常微分习题4.1(sun)
习题4.1
1. 设()t x 和()t y 是区间b t a ≤≤上的连续函数，证明：如果在区间b t a ≤≤上有
()()
≠t y t x 常
数或
()
()
y t x t ≠常数，则()t x 和()t y 在区间b t a ≤≤上线性无关。 证明：假设在()t x ，()t y 在区间b t a ≤≤上线性相关
则存在不全为零的常数α，β，使得()()0=+t y t x βα 不妨设α不为零，则有
()()
.x t y t βα
=-
显然β
α
-
为常数，与题矛盾，即假设不成立()t x ，()t y 在区间b t a ≤≤上线性无关 2. 证明非齐线性方程的叠加原理：设()t x 1，()t x 2分别是非齐线形方程
()()=+++--x t a dt
x
d t a dt x d n n n n n 111()t f 1 （1） ()()=+++--x t a dt
x
d t a dt x d n n n n
n 111()t f 2 （2） 的解，则()t x 1+()t x 2是方程 ()()=+++--x t a dt
x
d t a dt x d n n n n n 111()t f 1+()t f 2的解。 证明：若()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解
则()()()
()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 111
1111=+++-- （3） ()()()
()()()t f t x t a dt
t x d t a dt t x d n n n n n 221
2112=+++-- （4） 由（3）+（4）得：
()()()()()()()
()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211
211121 ()t f 1+()t f 2
即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dt x
d t a dt x d n n n n n 111()t f 1+()t f 2的解。
3. 试验证=-x dt x d 220的基本解组为t
t e e -,，并求方程=-x dt x d 22t cos 的通解。
证明：将t
e 代入方程=-x dt
x d 220得：t e -t e =0,即t
e 是该方程的解，
同理求得t
e -也是该方程的解 又
20,t t t
t e e e e --=-≠- 所以t
t
e e -,线性无关，所以t
t
e e -,是=-x dt
x
d 220的基本
解组。设所求通解为：()=t x ()()t t e t c e t c -+21，则有：
解之得：()()()()2211sin cos 4
1;sin cos 41c t t e t c c t t e t c t
t ++-=+--=-
所以所求通解为：()t e c e c t x t
t cos 2
121-+=-
4. 试验证=---+
x t dt dx t t dt
x d 11
1220有基本解组t ，t e ，并求方程 =---+x t dt dx t t dt
x d 11
12
2t-1的通解。 解：由题将t 代入方程221
011d x t dx x dt t dt t
+
-=--得： 0111112
2=-+-=---+t t
t t t t dt dt t t dt
t d ，即t 为该方程的解 同理t
e 也是该方程的解，又显然t ，t
e 线形无关，
故t ，t
e 是方程=---+
x t dt dx t t dt
x d 11
1220的基本解组 由题可设所求通解为()()()t
e t c t t c t x 21+=，则有：
()()()()?????='-'='+'--t e t c e t c e t c e t c t t t t cos 0
21
21
()()()()????
?-='+'='+'1
0212
1t e t c t c e t c t t c t t 解之得：()()()
2211,c e te t c c t t c t t ++-=+-=-- 所以所求通解为()()2
211+-+=t e c t c t x t
5. 已知方程=-x dt
x
d 2
20的基本解组为t t e e -,，求此方程适合初始条件()()()()10,0000,10='=='=x x x x 及的基本解组（称为标准基本解组，即有()10=w ）
并求出方程的适合初始条件()()'
='=000,0x x x x 的解。
解：t
t
e e -,为方程=-x dt
x
d 220的基本解组，所以存在常数21,c c 使得()t t
e c e c t x -+=21
于是()t t e c e c t x --='21
令t=0, 则有方程适合初始条件()()00,10='=x x ，于是有：
?????=-=+0
1
2010
201e c e c e c e c 解得：1c 21,212==c 故()t t e e t x -+=2121 又该方程适合初始条件()()10,00='=x x ，于是：
?????=-=+1
2010
201e c e c e c e c 解得：21,2121-==c c 故()t t e e t x --=2121 显然()t x 1，()t x 2线性无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：
()t t e e t x -+=
2121， ()t t e e t x --=2
1
21 而此方程同时满足初始条件()()'
='=000,0x x x x ，于是：
?????'=-=+0
020
10
0201x e c e c x e c e c 解得：2,2002001'-='+=x x c x x c 所以()t
t e x x e x x t x -'-+'+=2
20000为满足要求的解。
6. 设()t x i ()n i ,,2,1 =是齐线性方程（4.2）的任意n 个解。它们所构成的伏朗斯行列式
记为()t w ，试证明()t w 满足一阶线形方程()01=+'w t a w ，因而有：
()()()100,(,).t
t a s ds
w t w t e
t a b -
?=∈
解：()(
)
(
)
()
()
()
(
)
(
)
(
)
111
1
1
111
1111111n n n
n
n
n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x w t x x x x x x x x ------'''
'
'
'
'=
++
+
(
)()(
)
(
)
11
2211n n
n n n n n n x x x x x x x x --'
'
=
又()t x i ()n i ,,2,1 =满足
()
()01
11=+++--i n n i n n
i n x t a dt
x d t a dt
x d
将()()()121-'n k t a k t w k ，，，为，加到最后一行行都乘以中第
则：()()
()
()()
()()()()t w t a t a x x x x x x x x t w n n
n n n n
n n 11111
221
1
1
-=-'
'
='----
即()01=+'w t a w 所以
()()
()dt t a t w t w 1-=' ()()()0
01ln t
t w t ln w t a s ds ∴-=-?
即：()()()100,(,).t
t a s ds
w
t w t e
t a b -
?=∈
7. 假设()01≠t x 是二阶齐线形方程()()021=+'+''x t a x t a x （*）的解，这里()()t a t a 21和
在区间[]b a ,上连续，试证：（1）()t x 2是方程的解的充要条件为：
[][]0,,21121=+'x x w a x x w ；（2）方程的通解可以表示为：
()???
?????+??? ??-=??2121110exp 1c dt ds s a x c x x t t , 其中21,c c 为常数,[]b a t t ,,0∈ 证：（１）[][]0,,21121=+'x x w a x x w
()的解。
为即(*)0,00
00
2121212212121211211211211212112112121x x x a x a x x a x a x x x x a x x a x x a x x a x x x x a x x a x x x x ≠=+'
+"?=??? ??+'
+"?='
-'++'+"?='
-'+'"-"?
（２）因为21,x x 为方程的解，则由刘维尔公式
()()101
201
2
,:t
t a s ds
x x w t e x x -?='
'
即(
)()101212
0t
t a s d s
x x x x w t e -
?''-= 两边都乘以
2
1
1x 则有：()()?=
???
?
??-
t
t ds s a e
x t w dt
x x d 012
1
01
2
，于是：
()10212211
1t
t a s ds
x c e dt c x x -?=+?()102121211t
t a s d s
x c e d t
c x x -??
?=+ ? ??
?
?即：
()()()0,
1,0,10
1012
12
1
2
1
1221≠?=''
=?===--
?
t
t t
t ds s a ds
s a e x x x x t w dt e
x x x c c 又：得：取
从而方程的通解可表示为：()???
?????+??? ??-=??2121110exp 1c dt ds s a x c x x t t ,
其中21,c c 为常数,[]b a t t ,,0∈。
8. 试证n 阶非齐线性微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线性无关解。
证：（1）首先证明n 阶非齐线性微分方程（4.1）存在n+1个线性无关解。
设()()()t x t x t x n ,,,21 为（4.1）对应的齐线性方程的一个基本解组，()t x 是（4.1）的一个解，则：()()()()()()(),,,,,21t x t x t x t x t x t x t x n +++ （1） 均为（4.1）的解。同时（1）是线性无关的。 事实上：假设存在常数121,,,+n c c c ，使得：
()()()
()()()()()()()()()()()()
112
2
1
1
11
1
11
111
1
00
0n
n
n n n n i i i i i i i n n
i i i n i i i
i c x t x t c
x t x t c x
t x t c x t c x t x t c c c
c x t x t c +++===++===+++++++=∑+∑=∑=∑≠=-∑∑ 即 ，则 否则，若，则有：
（*）的左端为非齐线性方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！ 从而有()01=∑=t x c i i n
i
又()()()t x t x t x n ,,,21 为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， 所以 0:,0121=====+n n c c c c 进而有
即（1）是线性无关的。
（2）其次证明n 阶非齐线性微分方程（4.1）最多存在n+1个线性无关解。
设()()()122,,,n x t x t x t + 为（4.1）的2n + 个解，
则()()()()()()213121,,,n x t x t x t x t x t x t +--- 为（4.2）的1n + 个解， 从而必线性相关。因此存在不全为零的常数121,,,n c c c + ，使得
()()()()()()1212311210()()()n n c x t x t c x t x t c x t x t ++-+-++-= ()()()12111223120()n n n c c c x t c x t c x t c x +++∴-+++++++=
显然 121121,,,,n n c c c c c c +++++ 不全为零， 所以()()()122,,,n x t x t x t + 线性相关。
华师在线常微分作业答案
1．第7题 微分方程的一个解是( ). A. , B. , C. , D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：2 此题得分：2.0 2．第8题 设有四个常微分方程： (i) , (ii) , (iii) , (iv) . A.线性方程有一个; B.线性方程有两个; C.线性方程有三个; D.线性方程有四个. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分：2.0
3．第10题 微分方程是 ( ). A.n阶变系数非齐次线性常微分方程; B.n阶变系数齐次线性常微分方程; C.n阶常系数非齐次线性常微分方程; D.n阶常系数齐次线性常微分方程. 您的答案：A 题目分数：2 此题得分：2.0 4．第11题 设有四个常微分方程：(i) , (ii) , (iii) , (iv) . A.非线性方程有一个; B.非线性方程有两个; C.非线性方程有三个; D.非线性方程有四个. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0 5．第12题
是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2 此题得分：2.0 6．第14题 下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个. (i) , (ii) , (iii) , (iv) . A.1 B.2 C.3 D.4 您的答案：C
题目分数：2 此题得分：2.0 7．第18题 是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . A.A B.B C.C D.D 您的答案：A 题目分数：2 此题得分：2.0 8．第21题 可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A. ； B. ； C. ； D. .
常微分方程试题库
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
常微分方程期末试题B答案
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
常微分方程第三版课后习题答案
习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y
高等数学第九章微分方程试题及答案
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
(整理)常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
《常微分方程》答案_习题
习题4.2 1. 解下列方程 （1） 045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根 故通解为x=t t t t e c e c e c e c --+++4 32221 (2) 0333 2=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ 有三重根a =λ 故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04) 5(=''-x x 解：特征方程0435=-λλ 有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为 542 32221c t c t c e c e c x t t ++++=- （4）0102=+'+''x x x 解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i 故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x 解：特征方程012=++λλ有复数根= 1λ,231i +-=2λ,2 31i -- 故通解为t e c t e c x t t 2 3sin 2 3 cos 2 122 1 1--+=
(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程02 2=-a λ有根=1λa,=2λ-a 当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21 Bt A s +=~代入原方程解得21a B A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(1 2-t a 当a=0时,)(~ 212γγ+=t t s 代入原方程解得2 1 ,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(6 1 2+t t (7) 32254+=-'+''-'''t x x x x 解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++ 又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x 解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根， 重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321 取特解行如c Bt At x ++=2~ 代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,2 31i --13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t e c x 321 22 1 12 3 sin 23cos ++=--
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2
一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）
四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.
常微分方程习题及答案.[1]
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=
常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷 一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系 数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组20'05?? =?? ?? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一 解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+.
3. 求解方程22 2()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程22 (cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解. 7．设 3124A -??=??-?? ， ??????-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求 X A dt dX =满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程 2213dy x y dx =-- 通过点(1,0) 的第二次近似解. 9.求 的通解 试求方程组x Ax '=的解(),t ? 12(0),η?ηη??==???? 并求expAt 10.若 三、证明题 1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得 ()()t t C ψ=Φ. 2. 设),()(0βα?≤≤x x x 是积分方程 ] ,[,, ])([)(0200 βαξξξξ∈++=?x x d y y x y x x 的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ?在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在 ],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ?ψ≡. 3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程 的一个基本解组. 试证明: (i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; 2114A ??=??-??32()480dy dy xy y dx dx -+=
2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
常微分方程王高雄第三版答案
习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.
常微分方程试题库.
常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^= 应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为 四川大学期末考试试题 (A卷)答案及评分标准 （2005——2006学年第一学期） 考试科目：常微分方程适用专业名称：基础数学、应用数学、计算数学 1、（20分，每小题5分）考虑Cauchy问题d x/dt=A(t)x, x(t0)=x0，其中A是nn实矩阵函数、t R, x R n。请选择填空： （1）该问题解的存在唯一性条件是：____(a)______ 。 (a) A(t)对t R连续，(b) A(t)对t R可微, (c) A(t)对t R是Lipschitz 的，(d)A(t)对t R连续且Lipschitz，(e) A(t)对一切t R可 逆。 （2）设X(t)是其基本解矩阵，则该问题的解为 _____(c)______ 。 (a) x(t)=X(t-t0)x0, (b) x(t)=exp(A(t))exp(-A(t0))x0, (c) x(t)= X(t)X-1(t0)x0 , (d) x(t)=exp(A(t-t0))x0。 （3）以下det X(t)表示X(t)的行列式，正确的结果是 ____(c) _ 。 (a) det X(t) det X(t0), (b) 由det X((t)=0知道det X(t0)=0，但反之未必， (c) 由det X(t0)0知道对一切t都有det X((t) 0， (d) det X( t)=0当且仅当det X(t0)=0 。 （4）若C是nn实矩阵，X((t)C也是基本解矩阵的条件是 ____(b)__ 。 (a) C非零, (b) C可逆, (c) C可对角化， (d) C对称。 2、（25分）假设Cauchy问题dx/dt=ax+f(t), x(t0)=x0满足解的存 在唯一性条件，其中a为实数，t R, x R。(1) 写出这个Cauchy 问题解的表达式。(2)用常数变易法证明这个表达式。(3) 如果a>0而且f(t)连续有界，证明存在x0R使该Cauchy问题 存在对所有t (t0,+)都有界的解。 [解] (1) x(t)=exp(a(t-t0)x0+ t0 t exp(a(t-s) f(s) ds. [10分] (2) 首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。 设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt=常微分方程应用题和答案
常微分试卷二答案