九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章 一元二次方程

1．一元二次方程

预习归纳

1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程．

2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ．

3．一元二次方程的一般形式是 ．

例题讲解

【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数．

基础训练

1．下列方程是一元二次方程的是( )

A ．2110x x =＋＋

B ．2110x x =＋＋

C ．210xy －＝

D ．220x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( )

A ．2450x x =－＋

B ．2450x x =＋＋

C ．2450x x =－－

D ．2

450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( )

A ．3、7、4

B ．3、7、﹣4

C ．3、﹣7、4

D ．3、﹣7、﹣4

4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为

( )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．－2

5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ．

6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ．

7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值．

9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．

中档题训练：

10．将一元二次方程2514x x =－化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( )

A ．5、－4

B ．5、4

C ．5x 2、4x

D ．5x 2、－4x

11．若0是一元二次方程22610x x m ＋＋－＝的一个根，则m 的取值为( )

A ．1

B ．－1

C ．±1

D ．以上都不是

12．已知关于x 的方程20x bx a =＋＋有一个根是－a (a ≠0)，则a －b 的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

13．若()1160m m x mx -＋＋＋2＝是关于x 的一元二次方程，则m ＝ ．

14．已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，求代数式4m 2－4m －2的值．

15． 在一次同学聚会时，同学见面后每两人握一次手，共握手28次，求有多少同学参加了

这次聚会？学习以下解答过程，并完成填空．

解：设参加聚会的同学有x 人，每人共握手 次，

握手的总次数用含x 的式子表示为 ．

根据题意，可列出方程 ．

整理，得 ．

化为一般式，得 ．

二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ．

综合训练题

16．已知关于x 的方程(t 2—9)x 2＋(t 十3)x －5＝0．

(1)当t 为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．

(2)当t 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系

数及常数项．

2．配方法——解一元二次方程(一)——直接开平方

预习归纳

1．若x 2＝p (p ≥0)，则x 1＝ ，x 2＝ ．

例题讲解

【例】用直接开方法解方程．

⑴9x 2＝25 ⑵2x 2－98＝0

基础题训练

1．16的平方根是( )

A ．4

B ．－4

C ．±4

D ．±8 2．方程x 2＝9的解是( )

A ．x 1＝x 2＝3

B ．x 1＝x 2＝－3

C ．x 1＝3，x 2＝－3

D ．x ＝3

3．方程x 2＝3的解是( )

A ．12x x =＝

B ．12x x =＝

C ．1x 2x =

D ．x ＝3 4．方程()210x -=的解是( )

A ．x 1＝1，x 2＝－1

B ．x 1＝x 2＝1

C ．x 1＝x 2＝－1

D ．x 1＝1，x 2＝－2 5．方程()219x -=的解是( )

A ．x 1＝1，x 2＝－3

B ．x 1＝4，x 2＝－4

C ．x 1＝4，x 2＝－2

D ．x ＝3

6．(2014济宁)若一元二次方程ax 2 ＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋l 与2m －4，则

b a ＝ ．

7．用直接开方法解方程．

⑴3(x －2)2＝0 ⑵3(x －1)2＝27

8．如果12

x =

是关于x 的方程22320x ax a -=＋的根，求关于y 的方程23y a -=的解．

中档题训练：

9．(2013鞍山)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝6的根的情况是( )．

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．没有实数根

D ．有两个实数根

10．(2013丽水)一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )．

A ．x ＋6＝－4

B ．x －6＝4

C ．x ＋6＝4

D ．x ＋6＝－4

11．一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )

A ．()2+1100x =

B ．()21100x =﹣

C ．()2+2100x =

D ．()22100x -= 12．方程3x 2＝2的根是___________．

13．解下列方程：

⑴()22510x +-= ⑵()()11x x -＋1＝

⑶()2531250x --= ⑷24415

x x -＋＝

综合题训练：

14．已知x 、y 、z 满足2

246130x x y y -=＋＋，

求关于ｍ的方程21

04m x y z -+-=的根．

3．配方法——解一元二次方程(二)

预习归纳

1．通过配成 解一元二次方程的方法，叫配方法．

例题讲解

【例】用配方法解方程：

⑴ x 2＋2x －3＝0 ⑵ x 2－2x －8＝0

基础题训练

1．填空： (1) x 2－20x ＋ ＝ (x － ) 2

(2) x 2＋ x ＋81＝ (x ＋ ) 2

(3) x 2＋5x ＋ ＝ (x ＋ ) 2

2．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝1，配方后得到的方程是( )

A ．(x －2)2＝1

B ．(x －2)2＝4

C ．(x －2)2＝5

D ．(x －2)2＝3

3．(2013兰州)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得到的方程为( )

A ．(x ＋1)2＝0

B ．(x －1)2＝0

C ．(x ＋1)2＝2

D ．(x －1)2＝2

4．(2014宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( )

A ．x

1＝x 2＝1 B ．x 1＝1+，x 2＝1-C ．x

1＝1+x 2＝1D ．x 1＝1-x 2＝1--5．用配方法解方程242203x x -

-＝变形正确的是( ) A ．21839x ??- ???＝ B ．2203x ??- ??

?＝ C ．211039x ?? ???＋＝ D ．211039x ??- ??

?＝ 6．填空：

(1) x 2－4x ＋ ＝ (x － ) 2 (2) x 2＋6x ＋ ＝ (x ＋ ) 2

(3) x 2－43

x ＋ ＝ (x － ) 2 (4) x 2－3ax ＋ ＝ (x － ) 2 7．用配方法解下列方程：

⑴2ｍ2－6ｍ＋3＝0 ⑵6x 2－x －12＝0

中档题训练：

8．已知方程260x x q -=＋可以配方成()2

7x p -＝的形式，那么262x x q -=＋可以配方成下列的( )

A ．()

25

x p -= B ．()29x p -＝ C ．()229x p -＋＝ D ．()225

x p -＋＝ 9．关于x 的一元二次方程()211420m m x x =＋＋＋＋的解为( )

A ．x 1＝1，x 2＝－1

B ．x 1＝x 2＝1

C ． x 1＝x 2＝－1

D ．无解 10．添上适当的数，使下列等式成立：

⑴22x x ＋＋_____

＝2(x ＋ )2 ⑵2323x x -＋2＝(x ＋____)2 －

11．如果(x －y )2－2(x －y )＋1＝0，那么x 与y 的关系是 ．

12．用配方法解下列方程：

⑴x 2－2x ＝5； ⑵2

244y y -=

13．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，求y x 的值．

综合题训练：

14．试证明：不论x ，y 为何值，221x y x y -＋＋＋的值都为正数．

专题 配方法的应用

一、配方法解方程

⑴x 2－3x －2＝0 ⑵3x 2－6x －1＝0

二、已知a 2、b 2配方求2ab ．

2．若代数式9x 2＋kx y ＋y 2是完全平方式，则k 的值为( )

A ．6

B ．±6

C ．±12

D ．12

三、已知a 2、2ab 配方求b 2

3．若代数式x 2－5x ＋k 是完全平方式，则k ＝ ．

四、配方法求最值

4．求多项式x 2＋3x －1的最小值．

5．求多项式－2x 2＋5x ＋3的最大值．

五、配方法比较大小

6．求证：不论x 为何值，多项式2x 2－4x －1的值总比x 2－6x －6的值大．

六、配方法与非负数

7．m 2＋n 2＋4m －2n ＋5＝0，求3m 2＋5n 2－4的值．

8244410y x x -+++=．求x －ｙ＋ｚ的值．

4．公式法——解一元二次方程(一)——根的判别式

预习归纳

1．式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，常用希腊字母“△”来表示．

2．一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0，当____时，它有两个不等的实数根，当时，它有两个相等的实数根，当时，它无实数根．

例题讲解

【例】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．

(1) 3x2－2x－1＝0; (2) 2x2－x＋1＝0．

基础题训练

1．(2013成都)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是( )．

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

2．方程x2＋16＝8x的根的情况为( )．

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根．

C．有一个实数根D．没有实数根．

3．(2014益阳)一元二次方程x2－2x＋ｍ＝0总有实数根，则ｍ应满足的条件是( )．A．ｍ＞1B．ｍ＝1C．ｍ＜1D．ｍ≤1

4．(2014宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当ｂ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( )．

A．ｂ＝－1B．ｂ＝2C．ｂ＝－2D．ｂ＝0

5．已知关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k＝．6．(2014广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数ｍ的取值范围为( )．

A．m＞9

4

B．m＜

9

4

C．m＝

9

4

D．m＜－

9

4

7．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．

(1) 4x－x2＝x2＋2⑵3x－1＝2x2

8．当m为何值时，方程2x2－(4m＋1) x＋2m2－1＝0

⑴有两个不相等的实数根？

⑵有两个相等的实数根？

⑶没有实数根？

中档题训练：

9．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b＝0有两个相等的实数根，则b的值是．10．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )

A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜－2 11．一元二次方程ax2＋b x＋c＝0中a、c异号，则方程根的情况是( )

A．有两个不相等实数根B．两个相等实数根

C．没有实数根D．无法确定

12．(2013潍坊)已知关于x的方程k x2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( )．A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

13．若关于x的一元二次方程mx2－(2m－2) x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是．14．已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．

15．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．

综合题训练：

16．已知关于x的一元二次方程(a＋c) x2－2bx－a＋c＝0有两个相等的实数根，试求以a、b、c为边能否构成三角形？若能，请判断三角形的形状．

专题 一元二次方程根的判别式

一、已知常数系数直接判断方程根的情况

1．不解方程直接判别下列方程根的情况．

(1

)2104

x -= (2)3x 2－6x ＋3＝0 (3) x (2x －4)＝－5－8x 二、含字母系数时将△配方成a 2，－a 2，a 2＋正数，－a 2－正数，来判断方程根的情况

2．判别下列关于x 的一元二次方程的根的情况．

(1)

22125104

x mx m -++= (2) x 2－4mx ＋4m 2＝ 0 (3) 211022x mx m -+-= (4) 21402

x mx m -+-= 三、“结合a ≠0”确定字母的取值范围 3．关于x 的一元二次方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足( ．

A ．a ≥1

B ．a ＞1且a ≠5

C ．a ≥1且a ≠5

D ．a ≠5

4．当m 为何值时，关于x 的一元二次方程(ｍ2－1)x 2＋2(ｍ－1)x ＋1＝0，有两个不相等的实数根．

四、判别式与隐含条件相结合

5．已知关于x 的一元二次方程(1－k )x 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是( )．

A ．2

B ．1

C ．0

D ．－1

6．已知关于x 的一元二次方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值．

7．(2013西宁)函数y=kx+b 的图象如图所示，试判断关于x 的方程x 2＋x ＋k －1＝0根的情况．

5．公式法——解一元二次方程(二)

预习归纳

1．当△≥0时，一元二次方程2

0ax bx c ++=的求根公式是 ． 例题讲解

【例】用公式法解方程：

(1)2520x x -+=； (2)2

61x x =+

基础题训练

1．方程2230x x --=中，a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．

2．方程2515x x +=中的△＝24b ac -＝ ．

3．(2013．广西)一元二次方程2230x x --=的解是( )

A ．121,3x x =-=

B ．121,3x x ==-

C ．121,3x x =-=-

D ．121,3x x ==

4．方程210x x +-=的两根是( )

A ．1±

B

C ．1-±

D 5．方程232x x +=的正根是( )

A B C D 6．用公式法解方程：

(1)2230x x -=； (2)2

3650x x +-=

(3)20.20.10.4x x -=； (4222x -=；

(5)24352x x x --=-； (6)3(3)2(1)(1)x x x x -=-+；

中档题训练

7．(2014．荆门)已知a 是一元二次方程210x x --=较大的根，则下面对a 的估计正确的是( )

A ．0＜a ＜1

B ．1＜a ＜1．5

C ．1．5＜a ＜2

D ．2

＜a ＜3

8．用适当方法解下列方程：

(1)2(31)90x +-= (2)2

410x x +-=

(3)2324x x -= (4)2(2)12y y +=+

9．已知一元二次方程2310x x m -+-=．

(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；

(2)若方程有两个相等的实数根，求此方程的根．

综合题训练

10．(2013．北京)已知关于x 的一元二次方程2

2240x x k ++-=有两个不相等的实数根．

(1)求k 的取值范围；

(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．

6．因式分解法——解一元二次方程

预习归纳

1．用因式分解法要先将方程一边化为 ，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．

例题讲解

【例】用因式分解法解下列方程：

(1)20x x += (2)2

940x -=

基础题训练

1．多项式2

5x x -因式分解结果为 ．

2．多项式2(3)5(3)x x x ---因式分解结果为 ．

3．(2014．舟山)方程230x x -=的根为 ．

4．经计算整式x ＋1与x －4的积为234x x --，则2340x x --=的所有根为( )．

A ．121,4x x =-=-

B ．121,4x x =-=

C ．121,4x x ==

D ．121,4x x ==-

5．(2013．河南)方程(2)(3)0x x -+=的解是( )

A ．x ＝2

B ．x ＝－3

C ．122,3x x ==-

D ．122,3x x =-=

6．(2013．宁夏)一元二次方程(2)2x x x -=-的根是( )

A ．－1

B ．2

C ．1和2

D ．－1和2

7．方程2520x x -=的根是( ) A ．1225x x == B ．1225x x ==- C ．1220,5x x == D ．1220,5

x x ==- 8．用因式分解法解下列方程：

(1)2(1)2(1)0x x ---= (2)2

(31)40x --=

(3)5(3)(3)(1)x x x x -=-+ (4)22(4)(52)0x x ---=

中档题训练

9． 若关于x 的一元二次方程的两根为121,2x x ==-，则这个方程可以是 ．(任写一个即可)

10．a ，b ，c 为△ABC 的三边，且a ，b ，c 满足()()0a b b c --=,则△ABC 的形状是 角形．

11．三角形一边长为10，另两边长是方程(6)8(6)0x x x ---=的两实数根，则这是一个 三角形．

12．选择适当的方法解下列方程：

(1)2

25x x -= (2)(2)(3)6x x -+=-

(3)210x --= (4)3(21)42x x x +=+

13．已知关于x 的一元二次方程240x x m ++=．

(1)当m ＝1时，请用配方法求方程的根；

(2)若方程没有实数根，求m 的取值范围．

综合训练

14．已知关于x 的一元二次方程2

10ax bx ++=中，1b m =+．

(1)若a ＝4，求b 的值；

(2)若方程210ax bx ++=有两个相等的实数根，求方程的根．

专题 一元二次方程的解法

一、一元二次方程和方程解的概念

1．若方程||(2)310m m x mx ++-=是关于x 的一元二次方程，则m ＝ ．

2．已知x ＝1是一元二次方程210x mx -+=的一个解，则m 的值是( )

A ．2

B ． 0

C ．0或2

D ．－2

二、用公式法解方程

3．解方程：

(1)210x x +-= (

2)2310x x +-=

三、用配方法解方程

4．解方程：

(1)(2)1x x += (

2)25(3)125x -=

四、用因式分解法解方程

5．解方程：

(1)(2)x x x -= (

2)269x x -=-

五、选择你喜欢的方法解方程

6．解方程：

(1)23(2)0x x +-=

(2)(21)(3)4x x -+=

(3)3(1)2(1)x x x -=-

(4)22(21)(3)x x -=-

专题 利用几何构建一元二次方程

【方法归纳】：通过几何条件构建一元二次方程．

一、利用面积构建一元二次方程

1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm /s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm /s 的速度移动，在B 点停止．

(1)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使2

8QPC S cm ?=？

(2)如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后2

4QPC S cm ?=？ (3)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒后PQ ＝BQ ？

二、利用勾股定理构建一元二次方程

2．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，CD ＝2，AB ＝3，AD ＝7，点P 为线段AD 上一点，CP ⊥BP ，求DP 的长．

P

A

B

C

D

3．如图，直角梯形AECD 中，AE ∥CD ，∠E ＝90°，AE ＝CE ＝12，M 为EC 上一点，若∠MAD ＝45°，DM ＝10，求EM 的长．

7．一元二次方程的根与系数的关系

预习归纳

1．一元二次方程2

0ax bx c ++=的两根1x 、2x 满足12x x +＝ ，

12x x = ．

例题讲解

【例】若方程2

310x x --=的两根为1x 、2x ，求12

11

x x +的值．

基础题训练

1．若1x 、2x 是一元二次方程2

560x x -+=的两个根，则12x x +的值是( ) A ．1 B ．5 C ．－5 D ．6

2．(2014．昆明)已知1x 、2x 是一元二次方程2

410x x -+=的两个根，则12x x ?等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4 3．已知方程2

3570x x --=的两根为1x 、2x ，则下列各式中正确的是( ) A ．125x x +=，127x x ?= B ．125x x +=-，127x x ?=- C ．1253x x +=

，1273x x ?=- D ．1253x x +=-，12

7

3

x x ?=- 4．(2014．攀枝花)若方程2

10x x +-=的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) A ．1αβ+=- B ．1αβ=- C ．2

2

3αβ+= D ．1

1

1α

β

+

=-

5．若0，－3是方程2

0x px q -+=的两个根，则αβ+＝ ．

6．(2013．雅安)已知1x 、2x 是一元二次方程2

20x x -=的两根，则12x x +的值是 ． 7．(2014．黄冈)若α、β是一元二次方程2260x x +-=的两根，则22

αβ+＝( )． A ．－8 B ．3 C ．16 D ．40 8．若1x 、2x 是一元二次方程2

2310x x --=的两个根，求下列代数式的值．

(1)12x x +； (2)12x x ?； (3)12123322x x x x ?++ ；

(4)22

1122

2x x x x ++； (5)12

11x x + ； (6)22

12

x x +．

中档题训练

9．当m ＝ 时，关于x 的方程2

2

2(4)0x m x --=的两根互为相反数．

10．已知1x 、2x 是一元二次方程2

20x ax c +-=的两个实数根，则12122x x x x +-等于( ) A ．2a c +

B ．2a c --

C ．2a c -+

D ．2

a c - 11．一元二次方程2

380x x m -+=的两根之比为3:1，则m 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．5 12．一元二次方程2

40x x c --=

的一个根是2+，求另一个根及c 的值．

13．若1x 、2x 是一元二次方程的2

2310x x -++=两个根，求下列代数式的值． (1)2

12()x x - (2)21

12

x x x x +

(3)12(2)(2)x x -- (4)12||x x -

综合题训练

14．若关于x 的一元二次方程2

(1)40x m x m ++++=的两实数根的平方和为2，求m 的值．

专题 一元二次方程的根与系数关系

一、直接求两根之和与两根之积

1．根据一元二次方程根与系数关系，求下列方程两个根1x 、2x 的和与积． (1)2

320x x ++= (2)2

550x x +-=

(3)2

56x x x +=+ (4)2

7583x x -=-

二、不解方程求对称式的值

2．设1x 、2x 是一元二次方程2

2510x x --=的两根，求下列代数式的值．

(1)22

1221

x x x x + (2)22

12123x x x x +- (3)2112

x x

x x + (4)12||x x -

三、已知方程的一根求另一根及未知系数

3．已知x ＝1是方程2

20x bx +-=的一个根，求方程的另一个根及b 的值．

4．(2013．玉林)已知关于x 的方程2

0x x n ++=有两个实数根－2，m ，求m ，n 的值．

四、已知方程的两根求新方程

5

．已知一元二次方程的两根为2+

2-，则该一元二次方程为 ．

五、与判别式结合求字母系数的值

6．已知关于x 的一元二次方程2

210mx x -+=． (1)若方程有两个实数根，求m 的范围；

(2)若方程的两个实数根为1x 、2x ，且满足12121

2

x x x x --=，求m 的值．

7．已知关于x 的方程2

2

2(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足

12123340x x x x --+=，求a 的值．

六、与绝对值结合求字母系数的值

8．已知关于x 的方程2

2

2(1)0x k x k +-+=有两个实数根1x 、2x ． (1)求k 的取值范围；

(2)若1212||1x x x x +=-，求k 的值．

9．(2013．荆州)已知关于x 的方程2

(31)2(1)0kx k x k --+-= (1)求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；

(2)若此方程有两个实数根1x 、2x ，且12||2x x -=，求k 的值．

人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．

九年级数学培优材料10

B A B E D A M N 九年级数学培优材料（10） -----元月调考模拟测试 一、选择题 1、二次根式2x-3有意义，x 的取值范围为( ) A 、x ≥0 B 、x ≥32 C 、x ≥23 D 、x ≥-3 2 2、下列各式中为最简二次根式的是( ) A 、12 B 、 12 C 、13 D 、 5 3、将一元二次方程x 2+3=x 化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A 、0、3 B 、0、1 C 、1、3 D 、 1、-1 4、如图，在△OAB 绕点O 逆时针旋转70°得到△OCD,若∠A=100°，∠D=50°，则∠AOD 的度数是（ ） A 、20° B 、30° C 、40° D 、50° 5、如图，已知AB 为⊙O 直径，AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD ⊥AB 于M,若OM ：OB=3：5，则CD 的长为（ ） A 、8cm B 、10cm C 、14cm D 、16cm 6、下列格式中计算正确的是( ) A 、5 3=315 B 、4=±2 C 、a 4b=a 2 b D 、a 2-b 2=a-b 7、在一个不透明的口袋中，装有3个红球和a 个黄球，它们除了颜色不同外其余均相同，若 从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为2 3,则口袋中球的总数为（ ） A 、2个 B 、6个 C 、9个 D 、12个 8、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 上一点，将△BCE 沿着CE 折叠至△FCE ，若CF 、CE 恰好与正方形ABCD 的中心为圆心的⊙O 相切，则折痕CE=( ) A 、5 3 B 、5 C 、8 3 3 D 、以上都不对 9、如图，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A 、2 2 B 、 2 C 、2 D 、1

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

九年级上册数学 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

九年级上册数学 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ） A ．2 B ．3 C ． 218 D ． 247 2．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ． 15 B ． 25 C ． 35 D ． 45 4．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两队身高一样整齐 B ．甲队身高更整齐 C ．乙队身高更整齐 D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐 5．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）

A ．3.6 B ．4.8 C ．5 D ．5.2 6．二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图像如图所示，它的对称轴为直线1x =，与x 轴交点 的横坐标分别为1x ，2x ，且110x -<<.下列结论中：①0abc <；②223x <<；③421a b c ++<-；④方程()2 200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根；⑤13 a > .其中正确的有（ ） A ．②③⑤ B ．②③ C ．②④ D ．①④⑤ 7．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=?，8BC = ，则⊙O 半径为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 8．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ） A ．1：2 B ．1：2 C ．1：3 D ．1：4 9．如图， O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则 CD 的长为( ) A ．62 B ．32 C ．6 D ．12 10．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A ．3π+ B ．3π C ．23π- D ．223π-11．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）

2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版

2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版 1．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结 论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b 2a ＞0．其中正确的结论有( ) A ．只有① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 2.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第 二次输出的结果为12，…，则第2011次输出的结果为 。 3.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的是 。①BDF ?是等腰三角形 ②BC DE 2 1 = ③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠ 4.如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有 正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．求正三角形的边长1a = , 2a = , n a = . (2题)

5.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1． 若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负， 平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ， d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． 解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}． （2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量” {1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形. （3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，2），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程． 6.如图，已知抛物线42 12 ++- =x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为 （第5题） 图1

初中数学九年级培优教程整理全

初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系（P62----69） 第12讲圆等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130) 每天进步一点点！ 坚持就是胜利！

第1讲 二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值围）. 经典·考题·赏析 【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（）下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A. 【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值围是（ ） A ．0＜m ＜1 B ．m ≥2 C ．m ＜2 D ．m ≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C. 【变式题组】 2．（）若实数x 、y 2 (0y -=，则xy 的值是__________. 3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－ 1 B ．1 C ．2 D ．3 4．（）使代数式4 x -有意义的x 的取值围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ≥3 C ．x ＞4 D ．x ≥3且x ≠4 5.（）2 2(4)0a c --=，则a －b －c ＝________. 是同类二次根式的是（ ） A B C D

数学九年级上册 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

数学九年级上册 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．265cm π B ．290cm π C ．2130cm π D ．2155cm π 2．一元二次方程x 2＝9的根是（ ） A ．3 B ．±3 C ．9 D ．±9 3．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∠P=30°，OB=3，则线段BP 的长为（ ） A ．3 B ．33 C ．6 D ．9 4．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6 B ．这组数据的中位数是1 C ．这组数据的众数是6 D ．这组数据的方差是10.2 5．将二次函数2 2y x =的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( ) A ．()2 241y x =-- B ．()2 241y x =+- C ．()2241y x =-+ D ．()2 241y x =++ 6．已知一组数据2，3，4，x ，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝（x +3）2+2 B ．y ＝（x ﹣3）2+2 C ．y ＝（x +2）2+3 D ．y ＝（x ﹣2）2+3 9．下列说法正确的是（ ） A ．所有等边三角形都相似 B ．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C ．所有直角三角形都相似 D ．所有矩形都相似 10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：①b 2＞4ac ；②2a+b ＝0；③a+b+c ＞0；④若B(﹣5，y 1)、C(﹣1，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确结论是（ ）

九年级数学培优材料10.docx

九年级数学培优材料（10） -----元月调考模拟测试 一、选择题 1、二次根式越有意义，x的取值范围为（） 3 2 3 A、x20 B、x三二 C、 D、 2、下列各式中为最简二次根式的是（） A、y/12 B、 C、± D、y/5 3、将一元二次方程x?+3=x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（） A、0、3 B、0、1 C、1、3 D、1、-1 4、如图，在ZXOAB绕点O逆时针旋转70°得到△ OCD,若ZA=100° , ZD=50°,贝iJZAOD 的度数是（） A、20° B、30° C、40° D、50° 5、如图，已知AB 为（DO 直径，AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD丄AB 于M,若OM： 0B=3：5, 则CD的长为（） A、8cm B、10cm C、14cm D、16cm 6、下列格式中计算正确的是（） A、^J|=3V15 B、辰±2 C、V^b=a2Vb D、 7、在一个不透明的口袋中，装有3个红球和a个黄球，它们除了颜色不同外其余均相同，若 2 从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为予则口袋中球的总数为（） A、2 个 B、6 个 C、9 个 D、12 个 8、如图，正方形ABCD的边长为4,点E是AB上一点，将ZXBCE沿着CE折叠至Z\FCE, 若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的（DO相切，则折痕CE=（） A、5羽 B、5 C、 D、以上都不对 9、如图，MN是00的直径，MN=2,点A在OO上，ZAMN=30° , B为弧AN的中点，P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是（） A、2^2 B、迄 C、2 D、1 10、已知四边形ABCD是矩形，AB是的直径，E是00 ±一点，过点E作EF丄DC于

2019-2010九年级数学培优讲义：旋转综合之角含半角模型

旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示，在等腰Rt ABC △中，点D ,E 在斜边上，45DAE ∠=?， 将ABD △旋转至ACF △，连接EF ．则ADE △≌AFE △，222DE BD CE =+ 2、如图所示，在正方形ABCD 中，点E ,F 分别在边BC ,CD 上，45EAF ∠=?，将ABE △旋转至ADG △，则AEF △≌AGF △，EF BE DF =+ 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转； 2、证全等； 3、利用全等、相似得到边角的关系． 例1 如图，已知等边ABC △的边长为1，D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?，BD CD =，60MDN ∠=?．求AMN △的周长．

解 延长AC 到E ，使CE BM =，连接DE ． 易证 BMD △≌(SAS).CED △ 所以 ,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得 60,NDE NDM ∠∠=?= 所以 MDN △≌(SAS).EDN △ 从而 ,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为 2.AMN C AB AC =+=△ 例 2 如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ,DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=?，连接MC ,NC ,MN ． （1）填空：与ABM △相似的三角形是_______，_______；（用含a 的代数式表示） （2）求MCN ∠的度数； （3）猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．

【2021版 九年级数学培优讲义】专题16 相似三角形的性质

专题16 相似三角形的性质 阅读与思考 相似三角形的性质有： 1. 对应角相等； 2. 对应边成比例； 3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4. 周长之比等于相似比； 5. 面积之比等于相似比的平方. 性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角. 如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC ，设BC a =，AD h =，试用a 、h 的代数式表示正方形的边长. H G E F D C B A 例题与求解 【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 . （“弘晟杯”上海市竞赛试题） 解题思路：由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换. G E F D C B A

【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =， 则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（ ） （黑龙江省中考试题） A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36 解题思路：△ADE ，△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积. G E F D C B A 【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积. （第二届美国数学邀请赛试题） 解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质. t 1 t 2 t 3 I P H G E F D C B A 如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到： ① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ； ② 1HG IE DF BC AC AB ++=； ③ 2DE FG HI BC AC AB ++=； ④ 2ABC S =△. 上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独

人教版九年级数学上培优讲义精编

一元二次方程 概念、解法、根的判别式（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成 _______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：______________、__________、_______________． 2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程 的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要 解法有：________________，________________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________； 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根． 5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此 _________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）； 当__________时，方程没有实数根（无根或无解）． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 21 10x x +-=； ③2 5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322 =-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________． 2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是 ______． 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为 ___________．

九年级数学培优专题

九上考点复习专题 1、 如图，△ABC 的高CF 、BG 相交于点H ，分别延长CF 、BG 与△ABC 外接圆交于D 、 E 两点，则下列结论：①AD=AE ；②AH=AE ；③若DE 为△ABC 的外接圆的直径，则BC=AE.其中正确的是（ ） A 、① B 、①② C 、②③ D 、①②③ 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为___________. 3、如图，已知点E 在Rt △ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D 。 （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BD=2BE=4，求AC 。 4、如图，已知AB=4为⊙O 的直径，弦C D ⊥AB 且CD 过AO 的中点。 （1）如图1，求线段CD 的长度； （2）如图2，P 为优弧CD 上一动点，Q 为△ACP 的内心，当Q 点恰好在线段CD 上时，求DQ 的长度； （3）如图3，点M 与点O 关于直线AC 对称，当点P 在优弧AC 上运动时，试求 2 2 2PM PC PA 的值。 A H C B C 1 B 1 A 1 O 1 A B C D E H F G A B C D O E B C D O A B C D O A B C D O A P Q M P

5、如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，PO 交⊙O 于D ，AC∥OP。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。 （2）过D 点作DE⊥AB，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4 （3）在（2）下，求半径。 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F 为BE 的中点。 （1）如图1，当边AD 与边AB 重合时，连接DF ，求证：DF ⊥CF ； （2）如图2，若∠BAE=135°，求CF 的长； （3）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长。 7、在直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为AB 延长线上一点（不含B 点），连接PC 交⊙M 于Q 点，连接DQ ，若A （-1,0） ，C （0，3）。 （1） 如图，求圆心M 的坐标； （2） 如图，过B 点作B H ⊥DQ 于H 点，当P 点运动时，线段CQ 、QH 、DH 有何数量关系， 证明你的结论； （3） 如图，R 为⊙M 的直径DF 延长线上一个动点（不包括F 点），过B 、F 、R 三点作 ⊙N ，CF 交⊙N 于T ，当R 点在DF 的延长线上运动时，FT-FR 的值是否变化？请 说明理由。 D C B A F E D C B A F E

九年级数学培优讲义与测试

第一讲 一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点 函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。 当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。 函数(0)k y k x =≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。 当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数 值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数k y x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数k y x =分别在第二或第四象限内是单调递增函数。 若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。 当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。 当12k k ≠时，两直线相交。 当121k k =-时，两直线互相垂直。 求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。 例题精讲 例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。 解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。 设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B 得242,k b k b -+=-??+=?解得456,5k b ?=????=-?? 所以线段AB 为46(14),55 y x x =--≤≤ 代入(1,)C c ，得4621.555 c =?-=- 例2：求证：一次函数211022 k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。 解 由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得 (21)2100x y k x y ----+=。因为等式对一切有意义的k 成立，所以得 2102100,x y x y --=??+-=?解得12519,5x y ?=????=??当125x =，195y =时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点1219,55?? ??? .

九年级数学上册全册期末复习试卷培优测试卷

九年级数学上册全册期末复习试卷培优测试卷 一、选择题 1．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ） A ．43 B ．42 C ．6 D ．4 2．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ） A ．3 B ．31+ C ．31- D ．23 3．下列说法中，不正确的是（ ） A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B ．圆有无数条对称轴 C ．圆的每一条直径都是它的对称轴 D ．圆的对称中心是它的圆心 4．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这 组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10 B ．10，9 C ．8，9 D ．9，10 5．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝3 C ．10x =，23x =- D ．10x =，23x = 6．在六张卡片上分别写有 1 3 ，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．56 7．如图在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，不一定能使△ADE 与△ABC 相似的条件是（ ） A ．∠AED=∠ B B ．∠ADE=∠ C C ． AD DE AB BC = D ． AD AE AC AB =

8．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（） A．摸出黑球的可能性最小B．不可能摸出白球 C．一定能摸出红球D．摸出红球的可能性最大 9．已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，BC是O的直径，A，D是O上的两点，连接AB，AD，BD，若 70 ADB? ∠=，则ABC ∠的度数是（） A．20?B．70?C．30?D．90? 11．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（） A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72 13．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（） A．（20 3 ，10 3 ）B．（16 3 ，45 3 ）C．（20 3 ，45 3 ）D．（16 3 ，3 14．二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0134…

最新(师)九年级数学培优《圆》专题训练

1- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（一） 1

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九年级数学上册培优训练试题

九年级数学上册培优训练试题 以下是为您推荐的九年级数学上册培优训练试题，希望本篇文章对您学习有所帮助。 九年级数学上册培优训练试题 一、二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数 0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式中,是最简二次根式的有 ____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与是同类二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 下列根式中与是同类二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 二、二次根式的性质 1. 非负性：二次根式中被开方数 0，且 0. 2. ( 0).

3. . 三、二次根式的运算 1. 乘法公式: ( 0). 2. 积的算术平方根: ( 0). 3. 除法公式: ( 0, ﹥0). 4. 商的算术平方根: ( 0, ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将合并. 四、典例研习 【例1】 x取怎样的数时,下列二次根式有意义? 【变式探究】 1. 在实数范围内有意义,则的取值范围是 . 2.使式子无意义的的取值是 . 3.使式子有意义的x的取值范围是 . 4.能使式子有意义的的取值范围是 . 5.若 ,则的值为______________. 6. ,则的值为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【例2】若 1,化简等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 【变式探究】 7.计算: .

沪科版九年级数学综合培优讲义(含答案)

九年级数学综合培优讲义 1．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（） A．B．C．D． 【解答】解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b）， 而a=1， ∴b2﹣b﹣1=0， ∴b=，而b不能为负， ∴b=． 故选B． 2．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC 的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．90° 【解答】解：连接OB，OC， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠BOC=90°， ∴∠BEC=∠BOC=45°． 故选B．

3．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连接DE，DE=． （1）求证：AM?MB=EM?MC； （2）求EM的长． 【解答】证明：（1）∵AB、CE是⊙O内的两条相交弦， ∴AM?MB=EM?MC； （2）∵M是OB中点，圆半径R=4， ∴OM=MB=2， ∴AM=6， ∵CD是直径， ∴∠CED=90°， ∴CE2=CD2﹣DE2， ∴CE==7， 设EM=x，6×2=x?（7﹣x）， 解得x=3或x=4， ∵EM＞MC， ∴EM=4．

4．农民购买农机设备政府会给予一定额度的补贴，其中购买Ⅰ、Ⅱ型农机设备的金额与政府补贴的金额存在表所示的函数对应关系： （1）分别求出y 1和y 2的函数解析式； （2）张大伯打算共用10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型农机设备．请你帮助张大伯设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额． 【解答】解：（1）由题意可得， 0.4=1×k ，得k=0.4， 即y 1与x 的函数关系式为y 1=0.4x ， ，解得，， 即y 2 与x 的函数关系式为y 2=； （2）设购买Ⅱ型农机设备投资t 万元，购买Ⅰ型农机设备投资（10﹣t ）万元，共获补贴Q 万元， Q=y 1+y 2=0.4（10﹣t ）﹣=， ∴当t=3时，Q 取得最大值，此时Q= ，10﹣t=10﹣3=7， 答：投资7万元购买Ⅰ型农机设备，投资3万元购买Ⅱ型农机设备，共获最大补贴万元． 5、如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D(点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化

专题10 最优化 阅读与思考 数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有： 1．配方法 由非负数性质得()02 ≥±b a ． 2．不等分析法 通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质 对二次函数()02 ≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为： （1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ； （2）当0

【例3】()2 13 22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论． 【例4】（1）已知2 11- + -=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求2 2b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题） （2）求使()168422 +-+ +x x 取得最小值的实数x 的值． （全国初中数学联赛试题） （3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题） 解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等． 【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？ （河南省竞赛试题） 解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费( ) ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理 为关于y 的方程．