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26、三角函数的应用

【知识回顾】

1、三角函数是初等函数的一种，处理三角函数问题既要注意研究函数的一般性思维方法，也要突出三角函数的特殊性

2、三角函数是一种应用十分广泛的函数，常将一些代数问题、几何问题或某些实际应用问题通过三角代换，利用转化和化归的思想方法转化为三角问题来求解。

【课前预习】

1、当04x π

<<时，函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是_________

2、已知()f x 是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，那么不等式

()cos 0f x x <的解集是_____________

3、函数52sin 3()66

y x x π

π=≤≤与函数2y =的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是____________

4、已知函数2()4sin 4cos 1f x x a -++-，当2[,]43x ππ∈-

时()0f x =恒有解，则a 的范

围是_________ 5、若[0,]x π∈，函数2sin 2cos x y x

-的值域为___________ 6、在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，BAD θ∠=，则BCD ?是正三角形，求四边形ABCD 的面积S 的最大值

【典例剖析】

例1、（1）已知函数11()(sin cos )|sin cos |22

f x x x x x =+--，则()f x 的值域是________ （2）22sin sin 1cos sin 3

x x y x x ++=--的值域为___________

例2、已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =-+

（1）证明：当1715(,)88

x ππ∈--时，经过()f x 图象上的任意两点的直线的斜率恒为负数；（2）设有不相等的实数12,(0,)x x π∈，且12()()1f x f x ==，求12x x +的值。

例3、如图，AB 是沿太湖南北方向道路，P 为太湖中观光岛屿，Q 为停车场， 5.2PQ km =，某旅游团游览完岛屿后，乘游船会停车场Q ，已知游船以13km/h 的速度沿方位角θ的方向行驶，5sin 13

θ=，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达滨湖大道M 处，然后乘出租汽车到点Q （设游客甲到达滨湖大道后立即乘到出租车）。假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66/km h

（1）设4sin 5

α=，问小船的速度为多少km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点Q （2）设小船的速度为10km/h ，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大笑是多少时，游客甲能按计划一最短时间到达Q

【作业反馈】

1、函数222sin sin y x x =+在(0,]2

π上的最小值是___________ 2、函数sin cos y x x =-的图象可以看成是由函数sin cos y x x =+的图象向右平移得到的，则平移的最小长度为__________

3、在OAB ?中，O 为坐标原点，(1,cos ),(sin ,1),(0,

]2A B πθθθ∈，则当OAB ?的面积达

最大值时，θ=_________ 4、已知函数()3s i n (),()3c o s f x x g x x ω

?ω?=+=+，若对任意x R ∈都有()()66f x f x ππ+=-，则()6

g π=__________ 5、(0,)2πθ∈，则81sin cos θθ

+的最小值为__________ 6、若222sin sin 2sin 0αβα+-=，求22cos cos αβ+的取值范围是____________

7、已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=，且()f x 在区间(,)63ππ

有最小值，无最大值，则ω=___________

8、对于集合12{,,,}n a a a ???和常数0a ，定义：

22210200sin ()sin ()sin ()n a a a a a a n

ω-+-+???+-=为集合12{,,,}n a a a ???相对0a 的“正弦方差”，则集合57{,

,}266πππ相对0a 的“正弦方差”为_________ 9、ω是正实数，设{|()cos[()]}S f x x ωθωθ==+是奇函数，若对每个实数,(,1)a S a a ω?+

的元素不超过2个，且有a 使(,1)S a a ω?+含2个元素，则ω的取值范围是____________

10、已知sin cos ([0,2))2sin cos y θθθπθθ

∈++，求y 的最小值

11、如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字星，其中0y x >>

（1）强十字星的面积表示为θ的函数；

（2）θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

12、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，CB=10km ，为了处理三家工厂的无水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个无水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；

（2）确定污水处理厂的位置，使单挑排污管道总长度最短

三角函数公式大全81739

三角函数公式大全三角函数定义函数关系倒数关系：商数关系：平方关系：．诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：

公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数

名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

12,三角函数的综合应用

实用文档 §4.8三角函数的综合应用【复习目标】 1．理解三角函数中自变量的两面性——角与实数，将三角函数问题与几何、代数联系起来； 2．三角恒等变型与三角函数的图象与性质是综合应用的两个方面。【课前预习】 1. ⊿ABC 的内角满足tan sin 0A A -<，cos sin 0A A +>，则A 的范围是。 2. 若111cos sin θθ-=，则sin 2θ= 。 3. 由函数52sin 3()66y x x ππ=≤≤与函数2y =的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是。 4. 已知()f x 是定义在（0，3）上的函数，图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是（） A ．()()0,12,3? B ．(1,)(,3)22ππ ? C ． ()0,1,32π??? ??? D ．()()0,11,3? 5. 函数|sin |,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是（）【典型例题】

实用文档例1 已知函数2()sin sin f x x x a =-++. （1）当()0f x =有实数解时，求a 的取值范围；（2）若x R ∈，有 171()4f x ≤≤，求a 的取值范围。例2 （2003上海卷·22）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()f x T +=T ·()f x 成立. （1）函数()f x = x 是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()f x =a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明：()f x =a x ∈M ；（3）若函数()f x =sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围.

三角函数综合应用解题方法总结(超级经典)

精锐教育学科教师辅导教案

例3：求函数y=f(x)=cos 2 2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x- 23)2-4 5, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+ 2 π ,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法 y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角?，化为y=22b a +sin （x+?）,利用函数()1sin ≤+?x 即可求解。Y=asin 2 x+bsinxcosx+mcos 2 x+n 型亦可以化为此类。例4：已知函数()R x x x x y ∈+?+= 1cos sin 2 3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。 [分析] 此类问题为x c x x b x a y 2 2 cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 x b x a y cos sin +=型求解。解： ().4 7,6,2262,4562sin 21452sin 23 2cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+??? ??+=+???? ??+=++=+?++?=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ 5. 利用数形结合例5：求函数y x x = +s in c o s 2的最值。解：原函数可变形为y x x = ---s i n c o s () .0 2 这可看作点Ax xB (c o s s i n )() ，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 2 2 1+=上的动点。由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，y y m a x m i n .= =-333 3 ， 6、换元法例6：若0

九年级下册《三角函数的应用》综合练习2(坡度、坡角)

三角函数的应用（坡度、坡角） ◆随堂检测 1、某斜坡的坡度为i=1______度． 2、以下对坡度的描述正确的是（）． A ．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数; B ．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比; C ．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比; D ．坡度是指倾斜角的度数 3、某人沿坡度为i=1： 3 的山路行了20m ，则该人升高了（）． A ．20 B ． 40 .3 3 m C D 4、斜坡长为100m ，它的垂直高度为60m ，则坡度i 等于（）． A ．35 B ．4 5 C ．1：43 D ．1：0.75 5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m ，?则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（）． A ．4m B ．2 C ．3m D ．◆典例分析水库拦水坝的横断面为梯形ABCD ，背水坡CD 的坡比i=1，?已知背水坡的坡长CD=24m ，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度．解：过D 作DE ⊥BC 于E ． ∵该斜边的坡度为1 则，∴α=30°，在Rt △DCE 中，DE ⊥BC ，DC=24m ． ∴∠DCE=30°，∴DE=12（m ）．

故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m．点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可. ◆课下作业 ●拓展提高 1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，?要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）．（?可能用 ≈1.41） 1题图2题图 2、如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米． 3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，?地毯的长度至少需________ 米（精确到0.1米）． 3题图4题图 4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB 的长是（） A．2B．C．D．6米 5、为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.6的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加了0.6m，如图所示，求：（1）渠面宽EF；（2）

最全高中数学三角函数公式

定义式） ct 函数关系倒数关系：；；商数关系：；．平方关系：；；．诱导公式

公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：

记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

三角函数图像的综合运用

三角函数的图象与性质一、基础知识： 1．三角函数的图象和性质 2.正弦函数y ＝sin x 当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，取最大值1；当x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，取最小值－1. 3余弦函数y ＝cos x 当x ＝2k π(k ∈Z )时，取最大值1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取最小值－1. 4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为(k π，0)(k ∈Z )、 ? ????k π＋π 2，0(k ∈Z ) ? ?? ??k π2，0(k ∈Z ). 5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为 x ＝k π＋π 2(k ∈Z )和_ x ＝k π(k ∈Z )，y ＝tan x 没有对称轴．二、综合运用： 1、五点法绘y ＝A sin(ωx ＋φ)或y=A ＋的图像：依据：以＝＋为例；＝0，＝1，＝，＝－1，＝0 在实际画图中，要分别令＋＝0、、、、，再求出x 与y 的值，确定对应的五点坐标。例：“五点法”绘出y=2 图像。例：“五点法”绘出y= （）的图像，其中x 图像。注：正切函数的图像采用三点两线的办法。 2、解有关三角函数的方程。思路：在一个周期内，利用原始函数的图像求出对应的x 的值，然后使用整体替代的思路，解出方程中的x. 例1： - 例2： =- 例3：2 （）=1 例4：︱（）︱= 例5︱（）︱= 注：在解有关三解函数的非常规方程时，需要使用数形结合的思想，用图像交点的个数来代表方程的解的个数。例：分析方程 - =0的解的个数。（2个）例：分析方程x- =0的解的个数。（1个）提示：利用三角函数线的性质， α 时， α α tan α。

高考真题三角函数的综合应用

三角函数的综合应用 2019年 1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 2010-2018年一、选择题 1．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ， m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．（2016年浙江）设函数2 ()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 3．（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 3sin()6 y x k π ?=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为

A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 4（2015浙江）存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有 A ．(sin 2)sin f x x = B ．2 (sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+ 5．（2015新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ， CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为 A B C D 6．（2014新课标Ⅰ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为

三角函数公式知识点及应用

三角函数公式 ? 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。基本信息 ?中文名称三角函数 ?外文名称

三角函数的综合应用

解答题规范练三角函数的综合应用 (推荐时间：70分钟) 1．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R . (1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈??? ?－π3，π 3，求x 的值； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ????2x ＋π 6＋1. 由2sin ????2x ＋π6＋1＝1－3，得sin ????2x ＋π6＝－3 2. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π 6， ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4 . (2)当－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π 2 ＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π 6 ＋k π(k ∈Z )时，函数y ＝f (x )单调递增，即函数y ＝f (x )的单调增区间为 ??? ?－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，

2．已知向量a ＝(cos x ＋3sin x ，3sin x )，b ＝(cos x －3sin x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b － cos 2x . (1)求函数f (x )的值域； (2)若f (θ)＝1 5，θ∈????π6，π3，求sin 2θ的值．解 (1)f (x )＝a ·b －cos 2x ＝(cos x ＋3sin x )(cos x －3sin x )＋3sin x ·2cos x －cos 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x －1 ＝2sin ????2x ＋π 6－1， f (x )的值域为[－3,1]． (2)由(1)知f (θ)＝2sin ? ???2θ＋π 6－1，由题设2sin ????2θ＋π6－1＝1 5，即sin ????2θ＋π6＝35， ∵θ∈????π6，π3，∴2θ＋π6∈????π2，5π6， ∴cos ????2θ＋π6＝－45 ， ∴sin 2θ＝sin ????????2θ＋π6－π6＝sin ????2θ＋π6cos π6－cos ????2θ＋π6sin π 6 ＝35×3 2－????－45×12＝33＋410 . 3．已知向量m ＝? ???sin A ，1 2与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角． (1)求角A 的大小； (2)若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值．解 (1)∵m ∥n ，∴sin A ·(sin A ＋3cos A )－3 2＝0. ∴ 1－cos 2A 2＋32sin 2A －3 2 ＝0，

三角函数公式应用及原理解说

三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具 ⑴。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数（sin ）、余弦函数（cos ）和正切函数（tan 或者tg ）。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数［2］。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。直角三角形中的定义右直供二闻张中仅苕期伙水左画90至力间的录）二角藝的宦义［叩?络匡F 锐甬机可以滋出一牛直集二角形，庚再其申的一个内芻是和设連个三甬殛孔9旳对匹需也和得世长度 g afliSE 是更迎弓痔辺的毗面冋百?: &抽余弦是澤边与斜辺的乂道；| ft H 制正切灵对迥与糾盅柏"■宜伽 e ￥ b &的余切是嘟边2舛边的比■包co tfi = - q &闌正甥足斜辺弓押辺的比朗 ; &的余割是斜边与对边的比值！宀诃二2 a 标系中的奩义【姗＜ iftH 吟F 】是平面直角H 标菇咕的一牛知声是欖轴正向程时计疑術I 励方向驱aeiJS, F = C +扌A 礎序順点涮柜离?刚砒林三 JB 曲隸定义为【口 12#可?帅7血划腹圧駆定三三角血也雪主意知:也LL 却宦汩頤左定＞朮自盍買的时僕成立-比如逋当■ = &的时僂.世和二自漲由盍乩遞说朗对丹幢正花；B 口 0—1.正切； -■耀h

高考数学总复习教案：三角函数的综合应用

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页 ) 考情分析考点新知理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题． 2. B级考点：① 同角三角函数的基本关系式 ②二倍角公式 ③三角函数的图象和性质 ④正弦定理和余弦定理 1. (必修5P9例题4题改编)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且 a cosA＝ c sinC，则A＝________．答案： π 4 解析：由 a cosA＝ c sinC， a sinA＝ c sinC，得 a sinA＝ a cosA，即sinA＝cosA，所以A＝ π 4. 2. (必修4P45习题1.3第8题改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin? ? ? ? x－ π 6的图象，则φ＝________．答案： 11 6π 解析：将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．只有φ＝ 11 6π时有y ＝sin? ? ? ? x＋ 11 6π＝sin? ? ? ? x－ π 6. 3. (必修4P109习题3.3第6(2)题改编)tan π 12－ 1 tan π 12 ＝________．答案：－2 3 解析：原式＝ sin π 12 cos π 12 － cos π 12 sin π 12 ＝－? ? ? ? cos2 π 12－sin2 π 12 sin π 12cos π 12 ＝－cos π 6 1 2sin π 6 ＝－2 3.

2020届一轮复习(理)通用版专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用测试

专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用一、选择题 1．若f(cos x)＝cos2x，则f(sin15°)＝() A．1 2B．－ 1 2C．－ 3 2D． 3 2 答案C 解析f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－ 3 2．故选C． 2．点P从(2，0)点出发，沿圆x2＋y2＝4按逆时针方向运动4π 3弧长到达点Q，则点Q的坐标为() A．(－1，3) B．(－3，－1) C．(－1，－3) D．(－3，1) 答案A 解析4π 3弧长所对的圆心角为α＝ 4π 3 2＝ 2π 3，设点Q的坐标为(x，y)，∴x＝ 2cos 2π 3＝－1，y＝2sin 2π 3＝3．故选A． 3．有四个关于三角函数的命题： p1：?x0∈R，sin2 x0 2＋cos 2 x0 2＝ 1 2； p2：?x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0； p3：?x∈[0，π]， 1－cos2x 2＝sin x； p4：sin x＝cos y?x＋y＝ π 2．其中是假命题的是() A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p3，p4 答案A 解析p1是假命题，∵?x∈R，sin2 x 2＋cos 2 x 2＝1；p2是真命题，如x＝y＝0

时成立；p3是真命题，∵?x∈[0，π]，sin x≥0，∴1－cos2x 2＝sin 2x＝|sin x| ＝sin x；p4是假命题，x＝π 2，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠π 2．故选A． 4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量p＝(1，－3)，q ＝(cos B，sin B)，p∥q且b cos C＋c cos B＝2a sin A，则C＝() A．30°B．60°C．120°D．150° 答案A 解析∵p∥q，∴－3cos B＝sin B，即得tan B＝－3， ∴B＝120°，∵b cos C＋c cos B＝2a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B ＝2sin2A，即sin A＝sin(B＋C)＝2sin2A，sin A≠0得sin A＝1 2，∴A＝30°，C＝180° －A－B＝30°．故选A． 5．(2018·福州五校联考二)已知a＝2－1 3，b＝(2log23)－ 1 2，c＝cos50°cos10° ＋cos140°·sin170°，则实数a，b，c的大小关系是() A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 答案C 解析因为a＝2－1 3＝ 1 2 1 3＝ 1 4 1 6，b＝(2log23)－ 1 2＝3－ 1 2＝ 1 3 1 2＝ 1 27 1 6，所以a>b，排除B，D；c＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝ sin30°＝1 2＝ 1 4 1 2，所以b>c，所以a>b>c．选C． 6．(2018·河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sinθ＋π 2－cosθ＋ π 3＝()

三角函数定义及其三角函数公式大全

三角函数定义及其三角函数公式汇总 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得由B A 邻边 A C A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得由B A

6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据： ①边的关系：2 22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线水平线视线视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度( 坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin （α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos （α＋β）＝cosαcosβ－s inαsinβ cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ 三角函数公式汇总1 :i h l =h l α

高考冲刺三角函数公式及应用(提高)

高考冲刺三角函数公式及应用编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题，无论是小题还是大题中出现都是较容易的．主要有三种可能：（1）以小题形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；（2）以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力复习时，要注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，还要重视相关的思想方法，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用，这有利于缩短运算程序，提高解题效率【知识升华】 1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等 2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如 tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+， 2 21cos 1cos cos ,sin 2 222 α ααα +-= = 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。 3.三角函数恒等变形的基本策。 ①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx 2cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+;

数列+三角函数综合应用

数列综合应用+三角函数重点：掌握特殊数列的综合应用以及三角函数应用规划：思维加解题方法以及应用技巧一．数列综合应用：1.等差等比数列基本公式应用——求和，通项 ——等差中项 ——性质应用 2.特殊数列的通项求法——基本公式 ——递推法 ——累加法 ——累乘法 ——构造法。。。。。。。 3.Sn 的求法——基本公式法 ——倒序相加法 ——错位相减法 ——裂项相消法考点一：等差数列等比数列基本公式的应用 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 2．.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，472a a +=，，则（） {}n a 568a a =-110a a +=

()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 .3.(广东卷)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 4.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C.3 D.7 5.（江西卷）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 6.（湖南卷）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于【】 A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 7.（辽宁卷）已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d ＝（A ）－2 （B ）－（C ）（D ）2 8.（四川卷）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 9. 设等差数列的前n 项和为。若，，则当取最小值时，n 等于（） }{n a 3a 9a 25a 2a 1a 2 1 2 2 2{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S n S {}n a 23a =611a =7S {}n a 7a 4a 3a 1 2 12 n a 1a 2a 1a 5a {}n a n S 111a =-466a a +=-n S

三角函数综合应用

三角函数综合应用一、求值问题 1、已知且是第一象限角． (1)求的值；(2)求的值． 2、已知． (1)求的值；(2)求的值． 3、已知，则的值等于( ) A. B. C. D. 4、已知，则的值等于__________． 5、设且，则的值为__________． 6、已知，，，，求．

7、已知，． (1)求的值；(2)求的值 8、__________． 9、__________．二、函数的图像与性质问题 1、函数是( ) A.周期为的偶函数 B.周期为的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 2、设函数，则下列结论正确的是( ) A.的图象关于直线对称 B.的图象关于点对称 C.把的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象 D.的最小正周期为，且在上为增函数 3、若的图象关于直线对称，则的值为( ) A. B. C. D.

4、设函数，的图象的一条对称轴是直线． (1)求；(2)求函数的单调增区间； (3)画出函数在区间上的图象． 5、已知函数，其中角的终边经过点，且．（1）求的值；（2）求在上的单调减区间．三、看图求函数的解析式 1、如图是的图象的一段，它的一个解析式为( ) A. B. C. D. 8、下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A. B. C. D. 三、函数图像变换 1、将函数的图象向右平移个单位长度后再作关于轴对称的曲线，得到函数的图象，则的解析式为( ) A. B. C. D.

2、已知函数图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的倍，然后再将整个图象沿轴向左平移个单位，得到的图象与的图象相同，则的函数表达式为( ) A. B. C. D. 3、为了得到函数的图象，可以将函数的图象( ) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 4、已知函数，且函数图象的相邻两对称轴间的距离为．(1)求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．四、化简解析式 1、已知的定义域为． (1)求的值域； (2)在区间上，，求的值． 2、已知：．(1)求的最小正周期；(2)求的单调增区间；(3)当时，求的值域．

三角函数公式大全

三角函数公式大全三角函数定义锐角三角函数任意角三角函数图形直任角三角形意角三角函数正弦（sin）余弦（cos）正切（tan 或tg）余切（cot 或ctg）正割（sec）余割（csc）函数关系倒数关系：商数关系：平方关系：．诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

中考数学一轮复习(几何篇)13.三角函数的综合运用

13. 三角函数的综合运用知识考点：本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。精典例题：【例1】如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600 ，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。（参考数据：2＝1.41421…，3＝1.73205…）分析：此题可先通过解Rt △ABD 求出塔高AB ，再利用CE ＝BD ＝80米，解Rt △AEC 求出AE ，最后求出CD ＝BE ＝AB －AE 。解：在Rt △ABD 中，BD ＝80米，∠BAD ＝600 ∴AB ＝56.13838060tan 0 ≈=?BD （米）在Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80米，∠ACE ＝450 ∴AE ＝CE ＝80米 ∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝56.5880380≈-（米）答：塔AB 的高约为138. 56米，楼CD 的高约为58. 56米。【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为0 30=α，045=β，求大桥AB 的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3＝1.73）分析：要求AB ，只须求出OA 即可。可通过解Rt △POA 达到目的。解：在Rt △PAO 中，∠PAO ＝0 30=α ∴OA ＝345030cot 450cot 0 ==∠?PAO PO （米）在Rt △PBO 中，∠PBO ＝0 45=β ∴OB ＝OP ＝450（米） ∴AB ＝OA －OB ＝3294503450≈-（米）答：这座大桥的长度约为329米。评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300 方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论。 0450 60 例1图 F E D C B A 例2图 β α A B O P

九年级思维拓展：锐角三角函数的综合运用

九年级思维拓展：锐角三角函数的综合运用 ? 知识点睛 1. 利用锐角三角函数解直角三角形（1）直角三角形中，除直角外，共有五个元素．即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素．（2）利用解直角三角形解决实际问题： ①将实际问题抽象为数学问题画图平面图形，提取信息并标注，明确所求目标及判断标准，转化为解直角三角形的问题． ②根据问题中的条件，选用适当的锐角三角函数和其他信息解直角三角形作高是构造直角三角形的常见手段；在分析直角三角形时，往往先从已知边长的直角三角形出发；若没有完整边长，则通常考虑从两个直角三角形的相等线段长出发，先设，然后借助三角函数值表达其他边长后进行求解． ③求解验证，回归实际结合实际场景和判断标准进行比较后，确定判断结果，回归实际场景． 2. 利用锐角三角函数解三角形（1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角．（2）常见的可解三角形 ①1边2角 β αc C B A βα a C B A ②2边1角 αc a C B A αb a C B A 注：当一个三角形具有三个元素，但不能利用全等判定确定形状唯一时，三角形可解，但图形不唯一． ③3边

b c a B A ④1边1角2表达 αa C B A α b B A AB =mAC AB +BC =n 3. 锐角三角函数在综合问题中的应用研究题目背景往往是分析综合问题的第一步，可以帮助我们找到题目中隐藏的信息——已知三角函数值的角． ①在直角三角形中研究边，分析直角三角形三边之比，判断两锐角的三角函数值是否已知； ②研究角度，来转移计算，判断背景中是否有特殊角（30°，45°，60°，150°，135°，120°），比如由三角形中60°，75°可以计算出第3个角为45°． ? 精讲精练 1. （2019河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55 m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21 m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1 m ．参考数据：sin 34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67 1.73 ） 60°34° A B C D E