高校自主招生公平性问题探析_郭延凯

中国青年政治学院学报·青少年研究·2014年第2期

高校自主招生公平性问题探析

郭延凯

（外交学院招生办公室，北京100037）

【摘要】自主招生体现了高校适应高等教育大众化发展的特点，体现了素

质教育追求个性的理念。但是，实体与程序的不公平妨碍了自主招生的发展，

表现为入围院校多局限于发达地区、重点高校、部属院校;参与主体狭窄，真正

受益主体更为狭窄;测试程序设计含糊不清，录取标准不够透明，公信力不高;

监督机制、救济机制尚待完善。只有明确自主招生的政策定位，给予招考对象

充分的参与权，给予农村、边远地区和少数民族地区考生特殊关照，建立健全完

整的监督救济机制，自主招生才能健康发展。

【关键词】高校自主招生公平性

自2001年教育部批准南京航空航天大学、东南大学、南京理工大学三所部属高校进行自主招生试点改革以来，我国高校自主招生已经走过了十多个年头。十多年来，我国的自主招生无论从院校数量、招生规模、考录模式、生源范围都发生了巨大变化。尤其是在考录模式方面，突破了一直以来高校各自为政的局面，到2010年基本形成了“清华系7校联招”（华约），“北大系13校联招”（北约），“卓越联盟7校联招”（理约）三足鼎立的局面。中国一流高校的“三国杀”再度把高校生源竞争大战置于公众高度关注的位置。

相对“大一统”的传统高考模式，自主招生打破了统一考试的呆板模式，为考生特别是学有专长的考生提供了多次入学考试和深造发展的机会。同时也有利于高校适应高等教育大众化发展的特点，培养不同类型、不同性质和不同规格的更加适应社会需要的人才，体现了素质教育追求个性的理念。

当然，高校招生制度改革历来“牵一发而动全身”，其涉及面之广、社会影响之大、公众关注度之高，是基础教育所不能比拟的。高校自主招生涉及教育行政主管部门、高校、中学、考生等多个利益群体，不同利益群体又有各自的利益诉求。不同利益群体的博弈使得自主招生改革异常复杂。笔者旨在围绕公平性这条主线从纷繁复杂的局面中抽取影响当前自主招生改革中的主要问题加以探讨，以期对理论研究及现实改革有所帮助。

一、影响高校自主招生教育公平的实践难点

教育公平具有丰富的内涵，完整意义的教育公平应是实体公平与程序公平的完整统一。因此，梳理影响高校自主招生教育公平的实践难点，理应包括实体与程序两层含义。

收稿日期：2013－12－15

作者简介：郭延凯，外交学院招生办公室主任，副研究员，主要研究招生政策。

25

1．高校自主招生院校多局限于发达地区、部属院校，分布极不均衡

从2001年自主招生试点改革以来，教育部选取的试点院校均为全国重点院校，其中除6所高校隶属工业与信息产业部、中国科学技术大学隶属中国科学院外，其余全部为教育部直属重点院校。由于历史原因，这些高校多集中在经济相对发达的东部地区，从教育机会均等的角度看，这既涉及起点的均等问题，又涉及结果的均等问题（见表1）。

表1北京、上海、江苏高校入选自主招生试点总数

年份北京上海江苏合计全国总数占全国比例20071369285947．5%

200919810377648．7%

201119911398048．8%

由表1中数据可见，北京、上海和江苏三省（市）的高校占到了全国自主招生试点高校总数的近一半，且仍有上升趋势。自主招生院校全部为“211工程”院校，其中相当部分还是“985工程”院校，其综合实力在国内处于前列。与此相对比，西部10省市除陕西有5所、四川有4所外，其他西部地区加在一起也只有3所院校入选自主招生试点，这也说明了自主招生院校地区差异之大。同时，从自主招生10年的经验来看，我们无从考证所谓自主招生试点选取的理由是什么？标准是什么？依据是什么？首先，扩大高校招生自主权应该是扩大所有高校的招生自主权。即使不能涵盖所有高校，至少也应涵盖提前录取、重点本科、一般本科、民办本科、高职5个招生批次，为何只体现在重点本科上呢？其次，既然作为试点，就有可能作为政策后续执行的依据，那么试点高校是否应该具有代表性？这里的代表性不但应该涵盖各录取批次，还应该涵盖不同区域、不同经济发展水平和不同专业特色，这样才能保证自主招生政策全面推广以后不会因为环节的改变而出现区域差异、城乡差异、应往届差异等问题。从另一层面来看，自主招生试点高校的选择局限于重点院校，门槛过高，没有考虑到大众化、多元化和普遍性。同批次录取分数线的要求，并不能让学生从高考分数的束缚中解脱出来，自主招生联盟的产生，更是演变为另一种形式的“小高考”。

2．高校自主招生不仅参与主体狭窄，真正受益主体更为狭窄

“自主招生针对的是两部分学生：特长显著的和综合素质特别高的。这项政策的本意就是针对少数考生的。少到什么程度呢？根据有关方面数据，每年以自主招生形式录取的考生大约1．5万人左右，其中，三分之二的学生没有自主招生的优惠也可以进入同样学校，即真正享受到自主招生优惠的考生为0．5万人左右，占全国每年1000万考生总量的0．05%。因此，就这个意义上看，迄今为止的自主招生，与99．9%以上的考生没有直接关系。”［1］

自主招生的报名资格，即“门槛”的设定直接关系到教育公平的起点公平。各试点高校在制定《自主招生简章》时，大多把高中阶段参加全国数、理、化、生物、科技、信息、科技创新等竞赛获奖列为报名条件还可以理解。但是，把“综合素质突出，在省级重点中学或省级示范中学学业成绩名列前茅者”作为报考条件就实在难以理解了，难道非重点的普通中学就没有综合素质突出的人才吗？

近年来，部分高校与各省级重点中学签订了《优质生源基地共建协议》。大学加强与中学的联系，支持中学开展素质教育，进行人才培养衔接，本是一件令人称赞叫好的事情，但是如今却和高校自主招生挂上了钩。由于多数高校自主招生考试都在校本部，从时间和经济成本考虑，高校所在地及其周边地区明显较其他地区更具优势，造成了高校自主招生“本地化”或“本

35

区域化”。农村孩子由于家庭经济困难等原因，且多数出自非重点中学，很少有参与自主招生的机会，结果使得自主招生“城市化”。目前，农村子女考生不到全国自主招生录取比例的20%，以某“985工程”院校自主招生生源数据为例，情况可见一斑（见表2）。

表2某“985工程”院校自主招生生源数据［2］

年份城市子女录取比城市子女报录比农村子女录取比农村子女报录比200491．72．018．30．15

200586．71．9313．20．24

200681．81．8318．20．33

200787．42．0412．60．22

200884．42．0615．60．26

3．高校自主招生程序设计含糊不清、录取标准缺乏透明度

自主招生打破了“大一统”的传统高考模式。但高校自主招生如何“自主”，自主招生的背后会不会有“暗箱操作”？加之近年媒体曝光的多起高考自主招生违纪案件，不得不使社会对高校自主招生心存疑虑。虽然一些高校开展了阳光招生，进行严密的招生监控，但仍然不能消除大众心中的疑虑。

自主招生程序设计及录取标准确有尚待提高之处。《高校自主招生简章》将“德智体全面发展，高中阶段学习成绩优异的省级重点中学应届毕业生”作为申请条件，那么成绩优异如何把握？学习成绩在年级前10%一刀切的做法是否适合所有高校？是否适合同一所高校的所有专业？以“热爱某专业，立志从事该专业相关领域研究”作为申请条件，从近几年一些高校招生实践看，如果某专业，属于热门专业，如何区分热爱与热门？“在某一方面具有特殊才能”，某一方面特殊才能是谁认可的才能？是社会评估机构还是招生院校？“在某一方面具有培养潜能”，如何认定？谁来认定，是中学还是高校？这些不清楚的界定，使考生、家长和公众担心存在着“暗箱操作”的可能，因此不能保证自主招生过程的公平。

为规范高校自主招生行为，教育部对自主招生试点高校进行了更为明确的要求，除“阳光高考”的“六公开”、“六不准”外，试点高校还必须公示自主招生的标准、生源范围、考核办法、拟录名单。但是，自主招生过程中程序公开的现状却不容乐观。广大考生和家长强烈呼吁自主招生高校应明确公示制度，使报名考生从考试资格、报名认定到公布结果的全过程，都能够获取充分的信息，使考生和家长在掌握充分信息的情况下判断和选择报考的高校及专业。如果自主招生程序的透明度不够，其结果自然无法获得公众的认同，制度的公信力就会因此受损。2009年11月，《中国青年报》对2117名公众所做的关于自主招生的在线调查显示，公众对自主招生的公平问题忧心忡忡。66．7%的人认为“钱权交易不可避免”，56．78%的人认为“自主招生过程不够透明”，74．4%的人认为要提高招生录取过程的透明度［3］。

4．自主招生监督机制、救济机制尚待完善

如何保证高校过得了自主招生的“人情关”、“特权关”、“金钱关”，确保高校自主招生公平、公正、公开是关键。高校自主招生的良性运行，离不开科学的指导、健全的程序、完善的监督和及时的救助。自主招生的权力主体包括考生、高校、教育行政主管部门三个方面。纵观现行的自主招生制度，存在着严重不对等的“囚徒困境”博弈现象，即权力主体相互间没有形成完整的、平等的、相互独立的监督机制，使得自主招生政策的执行和进一步推广存在权力滥用的可能性。一方面，现行的教育法律法规并未明确赋予考生及家长监督高校自主招生的权利；另一方

45

面，即使考生及家长可以找到监督的依据，其监督也不具有刚性的后果，如果招生高校置之不理，考生和家长只能寄托于向媒体等非公权力部门寻求事后救济。

具体到高校自主招生实践。一方面，中学推荐环节无法得到有效监督。高校自主招生的报考申请程序一般采取个人自荐和中学推荐相结合的方式。无论采取何种方式，中学均承担着推荐合格人才的重任。而事实上，目前对中学的监督恰恰处于“真空状态”。近年来，中学在推荐环节上，或为了保证更高的升学率“推良不推优”，或为了照顾领导的“关系户”挤占自主招生的名额，很难保证优秀学生被推荐。另一方面，高校选拔环节同样无法得到有效监督。更多的自主权，意味着较少的受政策规范的约束和公众监督。考生及家长担心高校自主招生出现“钱学交易”“权学交易”，担心高校“自主权”演变为权贵阶层的“绿色通道”，担心自主招生与当初改革设想渐行渐远。另外，高校自主选拔录取考生的诚信度同样无法得到有效监督。有的考生申报材料弄虚作假，有的考生报考自主招生高校“脚踏多只船”，造成高校招生指标浪费和生源流失。高校在依法制定《自主招生章程》的同时，要认真思考如何建立严格的自我监督与制约机制，为避免高校合格生源的流失，维护高校的人才选拔权益，教育行政主管部门更应该考虑如何制定切实有效的自主招生和考生志愿填报系统，如何科学规范高校投档录取管理办法。

二、对高校自主招生改革的建议

1．明确自主招生政策定位，坚持统一高考不动摇

高校自主招生是为考生“减压还是增压”？自主招生与统一高考应该“同质化还是异质化”？这些都是在自主招生改革过程中需要面对、解释和解决的问题，都需要从根本上认识自主招生的定位。说自主招生只能作为一种补充，主要是因为自主招生不具备大规模推广的可行性。且不说制度本身是否比统一高考更科学，仅备受诟病的效率低下问题就决定了其补充性的位置。在高考体制下，能否单独自行组织考试，并不是衡量高校是否有招生自主权的标准，是否采用以及如何采用统考成绩、能否自主制定招生计划与方案等，才是比较符合我国教育现实和国情的衡量高校招生自主水平的“现实标准”。

近年来，自主招生试点院校纷纷出台了形式多样的新政策，如“校长推荐制”“自主招生高校联盟”等。也有高校及公众提出自主招生联盟能否代替统一高考。笔者认为，在当前社会发展存在较大差异的情况下，高考仍不失为目前中国国情下最为公平、公正的人才选拔方式，高校自主招生政策只能是我国高校招生制度体系中的重要组成部分，是与高考政策长期并行的一项特殊招生政策，因此必须坚持统一高考不动摇。教育部考试中心主任戴家干曾在《求是》发表文章指出：我国目前“社会诚信体系缺失，监督、制约机制尚不健全，权力寻租等招生考试腐败现象屡有发生，实行完全的高校自主招生，很难保证高考公平”［4］。

2．招考对象的参与权应体现在自主招生的全过程

自主招生的选拔范围应尽可能放宽，为更多的学生提供参与选拔的机会，自主招生的政策文本、章程规定也应赋予招考对象公平参与的权利，这涉及教育的起点公平。无论是生源划定抑或资格审查，应尽可能多元化，要把那些学习突出的“拔尖人才”选拔出来；把那些综合素质突出的“领军人才”选拔出来；把那些在某一学科有突出才华的“偏才”、“怪才”选拔出来；把那些关注社会，热心公益，受到广泛好评的“道德人才”选拔出来。另外，应赋予自主招生的考生、家长及中学参与制订高校自主招生政策的权利，这涉及教育的过程公平和结果公平。只有在真正合作、参与的基础上，考生的受教育权、高校的招生自主权以及社会公共利益才能真正成为管理行为的关注点。自主招生试点高校可尝试以一定方式事先征询考生和中学对自主招生高校

55

的招考方案、报考条件、考试科目以及选拔标准的意见，必要时还可以举行自主招生考务方案听证会，邀请考生、中学、教育专家、新闻媒体就考务方案展开充分讨论。

3．应给予农村、边远贫困地区、少数民族地区考生特别关注

各自主招生试点高校为缩小区域、城乡差别作了积极的尝试和努力。仅2012年，北京大学“中学校长实名推荐制”就有北京牛栏山一中、河南内黄县一中、湖北巴东县一中、云南德宏州民族一中等多所农村地区、边远贫困地区和少数民族地区的中学入围；清华大学专门推出针对基础教育欠发达地区的“自强计划”，要求申请人必须长期学习、生活在农村地区、边远贫困地区或少数民族地区，自强不息、德才兼备；中国人民大学推出的“圆梦计划”则要求考生“三代之内无大学生”。笔者认为，为破除区域、城乡之间的不平衡，可以考虑地域相邻、学科类型和院校规模相近的高校适度进行联招联考。对于经济困难的考生，高校可以考虑减免考试费用与建立政府相应资助救济体系相结合的方式。试点高校也可以考虑利用现代科技手段，对考生运用远程考核、电话面试、视频面试等形式以减轻考生的负担。

4．建立健全自主招生监督救助机制

建立健全自主招生监督机制，应对接受考生的高校以及推荐考生的中学同时进行监督。就试点高校而言，一方面，应主动端正态度，自觉接受考生和社会的监督，提高招考透明度；另一方面，单纯依靠高校的自律不足以消除招生权力“寻租”的现象，还需要教育行政主管部门依法对高校自主招生的全过程进行主动监督。

就推荐中学而言，需要建立有效的监督机制，如在中学内部形成校长、班主任、家长三方相互监督、相互制约的民主管理机制，有效杜绝中学内部弄虚作假行为的发生。同时，高校应辅以相应的惩罚措施，目前很多高校即规定如果发现推荐中学弄虚作假，3年内取消该校的推荐报名资格。

另外，自主招生还应构建一套系统、完整的招生救济机制。自主招生救济机制具体应包含以下3个方面：一是要求自主招生高校遵循程序公开原则，在《招生简章》中明确告知考生申诉的办法和程序；二是规定自主招生高校招生机构承担解释义务，即考生针对自主招生政策及结果进行咨询时，高校招生机构应及时给予答复；三是高校纪检监察部门应全程监督自主招生的过程，认真处理考生的申诉与投诉，自觉为自主招生保驾护航。

［参考文献］

［1］柯炳生：《关于高考招生制度改革的几点认识》，http：//www．univs．cn/2011/0315/854376/shtml

［2］罗立祝：《高校招生考试制度对城乡子女高等教育入学机会差异的影响》，载《高等教育研究》，2011年第1期。

［3］王聪聪：《民众关注自主招生66．7%的人担心权钱交易不可避免》，载《中国青年报》，2009年11月24日。

［4］戴家干：《坚持公平公正深化高考改革》，载《求是》，2011年第2期。

（责任编辑：邢哲）65

【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D)

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42)

近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，

最新全国高校自主招生数学模拟试卷一

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题5分，共50分） 1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ． 2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a b -= ． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 ． 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?=L ． 6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 ． 7 ． 设 函 数 ()x f x x = ，则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++=L ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ，则a = ． 9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10．已知函数121 ()1 x f x x -= +，对于1,2,n =L ，定义11()(())n n f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x = ． 二、计算与证明题（每小题10分，共50分） 11．工件内圆弧半径测量问题．

为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像． 13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点 M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标． 参考答案： 1. 21x - 2. 1 2 - 3. 2 4. 94 5. ()1!1n +- 6. 2

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷6

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六 一、选择题(36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 y x O O x y O x y y x O A. B. C. D. 3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于 (A) 163 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4．若x ∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x +2 3 )－tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大 值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3

5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9 9－y 2 的最小值 是 (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5 6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角 为3 ，则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3 3 二．填空题(每小题9分，共54分) 7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ． 8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1， 则△PF 1F 2的面积等于 ． 9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A B ，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=3 2，log c d=5 4 ，若a －c=9，则b － d= ． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相

全国高校自主招生数学模拟试卷11

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a –1)+lg(b –1) 嘚值( ) （A ）等于lg2 （B ）等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b 无关嘚常数 2.若非空集合A={x|2a+1≤x ≤3a – 5},B={x|3≤x ≤22},则能使A ?A ∩B 成立嘚所有a 嘚集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9} (B) {a | 6≤a ≤9} (C) {a | a ≤9} (D) ? 3.各项均为实数嘚等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( ) (A) 150 (B) - 200 (C) 150或 - 200 (D) - 50或400 4.设命题P ：关于x 嘚不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2 + b 2x + c 2 > 0嘚解集相同； 命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1 c 2． 则命题Q( ) (A) 是命题P 嘚充分必要条件 (B) 是命题P 嘚充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P 嘚必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P 嘚充分条件也不是命题P 嘚必要条件 5.设E, F, G 分别是正四面体ABCD 嘚棱AB,BC,CD 嘚中点,则二面角C —FG —E 嘚大小是( ) (A) arcsin 63 (B) π2+arccos 33 (C) π2－arctan 2 (D) π－arccot 2 2 6.在正方体嘚8个顶点, 12条棱嘚中点, 6个面嘚中心及正方体嘚中心共27个点中, 共线嘚三点组嘚个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果. 1．若f (x) (x ∈R)是以2为周期嘚偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f(x)=x 1 1000 ，则f(9819)，f(10117)，f(10415)由小到大排列是 ． 2．设复数z=cos θ+isin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i)z ，2－z 在复平面上对应嘚三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R 不共线时,以线段PQ, PR 为两边嘚平行四边形嘚第四个顶点为S, 点S 到原点距离嘚最大值是___________. 3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10嘚偶数, 不同嘚取法有________种. 4．各项为实数嘚等差数列嘚公差为4, 其首项嘚平方与其余各项之和不超过100, 这样嘚数列至多有_______项. 5．若椭圆x 2+4(y －a)2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 嘚取值范围是 ． 6．?ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o , AC = 2, M 是AB 嘚中点. 将?ACM 沿CM 折起,使A,B 两点间嘚距离为 22 ，此时三棱锥A-BCM 嘚体积等于__________. 三、（本题满分20分） 已知复数z=1－sin θ+icos θ(π 2<θ<π)，求z 嘚共轭复数－z 嘚辐角主值．

全国高校自主招生数学模拟试卷4(含答案解析)

全国高校自主招生数学模拟试卷四 一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 一定为 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．答案不确定 2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为 A ．12＜x ＜1 B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜1 3．已知集合A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为 A ．20 B ．25 C ．30 D ．42 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为 A ．[15，1) B ．[15，2) C ．[1，2) D ．[15 ，2) 5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的 A . 充分必要条件 B . 充分而不必要条件 C . 必要而不充分条件 D . 既不充分也不必要条件 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为 A ．12(102006＋82006) B ．12(102006－82006) C ．102006＋82006 D ．102006－82006 二、填空题(本题满分54分，每小题9分) 7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ． 8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ． 9．已知椭圆x 216＋y 2 4＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最 大值时，比|PF 1||PF 2 |的值为 ． 10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与 容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 11．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ． 12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．

【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案3

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷三 一、选择题（36分） 1．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ?，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3) 3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 23 ，乙在每局中获胜的概率为1 3， 且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （） A. 24181 B. 26681 C. 274 81 D. 670243 4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2 ，则这三个正方体的 体积之和为 （ ） A. 764 cm 3 或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3 或564 cm 3 D. 586 cm 3 5．方程组0,0, 0x y z xyz z xy yz xz y ++=??+=??+++=? 的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则 sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++的取值范围是 （ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞ 二、填空题（54分，每小题9分） 7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3, n =，若 7()128381f x x =+，则a b += .

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷5

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五 一．选择题(本题满分36分，每小题6分) 1．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos +cos =0有重根，则的弧度数为 ( ) A ．6 B ．12或5 12 C ．6或5 12 D ．12 2．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有 M ∩N ，则b 的取值范围是 ( ) A ．[－6 2，6 2] B ．(－6 2，62) C ．(－233，23 3] D ．[－ 233，23 3] 3．不等式 log 2x －1+12log 1 2 x 3+2>0的解集为 A ．[2，3) B ．(2，3] C ．[2，4) D ．(2，4] 4．设点O 在ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC=→ 0，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( ) A ．2 B ．32 C ．3 D ．5 3 5．设三位数n=ˉˉˉabc ，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，

则这样的三位数n有( ) A．45个B．81个C．165个D．216个 6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是 底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且 PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( ) A． 5 3 B． 25 3 C． 6 3 D． 26 3 二．填空题(本题满分54分，每小题9分) 7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是； 8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y) －f(y)－x+2，则f(x)=； 9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数 是； 10．设p是给定的奇质数，正整数k使得k2－pk也是一个正整数，则B1 A1 B C D A C1 D1

各高校自主招生数学试题

自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 方程的根的问题： 1. 已知函数 2 ()f x ax bx c =++(0)a ≠，且()f x x =没有实数根．那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论．（08交大） 2. 设4 3 2 ()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ： （1）方程()0f x =总有相同实根； （2）存在0x ，恒有0()0f x ≠．（07交大） 3.（06交大）设3 2 2 9,29270k x kx k x k ≥++++=解方程 4. （05 3=的实数根． 5.（05交大）320x ax bx c +++=的三根分别为a ,b ,c ，并且a ,b ,c 是不全为零的有理数，求a ,b ,c 的值． 6. 解方程：．求方程2x x =+ ++n 重根）的解．(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x ，y 都满足 ()()( )22 x y f x f y f ++≤，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）()f x 2x = （2）()f x =3x （3）()f x =2 log x （0x >） （4） ,0,()2,0, x x f x x x

全国高校自主招生数学模拟试卷三有解析答案

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 一、选择题（36分） 1．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ?，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3) 3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 23 ，乙在每局中获胜的概率为1 3， 且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （） A. 24181 B. 26681 C. 274 81 D. 670243 4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2 ，则这三个正方体的 体积之和为 （ ） A. 764 cm 3 或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3 或564 cm 3 D. 586 cm 3 5．方程组0,0, 0x y z xyz z xy yz xz y ++=??+=??+++=? 的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则 sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++的取值范围是 （ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞ 二、填空题（54分，每小题9分） 7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3, n =，若 7()128381f x x =+，则a b += .

最新全国高校自主招生数学模拟试卷6(含答案解析)

全国高校自主招生数学模拟试卷六 一、选择题(36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中地所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列地第2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab地图形是 A. B. C. D. 3．过抛物线y2=8(x+2)地焦点F作倾斜角为60°

地直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 地中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 地长等于 (A) 163 (B) 83 (C) 163 3 (D) 8 3 4．若x ∈[－5π12 ，－π3 ]，则y=tan(x +2π3 )－tan(x +π6 )+cos(x +π6 )地最大值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3 5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1， 则函数u=44－x 2+99－y 2地最小值是

(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125 6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 地距离为2，夹角为 3 ，则四面体ABCD 地体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33 二．填空题(每小题9分，共54分) 7．不等式|x |3－2x 2 －4|x |+3<0地解集是 ．

8．设F1、F2是椭圆x2 9 + y2 4 =1地两个焦点，P是椭 圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2地面积等于． 9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}， B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x ∈R} 若A B，则实数a地取值范围是． 10．已知a，b，c，d均为正整数，且log a b=3 2， log c d=5 4 ，若a－c=9，则b－d=． 11．将八个半径都为1地球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻地四个球相切，

全国高校自主招生数学模拟试卷12

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二 一、选择题(36分) 1．已知数列{x n }满足x n+1=x n －x n －1(n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ， 记S n =x 1+x 2+ +x n ，则下列结论正确嘚是 (A)x 100=-a ，S 100=2b -a (B)x 100=-b ，S 100=2b -a (C)x 100=-b ，S 100=b -a (D)x 100=-a ，S 100=b -a 2．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得AE EB =CF FD =λ (0<λ<+∞)，记f(λ)=αλ+βλ 其中α λ 表示EF 与AC 所成嘚角，β λ 表示EF 与BD 所成嘚角， 则 (A) f(λ)在(0，+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0，+∞)单调减少 (C) f(λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D) f(λ)在(0，+∞)为常数 3．设等差数列嘚首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项嘚和为972， 则这样嘚数列共有 (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 4．在平面直角坐标系中，若方程m(x 2+y 2+2y+1)=(x －2y+3)2表示嘚曲线为椭圆，则m 嘚取值范围为 (A)(0，1) (B)(1，+∞) (C)(0，5) (D)(5，+∞) 5．设f(x)=x 2－πx ，α = arcsin 13，β=arctan 54，γ=arcos(－13)，δ=arccot(－5 4)，则 (A)f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ) (B) f(α)> f(δ)>f(β)>f(γ) (C) f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β) 6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交嘚直线有 (A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 嘚有限条 (D) 无穷多条 二．填空题(每小题9分，共54分) 1．设x ，y 为实数，且满足? ??? ?(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3 +1997(y －1)=1． 则x+y = . 2．过双曲线x 2 －y 2 2=1嘚右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB| =λ嘚直线l 恰有3条，则λ= . 3．已知复数z 满足|| 2z+1 z =1，则z 嘚幅角主值范围是 ． 4．已知三棱锥S -ABC 嘚底面是以AB 为斜边嘚等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心嘚某个球面上，则点O 到平面ABC 嘚距离为 ． 5．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现嘚不同跳法共 种． 6．设a =logz+log[x(yz)-1+1]，b =logx -1+log(xyz+1)，c =logy+log[(xyz)-1+1]，记a ，b ，c 中最大数为M ，则M 嘚最小值为 ． E F B C D A

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷14

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十四 一选择题(每小题6分，共36分) 1．设等差数列{a n }满足3a8=5a13且a1>0，S n为其前项之和，则S n中最大的是( ) (A)S10(B)S11(C)S20(D) S21 2．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…， Z20，则复数Z1995 1 ，Z1995 2 ，…，Z1995 20 所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1个(B)2个(C)50个(D)100个 4．已知方程|x－2n|=k x(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( ) (A)k>0 (B)0

(A ) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1 (B ) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1 (C ) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1 (D ) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin1 6． 设O 是正三棱锥P —ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于 S ，与PA ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式1PQ +1PR +1 PS (A )有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值 (C )既有最大值又有最小值，两者不等 (D )是一个与面QPS 无关的常数 二、填空题(每小题9分，共54分) 1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=2 3，且α β 2为实数，则|α|= ． 2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 ． 3． 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ． 4． 直角坐标平面上，满足不等式组???y ≤3x ， y ≥x 3 ， x +y ≤100 的整点个数是 ． 5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 ．

交通大学自主招生考试数学试题

2005年交通大学自主招生考试数学试题 一、填空题（每题5分，共50分） 1．已知方程()22102x px p R p --=∈的两根1x 、2x 满足44 12 22x x +≤p = ． 2．设8841sin cos 128x x +=，0,2x π?? ∈ ??? ，则x = ． 3．已知n Z ∈，且1 2004 11112004n n +?? ? ?+=+ ? ??? ?? ，则n = ． 4．如图，将3个12cm ×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为62若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为 ． 5．23333x y -x 、y Q ∈， 则(),x y = ． 6．化简：()() 1 2 22222468+12n n +-+-+-=… ． 7．若31z =，且z C ∈，则322220z z z +++= ． 8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 ． 9．4封不同的信放入4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的概率为 ． 10．已知等差数列{}n a 中，37111944a a a a +++=，则5916a a a ++= ． 二、解答题（本大题共50分） 1．已知方程320x ax bx c +++=的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值．

2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 （1）最大角是最小角的两倍？ （2）最大角是最小角的三倍？ 若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．已知函数22 81 ax x b y x ++=+的最大值为9，最小值为1，求实数a 、b 的值． 4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关 系式（假设贷款时间为2年）． 5．对于数列{}n a ：1,3,3,3,5,5,5,5,5，…，即正奇数k 有k 个，是否存在整数r 、s 、t ，使得对于任意正 整数n ，都有n a r t ?=?恒成立（[]x 表示不超过x 的最大整数）？

2019年大学自主招生模拟试题数学

2019年大学自主招生模拟试题 1. =-2018)13(i ________ . 2. 已知532sin =α，则=-+) 15tan()15tan( αα________ . 3. 设21->x ，则1 24)(2+++=x x x x f 的最小值为________ . 4. 设}5,4,3,2,1{=S ，则满足x x f f =))((的映射S S f →:的个数是________ . 5. 设α为复数，i 为虚数单位，关于x 的方程02=++i x x α有实数根，则||α的取值范围为________ . 6. 已知定义在),0(+∞上的函数)(x f 是单射，对任意的0>x ，有1)(>x xf 2)1)((=-x xf f ，则=)2(f ________ .

7. 在四面体ABCD 中，ABC ?是斜边2=AB 的等腰直角三角形，ABD ?是以AD 为斜边的等腰直角三角形，已知6=CD ，点Q P ,分别在线段CD AB ,上，则PQ 的最小值为________ . 8. 点P 在圆1)1()2(22=-+-y x 上运动，向量PO （其中O 为原点）绕P 点逆时针旋转 90得PQ ，则点Q 的轨迹方程为________ . 9. 过点)0,1(-的直线m 与抛物线2x y =相交于B A ,，若A O B ?的面积为3（其中O 为原点），求直线m 的方程. 10. 求所有的二次实系数多项式b ax x x f ++=2)(，使得)(|)(2x f x f .

11. 设*+∈++==N n a n n a a n n ),()11(,1311，求证（1）)11(1123∑-=+=n k n k n a ；（2）3)1(1<+∏=n k k a k .

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八 一、选择题（36分，每小题6分） 本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．已知a 为给定的实数，那么集合M ={x | x 2-3x -a 2+2=0，x ∈R}的子集的个数为 （A ） 1 （B ） 2 （C ） 4 （D ） 不确定 【答】（ C ） 【解】 方程x 2-3x -a 2+2=0的根的判别式Δ=1+4a 2>0，方程有两个不相等的实数根．由M 有2个元素，得集合M 有22=4个子集． 2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点; 命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有 （A ） 0个 （B ） 1个 （C ） 2个 （D ） 3个 【答】（ B ） 【解】 只有命题1对． 3．在四个函数y =sin|x |，y =cos|x |，y =|ctg x |，y =lg|sin x |中以π为周期、在(0，2 π )上单调递增的偶函数是 （A ）y =sin|x | （B ）y =cos|x | （C ）y =|ctg x | （D ）y =lg|sin x | 【答】（ D ） 【解】 y =sin|x |不是周期函数．y =cos|x |=cos x 以2π为周期．y =|ctg x |在（0，2 π ）上单调递减．只有y =lg|sin x |满足全部条件． 4．如果满足∠ABC =60°，AC =12， BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 （A ） k =38 （B ）0