Dijkstra算法的流程图及算法代码
Dijkstra算法的流程图
需求和规格说明：
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
算法本身并不是按照我们的思维习惯——求解从原点到第一个点的最短路径，再到第二个点的最短路径，直至最后求解完成到第n个点的最短路径，而是求解从原点出发的各有向路径的从小到大的排列，但是算法最终确实得到了从原点到图中其余各点的最短路径，可以说这是个副产品，对于算法的终结条件也应该以求得了原点到图中其余各点的最短路径为宜。清楚了算法的这种巧妙构思后，理解算法本身就不是难题了。
实现注释:
想要实现的功能
Dijkstra算法是用来求任意两个顶点之间的最短路径。在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。在该程序中设置一个二维数组来存储任意两个顶点之间的边的权值。用户可以将任意一个图的信息通过键盘输入，让后在输入要查找的两个顶点，程序可以自动求出这两个顶点之间的最短路径。
已经实现的功能：
在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。在该程序中设置一个全局变量的二维数组，用它来存储任意两个顶点之间的边的权值。然后通过
最短路径的计算，输入从任意两个顶点之间的最短路径的大小。
用户手册：
对于改程序，不需要客户进行什么复杂的输入，关键是用来存放图的任意两个顶点之间的边的权值的二维数组的初始化，即将要通过Dijkstra算法求最短路径的图各条边的权值放入二维数组中。这样程序就可以自动的计算出任意两个顶点之间的最短路径并且进行输出。
设计思想：
s为源，w[u，v] 为点u 和v 之间的边的长度，结果保存在 dist[]初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点状态设为没有扩展过。
循环n-1次：
1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
2. 对于每个与u相邻的点v，如果dist[u] + w[u，v] < dist[v]，那么把dist[v]更新成更短的距离dist[u] + w[u，v]。此时到点v 的最短路径上，前一个节点即为u。
结束：此时对于任意的u，dist[u]就是s到u的距离。
#include
#include "Conio.h"
#define true 1
#define false 0
#define I 9999 // 无穷大
#define N 5 // 城市顶点的数目
int cost[N][N] = {
{0,3,I,8,I},
{3,0,5,I,4},
{I,5,0,4,7},
{8,I,4,0,2},
{I,4,7,2,0}};
int dist[N]; // 存储当前最短路径长度
int v0 = 'A' - 65; // 初始点是 A
int main()
{
int final[N],i,v,w,min,k;
printf("\n任意两个定点之间的最短路径如下：\n\n");
for(k=0;k { // 初始化最短路径长度数据，所有数据都不是最终数据 for (v = 0; v < N; v++) { final[v] = false; dist[v] = cost[v0][v]; } // 首先选v0到v0的距离一定最短，最终数据 final[v0] = true; final[v] = true; // 寻找另外 N-1 个结点 for (i = 0; i < N-1; i++) { min = I; // 初始最短长度无穷大 // 寻找最短的边 for (w = 0; w < N; w++) { if (!final[w] && dist[w] < min) { min = dist[w]; v = w; } } final[v] = true; // 加入新边 for (w = 0; w < N; w++) { // 更新 dist[] 数据 if (!final[w] && dist[v] + cost[v][w] < dist[w]) { dist[w] = dist[v] + cost[v][w]; } } } for (i = 0; i < N; i++) { printf("%c->%c: %2d\t", v0 + 65, i + 65, dist[i]); } printf("\n"); v0++; } return 0; } 运行结果： 两个指定顶点之间的最短路径 问题如下：给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。 以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e ，赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度，称为e 的权，得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的权和。问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。这条轨叫做00,v u 间的最短路，它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。 求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。下面是该算法。 (i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。 (ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用 )}()(),({min uv w u l v l i S u +∈ 代替)(v l 。计算)}({min v l i S v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令}{11++=i i i u S S 。 (iii). 若1||-=V i ，停止；若1||- 5.3.4 附录E 最短路径算法——Dijkstra 算法 在路由选择算法中都要用到求最短路径算法。最出名的求最短路径算法有两个，即Bellman-Ford 算法和Dijkstra 算法。这两种算法的思路不同，但得出的结果是相同的。我们在下面只介绍Dijkstra 算法，它的已知条件是整个网络拓扑和各链路的长度。 应注意到，若将已知的各链路长度改为链路时延或费用，这就相当于求任意两结点之间具有最小时延或最小费用的路径。因此，求最短路径的算法具有普遍的应用价值。 令v 部分： 不直接相连与结点若结点 1 v ? ?∞在用计算机进行求解时，可以用一个比任何路径长度大得多的数值代替∞。对于上述例子， 可以使D (v ) = 99。 (2) 寻找一个不在N 中的结点w ，其D (w )值为最小。把w 加入到N 中。然后对所有不在N 中的结点v ，用[D (v ), D (w ) + l (w , v )]中的较小的值去更新原有的D (v )值，即： D (v )←Min[D (v ), D (w ) + l (w , v )] (E-1) (3) 重复步骤(2)，直到所有的网络结点都在N 中为止。 表E-1是对图E-1的网络进行求解的详细步骤。可以看出，上述的步骤(2)共执行了5次。表中带圆圈的数字是在每一次执行步骤(2)时所寻找的具有最小值的D (w ) 值。当第5次执行步骤(2)并得出了结果后，所有网络结点都已包含在N 之中，整个算法即告结束。 表E-1 计算图E-1的网络的最短路径 现在我们对以上的最短路径树的找出过程进行一些解释。 因为选择了结点1为源结点，因此一开始在集合N中只有结点1。结点1只和结点2, 3和4直接相连，因此在初始化时，在D(2)，D(3)和D(4)下面就填入结点1到这些结点相应的距离，而在D(5)和D(6)下面填入∞。 下面执行步骤1。在结点1以外的结点中，找出一个距结点1最近的结点w，这应当是w = 4，因为在D(2)，D(3)和D(4)中，D(4) = 1，它的之值最小。于是将结点4加入到结点集合N中。这时，我们在步骤1这一行和D(4)这一列下面写入①，数字1表示结点4到结点1的距离，数字1的圆圈表示结点4在这个步骤加入到结点集合N中了。 接着就要对所有不在集合N中的结点（即结点2, 3, 5和6）逐个执行（E-1）式。 对于结点2，原来的D(2) = 2。现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 2) = 1 + 2 = 3 > D(2)。因此结点2到结点1距离不变，仍为2。 对于结点3，原来的D(3) = 5。现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 3) = 1 + 3 = 4 < D(3)。因此结点3到结点1的距离要更新，从5减小到4。 对于结点5，原来的D(5) = ∞。现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 5) = 1 + 1 = 2 < D(5)。因此结点5到结点1的距离要更新，从∞减小到2。 对于结点6，现在到结点1的距离仍为∞。 步骤1的计算到此就结束了。 下面执行步骤2。在结点1和4以外的结点中，找出一个距结点1最近的结点w。现在有两个结点（结点2和5）到结点1的距离一样，都是2。我们选择结点5（当然也可以选择结点2，最后得出的结果还是一样的）。以后的详细步骤这里就省略了，读者可以自行完 1的路由表。此路由表指出对于发往某个目的结点的分组，从结点1发出后的下一跳结点（在算法中常称为“后继结点”）和距离。当然，像这样的路由表，在所有其他各结点中都有一个。但这就需要分别以这些结点为源结点，重新执行算法，然后才能找出以这个结点为根的最短路径树和相应的路由表。 迪克斯特拉算法： 迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。 定义： Dijkstra算法一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN,CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。 算法思想： 按路径长度递增次序产生算法： 把顶点集合V分成两组： （1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0） （2）V-S=T：尚未确定的顶点集合 将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证： （1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T 中任何顶点的最短路径长度 （2）每个顶点对应一个距离值 S中顶点：从V0到此顶点的长度 T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度 依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和。 （反证法可证） 求最短路径步骤 算法步骤如下： G={V,E} 1.初始时令S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值 若存在 5.3.4 附录E 最短路径算法——Dijkstra算法 在路由选择算法中都要用到求最短路径算法。最出名的求最短路径算法有两个，即Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。这两种算法的思路不同，但得出的结果是相同的。我们在下面只介绍Dijkstra算法，它的已知条件是整个网络拓扑和各链路的长度。 应注意到，若将已知的各链路长度改为链路时延或费用，这就相当于求任意两结点之间具有最小时延或最小费用的路径。因此，求最短路径的算法具有普遍的应用价值。 下面以图E-1的网络为例来讨论这种算法，即寻找从源结点到网络中其他各结点的最短路径。为方便起见，设源结点为结点1。然后一步一步地寻找，每次找一个结点到源结点的最短路径，直到把所有 点1, j)为结点i (1) 初始化 令N表示网络结点的集合。先令N = {1}。对所有不在N中的结点v，写出 不直接相连与结点若结点直接相连 与结点若结点 1 1 ),1()(v v v l v D ? ? ?∞= 在用计算机进行求解时，可以用一个比任何路径长度大得多的数值代替∞。对于上述例子，可以使D (v ) = 99。 (2) 寻找一个不在N 中的结点w ，其D (w )值为最小。把w 加入到N 中。然后对所有不在N 中的结点v ，用[D (v ), D (w ) + l (w , v )]中的较小的值去更新原有的D (v )值，即： D (v )←Min[D (v ), D (w ) + l (w , v )] (E-1) (3) 重复步骤(2)，直到所有的网络结点都在N 中为止。 表E-1是对图E-1的网络进行求解的详细步骤。可以看出，上述的步骤(2)共执行了5次。表中带圆圈的数字是在每一次执行步骤(2)时所寻找的具有最小值的D (w ) 值。当第5次执行步骤(2)并得出了结果后，所有网络结点都已包含在N 之中，整个算法即告结束。 表E-1 计算图E-1的网络的最短路径 最短路径之Dijkstra算法详细讲解 １最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２Dijkstra算法 2.1Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3Dijkstra算法具体步骤 最短路径—Dijkstra算法 Dijkstra算法 1.定义概览 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。 问题描述：在无向图G=(V,E) 中，假设每条边E[i] 的长度为w[i]，找到由顶点V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径） 2.算法描述 1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2)算法步骤： a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边， 则 Dijkstra 算法 #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #define M 10000 int dist[M] = {0},fa[M] = {0},visit[M] = {0}; int g[M][M] = {0}; int n,start,end; int findmin(){ int i,flag; int min = 987654321; for( i = 1 ; i<= n ; i++ ) if( visit[i] == 0 && dist[i] < min && dist[i] != 0){ min = dist[i]; flag = i; } return flag; } int Dijkstra(){ int i,j,pos; for( i = 1 ; i <= n ; i++ ){ dist[i] = g[start][i]; if( dist[i] == 123456789 ) fa[i] = i; else fa[i] = start; } visit[start] = 1; for( i = 1 ; i <= n ; i++ ){ pos = 0; pos = findmin(); if(pos == 0) break; visit[pos] = 1; for( j = 1 ; j <= n ; j++ ) if( visit[j] == 0 && dist[j] > dist[pos] + g[pos][j] ){ dist[j] = dist[pos] + g[pos][j]; fa[j] = pos; } } } int main(){ int i,j; int p; scanf("%d%d%d",&n,&start,&end); for( i = 1 ; i <= n ; i++ ) D i j k s t r a算法详细讲解 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 最短路径之D i j k s t r a算法详细讲解 １最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２ Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤 Dijkstra算法原理详细讲解 如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等） 算法执行步骤如下表： Dijkstra算法的完整实现版本之算法的源代码 样例图: 输入格式: 输出格式: 输入时，将s,t,x,y,z五个点按照1,2,3,4,5起别名，输入格式按照下图例所示当提示Please enter the vertex where Dijkstra algorithm starts:时输入算法的起 始点 比如计算结果v1v4v2表示从点1到点2经过1，4，2为最短路径 Dijkstra算法的完整实现版本，算法的源代码 /* Dijkstra.c Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85 All Rights Reserved. */ #include "stdio.h" #include "malloc.h" #define maxium 32767 #define maxver 9 /*defines the max number of vertexs which the programm can handle*/ #define OK 1 struct Point { char vertex[3]; struct Link *work; struct Point *next; }; struct Link { char vertex[3]; int value; struct Link *next; }; struct Table /*the workbannch of the algorithm*/ { int cost; int Known; char vertex[3]; 最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２ Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤 Dijkstra算法描述 目录 一、算法概述 (2) 二、算法原理及计算 (2) 2.1算法原理 (2) 2.2计算过程 (2) 2.3改进的算法（Dijkstra-like）分析 (5) 三、源码分析 (5) 四、接口调用 (6) 一、算法概述 Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的单源最短路径计算算法，用于解决源点到所有结点最短路径计算的问题，它采用了分治和贪心（动态规划的特殊形式）的思想搜索全局最优解。 本系统采用了主流、开源的JA V A图论库——Jgrapht来解决源点到终点间所有可能路径输出的问题，它的核心计算引擎采用了一种Dijkstra-like算法，由经典的Dijkstra（迪杰斯特拉）算法演化和改进而来。 二、算法原理及计算 2.1算法原理 Dijkstra算法思想为：设(,) = 是带权有向图，V代表图中顶点集合，E G V E 代表图中含权重的边集合。将全部顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合，用S表示（初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将该路径的终点加入到集合S中）；第二组为其余待确定最短路径的顶点集合，用U表示。按最短路径长度的递增次序依次把U集合的顶点逐个加入到S集合中，约束条件是保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。算法的终止条件是集合U为空集，即集合U的顶点全部加入到集合S中。 2.2计算过程 以图1为例讨论Dijkstra算法的计算过程，即计算某源点到网络上其余各结点的最短路径，设源点为①，逐步搜索，每次找出一个结点到源点①的最短路径，直至完成所有结点的计算。 Dijkstra 算法应用举例 20061002516 张昕 123062 16 某城市部分街道如下图所示 求1v 到其他点的最短距离。 源程序如下 #include int nvertices; int nedges; } graph; initialize_graph(graph* g) { int i; g -> nvertices = 0; g -> nedges = 0; for (i=1; i<=MAXV; i++) g->degree[i] = 0; } insert_edge(graph* g,int x,int y,int directed,int w) { if (g->degree[x] > MAXDEGREE) printf("Warning: insertion(%d,%d) exceeds degree bound\n",x,y); g->edges[x][g->degree[x]].v = y; g->edges[x][g->degree[x]].weight = w; g->degree[x] ++; if (directed == FALSE) insert_edge(g,y,x,TRUE,w); else g->nedges ++; } read_graph(graph* g,int directed) { int i; int m; int x,y,w; initialize_graph(g); char* m_n = "8 12"; Dijkstra’s算法设计与分析实验 1．Dijkstra’s算法:的实现。 注：本算法来自教材（英文版），在此就省略了，只给出具体实现的程序代码，采用Microsoft Visual C++ 6.0实现，并且图的存储结构为邻接表。 ①本项目的组成结构如图所示 ②各对应模块的功能如下： asjacent(VNOde v,int a)：判断二接点是否相邻。 belong(int A[],int n,int p): 判断一个元素是否在指定数组中。 dijkstra(Vnode G[],int n):求最短路径问题的函数。 length(Vnode v,int a): 找出二相邻接点的长度。 main():主函数。 min(int r[],int Y[],int n):找出最小的元素的下标. shanchu(int A[],int sum,int p):删除数组中值为p的元素(覆盖). ③对应完整程序： #include 基本的dijkstra算法是求单源点到其余各点的最短路径，下面的dijkstra可以返回两个顶点之间的最短路径。返回数组里储存的是从起始顶点到结束顶点的最短路径经过的点的顺序。 package DijkstraJingxi; public class Dijkstra{ public void dijkstra(int n, int v, int dist[], int prev[],int[][] c){ int maxint = Integer.MAX_VALUE; // 表示最大整数上限 boolean[] s = new boolean[n]; //记录该点是否被访问过 for(int i = 0; i < n; i++){ dist[i] = c[v][i]; //目的地点初始化 s[i] = false; //记录第i个点是否被访问过，初始化为false； if(dist[i] == maxint){ prev[i] = 0; } else{ prev[i] = v; //起始点 } } dist[v] = 0; s[v] = true; //被访问过 for(int i = 0; i < n+1; i++){ int temp = maxint; int u = v; for(int j = 0; j < n; j++){ if((!s[j]) && (dist[j] < temp)){ u = j; //得到最短路径的终点 temp = dist[j]; } } s[u] = true; for(int j = 0; j < n; j++){ if((!s[j]) && (c[u][j] < maxint)){ int newdist = dist[u] + c[u][j]; if (newdist < dist[j]){ dist[j] = newdist; //新的最短路径 prev[j] = u; //最短路径的上一个点 } } } } } public int[] shortestPath(Graphm G, int v1, int v2){ Dijkstra算法的流程图 需求和规格说明： Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 算法本身并不是按照我们的思维习惯——求解从原点到第一个点的最短路径，再到第二个点的最短路径，直至最后求解完成到第n个点的最短路径，而是求解从原点出发的各有向路径的从小到大的排列，但是算法最终确实得到了从原点到图中其余各点的最短路径，可以说这是个副产品，对于算法的终结条件也应该以求得了原点到图中其余各点的最短路径为宜。清楚了算法的这种巧妙构思后，理解算法本身 就不是难题了。实现注释： 想要实现的功能： Dijkstra算法是用来求任意两个顶点之间的最短路径。在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。在该程序中设置一个二维数组来存储任意两个顶点之间的边的权值。用户可以将任意一个图的信息通过键盘输入，让后在输入要查找的两个顶点，程序可以自动求出这两个顶点之间的最短路径。 已经实现的功能： 在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。在该程序中设置一个全局变量的二维数组，用它来存储任意两个顶点之间的边的权值。然后通过最短路径的计算，输入从任意两个顶点之间的最短路径的大小。 用户手册： 对于改程序，不需要客户进行什么复杂的输入，关键是用来存放图的任意两个顶点之间的边的权值的二维数组的初始化，即将要通过Dijkstra算法求最短路径的图各条边的权值放入二维数组中。这样程序就可以自动的计算出任意两个顶点之间的最短路径并且进行输出。设计思想： s为源，w[u，v] 为点u 和v 之间的边的长度，结果保存在dist[] 初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点状态设为没有扩展过。 循环n-1次： 1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。 2. 对于每个与u相邻的点v，如果dist[u] + w[u，v] < dist[v]，那么把dist[v]更新成更短的距离dist[u] + w[u，v]。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。 结束：此时对于任意的u，dist[u]就是s到u的距离。 效果展示： 开头输入的是点的序列号（表示第几个点），显示的是最短路径的走法（同样以点的序列号显示，表示途径的第几个点）。 %编写m文件 function [distance,path]=dijkstra(A,s,e) % [DISTANCE,PATH]=DIJKSTRA(A,S,E) % returns the distance and path between the start node and the end node. % % A: adjcent matrix % s: start node % e: end node % initialize n=size(A,1); % node number D=A(s,:); % distance vector path=[]; % path vector visit=ones(1,n); % node visibility visit(s)=0; % source node is unvisible parent=zeros(1,n); % parent node % the shortest distance for i=1:n-1 % BlueSet has n-1 nodes temp=zeros(1,n); count=0; for j=1:n if visit(j) temp=[temp(1:count) D(j)]; else temp=[temp(1:count) inf]; end count=count+1; end [value,index]=min(temp); j=index; visit(j)=0; for k=1:n if D(k)>D(j)+A(j,k) D(k)=D(j)+A(j,k); parent(k)=j; end #include "stdafx.h" #include "stdio.h" #include for(i=1;i D i j k s t r a算法详细讲 解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 最短路径之D i j k s t r a算法详细讲解? １?最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２?Dijkstra算法 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v 到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 Dijkstra算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。最短路径的Dijkstra算法及Matlab程序
Dijkstra算法
dijkstra算法
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DIJKSTRA算法详细讲解
Dijkstra算法
Dijkstra算法
Dijkstra 算法（狄克斯特拉算法） 算法（狄克斯特拉算法）
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Dijkstra 算法概述 算法描述 虚拟码 时间复杂度 Dijkstra 算法案例分析 5.1 案例一:基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1] 6 参考文献
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Dijkstra 算法概述
Dijkstra 算法 算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于 1959 年提出的，因此 又叫狄克斯特拉算法。 是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法， 解决的是有向图中最短 路径问题。 其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当所有边权 都为正时， 由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点， 所以这个点的距离永远不会再被改 变， 因而保证了算法的正确性。 不过根据这个原理， Dijkstra 求最短路的图不能有负权边， 用 因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离， 有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的 性质。 举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。 Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。 Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。 我 们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。 每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。 (u,v)表示从顶点 u 到 v 有路径相连。 我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。 因此，w(u,v)就是从顶点 u 到顶点 v 的非负花费值(cost)。 边的花费 可以想像成两个顶点之间的距离。 任两点间路径的花费值， 就是该路径上所有边的花费值总 和。已知有 V 中有顶点 s 及 t， Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低花费路径(i.e. 最短路径)。 这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。Dijkstra算法C代码
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