《线性代数》行列式的发展历史

行列式发展历史

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。

行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。

1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。

1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer，1704～1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730～1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。

总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。

在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde，1735～1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。

继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。

19世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士·西尔维斯特

(J.Sylvester，1814～1894)。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个n次和一个m 次的多项式中消去x的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明。

继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J..Jacobi，1804～1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展。整个 19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。

西南大学线性代数作业答案

西南大学线性代数作业答案

第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式25 11 22 14--x 中，x 的代数余子式是 — 5 。 6．计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 811411 02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）× （—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。

3．(7分)已知0010413≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：

地大《线性代数》在线作业一_答案

免费免费免费免费 地大《线性代数》在线作业一 1. A. A B. B C. C D. D 正确答案：B 满分：4 分得分：4 2. A. A B. B C. C D. D 正确答案：D 满分：4 分得分：4 3. A. A B. B C. C D. D 正确答案：D 满分：4 分得分：4 4. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 5. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 6. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 7. A. A B. B C. C D. D

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语言学发展史[1]

语言学作为一门独立的学科(即为语言本身的目的而研究语言)起始于19世纪上半叶,是随着历史比较语言学的出现而诞生的.在一个多世纪里,语言学的发展,概括起来说,经历了四个主要阶段,可分别以语言研究中先后占据重要地位的历史比较语言学派,结构主义语言学派,转换生成语法学派和功能主义语言 学派的四大学术思潮为其标志. 1历史比较语言学 历史比较语言学指的是采用历史比较的方法对语言之间的系统对应现象进行解释,从而揭示语言的历史渊源,语言的演变规律及其亲缘关系. 历史比较语言学的工作最初是由在东印度公司任职的英国学者琼斯(W.Jones)开始的.琼斯在1786年首先提出了梵语同欧洲古希腊语,拉丁语有着共同的来源这一观点,但他并没能找出它们之间的语音对应 规律.因此,他的研究还不能算是真正的历史比较语言学. 一般认为,历史比较语言学的奠基人是19世纪丹麦的拉斯克(R.Rash),德国的葆朴(F.Bopp)和格林 (J.Grimm).这三位历史比较语言学的先驱广泛地调查了一大批诸如梵语,希腊语,拉丁语,冰岛语,立陶 宛语,峨特语等古代和现代语言,对它们的词形作了系统的比较,找出了其中的语音对应规律;由此确定 了它们之间的亲缘关系. 另一位影响较大的历史比较语言学家是德国的施来赫尔(A.Schleicher).他在前人研究的基础上致力于古印欧语的重建工作,并提出了所谓谱系树理论(Family Tree Theory).该理论认为,一个语系就好像一棵树,亲语是树干,子语是树枝,构成一个谱系树.谱系树理论的提出是历史比较语言学的一大进展.一个语系从假设的原始母语逐步演变到各种语言的历史过程一目了然地展现了出来. 19世纪下半叶出现了以保罗(H.Paul)等人为代表的新语法学派(Neogrammarians),该学派的出现将历史比较语言学的研究又推进了一大步.新语法学派认为,历史比较语言学不应该只是对语言变化做单纯的 描写,而应该联系语言的使用者探讨语言变化的本质.他们把语言变化的规律归纳为两条极其重要的原则:一是语音规则无例外论,二是类比原则. 随着科学的发展和语言研究的不断深入,历史比较语言学的一些局限性,如孤立地研究语言单位而忽视 了语言的体系性,强调对语言现象的历史比较而忽视了语言的整体性等,便明显地暴露出来了.到了20世纪初,语言的研究,在理论和方法上,都酝酿着一场重大的变革. 2 结构主义语言学 1911年是语言学发展史上比较重要的一年.这一年的6月和7月间,早年曾从事过印欧语言历史比较研究的瑞士语言学家索绪尔(F.de Saussure)在日内瓦大学系统地传授了他本人语言学理论中的精华部分——静态语言学(Static Linguistics).1916年,也就是在索绪尔去世三年后,他的学生巴利(Charles Bally)和薛施蔼(Albert Sechehaye)根据讲稿和听课笔记整理出版了《普通语言学教程》(Course in General Linguistics)一书.这部著作自出版以来,流传之广,影响之深,在语言学史上是罕见的.美国语言学家霍凯(C.Hockett,1965)曾把《普通语言学教程》称誉为现代语言学史上的四项重大突破之一.该书中提出的一系列理论突破了历史比较语言学的局限性,开创了语言学中结构主义语言学的新纪元. 索绪尔语言理论的主要特点是把语言看成是由语言各个成分之间的关系组成的结构系统.换句话说,索 绪尔认为,语言是一个大系统,其中有词汇,语法,语音三个小系统;而这三个小系统各自又有许许多多彼此有联系的成分.另外,索绪尔对语言的研究与历史比较语言学不同之处还体现在他的三个二分法之中,即语言和言语,聚合关系和组合关系,共时研究和历时研究等的区分. 在索绪尔学说的直接或间接影响下,语言研究中出现了许多不同的结构主义学派,如布拉格学派,哥本哈根学派,美国描写语言学派等.各结构主义学派在语言研究中虽侧重的方面有所不同,但是他们都是采用共时的研究方法,对语言系统本身的结构成分及其相互关系从不同方面进行描写. 在众多的结构主义派别中,影响最大的是美国描写语言学派.该学派由美国人类学家鲍阿斯(F.Boas)所 始创,但最有影响的人物当推布龙菲尔德(L.Bloomfield).1933年布龙菲尔德出版了《语言论》(Language)一书,对这一学派的理论和方法做了规范性的描写.他主张语言学的任务就是要客观地,系统地描写可以观察到的语言素材,以此来揭示语言各因素之间的关系.在研究方法上,他们只注重语言形式的分析,而 忽视意义的研究;认为语义不属语言研究的范围.这个学派对语言研究的最大贡献在于探索出了一套相 当严谨的语言描写方法,即以分布和替代为标准对语言单位进行层层切分和归类的描写方法. 3 转换生成语法 1957年,美国麻省理工学院的乔姆斯基(N.Chomsky)出版了《句法结构》(Syntactic Structure)一书,在语言学界引起了一场革命,从而开创了语言研究的转换生成语法时期.虽然在语言研究方法和原则方面,乔姆斯基继承了结构主义的一些特征,例如哈里斯所创造的转换理论,雅柯布逊的语言共性理论,以

线性代数作业

普通高等教育“十五”国家级规划教材线性代数 标准化作业 山东理工大学数学中心 2011.2

学院班级姓名学号 第一章行列式作业 1、按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数： （1）1 3…（2n-1）2 4…(2n); （2）1 3…（2n-1）(2n) （2n-2）…4 2. 2、填空题 （1）排列52341的逆序数是________,它是________排列； （2）排列54321的逆序数是________,它是________排列； （3）1~9这九数的排列1274i56j9为偶排列，则i=______ ，j=_______； （4）四阶行列式中含有因子a11a23的项为________________； （5）一个n阶行列式D中的各行元素之和为零，则D=__________. 3、计算行列式212 111 321 10 x x x x x x - 展开式中x4与x3的系数. 4、计算下列各行列式的值： （1） 2116 4150 1205 1422 D - - = -- -- ；（2） 111 1 222 111 1 222 111 1 222 111 1 222 D=；

（3） 1 12 23 3 100 110 011 0011 b b b D b b b -- = -- -- ；（4） 222 b c c a a b D a b c a b c +++ =； （5） 1111 1111 1111 1111 a a D b b + - = + - ；

（6）10 2 20030 2004D = . 5、用克拉默法则解方程组 1231231 23241,52,4 3. x x x x x x x x x +-=?? ++=??-++=? 7、已知齐次线性方程组有非零解，求λ。 1231231 23230,220,50. x x x x x x x x x λ++=?? +-=??-+=?

大学线性代数必过复习资料

复习重点： 第一部分行列式 1. 排列的逆序数（P.5例4; P26第2、4题） 2. 行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题） 3. 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵 1. 矩阵的运算性质 2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题） 3. 伴随阵的性质（P.41例9; P56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116） 4. 矩阵的秩的性质（P.69至71; P100例13、14、15） 第三部分线性方程组 1. 线性方程组的解的判定（P71定理3; P.77定理4、5、6、7）,带参数的方程组的解的判定 （P.75 例13 ; P80 第16、17、18 题） 2. 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3. 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1?向量组的线性表示 2. 向量组的线性相关性 3. 向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1. 施密特正交化过程 2. 特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10; P.135第7至13题） 3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题） 要注意的知识点： 线性代数 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A j和a j的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ; 3. 代数余子式和余子式的关系：M j （ 1y j A j A j （ 1/ j M j 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

三角学的发展历史

三角学的发展历史 摘要：三角学是现代中学数学教育内容的重要部分，作为未来的中学教育工作者，了解三角学的发展史，是中学数学教教师应具备的素养。本文从三角学的兴起，希腊学者由于天文学研究的需要确定三角形边与角的精确关系；三角学的发展与改进过程这一部分主要介绍了阿拉伯地区三角学的发展与改进；文艺复兴以后三角学更加完善并且深化。这几部分所涉及的三角学内容与当今中学课程标相关，本文探讨中学的三角学的教育存在的问题并提出解决的方法。 关键词：三角学发展史教育 1．三角学的兴起 1.1古希腊天文学中的三角学 古希腊天文学家们为了做出一份天体运行位置以及日月食的详细记录，需要对天体的距离和角度十分熟悉。他们采用日晷仪指针。一种通过垂直杆的影长显示时间的简单装置，实质上是一种类似计算余切函数的装置。如图1，表示杆的高度，表示它影子的长度， 当太阳与地平线成角时，, 然而发明该指针的古人对余切函数没有研究，只是将其作为时间计时器。但是这种“投影计算”被古代学者得到良好的应用，这可称作三角学比例的先驱。后来，这种简单的方

法被成功的运用于测量地球的大小，以及行星之间的距离。后来希腊人创立了一门知识来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理。 1.1.1希帕霍斯和三角学的兴起 三角学的兴起的标志性人物是古希腊天文学家、数学家希帕霍斯。他在爱琴海的罗德岛建造了一座天文台，应用自己发明的仪器进行天文观测。由于天文研究的需要，希帕霍斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长（相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍的表）。为了定出数值，他采用了巴比伦人的60进制。对于一定度数的圆弧，可以得到相应弦的长度数。 在希帕霍斯的三角学中，一个基本元素为单位圆中已知弧（或中心角）所对的弦，这里表示弧长，表示对应的弧长，如图2 因为角度和弧度的度量单位是“度”或“分”，为了统一单位希帕霍斯将圆半径的度量单位也转换成“度”或“分”。已知单位圆的周长为,取的六十进制近似值为3；8,30，他 算得近似到最接近整数的半径R的度数为：，则在该圆中任意角的度数（其对应的圆弧长除以圆的半径等于它对应的弧长的度数。

线性代数上机作业题答案

线性代数机算与应用作业题 学号： 姓名： 成绩： 一、机算题 1．利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。 （1）计算A ＋B ，A －B 和6A （2）计算()T AB ，T T B A 和()100 AB （3）计算行列式A ，B 和AB （4）若矩阵A 和B 可逆，计算1 A -和1 B - （5）计算矩阵A 和矩阵B 的秩。 解 输入： A=round(rand(5)*10) B=round(rand(5)*10) 结果为： A = 2 4 1 6 3 2 2 3 7 4 4 9 4 2 5 3 10 6 1 1 9 4 3 3 3 B = 8 6 5 4 9 0 2 2 4 8 9 5 5 10 1 7 10 6 0 3 5 5 7 9 3 （1）输入： A+B 结果为：

ans= 10 10 6 10 12 2 4 5 11 12 13 14 9 12 6 10 20 12 1 4 14 9 10 12 6 输入： A-B 结果为： ans = -6 -2 -4 2 -6 2 0 1 3 -4 -5 4 -1 -8 4 -4 0 0 1 -2 4 -1 -4 -6 0 输入： 6*A 结果为： ans = 12 24 6 36 18 12 12 18 42 24 24 54 24 12 30 18 60 36 6 6 54 24 18 18 18 （2）输入： (A*B)' 结果为： ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122

80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入： B'*A' 结果为： ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122 80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入： (A*B)^100 结果为： ans = 1.0e+270 * 1.6293 1.6526 1.4494 1.5620 1.6399 1.9374 1.9651 1.7234 1.8573 1.9499 2.4156 2.4501 2.1488 2.3158 2.4313 2.0137 2.0425 1.7913 1.9305 2.0268 2.4655 2.5008 2.1932 2.3636 2.4815 （3）输入： D=det(A) 结果为： D = 5121 输入： D=det(B) 结果为：

线性代数B复习题

线性代数B 复习资料 (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)

地图学的历史与发展

地图学的历史与发展 马京振 人类生活在地球上，人类的一切活动都是在一定的地区或者地理环境中进行的，人们要使自己的活动获得成功，就必须认识和利用周围的地理环境。从远古时代起，我们的祖先就一直在寻找这种能描述和分析自己赖以生存的环境的工具，而地图便是这样一种最普通最常用的工具。从古代地图的起源与萌芽到近代地图的发展与传统地图学的形成，再到现代地图学与地理信息系统，地图经过几千年的发展而长盛不衰，并且在可以预见的未来仍然不可取代。随着科学技术的进步和社会需求的不断增加，地图学一直处在不断的发展中并且充满着生机和活力。 一、地图学的历史轨迹 1.地图学史 古代地图 大约在距今1万至4万年之间的原始社会，出现了用小块石头、树枝在地上摆成的缩小模型，用来表示居住的位置及周围的通行路线。现在所能见到的最古老的地图是公元前27世纪梁流域的苏美尔人的地图，这幅古老的地图是雕刻在陶片上的。在我国，地图的萌芽可追溯到4000年前的夏代或者更早，在《左传》中记载的关于鼎地图的传说，后人称之为《九鼎图》；《山海经》也绘有山水动植物及矿物的原始地图。3000年前，西周为修建洛邑时绘制的洛邑城址地图，是我国历史上第一幅具有实际用途的城市建设地图。《管子·地图篇》对当时的地图内容和地图在战争中的重要作用进行了详细的叙述，并指出“凡兵主者，必先审之地图”，可见在当时地图在战争的作用已经很受关注。 古代地图从原始地图逐渐发展到具有相当绘制水平的地图，无论就地图的种类，地图的内容要素、地图测绘技术等方面来看，都反映了当时我国地图科学的蓬勃发展，但这时在制图的理论上还没有系统的阐述。从西晋到明末，这时期，裴秀创“制图六体”，奠定了制图的理论基础，中经贾耽、沈括、朱思本一直到罗洪先，终于形成在我国古地图中最有影响的《广舆图》体系。 近代地图的发展 公元14世纪后，由于欧洲资本主义的兴起和中国的罗盘、造纸、印刷等技术的西传，推进了当时欧洲探险的地理发现，也推动了地图的发展。从16世纪开始，出现了社会对新地图的需要，当时最具代表性的地图学家，在东方是我国的罗洪先，西方就是佛兰德Flanders的墨卡托(Gerhardus，1512-1594)。墨卡托的《世界地图集》和我国罗洪先的《广舆图》总结了16世纪以前东西方地图学发展的历史成就。 十六世纪七十年代，在西欧各国出现了大规模的国家三角测量和地形测绘，并先后测制和出版了大比例尺地图和中比例尺地图。我国是亚洲最早以政府名义统一进行地图测绘的国家，清朝乾隆皇帝期间就开始了全国规模的测绘工作，主要是测定全国的三角网，历经十年的艰辛，终于在1718年完成了《皇舆全览图》，后来又编成中国分省图。这些大规模的三角测量和地形测绘，奠定了近代地图测绘的基础。

线性代数实践课作业

华北水利水电学院 行列式的计算方法 课程名称：线性代数 专业班级：电子信息工程 2012154班 成员组成： 联系方式： 2013年10月27日

摘要： 行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本`最常用的工具.本质上,行列式描述的是在n维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.尤其在讨论方程组的解，矩阵的秩，向量组的线性相关性，方阵的特征向量等问题时发挥着至关重要的作用，所以掌握行列式的计算方法显得尤其重要。 关键词： 行列式，范德蒙行列式，矩阵，特征值，拉普拉斯定理，克拉默法则。 The calculation method of determinant Abstract: Determinant is an important research object of linear algebra, is one of the most basic of linear algebra ` the most commonly used tools. In essence, the determinant is described in n dimensional space, a parallel polyhedron volume which is formed by the linear transformation, it is widely used in solving linear equations, the matrix, the calculation of calculus, etc. Especially in the discussion of solving systems of nonlinear equations, matrix rank, vector linear correlation, the problem such as characteristic vector of play a crucial role, so to master the calculation method of determinant is especially important Key words: Determinant vandermonde determinant, matrix, eigenvalue, the Laplace's theorem, kramer rule.

线性代数 复习提纲(一天就过)

《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表

示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

（2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论：

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

《线性代数》作业

《线性代数》作业 第一章 1、求排列(2n)(2n-1)…(n+1)1 2…(n -1)n 的逆序数。 解：后面是正常顺序，逆序出现在前n 个数与后n 个数之间，2n 的逆序数是2n-1，2n-1的逆序数是2n-2，……，n+1的逆序数是n ，所以整个排列的逆序数是(2n-1)＋(2n-2)＋……＋n ＝n(3n-1)/2 2、求排列246......(2n)135……(2n-1)的逆序数。 解析：后一项比前一项的算逆序一次，246......(2n)无逆序，所以从1开始，有246......(2n)共N 个，3开始有46......(2n)有N-1个，.......，.2n-1有一个，所以，加一起得，逆序数为1+2+......+N=N （N+1）/2 N=n+(n-1)+......+2+1=n(n+1)/2 3、试判断655642312314a a a a a a ，662551144332a a a a a a -，662552144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项。 解a 14a 23a 31a 42a 56a 65 下标的逆序数为 t （431265）=0+1+2+2+0+1=6 所以655642312314a a a a a a 是六阶行列式中的项。 662551144332a a a a a a -下标的逆序数为 t （452316）=8所以662551144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。 662552144332a a a a a a -下标的逆序数为t(452316)=8所以662552144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。 4、已知4阶行列式D 中的第3列上的元素分别是3，-4，4，2，第1列上元素的余子式依次为8，2，-10，X ，求X 。 解：X=20 5、设15234312a a a a a j i 是5阶行列式的一项，若该项的符号为负，则 i= 5 ,j= 4 。 6、要使3972i15j4成为偶排列，则 i= 6 ,j= 8 。 7、设D 为一个三阶行列式，并且D=4，现对D 进行下列变换：先交换第1和第2行，然后用2乘以行列式的每个元素，再用-3乘以第2列加到第3列，则行列式最后结果为 32 。 8、设对五阶行列式（其值为m ）依次进行下面变换，求其结果：交换一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，现用-3乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。 解析：交换一行与第五行 行列式的值变号 转置 行列式的值不变 用2乘所有元素 行列式的值乘以2^5 现用-3乘以第二列加到第四列 行列式的值不变 最后用4除以第二行各元素（应该是用4“除”第二行各元素吧？） 行列式的值乘以1/4

大学线性代数必过复习资料

复习重点： 第一部分 行列式 1． 排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题） 2． 行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3． 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题） 第二部分 矩阵 1． 矩阵的运算性质 2． 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3． 伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4． 矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15） 第三部分 线性方程组 1． 线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的 判定（P.75例13；P .80第16、17、18题） 2． 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3． 非齐次线性方程组的解的结构（通解） 第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩 第五部分 方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程 2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题） 3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题） 要注意的知识点： 线性代数 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

中国史学的发展

中国史学的发展 ★史学的概念与由来 （1）概念：史学是以人类历史为研究对象的科学 （2）由来：口耳相传→史官的产生→史学的萌芽 ★上古英雄史观 ★西方史学的源头：希罗多德《历史》（叙事体） 一、司马迁（西汉史学家）与《史记》 1、司马迁撰写《史记》的主客观因素 （1）客观条件 Ⅰ时代背景：汉武帝当政，政治、经济高度发展 Ⅱ家庭熏陶：祖父曾是西周史官，父亲任太史令 Ⅲ师从名儒：师从董仲舒，博古通今 （2）主观因素 Ⅰ二十壮游：周游南北各地，充实社会阅历和积累丰富素材（实地探访） Ⅱ触怒武帝：遭受腐刑，出狱后发愤著述 2、《史记》 （1）体裁：纪传体通史，即以人物传记的方式记叙史实的史书体裁 （2）内容：全书130篇，50多万字，包括本纪、表、书、世家、列传五个部分，叙述我国上起传说中的黄帝，下至西汉武帝时约三千多年的历史 （3）编纂宗旨：“究天人之际，通古今之变，成一家之言” （4）特点 Ⅰ取材宏富，内容广博，据事直书、像今略古，尤其关注当代 Ⅱ叙事生动，言语简练 （5）贡献 Ⅰ开创了“纪传体”体例 Ⅱ开创了政治、经济、民族、文化等各种知识的综合纂史方法 Ⅲ秉笔直书，是我国宝贵的史学传统，司马迁对此做出表率 Ⅳ是一部形象生动的历史传记 （6）地位 Ⅰ是我国历史上第一部纪传体通史，被列为“二十四史”之首 Ⅱ鲁迅先生称赞《史记》为“史家之绝唱，无韵之离骚” 二、司马光（北宋史学家）与《资治通鉴》 1、司马光撰写《资治通鉴》 （1）治史目的：“鉴前世之兴衰，考当今之得失” （2）设置史局：撰成《通志》8卷，送呈宋英宗，英宗赞赏并命其继续编述，历时19年（3）皇帝赐名：宋神宗“鉴于往事，有资于治道”，赐名《资治通鉴》

线性代数习题及解答

线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213 313233213122322333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1? ? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ???A B 可逆，且其逆为 -1-1?? ???B A D ．? ? ???A B 可逆，且其逆为 -1-1?? ??? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1 B ．2

线性代数复习——填空题

11. 行列式12341 2121200 0000 a a a a b b c c d d 的值为 0 。 12. 设α=(1, 0, -1)T , 则λE -ααT =10 100101λλλ-?? ? ?-?? 。 13. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 则A -1= 1 ()2 A E -。 14. 已知向量α=(6, -2, 0, 4)， β=(-3, 1, 5, 7)，2α+γ =3β，则γ= (-21,7,15,13) 15. 设β是非齐次方程组Ax =b 的一个解向量, α1, α2, ???, αn -r 是对应的齐次方程组Ax =0的一个基础解系, 则向量组β, α1, α2, ???, αn -r 线性 无关 。 16. 已知a 1, a 2, a 3线性相关, a 3不能由a 1, a 2线性表示, 则a 1, a 2线性 相关 。 17. 设齐次线性方程组111111a a a ?? ? ???123x x x ?? ? ? ???000?? ? = ? ??? 的基础解系中向量个数为2, 则a = 1 。 18. 设A 为3阶方阵, 其特征值为3, -1, 2, 则|A |= -6 。 19. 若Q 为正交矩阵，则1Q -与T Q 的关系是 1Q -=T Q 。 20. 如果二次型的规范形为2 3 2221y y y -+，则二次型的正惯性指标为 2 。

11. 设10231 120 12111254 D -= -, 则A 41+2A 42+A 43+A 44= 0 。 12. 设α=(1, 0, -1)T , 则|ααT |= 0 。 13. 设121212-??= ?-??A , 432212-??= ?---??B , 若X 满足A +X =B , 则X T 341014-?? ? ? --??。 14. 已知2513?? ? ?? =B ，则B 的伴随矩阵B *= 3512?? ???--。 15. 若向量α=(1, 1, k )T , β=(2, -3k , 4)T 正交, 则k = -2 。 16. 若向量(1, 2, 0)与(x , y , 0)线性相关, 则x 与y 满足 y=2x 。 17. 设A 是n 阶方阵, X 1, X 2均为方程组AX = b 的解, 且X 1≠X 2, 则|A |= 0 。 18. 若方阵A 相似于122?? ?- ??? , 则|A -1|3= -1/64 。 19. 若向量组a 1, a 2, a 3与向量组b 1, b 2, b 3等价, 其中b 1=(1, 0, 0, 0)T , b 2=(0, 1, 0, 0)T , b 3=(1, 1, 0, 0)T , 则向量组a 1, a 2, a 3的秩为 2 。 20. 二次型2 43231212x x x x x x x ++-的矩阵A = 0 1/21/201/20101/21000001-?? ? ?- ? ?? ?。

历史学就业前景(详解8篇)

历史学就业前景(详解8篇) 就历史学的就业方向详细说明一下。 历史学专业毕业生可适应策划、咨询、管理和教学、研究等方面工作对高层次人才的需求。大部分毕业生在各类学校、文博科研单位、党政机关、新闻出版部门、著名企业就业，有将近一半的本科生经过考研继续深造。就业岗位:高中历史教师、初中历史教师、储备干部、小学初中高中各科优秀教师、文案策划、医药代表、销售代表、成本会计、高中历史教师、会计、游戏文案策划、销售工程师等。能够说就业方向已经很广了。 历史学是一门基础学科，与专业对口的职业相对需求较少，就业方向相当广泛。 历史学就业前景详解（七）： 历史学专业就业前景就业形势分析 历史学:昨日的记忆 社会需求有限，期望适中就业不难 多数人都把历史学看成是冷门专业，认为该学科就业前景冷淡。其实也不尽然，该专业学生凭着大学所学到的广博的知识，就业时只要不期望过高，就业并不比其他专业差。 有平台统计数据显示:历史学毕业生规模为16000~18000人，连续两年就业率都在65%~70%之间。 从专业对口方面来说，历史学职业需求相对较少，最为人所熟知

的就是从事教师工作，或者向历史学研究方向发展。 而此刻毕业生就业是双向选择或多向选择，不必将职业局限在狭窄的领域，这样来看，历史学专业就业范围还是比较宽泛的。 当前历史学专业毕业生主要就业方向: 在科研机构、大中专院校、博物馆、档案馆从事研究工作; 在高校、中小学从事教育工作; 在出版社、杂志社、网站等媒体从事修改、记者等工作; 报考政府部门公务员; 报考研究生，继续深造; 彻底转行，从事与本专业毫无关联的工作。 历史类专业包括考古学、中国史、世界史等，开设大学较多。 历史学就业前景详解（八）： 历史学是一门基础学科，与专业对口的职业相对需求较少。就业方向相当广泛，毕业生可适应策划、咨询、管理和教学、研究等方面工作对高层次人才的需求。 一、就业方向职业的岗位职责 大部分毕业生在各类学校、文博科研单位、党政机关、新闻出版部门、著名企业就业，有将近一半的学生经过考研继续深造 二、就业方向职业的本事素质要求 科研单位:包括各高校及相关研究单位，从事教师、研究员职位。要求毕业生具备扎实的专业知识、合理的知识结构和全面的人文素质。要有踏踏实实做学问的精神和对历史学浓厚的兴趣以及刻苦钻研