（1分） （3） 当D 点在AC 上方时，

∵1145CAD D AH HAC ?∠=∠+∠=, 又 ∵45HAM AC AM H C ?∠=∠+∠=,

∴1D AH CAM ∠=∠. ………………………………（1分） ∴1tan tan 13

D AH AC

M ∠=∠= . ∵点1D 在抛物线的对称轴直线x =2上, ∴1D H AH ⊥,∴4AH =.

在Rt △AH 1D 中,1114tan 433

D H AH D AH =?∠=?

=.

∴14

(2,)3

D .……………………………………………（1分）

当D 点在AC 下方时，

∵2245D AC D AM MAC ∠=∠+∠=?，

又 ∵2245AMH D AM AD M ∠=∠+∠==?，

∴2MAC AD M ∠=∠.……………………………………（1分） ∴2tan tan 13

AD H MAC ∠=∠= 在Rt △2D AH 中，221412tan 3AH

D H AD H

=

=÷

=∠.

∴2(2,12)D -.……………………………………………（1分）

综上所述：14

(2,)3

D ，2(2,12)D -.

25.解：（1）在△ABC 中，∵AB =AC ，点G 是△ABC 的重心,

∴1

2

BD DC BC ==，AD ⊥BC .……………………………………………………（1分）

在Rt △ADB 中，∵4sin 5

AD B AB ==,∴35BD AB =. ∵3BC AB -=, ∴AB =15，BC =18.

∴AD =12.……………………………………………………………………………（1分） ∵G 是△ABC 的重心，∴283

AG AD =

=.………………………………………（1分）

（2）在Rt △MDG ,∵∠GMD +∠MGD =90°，

同理:在Rt △MPB 中,∠GMD +∠B =90°,

∴∠MGD =∠B .…………………………………（1分） ∴4sin sin 5

MGD B ∠==, 在Rt △MDG 中,∵1

43

DG AD =

=， ∴163DM =，∴11

3

CM CD DM =-=……（1分）

在△ABC 中，∵AB =AC ，AD ⊥BC ,∴BAD CAD ∠=∠. ∵90QCM CDA DAC DAC ?∠=∠+∠∠=+,

又 ∵90QGA APQ BAD BAD ?∠=∠+∠∠=+, ∴QCM QGA ∠=∠,………………………………（1分） 又 ∵CQM GQA ∠=∠,

∴△QCM ∽△QGA .………………………………（1分）

∴24

11

AQ AG MQ MC ==.……………………………（1分） （3）过点B 作BE AD P ,过点C 作CF AD P ,分别交直线PQ 于点E 、F ，则

BE AD CF P P .…………………………………（1分）