等腰三角形证明

我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

1.已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD∥BC 且∠1=∠2． 求证：AB=AC ．

2. 如图1-1，在△ABC 中，AB=AC ，BE 为角平分线，DE ∥BC. 求证：①BD=DE;

②BD=CE; 图1-1 ③CD 平分∠ACB.

3如图1-2在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =120°，AD 为B C 边上的高，过D 点作DE ∥BA 交AC 于点E ，图中除△ABC 外，还有等腰三角形吗？若有请指出，并给出证明. 若无，请说明理由.

4.下列命题中，真命题是( )

A 、等腰三角形的角平分线，中线和高线重合.

B 、等腰三角形一定是锐角三角形.

C 、若三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

D 、等腰三角形两角相等.

C

2

1B A D

5.在等腰△ABC 中，∠A=90°，在底边BC 上截取BD=AC ，过D 作DE ⊥BC 交AC 于E 点，则图中等腰三角形有( )

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个

6. 证明题: 已知：如图1-3，△ABC 是等边三角形，BD=ED ，延长BC 到E ，使CE=CD. 求证：AD=CD.

7.已知五个正数的和等于1.用反证法证明：这五个数中至少有一个大于等于5

1。

课后10页2.3

1.1 你能证明它们吗(第3课时)教案

一、教学目标

1. 掌握等边三角形判定定理的证明.

2. 让学生通过实际操作活动，探索直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系，并能从拼摆过程中得到添加辅助线的方法.

二、教学重点、难点

重点：探索两个定理的证明思路.

难点：灵活添加辅助线.

1. 创设问题情境

⑴一个等腰三角形满足什么条件时，便成为等边三角形？

⑵你能证明你的结论吗？

⑶总结等边三角形的性质。

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高CD 的长.

练习

1.若等腰三角形一腰上的高线平分这腰，则这个三角形是______三角形；若等腰三角形底边上的高等于一腰上的高，则这个三角形是____三角形.

2.等腰三角形的顶角为150°，腰长为10cm ，则这个三角形的面积为_______.

3.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角为_________。

4.命题“一个三角形中至少有一个角大于60°”，用反证法证时，应假设“_______________________________”。

5．一个正三角形的边长为a ，它的高是（ ）

A ． 3 a

B ．

32 a C ．12 a D ．34

a 6．如图，若∠A ＝15°，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠DEF 等于多少？

第6题图

7．在ΔABC 中，DB 平分∠ABC ，DC 平分∠ACB ，过D 作直线EF //BC ，交AB 、AC 于E 、F ，若AB =8，AC =7，则ΔAEF 的周长等于多少？

8.如图ZM —08，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD=AE ，AD 与CE 交于点F 。(1) 求证：AD=CE ；(2) 求∠DFC 的度数。

F

D

E

C

B

A

A

C

F D

E C

B

A

等腰（等边）三角形的性质及其判定

1. 如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD =

cm ．

2. ABC △中，AB AC =，36A ∠=°，则B ∠的度数是 ．

3. 一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．9或12

4. 某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 m ．

5 等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

7. 如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P 在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为__________°（只需写出0°～90°的角度）．

8. 如图所示，BAC ABD

AC BD ∠=∠=，，点O 是AD BC 、的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系，并给出证明．

A

C

D

B C O E

A B D

9 图（a ）、图（b ）、图（c ）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）、图（c ）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合． 具体要求如下：

10. 如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°

，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，证明下列结论：

①DFE △是等腰直角三角形； ④四边形CDFE 的面积保持不变；

11. 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m ，8m ． 现在要将绿地扩充成等腰三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形 图（a ）

（2）画一个面积为10的等腰直角三角形 图（b ）

（3

）画一个一边长为6的等腰三角形 图（c ） C

E B A

F

D

12. (2010 湖北省荆门市) 如图，坐标平面内一点Ａ()21-，，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P O A 、、顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

13已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A C ，的坐标分别为(100)A ，，(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ． 14如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，

过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． (1)求证：AD ⊥CF ；

(2)连接AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．

15如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．证明以下五个结论：

① AD =BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP =BQ ； ④ ∠AOB =60°．

A

B

C

E

D

O P

Q

16如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ． （1）求证：COD △是等边三角形；

（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？

17如图，已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距

离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．

在图（1）中， 点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321． 在图（2）--（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外． （1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论） （2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论．

A

B C D

O

110

α

A B

C

D E P A

B

C

D

E

P

M (3)

A

B

C

D

E P M (2) A

B

C

D E M (P ) (1) A

B

C

D E P M (5)

18 如图，ABC △是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．若2BC =，则DE DF +=_____________． 19如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC

＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 ．

20. (2011 浙江省绍兴市) 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E 为AB 的中点时，如图1， 确定线段AE 与DB 的大小关系． 请你直接写出结论：

AE DB （填“＞”，“＜”或“＝”）．

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：

AE DB （填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：

如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ， （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED ＝EC ．若△ABC 的边长为1，AE ＝2，求CD 的长（请你直接写出结果）．

F

E B C D

A

图

2

图1

B

D