第2章 变化率与导数总讲义
2.1变化的快慢与变化率
【学习要求】
1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． 【学法指导】
从平均速度和瞬时速度的概念推广到函数的平均变化率与瞬时变化率，用来刻画事物变化的快慢，为导数的学习作准备. 一．基础知识回顾
1．对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它
的平均变化率为f x 2 －f x 1
x 2－x 1
2．对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝
f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率为
Δy Δx ＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx
；当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．
3．平均变化率用来刻画函数值在某个范围内变化的快慢，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢 二．问题探究
探究点一：平均变化率
例1：已知函数f (x )＝2x 2
＋3x －5.
(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy
Δx ；
(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy
Δx
；
(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
解：f (x )＝2x 2＋3x －5，∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) ＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 2
1＋
3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2
＋(4x 1＋3)Δx . (1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δ
y ＝2＋(4×4＋3)×1＝21，
Δy Δx ＝211
＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy ＝2×0.12
＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
Δy Δx ＝1.920.1＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f x 2 －f x 1
x 2－x 1
＝f 5 －f 4
5－4
，它表示抛物线上P 1(4,39)与点P 2(5,60)连线的斜率．在(2)题中，
Δy
Δx
＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1＝f 4.1 －f 4
4.1－4
，它表示抛物线上点P 1(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜
率．
跟踪训练1：已知函数f (x )＝x 2
＋x ，计算f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．
解：函数f (x )＝x 2
＋x 在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为
f x 0＋Δx －f x 0
x 0＋Δx －x 0
＝
x 0＋Δx 2
＋x 0＋Δx － x 2
0＋x 0 Δx ＝ 2x 0＋1 ·Δx ＋ Δx
2
Δx ＝2x 0＋1＋Δx ，当x 0＝2，Δx ＝
0.1时，函数f (x )＝x 2
＋x 在区间[2,2.1]上的平均变化率为2×2＋1＋0.1＝5.1.
探究点二：瞬时变化率
例2 一辆汽车按规律s ＝3t 2
＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ；位移单位：m)
解：当时间从3变到3＋Δt 时，v ＝s 3＋Δt －s 3 Δt ＝3 3＋Δt 2＋1－ 3×32＋1
Δt
＝3
Δt ＋18. 当Δt 趋于0时，v 趋于常数18. ∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s. 跟踪训练2：求函数f (x )＝－x 2
＋3x 在x ＝2处的瞬时变化率．
解：∵Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2 Δx ＝－ 2＋Δx 2
＋3 2＋Δx － －22
＋3×2 Δx ＝
－ Δx 2
－Δx
Δx ＝－Δx －1. ∴当Δx 趋于0时，Δy
Δx 趋于－1. 即函数f (x )在x ＝2处的瞬时变化率为－1.
三．练一练
1．已知函数y ＝f (x )＝2x 2
－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx
=(C)
A ．4
B ．4x
C ．4＋2Δx
D ．4＋2(Δx )2
2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝
1
8
t 2
，则t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为 (C)
A ．2
B ．1
C ．12
D ．1
4
3．质点运动方程为s ＝t 2
＋3，则在时间(3,3＋Δt )内，相应的平均速度等于6＋Δt ． 4．函数y ＝f (x )＝1
x
2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为－2．
四．课时小结
1．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．
2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义. 五．作业设计
1． 一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 (D)
A ．0.41
B ．3
C ．4
D ．4.1 2． 函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是 (A)
A ．0
B ．1
C ．2
D ．Δx
3． 在曲线y ＝x 2＋2的图像上取一点(1,3)及附近一点(1＋Δx,3＋Δy )，则Δy
Δx
等于 (C)
A ．Δx ＋1Δx ＋2
B ．Δx －1Δx －2
C ．Δx ＋2
D ．2＋Δx －1
Δx
4． 函数y ＝2x 2－x 在x ＝2附近的平均变化率是 (C)
A ．7
B ．7＋Δx
C ．7＋2Δx
D ．7＋2(Δx )2 5． 一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为 (B)
A ．4
B ．6
C ．24
D ．48
6． 自由落体运动方程为s (t )＝1
2gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt
，则Δt
趋于0时，v 趋于9.8 m/s ，它是
(C)
A ．0～1秒内的平均速度
B ．1～(1＋Δt )秒内的速度
C ．1秒这一时刻的瞬时速度
D ．1～(1＋Δt )秒内的平均速度
7 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的 (B)
A ．甲
B ．乙
C ．相同
D ．不确定
8 函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为－9
9． 过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的
斜率k ＝2.1
10．自由落体运动物体在t ＝4 s 时刻的瞬时速度为39.2 m/s ．(取g ＝9.8 m/s 2) 11．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．
解：因为Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2
，所以函数在区间[2,2＋
Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2 Δx
2
Δx
＝－8－2Δx .
12．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第
x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2 Δx ＝ 2＋Δx 2－7 2＋Δx ＋15－ 22
－7×2＋15 Δx ＝
4Δx ＋ Δx 2
－7Δx Δx ＝Δx －3，当Δx 趋于0时，Δy
Δx
趋于－3，即第2 h 时，瞬时变化率为
－3. 它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降．
13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝?
????
3t 2＋2 (t ≥3)
29＋3(t －3)2
(0≤t <3) 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度． 解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化
量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32
)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为
Δs Δt
＝48
2
＝24 (m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝s 0＋Δt －s 0 Δt ＝29＋3[ 0＋Δt －3]2－29－3 0－3
2
Δt
＝3Δt
－18，∴当Δt 趋于0时，Δs
Δt
趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18，即物体的
初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．∵物体
在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝s 1＋Δt －s 1
Δt
＝
29＋3[ 1＋Δt －3]2－29－3 1－3 2
Δt ＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，Δs
Δt
趋于－12，∴物
体在t ＝1处的瞬时变化率为－12.即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
2.2导数的概念及其几何意义
【学习要求】
1．理解导数的概念以及导数和变化率的关系．
2．会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义． 3．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 【学法指导】
通过导数的定义体会其中蕴涵的逼近思想，利用数形结合思想进一步直观感受这种思想． 一．基础知识回顾
1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0点
的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy Δx ＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
2．曲线的切线如图，曲线y ＝f (x )的一条割线AB ，其中A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))．当Δx 趋于零时，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l ，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线．
3．函数的平均变化率的几何意义是曲线y ＝f (x )割线的斜率；函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)表示曲线f (x )在点A 处的切线的斜率 二．问题探究
探究点一：函数在一点处的导数
例1：蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120
t ＋5
＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，
t 为太阳落山后的时间(单位：min)，计算T ′(2)，并解释它的实际意义．
解：T ′(2)＝lim Δt →0
T 2＋Δt －T 2 Δt ＝lim Δt →0
1207＋Δt ＋15－? ????1207＋15Δt ＝lim Δt →0
－120·Δt
7 7＋Δt ·Δt
＝－
12049 (℃/min)．T ′(2)＝－12049(℃/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以120
49
℃/min 的速度下降．
跟踪训练1：已知正方形的面积S 是边长x 的函数S ＝x 2
，计算S ′(5)并说出S ′(5)的意义．
解：S ′(5)＝lim Δx →0
S 5＋Δx －S 5 Δx ＝lim Δx →0
5＋Δx 2－52Δx ＝lim Δx →0
10Δx ＋ Δx
2
Δx
＝lim Δx →0
(10
＋Δx )＝10. S ′(5)＝10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加．
探究点二：导数的几何意义
问题1：如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？
答：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．
问题2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
答：不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
例2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2
＋6.5t ＋10的图像．根据图像，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．
解：我们用曲线h (t )在t 0，t 1，t 2处的切线，刻画曲线h (t )在上述三个时刻附近的变化情况．(1)当t ＝t 0时，曲线h (t )在t 0处的切线l 0平行于t 轴．所以，在t ＝t 0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(2)当t ＝t 1时，曲线h (t )
在t 1处的切线l 1的斜率h ′(t 1)<0.所以，在t ＝t 1附近曲线下降，即函数h (t )在t ＝t 1附近单调递减．(3)当t ＝t 2时，曲线h (t )在t 2处的切线l 2的斜率h ′(t 2)<0.所以，在t ＝t 2
附
近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
跟踪训练2：(1)根据例2的图像，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．
解：函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(A)
解析：依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图像上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图像，只有A满足．
探究点三：求切线的方程
问题1：怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
答：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
问题2：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？
答：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．
例3：已知曲线f(x)＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．
解：(1)设切点为(x0，y0)，lim
Δx→0 x0＋Δx 2－x20
Δx
＝lim
Δx→0
x20＋2x0·Δx＋ Δx 2－x20
Δx
＝2x0，∴f′
(1)＝2. ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. (2)点P(3,5)不在曲线f(x)＝x2上，设切点为(x0，y0) 由(1)知，f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)①，再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20②，联立①，②得，x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25) 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25. 综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.
跟踪训练3：已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．
解：y′＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
[2 x＋Δx 2－7]－ 2x2－7
Δx
＝lim
Δx→0
(4x＋2Δx)＝4x. (1)设切点
为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2
或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0和16x －y －39＝0.
三．练一练
1．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0
f x 0＋h －f x 0h
(B)
A ．与x 0、h 都有关
B ．仅与x 0有关，而与h 无关
C ．仅与h 有关，而与x 0无关
D ．与x 0、h 均无关
2．函数y ＝3x 2
在x ＝1处的导数为 (B) A ．12 B ．6 C ．3 D ．2
3．若曲线y ＝x 2
＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 (A) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1
4．已知曲线f (x )＝2x 2
＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为(3,30) ． 四．课时小结
1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0Δx
＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点. 五．作业设计
1． 函数f (x )＝x 2－1在x ＝1处的导数是 (C)
A ．0
B ．1
C ．2
D ．以上都不对
2． 设函数f (x )＝ax 3
＋2，且f ′(－1)＝3，则a 等于 (D)
A ．－1 B.12 C.1
3
D ．1
3. 已知y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是 (B)
A ．f ′(x A )>f ′(x
B ) B ．f ′(x A ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定 4． 在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π 4 的点是 (D) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，1 4) 5． 设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－x ) x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线 的斜率是 (B) A ．1 B ．－1 C.1 2 D ．－2 6． 曲线f (x )＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为 (A) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2 7． 已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1 2 x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝3 8． 若曲线y ＝2x 2 －4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝3 9． 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为??? ?0，π4，则点P 横坐标的取值范围为????－1，－1 2 10．一质点按规律s ＝s (t )＝at 2 ＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值． 解：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2 ，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt .由题意知，在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝lim Δt →0 Δs Δt ＝4a ，故4a ＝8，所以a ＝2. 11．求过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解：曲线f (x )＝3x 2 －4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率f ′(1)＝lim Δx →0 3 1＋Δx 2 －4 1＋Δx ＋2－3＋4－2 Δx ＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 12．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程． 解：(1)由????? y ＝x 2 ＋4，y ＝x ＋10，解得????? x ＝－2y ＝8或? ???? x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2 ＋4，∴f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－ x 2 ＋4 Δx ＝lim Δx →0 Δx 2 ＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x .∴f ′(－2)＝－4，f ′(3)＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0. 13．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6 平行，求a 的值． 解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 2 0－9x 0 －1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx ＝3x 2 0＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋ (Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 2 0＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2 －9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 2 3.∵斜率最小的切线与 12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 2 3 ＝－12. 2.3计算导数 【学习要求】 1．会求函数在一点处的导数． 2．理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数． 【学法指导】 利用定义求导法是最基本的方法，而导数公式的应用在简单函数的求导中作用重大；我们要从几何、物理等不同角度深刻认识导数的内涵. 一．基础知识回顾 1．导函数：一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记 为f ′(x)：f ′(x)＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ，则f ′(x)是关于x 的函数，称f ′(x)为f(x) 的导函数，通常也简称为导数． 2．导数公式表 二．问题探究 探究点一：函数在一点处的导数计算 例1：已知f(x)＝x 2 －3.(1)求f(x)在x ＝2处的导数；(2)求f(x)在x ＝a 处的导数． 解：(1)因为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2 Δx ＝ 2＋Δx 2 －3－ 22 －3 Δx ＝4＋Δx ，∴f ′(2)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx)＝4. (2)Δy Δx ＝f a ＋Δx －f a Δx ＝ a ＋Δx 2 －3－ a 2 －3 Δx ＝2a ＋Δx ，∴f ′(a) ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋Δx)＝2a. 跟踪训练1：求函数f(x)＝1 x －x 在点x ＝4处的导数． 解：Δy Δx ＝14＋Δx － 4＋Δx －? ??? ?14－4Δx ＝－14 4＋Δx －1. ∴f ′(4)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ? ?? ??－116＋4Δx －1＝－1716. 探究点二：导函数 例2：求函数y ＝f(x)＝1 x ＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(2)． 解：∵Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x) ＝1x ＋Δx ＋5－? ????1x ＋5＝－Δx x ＋Δx ·x ，∴Δy Δx ＝－1 x ＋Δx ·x ，∴f ′(x)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －1 x ＋Δx ·x ＝－1x 2.∴f ′(2)＝－1 4 . 跟踪训练2：求函数f(x)＝－x 2 ＋3x 的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)． 解：f ′(x)＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 － x ＋Δx 2 ＋3 x ＋Δx ＋x 2 －3x Δx ＝lim Δx →0 (－Δ x －2x ＋3)＝－2x ＋3，即f ′(x)＝－2x ＋3，∴f ′(3)＝－2×3＋3＝－3，f ′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5. 探究点三：导数公式表的应用 例3:求下列函数的导数： (1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x. 解:(1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝? ?? ??1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4 ；(4)y ′＝ (4x 3 )′＝( 34 x )′＝ 34 14 x -＝ 3 44 x ；(5)y ′＝(log 3x)′＝1 xln 3. 跟踪训练3:求下列函数的导数： (1)y ＝x 8 ；(2)y ＝(12 )x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝ 13 log x. 解:(1)y ′＝8x 7 ；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝ 32 x ，∴y ′＝ 3 2 12 x ； (4)y ′＝1xln 13＝－1 xln 3. 三．练一练 1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3 x ，则y′＝133 x ；③若y ＝1x 2，则 y′＝－2x －3 ；④若f(x)＝3x ，则f′(1)＝3.其中正确的个数是 (C) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．函数f(x)＝x ，则f ′(3)等于 (A) A.3 6 B.0 C. 12x D. 3 2 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 (A) A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪[π2，3π 4] 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为12 e 2． 解析：∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2 ，∴曲线在点(2，e 2 )处的切线方程为y －e 2 ＝e 2 (x －2)，即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2 |＝12e 2. 四．课时小结 1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x 2 ＝cos x ，所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化． 五．作业设计 1． 下列结论中正确的个数为 (D) ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2 27 ； ③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1 xln 2 . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2． 过曲线y ＝1 x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为 (B) A.????12，2 B.????12，2或????－12，－2 C.????－12，－2 D.??? ?12，－2 3． 已知f(x)＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于 (A) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 4． 曲线y ＝x 3 的斜率等于1的切线有 (B) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 5． 若曲线y ＝x －12在点(a ，a －1 2 )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于 (A) A ．64 B ．32 C ．16 D ．8 6． 已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为 (D) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 7． 若f(x)＝10x ，则f ′(1)＝10ln 10 8． 曲线f(x)＝14x 3 在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为－3 4 9．直线y ＝1 2 x ＋b 是曲线y ＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b ＝ln 2－1 10． 求下列函数的导数： (1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5 x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2? ???1－2cos 2x 4. 解：(1)y ′＝(x x)′＝32()x ′＝32312x -＝32x.(2)y ′＝? ?? ??1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5 ＝－4x 5.(3)y ′＝(5x 3)′＝35()x ′＝35315x -＝352 5x -＝355x 2 .(4)∵y ＝log 2x 2 －log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x)′＝1xln 2.(5)∵y ＝－2sin x 2? ????1－2cos 2x 4＝2sin x 2? ????2cos 2x 4－1＝2sin x 2 cos x 2 ＝sin x ，∴y ′＝(sin x)′＝cos x. 11．求与曲线y ＝3 x 2在点P(8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程． 解：∵y ＝3 x 2 ，∴y ′＝(3 x 2 )′＝23 ()x ′＝2313x -，即在点P(8,4)处的切线的斜率为1 3 .从而 适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)，即3x ＋y －28＝0. 12．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花 距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，利用导数的定 义求h ′(2)，并解释其实际意义． 解：烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)．而Δh Δt ＝h 2＋Δt －h 2 Δt ＝－4.9－4.9Δ t.所以h ′(2)＝lim Δt →0 Δh Δt ＝lim Δt →0 (－4.9－4.9Δt)＝－4.9.即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降． 13．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，试求f 2 014(x)． 解：f 1(x)＝(sin x)′＝cos x ，f 2(x)＝(cos x)′＝－sin x ，f 3(x)＝(－sin x)′＝－cos x ，f 4(x)＝(－cos x)′＝sin x ，f 5(x)＝(sin x)′＝f 1(x)，f 6(x)＝f 2(x)，…，f n ＋4(x)＝f n (x)，可知周期为4，∴f 2 014(x)＝f 2(x)＝－sin x. 2.4 2.5导数的四则运算法则 【学习要求】 1．理解导数的加减法法则．2．运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数． 3．理解导数的乘法与除法法则．4．将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题． 【学法指导】 1. 应用导数的运算法则可以解决比较复杂的函数的求导问题，简化求导过程，体现了数学 中的转化思想. 2.使用导数公式和运算法则，可以先将函数解析式化简变形，减少计算量，增强导数工具的实用性. 一．基础知识回顾 1.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )，[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )． 2.一般地，若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ???? ??f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x .特别地，当g (x )＝k 时，有[kf (x )]′＝kf ′(x) 二．问题探究 探究点一：导数的加法与减法法则 例1：求下列函数的导数．(1)y ＝x 3＋x 2＋x ；(2)y ＝2x ＋x . 解：(1)y ′＝(x 3＋x 2＋x )′＝(x 3)′＋(x 2)′＋(x )′＝3x 2＋2x ＋1. (2)y ′＝(2x ＋x )′＝ (2x )′＋(x )′＝2x ln 2＋12x . 跟踪训练1：已知f (x )＝tan x ＋sin x ，求f ′? ?? ??π3. 解：f ′(x )＝(tan x )′＋(sin x )′＝ 1cos 2x ＋cos x ，∴f ′? ?? ??π3＝4＋12＝92. 探究点二：导数加减法的应用 例2：已知函数f (x )＝x 3 ＋x ，求函数在点(2,10)处的切线方程． 解：f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. ∴f ′(2)＝3×22＋1＝13. ∴所求切线的斜率是13. ∴切线方程为y －10＝13(x －2)，即13x －y －16＝0. ∴所求切线的方程是13x －y －16＝0. 跟踪训练2：已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，求曲线y ＝f (x )在x ＝π 4 处的切线方程． 解：∵f ′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ，∴f ′? ?? ??π4＝cos π4－sin π4＝0. ∴曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线斜率为0. 又f ? ????π4＝2，∴所求切线方程为y ＝ 2. 探究点三：导数乘除法的运算法则 例3：求下列函数的导数： (1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2；(2)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(3)y ＝ln x ＋2x x 2 ；(4)y ＝1－12sin 2x 2. 解：(1)∵y ＝x 3 ＋ 32 x -＋ sin x x 2 ＝x 3 ＋3 2 x -＋sin x ·x －2，∴y ′＝(x 3 ＋ 3 2 x -＋sin x ·x －2 )′＝3x 2 － 32 52 x -＋cos x ·x －2＋(－2x －3)sin x ＝3x 2 － 32x 5 ＋cos x x 2 － 2sin x x 3 .∴y ′＝ 3x 2 ＋cos x x 2－32x 2x －2sin x x 3 .(2)∵y ＝ 1＋x 2 1－x ＋ 1－x 2 1－x ＝2 1＋x 1－x ＝4 1－x －2，∴y ′＝(41－x －2)′＝4′ 1－x －4 1－x ′ 1－x 2＝4 1－x 2.(3)y ′＝(ln x x 2＋2x x 2)′＝(ln x x 2)′＋(2 x x 2)′＝ 1x ·x 2 －ln x ·2x x 4 ＋ 2x ·ln 2·x 2－2x ·2x x 4 ＝ 1－2ln x x ＋ ln 2·x 2－2x ·2 x x 4 ＝ 1－2ln x ＋ ln 2·x －2 2 x x 3 .(4)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14(3＋1－2sin 2x 2)＝14(3＋cos x )＝34＋14 cos x ，∴y ′＝(34＋14cos x )′＝－1 4 sin x . 跟踪训练3：求下列函数的导数： (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝x sin x －2 cos x . 解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′＝ x sin x ′cos x －x sin x cos x ′ cos 2 x ＝ sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2 x cos 2x ＝ sin x cos x ＋x cos 2x (2)y ′＝ x ＋3 ′ x 2 ＋3 － x ＋3 x 2＋3 ′ x ＋3 ＝－x 2 －6x ＋3 x ＋3 .(3)y ′＝(x sin x )′－(2 cos x )′＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2 x . 探究点四：导数的应用 例4：(1)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为3x －y ＋1＝0 (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：f (x )＝x 3 －10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为(－2,15) (3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝ t －1t 2＋2t 2 (位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解析:（1）y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0 ＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1（2）解析：设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知，f ′(x 0) ＝3x 20－10＝2，∴x 2 0＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)．（3）解：∵s (t )＝ t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2 ， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227 ＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为323 27 m/s. 跟踪训练4：(1)曲线f (x )＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ????π4，0处的切线的斜率为 (B) A ．－1 2 B ．1 2 C ．－ 2 2 D ． 22 （1）解析：f ′(x )＝ cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin x sin x ＋cos x 2＝1 sin x ＋cos x 2， 故f ′(π4)＝12，∴曲线在点M ? ?? ??π4，0处的切线的斜率为12. (2)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2 ＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程 为y ＝1，确定b 、c 的值． 解：由题意得，f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2 －ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2 x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知??? ? ? f ′ 0 ＝0f 0 ＝1 ，即??? ? ? 02 －a ·0＋b ＝0c ＝1 ，故b ＝0，c ＝1. 三．练一练 1．函数f (x )＝sin x ＋x 的导数是 (A) A ．f ′(x )＝cos x ＋1 B ．f ′(x )＝cos x －1 C ．f ′(x )＝－cos x ＋1 D ．f ′(x )＝－cos x ＋x 2．曲线y ＝x 3－3x 2 ＋1在点(1，－1)处的切线方程为 (B) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5 3．已知f ′(1)＝13，则函数g (x )＝f (x )＋x 在x ＝1处的导数为14 4．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点坐标为(1，e) 解析：∵(e x )′＝e x .设切点坐标为(x 0， e x )，则过该切点的切线斜率为 e x ，令 e x ＝ e x －0 x 0－0 .即x 0· e x ＝ e x ，∴x 0＝1.∴切点坐标为(1，e)． 5．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 (D) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x ) 6．曲线f (x )＝ x x ＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为 (A) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x ＋2 7．设f (x )＝ax 2 －b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12 ，则a ＝0 ，b ＝－1 8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，当h (x )满足下列条件时，求h (5)，h ′(5)． (1)h (x )＝3f (x )＋2g (x )；(2)h (x )＝f (x )g (x )＋1； (3)h (x )＝f x ＋2 g x . 解：(1)h ′(x )＝3f ′(x )＋2g ′(x )．∴h (5)＝3f (5)＋2g (5)＝3×5＋2×4＝23，h ′(5)＝3f ′(5)＋2g ′(5)＝3×3＋2×1＝11. (2)h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．∴h (5)＝f (5)g (5)＋1＝5×4＋1＝21，h ′(5)＝f ′(5)g (5)＋f (5)g ′(5)＝3×4＋5×1＝17. (3)h ′(x )＝ f ′ x g x －[f x ＋2]g ′ x g 2 x .∴h (5)＝f 5 ＋2g 5 ＝5＋24＝7 4 ，h ′(5)＝f ′ 5 g 5 －[f 5 ＋2]g ′ 5 g 2 5 ＝3×4－ 5＋2 ×142 ＝5 16 . 四．课时小结 1．导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具． 2．利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点. 3.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题. 五．作业设计 导数的加法与减法法则 1． 下列结论不正确的是 (D) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3 C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－1 2x ＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 2． 函数y ＝x －(2x －1)2的导数是 (D) A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8x D ．5－8x 3． 曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为 (C) A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(－1，－4) D ．(2,8)和(－1，－4) 4． 曲线f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是 (C) A.24 B.22 C.322 D. 2 5． 已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是 (A) A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1) C ．f (x )＝2(x －1)2 D ．f (x )＝x －1 6． 函数y ＝2x 2－x x ＋3x －2 x 的导数为 (D) A.x ????3＋1x 2＋1 B.x ????3－1x 2－1 C.x ????3－1x 2＋1 D .x ??? ?3＋1x 2－1 7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 (A) A ．4 B ．－14 C ．2 D ．－1 2 8． 过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2 －4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是2x －y ＋4＝0 9． 某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3 t (t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为713 16 m/s 10．已知f (x )＝1 3 x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝1 11． 已知函数f (x )＝2x ＋x 2－x ，求f ′(1)，f ′(4)． 解：f ′(x )＝(2x ＋x 2－x )′＝(2x )′＋(x 2)′－x ′＝2x ln 2＋2x －1，∴f ′(1)＝2ln 2＋1，f ′(4)＝24·ln 2＋2×4－1＝16ln 2＋7. 12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、 c 的值． 解：因为y ＝ax 2 ＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由 ???? ? a ＋ b ＋ c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1， 解得???? ? a ＝3， b ＝－11， c ＝9. 所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9. 13．已知函数f (x )＝ax －6 x 2＋b 的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数 f (x )的解析式． 解：由M (－1，f (－1))在x ＋2y ＋5＝0上得－1＋2f (－1)＋5＝0即f (－1)＝－2.也即 －a －6 1＋b ＝－2.①f ′(x )＝a x 2 ＋b －2x ax －6 x 2＋b 2，由f ′(－1)＝－12得a 1＋b ＋2 －a －6 1＋b 2 ＝－1 2 .②由①②得a ＝2，b ＝3，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －6 x 2＋3 . 14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式； (2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 解：(1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x 2， ∴f ′(2)＝7 4，②由①，②得????? 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝7 4. 解之得? ?? ?? a ＝1 b ＝3.故f (x )＝x －3 x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3 x 知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6 x 0 ，从而得切线与直线 x ＝0的交点坐标为(0，－6 x 0 )．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为 (2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6 x 0 ||2x 0| ＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值此定值为6. 导数的乘法与除法法则 1． 函数y ＝x 1－cos x 的导数是 (B) A.1－cos x －x sin x 1－cos x B.1－cos x －x sin x (1－cos x )2 C.1－cos x ＋sin x (1－cos x )2 D.1－cos x ＋x sin x (1－cos x )2 2． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于 (B) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 3． 设曲线f (x )＝x ＋1 x －1 在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于 (D) A ．2 B.12 C ．－1 2 D ．－2 4． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 (B) A ．e 2 B ．e C.ln 2 2 D ．ln 2 5． 已知点P 在曲线y ＝4 e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(D) A.????0，π4 B.????π4，π2 C.????π2，3π4 D.??? ?3π4，π 6． 设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π 12 ]，则导数f ′(1)的取值范围是 (D) A ．[－2,2] B ．[2，3] C ．[3，2] D ．[2，2] 7． 曲线f (x )＝x 2x －1 在点(1,1)处的切线方程为.x ＋y －2＝0 8． 设f (x )＝a e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1 e ，则a ＋b ＝1 9．若函数f (x )＝e x x 在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值为1 2 ． 10． 求下列函数的导函数： (1)f (x )＝(x 2 ＋7x －5)sin x ；(2)f (x )＝x 3＋cot x ln x ；(3)f (x )＝2sin x ＋x －2x 3x 2 . 解：(1)f ′(x )＝(x 2＋7x －5)′sin x ＋(x 2＋7x －5)(sin x )′＝(2x ＋7)sin x ＋(x 2 ＋7x － 5)cos x .(2)f ′(x )＝ x 3＋cot x ′ln x － x 3 ＋cot x ln x ′ ln 2 x ＝ 3x 2－1sin 2x x ln x －x 3 －cot x x ln 2 x .(3)f ′(x )＝(x ＋2sin x －2x )′x －23 ＋(x ＋2sin x －2x )·? ?? ??x －23′＝(1＋2cos x －2x ln 2)x －23－23(x ＋2sin x －2x )x －53. 11．已知直线l 1为曲线y ＝x 2 ＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. 求直线l 2的方程． 解：∵y ′＝2x ＋1，∴直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2 ＋x －2的切点为B (b ， b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.∵l 1⊥l 2，∴2b ＋1＝－13，b ＝－2 3 .∴直 线l 2的方程为y ＝－13x －22 9 . 12．已知偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图像过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式． 解：∵f (x )的图像过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 4＋bx 3 ＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 4＋cx 2 ＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，可知切点为(1，－1)，∴a ＋c ＋1＝－1.①∵f ′(1) ＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.②由①②解得a ＝52，c ＝－9 2 .∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x ) ＝52x 4－92 x 2 ＋1. 13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程． 解：设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2 )．对于C 1：y ′＝2x ， 则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 2 1.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2 ＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 2 2 －4.②因为两切线重合，所以由①②，得????? 2x 1＝－2 x 2－2 ， －x 21＝x 2 2－4 解得? ?? ?? x 1＝0， x 2＝2或 ? ?? ?? x 1＝2， x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4. 2.6简单复合函数的求导法则 【学习要求】 1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)． 【学法指导】 复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程． 一．基础知识回顾 二．问题探究 探究点一：复合函数的定义 例1：指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y ＝(3＋5x)2；(2)y ＝log 3(x 2 －2x ＋5)；(3)y ＝cos 3x. 解：(1)y ＝(3＋5x)2是由函数y ＝u 2，u ＝3＋5x 复合而成的．(2)y ＝log 3(x 2 －2x ＋5)是由函 数y ＝log 3u ，u ＝x 2 －2x ＋5复合而成的．(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的． 跟踪训练1：指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y ＝ln x ；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝cos (3x ＋1)． 解：(1)y ＝ln u ，u ＝x ；(2)y ＝e u ，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝3x ＋1. 探究点二：复合函数的导数 例2：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ；(3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3 . 解：(1)原函数可看作y ＝u 4 ，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4 )′·(2x － 1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3 . (2)y ＝ 1 1－2x ＝(1－2x) 12 - 可看作y ＝u 12 - ，u ＝1－2x 的复 合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－1 2)u 32 - ·(－2)＝(1－2x) 32 - ＝11－2x 1－2x .(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋ π 3 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)．(4)原函数可看作y ＝10u ， u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3 ·ln 10·2＝(ln 100)10 2x ＋3 . 跟踪训练2：求下列函数的导数． (1)y ＝ln 1x ；(2)y ＝e 3x ；(3)y ＝5log 2(2x ＋1)． 解：(1)函数y ＝ln 1x 可以看成函数y ＝ln u 和函数u ＝1 x 的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u)′·(1x )′＝1u ·(－1x 2)＝－1x .(2)函数y ＝e 3x 可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝3x 的复合函 数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(3x)′＝3e u ＝3e 3x . (3)函数y ＝5log 2(2x ＋1)可以看成函 数y ＝5log 2u 和函数u ＝2x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(log 2u)′·(2x ＋1)′＝10uln 2＝10 2x ＋1ln 2. 探究点三：导数的应用 例3：求曲线f(x)＝e 2x ＋1 在点(－1 2 ，1)处的切线方程． 解：∵f ′(x)＝e 2x ＋1 ·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1， ∴f ′(－12)＝2，∴曲线f(x)＝e 2x ＋1 在点(－12 ，1) 处的切线方程为y －1＝2(x ＋1 2 )，即2x －y ＋2＝0. 跟踪训练3：曲线f(x)＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程． 解：f ′(x)＝(e 2x cos 3x)′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x)′＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x) ＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x) f ′(0)＝2. 则切线方程为y －1＝2(x －0) 即2x －y ＋1＝0若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1| 5 ＝5?c ＝6 或c ＝－4. 故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0. 三．练一练 1．函数y ＝(3x －2)2 的导数为 (D) A ．2(3x －2) B ．6x C ．6x(3x －2) D ．6(3x －2) 2．若函数y ＝sin 2 x ，则y′等于 (A) A ．sin 2x B ．2sin x C ．sin xcos x D ．cos 2 x 3．若y ＝f(x 2 )，则y′等于 (A) A ．2xf ′(x 2) B ．2xf ′(x) C ．4x 2f(x) D ．f ′(x 2 ) 4．设曲线f(x)＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝2 四．课时小结 求简单复合函数f(ax ＋b)的导数：求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f(u)，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f(u)与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f(u)，u ＝ax ＋b 的形式是关键. 五．作业设计 1． 下列函数不是复合函数的是 (A) A ．y ＝－x 3－1x ＋1 B ．y ＝cos(x ＋π4) C ．y ＝1 ln x D ．y ＝(2x ＋3)4 2． 函数y ＝1 (3x －1)2的导数是 (C) A.6(3x －1)3 B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3 D ．－6(3x －1)2 3． y ＝ex 2－1的导数是 (B) A ．y ′＝(x 2－1)ex 2－1 B ．y ′＝2xex 2－1 C ．y ′＝(x 2－1)e x D ．y ′＝ex 2 －1 4． 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为 (B) A ．y ′＝2xcos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2xcos 2x －2x 2 sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2xsin 2x D ．y ′＝2xcos 2x ＋2x 2sin 2x 5． 已知直线y ＝x ＋1与曲线f(x)＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 (B) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 6． 曲线f(x)＝e 1 2 x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (D ) A.9 2 e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2 7． 函数y ＝(2 011－8x)3的导数y ′＝－24(2 011－8x)2 8． 曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π 6 处切线的斜率为－2 9． 函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f ′(2)＝5，则实数a 的值为1 10．求下列函数的导数： (1)y ＝(1＋2x 2)8；(2)y ＝11－x 2；(3)y ＝sin 2x －cos 2x ；(4)y ＝cos x 2 . 解：(1)设y ＝u 8，u ＝1＋2x 2，∴y ′＝(u 8)′(1＋2x 2)′＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7 ·4x ＝32x(1 ＋2x 2)7.(2)设y ＝12u -，u ＝1－x 2，则y ′＝(12u -)′(1－x 2 )′＝(－1232u -)·(－2x)＝x(1－ x 2 ) 3 2- .(3)y ′＝(sin 2x －cos 2x)′＝(sin 2x)′－(cos 2x)′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝2 2 sin(2x ＋π4)．(4)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y ′＝(cos u)′·(x 2 )′＝(－sin u)·2x ＝(－ sin x 2)·2x ＝－2xsin x 2 . 11．已知a>0，f(x)＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切 线l 的方程． 解：f(x)＝ax 2 －2x ＋1＋ln(x ＋1)，f(0)＝1.∴f ′(x)＝2ax －2＋1x ＋1 ＝ 2ax 2 ＋2a －2x －1 x ＋1 ，f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0. 12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位： s)的函数为s ＝s(t)＝5－25－9t 2.求函数在t ＝7 15 s 时的导数，并解释它的实际意义． 解：函数s ＝5－25－9t 2 可以看作函数s ＝5－x 和x ＝25－9t 2 的复合函数，其中x 是中间 变量．由导数公式表可得s x ′＝－12 1 2x ，x t ′＝－18t.故由复合函数求导法则得s t ′＝ s x ′·x t ′＝(－12x －12)·(－18t)＝9t 25－9t 2 ，将t ＝715代入s ′(t)，得s ′(7 15)＝0.875 (m/s)．它表示当t ＝7 15 s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 13．求证：可导的奇函数的导函数是偶函数． 证明：设y ＝f(x)是奇函数，即f(－x)＝－f(x)，两边对x 求导，得f ′(－x)·(－x)′＝ －f ′(x)，即－f ′(－x)＝－f ′(x)，f ′(－x)＝f ′(x)，故原命题成立． 第2章变化率与导数章末小结 一．知识网络结构图 二．问题探究 题型一：导数定义的应用 函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率 Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ，这是数学上的“逼 近思想”. 例1：求函数f (x )＝2x 2 ＋5在x ＝1点处的导数． 解：(方法一) Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝ 21＋Δx 2 ＋5－2×12 ＋5Δx ＝4＋2Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (4＋2Δx )＝4. (方法二)(先求f ′(x )，再求f ′(1)) Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝ 2x ＋Δx 2 ＋5－2x 2 ＋5Δx ＝4x ＋2Δx ，∴f ′(x )＝lim Δx →0 (4x ＋2 冷世平之教案设计【高二下】 选修2-2第一章导数及其应用第1课时 1 课题：§1.1.1变化率及导数的概念 三维目标： 1、 知识与技能 ⑴理解平均变化率的概念； ⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； ⑶理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率； ⑸理解导数的几何意义。 2、过程与方法 ⑴通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数； ⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； ⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情态与价值观 ⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想； ⑵通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念，从而激发学生学习数学的兴趣； ⑶通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。 教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。 教学过程： 一、引入课题： 为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。 二、讲解新课： 【探究1】气球膨胀率 同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34 ()3 V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数, 那么()r V 。 【分析】⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10 r r dm L -≈-；⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21 r r dm L -≈-。可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了。 【思考】当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】2121 ()()r V r V V V -- 【探究2】高台跳水 教学准备 1. 教学目标 知识与技能 1.理解平均变化率的概念. 2.了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念. 3.理解导数的概念 4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率. 过程与方法 理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率． 情感、态度与价值观 感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力． 2. 教学重点/难点 教学重点 平均变化率的概念． 教学难点 平均变化率概念的形成过程． 3. 教学用具 多媒体、板书 4. 标签 教学过程 教学过程设计 创设情景、引入课题 【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。 新知探究 1.变化率问题 探究1 气球膨胀率 【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 【分析】 （1）当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 （2）当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 第10讲变化率与导数、导数的计算[最新考纲] 1．了解导数概念的实际背景； 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义； 3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1 x，y＝x 2，y＝x3，y＝x 的导数； 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数[仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数]的导数. 知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Δy Δx＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx为 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或. ②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)称函数f′(x)＝f(x＋Δx)－f(x) Δx为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)?????? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝f ′(u )·v ′(x )． 辨 析 感 悟 1．对导数概念的理解 (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．(√) 2．导数的几何意义与物理意义 (4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (5)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝0.(×) (6)(·广东卷改编)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为2x －y ＋1＝0.(√) 3．导数的计算 (7)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .(×) (8)(教材习题改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导函数是y ′＝－x sin x ．(√) (9)[f (ax ＋b )]′＝f ′(ax ＋b )．(×) [感悟·提升] 1．“过某点”与“在某点”的区别 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点． 2．导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 变化率与导数教案 Prepared on 24 November 2020 第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0 101) ()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的 斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常 数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ?和位置改变量)()(00t s t t s s -?+=? 2.再求平均速度t s v ??= 3.后求瞬时速度：当t ?无限趋近于0，t s ??无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+) ()(00 (5)瞬时加速度：当t ?无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这 个常数称为t=t 0时的瞬时加速度 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________． 2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1 1 ●高考明方向 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. ★备考知考情 由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x y e 在点()0,3处的切线方程为 ； 2014广东文科11 曲线53=-+x y e 在点()0,2-处的切线方程为 ； 一、知识梳理《名师一号》P39 知识点一导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化 率lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x ＝x0 . (2)称函数f′(x)＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx为f(x)的导函数. 注意:《名师一号》P40 问题探究问题1 f′(x)与f′(x0)有什么区别？ f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数， f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值． 例.《名师一号》P39 对点自测1 1.判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．() (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．() (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．() 答案(1)×(2)×(3)√ 2 第一章导数及其应用 第一课时：变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了 )(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了 )(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 第1课时变化率问题与导数的概念 a 1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念. 2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤. 3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验. 4.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢? 问题1:根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: (1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度= . (2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度= . 问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx 表示,平均变化率的公式是. 问题3:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)== . 问题4:在导数的定义中,对Δx→0的理解是:Δx>0,Δx<0,但. 1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(). A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(). A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为. 4.求y=2x2+4x在点x=3处的导数. 第十一节变化率与导数、导数的计算 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常 数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ 1 x的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导 数. 1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择 题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题， 如2012年广东T12，辽宁T12等． 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数 函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导 数及求导法则的正确利用. [归纳·知识整合] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数： 称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． [探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？ 提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 变化率与导数 【学习目标】 （1）理解平均变化率的概念； （2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； （3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率； 【要点梳理】 知识点一：平均变化率问题 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121 ()() f x f x x x -- 要点诠释： ① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ?,且21x x x ?=-,相应的函数值的“增量”为 y ?,21()()y f x f x ?=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 即递增或递减幅度的大小。 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出21()()y f x f x ?=-和21x x x ?=- ②作商：对所求得的差作商，即2121 ()()f x f x y x x x -?=?-。 要点诠释： 1. x ?是1x 的一个“增量”，可用1x x +?代替2x ，同样21()()y f x f x ?=-。 2. x V 是一个整体符号，而不是V 与x 相乘。 3. 求函数平均变化率时注意,x y V V ，两者都可正、可负，但x V 的值不能为零，y V 的值可以为零。若 【巩固练习】 一、选择题 1．（2015春 保定校级月考）函数在一点的导数是（ ） A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B.一个函数 C.一个常数，不是变数 D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率。 2.（2015春 淄博校级月考）在曲线2 2y x =+的图象上取一点（1,3）及邻近一点()1,3x y +?+?，则 y x ?? 为（ ） A. 12x x ?+ +? B. 2x ?+ C. 1x x ?-? D. 1 2x x ?-+? 3.一直线运动的物体，从时间t 到t t +?时，物体的位移为s ?，那么t s t ??→?0lim 为 （ ） A ．从时间t 到t t +?时，物体的平均速度 B ．时间t 时该物体的瞬时速度 C ．当时间为t ?时该物体的速度 D ．从时间t 到t t +?时位移的平均变化率 4. 已知函数)(x f y =，下列说法错误的是（ ） A. )()(00x f x x f y -?+=?叫函数增量 B. x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00叫函数在[x x x ?+00,]上的平均变化率 C. )(x f 在点0x 处的导数记为y ' D. )(x f 在点0x 处的导数记为)(0x f ' 5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为2 18 s t =， 则t=2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．14 6． 设()4f x ax =+，若'(1)2f =，则a=（ ） A ．2 B ．－2 C ．3 D ．不确定 7．（2015秋 泗县校级期末）若()f x 在(),-∞+∞可导，且 (2)() 13lim x f a x f a x ?→+?-=?，则'()f a =（ ） A. 23 B.2 C.3 D.32 第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题 1．1.2导数的概念 双基达标(限时20分钟) 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于 ()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析Δy Δx＝ f(1＋Δx)－f(1) Δx＝ 2(1＋Δx)2－2 Δx＝4＋2Δx. 答案 C 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 ()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 解析v＝(3＋2.12)－(3＋22) 0.1＝4.1. 答案 B 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为 ()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A 4．已知函数y ＝2＋1 x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝? ? ???2＋12－(2＋1)＝－12. 答案 －1 2 5．已知函数y ＝2 x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝1 3. 答案 1 3 6．利用导数的定义，求函数y ＝1 x 2＋2在点x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝??????1(x ＋Δx )2＋2－? ???? 1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2 ， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2 x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2. 综合提高 (限时25分钟) 7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为 ( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 解析 Δy ＝(2＋0.1)2－22＝0.41. 答案 B 8．设函数f (x )可导，则 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) 3Δx 等于 ( )． A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.1 3f ′(1) D ．f ′(3) 第1讲 变化率与导数、导数的运算 【2013年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】 本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝ li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； 若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1； 若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； 若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ； 若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x ln_a ； 若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ； 若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a ； 若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x . 5．导数四则运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)???? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 6．复合函数的求导法则 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 一个区别 曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则 (1)导数的四则运算法则． (2)复合函数的求导法则． 三个防范 第1讲变化率与导数、导数的计算 [学生用书P39] 一、知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0） Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝ x0，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f（x0＋Δx）－f（x0） Δx ． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim Δx→0f（x＋Δx）－f（x） Δx 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x 3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)?? ?? ??f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )． 3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 二、习题改编 1．(选修2-2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 2．(选修2-2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2 x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝ 2 （x ＋2） 2，所以y ′|x ＝－1＝2. 故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 3．(选修2-2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3 t (t 是时间，s 是位移)，则该 机器人在t ＝2时的瞬时速度为________． 高中数学-变化率与导数、导数的计算 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为( ) A.0 B.3 C.4 D.- 【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1, 所以f′(x)=x2+2. 所以f′(-1)=3. 2.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′= ( ) A.- B.- C.- D.- 【解析】选C.因为f′(x)=-cos x+(-sin x), 所以f(π)+f′=-+·(-1)=-. 3.(·吉林模拟)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率 为( ) A.e B.-e C. D.- 【解析】选C.y=ln x的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,ln x0),则y′=,切线方程为 y-ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为. 【变式备选】曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A.1 B.2 C.e D. 【解析】选A.由题意知y′=e x,故所求切线斜率k=e x=e0=1. 4.(·沈阳模拟)若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-1 【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y′=3x2+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2. 【变式备选】直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值 为( ) A.2 B.ln 2+1 C.ln 2-1 D.ln 2 【解析】选C.y=ln x的导数为y′=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln 2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln 2-1. 5.已知f(x)=2e x sin x,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( ) A.y=0 B.y=2x C.y=x D.y=-2x 【解析】选B.因为f(x)=2e x sin x,所以f(0)=0,f′(x)=2e x·(sin x+cos x),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x. 6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等 于( ) A.-1 B. C.-2 D.2 【解析】选A.因为y′=,所以y′=-1, 由条件知=-1,所以a=-1. 7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于 ( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 【解析】选C.依题意知,y′=3x2+a, 则由此解得 所以2a+b=1. 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为________________. 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 一、填空题 1.设函数()y y x =由方程sin()y x y =+所确定，则d d y x =cos()1cos() x y x y +-+. 2.设函数()y y x =由方程e xy y x =+所确定，则(0)y '= 2 . 3.设函数()y y x =由方程y x y =所确定，则d d y x =1(1ln )x y +. 4.由参数方程(1sin )cos x y θθθθ =-??=?所确定的函数的导数0y θ='= 1 . 5.曲线2 31x t y t ?=+?=? 在2t =处的切线方程为37y x =-. 二、单项选择题 1.设22()f x y y +=，其中22()f x y +是可导函数，则d d y x = B . A.22 ()f x y '+ B.22222()12()xf x y yf x y '+'-+ C.22 2()()x y f x y '++ D.2222()12()f x y yf x y '+'-+ 2.由参数方程所确定的函数cos sin x a t y b t =??=? 的函数()y y x =的二阶导数22d d y x = B . A.2csc b t a - B.32csc b t a - C.2csc b t a D.32csc b t a 3.设()y y x =由参数方程2e 321πsin 02 x t t t y y ?=++??-+=??所确定，则0d d t y x == B . A.0 B.12 C.1e sin 2x y D.23 让青春之光闪耀在为梦想奋斗的道路上。 1 第十节变化率与导数、导数的运算 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)导数的几何意义： 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)函数f (x )的导函数： 称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2.基本初等函数的导数公式 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )](g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 113 第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义 及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方 程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所 以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的容 以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限 逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --= ， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：t t s t t s ?-?+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤：高中数学导数之变化率问题
3.1 变化率与导数 教学设计 教案
高三数学一轮、二轮复习配套讲义：第2篇 第10讲 变化率与导数、导数的计算
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