题1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系
是 .
(第十一届高二第一试第11题)
解法1
b b a a b b a x ++=
-+=,a
b b a
a b b y -+=
--=.
y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .
解法2 b
b a a b b a
b b b b a y
x ++-+=---+=,y x y
x a b b a <∴<∴->+,1, .
解法3 a a b b a b b a a
b b b b a y x
-+-
++=----+=
-1111
=y x y
x
a
a b b a <∴>-∴>--+,011,0.
解法4 原问题等价于比较
a b b a -++与b 2的大小.由
,2)(2
2
2
y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++(,b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .
解法5 如图1,在函数x y =的图象
上取
三个不同的点A (a b -,a b -)、B (b ,b )、C
(b a +,
b a +).
由图象,显然有AB BC k k <,即
)
()(a b b a
b b b b a b b a ----<
-+-+, 即a b b b b a --<-+,亦即y x <
.
图1
解法6
令()f t =
t
t a a t f ++=
)( 单调递减,而a b b ->,
)()(a b f b f -<∴,即a b b b b a --<-+,y x <∴.
解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x . 如图2,其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A (
b
,a b -)、B (a b +,b ).
由图形,显然有1>AB k ,即
1>-+--b
b a a
b b ,从
而
y x <.
解法8 如图3.在Rt △ABC 中,∠C 为直
角,BC=a ,AC=b
,BD=
b
,则
AB=
b a +,DC=a b -.
在△ABD 中,AB-AD 从而-+b a AD-DC<-b DC , 即 a b b b b a --<-+,故y x <. 评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化(处理无 理 式常用此法)将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小,顺理成章,也很简洁.要注意的是:0,>b a 时,1a a b b >?>;0, 1a a b b >?<.此题直接作差难以确定差与0的大小,解法3对y x ,的倒数作差 再与0比较大小,使得问题顺利获解,反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题,构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使 图 2 图3 得y x ,恰为其两个函数值,且该函数还应是单调的(最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的).解法5与解法7分别构造函数与解几模型,将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决,充分沟通了代数与几何之间的内在联系,可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景,构造平面图形,直观地使问题得到解决,这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法. 有人对此题作出如下解答: 取,2,1==b a 则 1 21 12,2 31 23+=-=+= -= y x ,32+>10+>, .,1 21 2 31 y x <∴+< +可再取两组特殊值验证,都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲,取2,1==b a ,得y x <.即使再取无论多少组值(也只能是有限组值)验证,都得y x <,也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的,而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确,但解法是没有根据的.当然,如果将题目改为选择题: 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 ( ) A 、y x > B 、y x ≥ C 、y x = D 、y x < 此时用上述解法,且不用再取特殊值验证就可选D ,并且方法简单,答案一定正确. 总而言之,特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷,那是因为选择支中的正确答案是唯一的,从而通过特殊值排除干扰支,进而选出正确答案. 但特殊值法只能排除错误结论,而不能直接肯定正确答案,因此,用此法解填空题(少数特例除外)与解答题是没有根据的.当然,利用特殊值指明解题方向还是十分可取的. 题2 设c b a >>N n ∈,,且11n a b b c a c +≥---恒成立,则n 的最大值为 ( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 (第十一届高二第一试第7题) 解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--? .min a c a c n a b b c --?? ∴≤+??--??.而b a c a --+c b c a -- = b a c b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4,且当 b a c b --=c b b a --,即 b c a 2=+时取等号.min a c a c a b b c --?? ∴+? ?--??4=.4n ∴≤.故选C . 解法2 c b a >>,0,0,0>->->-∴c a c b b a ,已知不等式化为 ()()()2a c n a b b c -≤ --.由()()()()22 2 42 a c a c a b b c a b b c --≥=---+-?? ?? ? ,即()()()4min 2=??? ???---c b b a c a ,故由 已知得4≤n ,选C . 解法3 由c b a >>,知0,0,0>->->-c a c b b a ,有()?? ? ??-+--≤c b b a c a n 11.又()()()[]()41111112 =+≥?? ? ??-+--+-=??? ??-+--c b b a c b b a c b b a c a , 即()411min =??? ?? ???? ??-+--c b b a c a ,由题意,4≤n .故选C . 解法4 c b a >>,0,0,0>->->-∴c a c b b a .∴已知不等式可变形为 ()()()2 a c n a b b c -≤--.记()()() 2 a c k a b b c -=--, 则()()[]()() ()()[]()() 422 2 =----≥ ---+-= c b b a c b b a c b b a c b b a k .由题意,4≤n .故选C . 解法5 c b a >>110,0.a b b c ∴ >>--于是 ()()c a c b b a c b b a -= -+-≥-+-4 411.比较得4≤n .故选C . 评析 由已知,可得()?? ? ??-+--≤c b b a c a n 11恒成立.根据常识“若()a f x ≤恒成立,则()min x f a ≤;若()x f a ≥恒成立,则()max a f x ≥,”()?? ? ??-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值,故问题转化为求()?? ? ??-+--c b b a c a 11的最小值,上述各种解法都是围绕这一中心的,不过采用了不同的变形技巧,使用了不同的基本不等式而已.解法1运用了2,,b a a b R a b ++≥∈“” ;解法2运用了”“2 2?? ? ??+≤b a ab ;解法3运用了 ()”“411≥?? ? ?? ++b a b a ;解法4运用了 () ”“+∈≥+R b a ab b a ,2;解法 5运用了() ” “+∈+≥ +R b a b a b a ,4 11.虽解法异彩纷呈,但却殊途同归. 此题使我们联想到最新高中数学第二册(上)P 30第8题: 已知c b a >>,求证: 01 11>-+-+-a c c b b a . 证:令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ,则y x c a +=-. ()22111111x y xy a b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-= ---++.0,0x y >>, 01 11>-+-+-∴ a c c b b a . 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式,使得推证更简单了.运用这一思路,又可得本赛题如下解法: 设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ,则y x c a +=-.c a n c b b a -≥ -+-11恒成立,就 是 y x n y x +≥+11恒成立.也就是()???? ??++≤y x y x n 11恒成立.()411≥??? ? ??++y x y x 恒成立, ∴由题意得4≤n .故选C . 再看一个运用这一思想解题的例子. 例 设+ ∈R c b a ,,,求证:2 222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. (第二届“友谊杯”国际数学竞赛题) 证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,2 1 >++=++z y x z y x c b a . ()()() 02 222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ,()2 22a b a b x y x y +∴+≥+ ①, ()()()()2 2 2 222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222c b a z c y b x a ++≥++,2 222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴. 本赛题还可直接由下面的命题得解. 命题 若021>>>>n a a a ,则()n n n a a n a a a a a a --≥-++-+--12 132211 111 . 证明 02 1>>>>n a a a ,n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0.反复运用① 式,可得: “若,(1,2, ,)i i x y R i n +∈=,则2 2111 n i n i i n i i i i x x y y ===?? ???≥∑∑∑,当且仅当 12 12 n n x x x y y y === 时 取等号”.故有 ()()2 2 1223 1122311111111 1 n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥= ----+-++--. 也可以这样证明: 021>>>>n a a a ,12231,,,0n n a a a a a a -∴--->.故由柯西不等式,得 ()()()122311223 111 1 ( )n n n n a a a a a a a a a a a a --+++ -+-++-????---() ()2 11 111n -≥++ +个 ()2 1n =-,即()()2 1132211)111( -≥--++-+--n a a a a a a a a n n n .01>-n a a , ()n n n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12 1322111 11 . 由此可得本赛题的如下解法: c b a >>,0,0,0>->->-∴c a c b b a , ()c a c b b a c b b a -=-+-+≥-+-∴4111 12 .由 题意,4≤n .故选C . 由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题:设 1232000 2001a a a a a >>> >>,并且1223 2000200111 1m a a a a a a =++ +---,2001 16 104a a n -?=, 则m 与n 的大小关系是 ( ) A 、n m < B 、n m > C 、n m ≥ D 、n m ≤ 解 1232000 2001a a a a a >>> >>,2001 16 2001121042000a a a a m -?= -≥∴.故选C . 题3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+2 2,b y x =+22,则ny mx +的最大值为 ( ) A 、21()b a + B 、 21 2 2b a + C 、 2 2 2b a + D 、 ab (第十一届高二培训题第5题) 解法1 设,sin ,cos ααa n a m == ,sin ,cos ββb y b x == 则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα 即 )(ny mx +max =ab .故选D . 解法2 b n a b m a b a n m =+? =+2 222,又b y x =+22,+=+∴mx a b ny mx a b )( ≤ny a b 2222()()2b m n x y a ++++==.2 b b a a b =+?ny mx +∴,ab a b b =≤ 当且仅当 x = ,y =即my nx =时取等号,max )ny mx +∴(.ab = 解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++ ()()2222,m n x y ab =++ =mx ny ∴+≤当且仅当my nx =时取等号,故 ( )max mx ny += . 解法4 设()(),,,,p m n q x y → → ==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→ ?=??≤?222 ,p q p q →→→→∴?≤? ()()2 2 2 mx ny m n +≤+即()2 2 ,x y ab +=当且仅当,p q →→ 共线,即my nx =时取等号,故 ( )max mx ny += . 解法5 若设mx ny k +=,则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点,于是 ≤ ( )max k mx ny mx ny =+≤∴+=解法6 设12,z m ni z x yi =+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+?-=++-∴ 1212 ,z z mx ny mx ny mx ny z z ?= ≥ =+≥+∴+≤ 1 2z z = ?==当且仅当my nx =时取等号, 故()max mx ny +=. 解法7 构造函数()()()222222f X m n X mx ny X x y =+++++, 则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m n x y ?=+-++ ()2 440,mx ny ab =+-≤ 即()max mx ny mx ny +∴+.ab = 解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形 (如图),其中 90,ACB ADB ?∠=∠ =,AC = ,BC = ,,BD x AD y AB ===由托勒密定理,AD BC BD AC ?+?2,AB CD AB =?≤ ,x y b ??≤, 从而得mx ny +≤当且仅当my nx =且0mx >时取等号.( )max mx ny ∴+= 评析 解法1抓住已知条件式的结构特征,运用三角代换法,合情合理,自然流畅,也是解决此类型问题的通法之一. 解法2 运用基本不等式2 2 2b a ab +≤ 将ny mx +放大为关于22n m +与2 2y x +的式子,再利用条件求出最大值.值得注意的是,稍不注意,就会得出下面的错误解法: ()()()2222 2222max ,22222 m n x y m x n y a b a b mx ny mx ny ++++++++≤+==∴+= .故选A .错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到.上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②,而若①,②式同时取得,则 2222m n x y +=+,即,a b =这与题设矛盾!即当a b ≠时,mx ny +取不到 2 a b +.解法2是避免这种错误的有效方法. 由于向量与复数的模的平方是平方和形式,与已知形式一致,故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法,新颖而简洁. 解法5设k ny mx =+后,将其看作动直线,利用该直线与定圆b y x =+2 2有 公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径,得ab ny mx k ≤+=,充分体现 了等价转化的解题功能. 解法7运用的是构造函数法.为什么构造函数 ()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x + 2y +呢?主要基于两点:①()f X 为非负式(值大于等于 0),②由于()0≥X f , 故有0≤?,而?沟通了已知与未知的关系,故使问题得到解决. 解法8抓住已知两条件式的特征,构造了两个有公共边的直角三角形,利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解,充分揭示了这一代数问题的几何背景. 拓展 此题可作如下 推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q ++ +=++ +=则()1122max n n a b a b a b ++ + = ()1,2,,i i b i n ==时取得最大值). 证明 2 2 2 222 1212n n q q q a a a p a a a p p p ?????? ++ += ?++ + ? ? ? ? ? ??????? .q = 1122a b a b ∴++ +1122n n n n q a b b b a b p ?= ?+?++ ???? ≤ a p ?+?????? = () ,2222222212 2221pq q p p q q p b b b a a a p q q p n n =??? ?? ? ??+?=????? ???????+++++++ 当且仅当 ()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a p q n n i i =+++∴== 时取等号, 本推广实际就是由著名的Cauchy (柯西)不等式 ()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++?+++≤+++ (当且仅当 n n b a b a b a === 22 11时取等号)直接得到的一个结论. 推广有十分广泛的应用,现举一例: 例 已知123,,,,,,234,8.a b c x y z R a b c x y z +∈++=++=且 最大值. 解 2 2 2 123 2344,8a b c x y z ++=? ++=++ =2 2 ?+ 2 +=8. =≤=当 ===即12ax by cz ===时取等号. max ∴=.24 题4 对于1≤m 的一切实数m ,使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是____ (第十三届高 二培训题第63题) 解法 1 题设等价于?????--<>-1120122x x m x 或?? ? ??--><-11 20122x x m x 或???>-=-012012 x x ,即?????--<>-11210122x x x 或?? ? ??-->-<-11210 122x x x 或?? ?>-=-012012x x ,所以21< ???<+--=<+-+-=-0121)1(0121)1(2 2x x f x x f ,即???<->-+0 20 2222x x x x ,解得213<<-x )1(≠x . 又当1=x 时,1)(-=m f ,适合题意,当1-=x 时,()3f m =不合题意. 故x 的取值范围是 213<<-x . 评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于x 的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法,为了达到分离参数的目的,又对12-x 分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x 的不等式组,从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度,把已知不等式看成关于m 的不等式,从而将原问题转化为函数()()121)(2---=x m x m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法,使得此题的解决显得既简捷,又直观易懂. 题5 当0x a <<时,不等式2)(1 12 2≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题) 解法1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2) ()(22 22≥-+-x a x x x a ②, ②+①×2,得6) (222 222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2 222≥-+x a a x a ,即2 228 )(11a x a x ≥-+.由 28 2≥a ,得02a <≤,2max =∴a . 解法2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x --+-+=???? ??-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4 (1 a 2)x a x x x a ---, 2 22)4()(112a x a x ≥??????-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当 x a x x x a -=- 且 x a x -=11, 即 2a x = 时取等号. 2)(112 2≥-+x a x 恒成立, ∴ 28 2,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法3 原不等式等价于 12 )(112 2≥-+ x a x ,由 0x a <<,可知 10, x >1 0a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需 1) (2 ≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a . 解法4 22)(11x a x -+2≥ 即 2)(1122 22≥?? ????--++x x a x x ①成立,又 212 2 ≥+x x 恒成立, ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式,得2x 2)(x a -1≤,1)(≤-x a x ,012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2 a a x ∈=,由二次函数的性质,当),0(a x ∈时,要③式恒成立,则24002a a ?=-≤∴<≤ 2max =∴a . 解法5 设 αα22sin ,cos =-=a x a a x (0x a <<),则 2 2)(11x a x -+ = α 42cos 1a + α42sin 1a ==+?αααα444 4 2cos sin cos sin 1a =-?αα 2sin 16 12sin 21 11422 a αα2sin 2sin 28422-?a . )22(sin 2+αα2(sin 2-1)0≤,即 2-αα2sin 2sin 4 2 ≥,则α α2sin 2sin 24 2-1≥)12sin (2 时取等号当=α,于是2 228)(11a x a x ≥-+,由已知,得 28 2,02,a a ≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11 ,(0,0),X Y X Y x a x == >>-则 2 2 2X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原 点为 圆心,2为半径的圆及其外部.由 11,,X Y x a x ==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4 ,22a XY XY ≥∴≥它表示双曲线 依题24 a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分. 意,双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a =>+=>>与圆弧(,) 相切或相离,从而28 2≥a ,即02a <≤ 2max =∴a . 解法 7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+ ,则≥+++n n y x y x y x 222 2 121 ),()(212 21*++++++n n y y y x x x 当且仅当k y x y x y x n n ==== 2211(常数) 时取等号.” 0x a <<, ∴0.a x ->由柯西不等式,有2 2 222)11()) (11)( 11(x a x x a x -+≥-++①,由)(*得x a x -+11a 4 ≥②.故,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+,当且仅当2 a x =时取等 号,由 28 2≥a ,得02a <≤ 2max =∴a . O 2 x O 解法8 运用结论“2 121223 1111 1(1),,n n n n n a a a a a a a a a a a -->> >++ +≥----若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ? ??? + =+≥????---???? 2 1 10x a x ??+ ?--??22 2160)13(a a =?? ????--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+,当且仅当x a x -=,即2 a x =时 取等号.令 28 2≥a ,得02a <≤ 2max =∴a . 评析 2)(1122≥-+x a x 恒成立,∴2)(11min 22≥??? ???-+x a x .故问题的实质就是求2 2)(11x a x -+ 的最小值(关于a 的式子)大于等于2的解.因而在0x a <<的条 件下,如何求 2 2)(11x a x -+ 的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为 倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换,解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参(a )一元二次不等式恒成立,求参数的范围问题,从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论(读者可自己证明),各种解法异彩纷呈,都值得细细品味. 拓展 此题可作如下推广: 推广1 若1210n x x x a -<<< <<,则≥-++-+-2 121221 )(1)(11n x a x x x 23 a n ,当且 仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号. 证明 由已知,1210n x x x a -<<< <<,则12x x -0>,23x x -0>,, 1--n x a 0>. 根据柯西不等式及解法7运用的不等式(*),有?? ?? ??-++-+ -212122 1 )(1 )(11n x a x x x n ≥2121111 1n x x x a x -??+ ++≥ ?--??2 24 2,n n a a ??= ???故≥-++-+-2 1 21221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号. 推广2 若1210n x x x a -<<< <<,, ),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则 ++k k x b 1 11 k k n k n k n k k a b b b x a b x x b 12111 121 2 )()()(+-+++++≥ -++- ,当且仅当∑== n i i i i b ab a 1 时取等号. 证明 不妨设1122 11,,,--=-==n n x a a x x a x a ,=M ,)(11 +=∑k n i i b 由已知得 i a 0> 且),,2,1(n i =,1 a a n i i =∑=令a a c i i =,则∑=n i i c 1 =111=∑=n i i a a .由均值不等式,++k i k i c b 1 ≥+++ 个 k i i i Mc Mc Mc ,) 1(1 1 +++k k i k b M k 即k i k i c b 1 +k n i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ i b ?,则 11111(1)()k n n n k i i i k i i i i b kM c k b c ++===+≥+∴∑∑∑1111()k n n k i i k i i i b b c ++==≥∑∑,即11k n k i k i i b a a +=≥∑11()n k i i b +=∑, 1 1 111()n k k i n i i k k n i i i i b b a a ++===≥?? ??? ∑∑∑,当且仅当=i a ∑∑∑====?????? ??????n i i i i n i i n i i b ab b b a 111 时取等号. ∴ + +k k x b 1 11 ++k k x b 2 12 k n k n x a b )(1--+ k k n a b b b 1 21)(++++≥ . 题6 已知()?? ? ? ?∈=2,0,log sin πθθx x f ,设?? ? ??+= 2cos sin θθf a , ( )θ θcos sin ?=f b ,?? ? ? ?+=θ θθcos sin 2sin f c ,那么c b a 、、的大小关系是 ( ) A 、b c a ≤≤ B 、a c b ≤≤ C 、a b c ≤≤ D 、c b a ≤≤ (第八届高二第一试第10 题) 解法1 设p =θsin ,q =θcos .pq q p ≥+2 ,而()x f 是减函数, ( )pq f q p f ≤?? ? ??+∴2,即b a ≤.2 q p pq +≤ ,()2pq q p pq +≤ ∴, pq q p pq ≤+2.( )pq f q p pq f ≥??? ? ??+∴2,即b c ≥.故c b a ≤≤.选D. 解法2 由题意,令6 π θ=,则2 1 sin = θ ,cos θ=,4312cos sin +=+θθ , 23cos sin 4 = θθ,233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ,()1,02 1 sin ∈=θ ,()x f ∴是减函 数,又2 33234314->>+,( ) ?? ? ??+<? ? ??+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f f f ,即 c b a <<.故选D. 评析 这是一个比较函数值大小的问题,通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增(减),则当21x x <时,()()()()()2121x f x f x f x f ><,当21x x >时, ()()21x f x f > ()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个:一是确定函数的单调性,二是确 定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的. 因为正确答案应对一切??? ? ?∈2, 0πθ都正确,故又可以运用特殊值法.对? ? ? ??2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的,由正确选择支的唯一性,也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6 π θ=,排除了A 、B 、C 、而选D 的. 当然,此题也可用作差比较法来解:?? ? ? ?∈2, 0πθ ,()1,0sin ∈∴θ,()x f ∴是单 调减函数,0sin >θ,0cos >θ.=?-+=-∴θθθ θθθ cos sin log 2 cos sin log sin sin b a 01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤?+θθ θ θθ θ,b a ≤∴.又-?=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+?=+θθθθ θθθ θθ θθθθθθθθ,即 c b ≤,c b a ≤≤∴.选D. 题7 已知2 1= a ,不等式4 9 321 log < ?? ? ??-x a 的解是 . (第三届高二 第二试第13题) 解 原不等式即2 log 32321 -?? ? ?? ? ? ??-x a . 指数函数x ? ? ? ??32是减函数,2 1= a , ∴原不等式化为2log 12 1->-x ,即2 212 112 1log log -???? ??->x .又 对数函数log x 是减函数, 2 211-? ? ? ??<-∴x ,即21<-x ,解得31<<-x . 对数函数12 1log -x 的定义域是1 ≠x 的实数,∴原不等式的解是11<<-x 或31< 评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法,即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式,然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1,确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性,再去掉底数或对数符号,转化成别的不等式.主要依据如下: ⑴若01a <<,则()()()()f x g x a a f x g x >; ⑵若1a >,则()()()()f x g x a a f x g x <; ⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a a f x g x >>; ⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x a a f x g x <<. 有时需要将常数化为指数式或对数式,其化法如下: ⑴a c c a log =(,0,0>>c a 且1≠c );(化为指数式) ⑵log a c a c =(,0>c 且1≠c ).(化为对数式) 例如,2 3 log 32=将常数2化为3为底的指数式,2 33log 2=将常数2化为3 为底的对数式. 解指数不等式不需检验,但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义,这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式,常常采用取对数法求解. 例 不等式( ) x x x >lg 的解集是 . (第十一届高二培训题第40题) 解 两边取常用对数,得()x x lg lg 2 >,即 0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4 122 <>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04 . 应当指出,两边取对数后,不等号的方向变不变,关键看取的是什么底数.如果底数大于1,则不等号方向不变,如果底数大于0且小于1,则不等号方向改变. 关于绝对值不等式,主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记(a 为常数). ⑴()0≤a a x 的解集是R ; ⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习: ⑴已知常数?? ? ? ?∈4, 0πθ,则不等式() () 8 10 3cot tan 2--->x x x θθ的解集是 . (第八届高二第一试第16题) ⑵若函数()??? ? ????? ? ?=4 22 2 log log x x x f 的定义域是不等式2 1 122 2log 7log 30x x ?? ++≤ ???的解集,则()x f 的最小值= ;最大值= . (第十届高二第一试第23题) ⑶不等式2 2 222log 2log x x x x x x ++>的解集是 . (第九届高二培训题第23题) ⑷不等式1323>--x 的解是 ( ) (A )6>x 或23 2 <≤x (B )6>x 或2 52, ⑵43 ;2 ⑶?? ? ??2,21 ⑷A 第80炼 排列组合的常见模型 一、基础知识: (一)处理排列组合问题的常用思路: 1、特殊优先:对于题目中有特殊要求的元素,在考虑步骤时优先安排,然后再去处理无要求的元素。 例如:用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数,共有多少种排法? 解:五位数意味着首位不能是0,所以先处理首位,共有4种选择,而其余数位没有要求, 只需将剩下的元素全排列即可,所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件:如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面,再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如:在10件产品中,有7件合格品,3件次品。从这10件产品中任意抽出3件,至少有一件次品的情况有多少种 解:如果从正面考虑,则“至少1件次品”包含1件,2件,3件次品的情况,需要进行分类讨论,但如果从对立面想,则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可,列式较为简 单。3310785N C C =-=(种) 3、先取再排(先分组再排列):排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素,再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素,所以此时就要将过程拆分成两个阶段,可先将所需元素取出,然后再进行排列。 例如:从4名男生和3名女生中选3人,分别从事3项不同的工作,若这3人中只有一名女生,则选派方案有多少种。 解:本题由于需要先确定人数的选取,再能进行分配(排列),所以将方案分为两步,第一步:确定选哪些学生,共有2143C C 种可能,然后将选出的三个人进行排列:33A 。所以共有213433108C C A =种方案 (二)排列组合的常见模型 1、捆绑法(整体法):当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如:5个人排队,其中甲乙相邻,共有多少种不同的排法 1.高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps 高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题(每小题5分,共60分) (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11},B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911,,,,,和{}1711,,的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911,,,,,和{}1711,,的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1),所以只有34个 (2)从1,2,3,…,9这九个数学中任取两个,其中一个作底数,另一个作真 数,则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1,2,3,…,9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ; ②1不能为底数,以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去; ③1为真数时,对数为0,以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个; ④2324log 4log 92log 3log 9 ===,49241log 2log 32log 3log 9 == =,应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 (3)四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名站在一起,但三名女生 不能全排在一起,则不同的排法数有 (A )3600(B )3200(C )3080(D )2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ; ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ,其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列,排列数为55P ,站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列,故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为: 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种()()() 我的做法用插空法,先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= (4 )由100+展开所得x 多项式中,系数为有理项的共有 (A )50项(B )17项(C )16项(D )15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L 1.如果log3m+log3n=4,那么m+n的最小值是( ) A.4 B.4 C.9 D.18 2.数列{a n}的通项为a n=2n-1,n∈N*,其前n项和为S n,则使S n>48成立的n的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 3.若不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx-2>0的解集相同,则a、b的值为( ) A.a=-8 b=-10 B.a=-4 b=-9 C.a=-1 b=9 D.a=-1 b=2 4.△ABC中,若c=2a cosB,则△ABC的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 5.在首项为21,公比为的等比数列中,最接近1的项是( ) A.第三项 B.第四项 C.第五项 D.第六项 6.在等比数列中,,则等于( ) A. B. C.或 D.-或- 7.△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=bx,则A的度数等于( ) A.120° B.60° C.150° D.30° 8.数列{a n}中,a1=15,3a n+1=3a n-2(n∈N*),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A.a21a22 B.a22a23 C.a23a24 D.a24a25 9.某厂去年的产值记为1,计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为( ) A.1.14 B.1.15 C.10×(1.16-1) D.11×(1.15-1) 10.已知钝角△ABC的最长边为2,其余两边的长为a、b,则集合P={(x,y)|x=a,y=b}所表示的平面图形面积等于( ) A.2 B.π-2 C.4 D.4π-2 11.在R上定义运算,若不等式对任意实数x成立,则( ) A.-1<a<1 B.0<a<2 C.-<a< D.-<a< 12.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把正确答案写在横线上) 13.在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=____. 14.设变量x、y满足约束条件,则z=2x-3y的最大值为____. 15.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这 样的题目:把100个面包分给五人,使每人成等差数列,且使较多的三份之和的是较少的两份之和,则最少1份的个数是____. 16.设,则数列{b n}的通项公式为____. 三、解答题(本题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分)△ABC中,a,b,c是A,B,C所对的边,S是该三角形的面积,且 . (1)求∠B的大小; (2)若a=4,S=5,求b的值. 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 (考试时间:80分钟 满分100分) 一、填空题(共8小题,5678=?分) 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n (十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =, 1()(()) k k f n f f n +=, 1,2,3... k =,则 =)2010(2010f 。 3、如图,正方体1 111D C B A ABCD -中,二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+,则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中,给定两点(1,2)M -和(1,4)N ,点P 在X 轴上移动,当MPN ∠取最大值时,点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ,则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题(共3题,分44151514=++) 9、设数列}{n a 满足条件:2,121==a a ,且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证:对于任何正整数n ,都有:n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:,0>x ,m 为正常数.直线l 与曲线M 的实轴不垂直,且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点,O 为坐标原点。 (1)若||||||CD BC AB ==,求证:AOD ?的面积为定值; (2)若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1,求证:||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根,函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. (Ⅰ)求);(min )(max )(x f x f t g -= (Ⅱ)证明:对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ,若1sin sin sin 321=++u u u ,则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 (考试时间:150分钟 总分:200分) 一、(本题50分)如图, 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切,,,,E F G H 为切点,并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证:直线PA 与BC 垂直。 二、(本题50分)正实数z y x ,,,满 足 1≥xyz 。证明: E F A B C G H P O 1。 。 O 2 2001年某省普通高校对口升学 考试数学模拟试题(三) 一、选择题(本大题共15小题;每小题5分,共75分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设全集U = {0,1,2,3},集合M ={0,1,2}N ={0,2,3},则U M N U e( ) A .空集 B .{1} C .{0,1,2} D .{2,3} 2.设x ,y 为实数,则x 2 = y 2的充分必要条件是( ) A .x = y B .x = –y C .x 3 = y 3 D .| x | = | y | 3.点P (0, 1)在函数y = x 2 + ax + a 的图像上,则该函数图像的对称轴方程为( ) A .x = 1 B .12x = C .x = –1 D .12 x =- 4.不等式x 2 + 1>2x 的解集是( ) A .{x |x 1,x ∈R } B .{x |x >1,x ∈R } C .{x |x –1,x ∈R } D .{x |x 0,x ∈R } 5.点(2, 1)关于直线y = x 的对称点的坐标为( ) A .(–1, 2) B .(1, 2) C .(–1, –2) D .(1, –2) 6.在等比数列{a n }中,a 3a 4 = 5,则a 1a 2a 5a 6 =( ) A .25 B .10 C .–25 D .–10 7.8个学生分成两个人数相等的小组,不同分法的种数是( ) A .70 B .35 C .280 D .140 8.1tan151tan15+?=-? ( ) A .3- B 3 C 3 D .3 9.函数31()31 x x f x -=+( ) A .是偶函数 B .是奇函数 C .既是奇函数,又是偶函数 D .既不是奇函数,也不是偶函数 10.掷三枚硬币,恰有一枚硬币国徽朝上的概率是( ) A .14 B .13 C .38 D .34 11.通过点(–3, 1)且与直线3x – y – 3 = 0垂直的直线方程是( ) A .x + 3y = 0 B .3x + y = 0 C .x – 3y + 6 = 0 D .3x – y – 6 = 0 12.已知抛物线方程为y 2 = 8x ,则它的焦点到准线的距离是( ) A .8 B .4 C .2 D .6 13.函数y = x 2 – x 和y = x – x 2的图像关于( ) A .坐标原点对称 B .x 轴对称 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷) 一、填空题:本大题共 8小题,每小题 8分,共64分. 1.设集合{1,2,3,,99}A = ,{2}B x x A =∈,{2}B x x A =∈,则B C 的元素个数 . 解析:因为{1,2,3,,99}A = ,所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ,共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ,则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析:过点P 作平面α的垂线,这垂足为O ,则点Q 的轨迹是以O 为圆心,分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,a b c d e f ,则abc def +是偶数的概率为 . 解析:(直接法)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,共有6 6720A =种不同的排法,要使 abc def +为偶数,abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. (1)若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形; (2)若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形; 共有648种情形.综上所述,abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. (间接法)“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”, abc def +是偶数分成两种情况:“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”,每 P O M N α 排列组合 一.选择题(共5小题) 1.甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同的值班表有() A.36种B.42种C.50种D.72种 2.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有() A.8种 B.10种C.12种D.32种 3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是() A.72 B.120 C.144 D.168 4.现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中,要求每个盒子至少放1个小球,且小球甲不能放在A盒中,则不同的放法有() A.12种B.24种C.36种D.72种 5.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有() A.300种B.240种C.144种D.96种 二.填空题(共3小题) 6.某排有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,则不同的坐法有种. 7.四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有种(用数字作答). 8.书架上原来并排放着5本不同的书,现要再插入3本不同的书,那么不同的 插法共有种. 三.解答题(共8小题) 9.一批零件有9个合格品,3个不合格品,组装机器时,从中任取一个零件,若取出不合格品不再放回,求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10.已知展开式的前三项系数成等差数列. (1)求n的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项. 11.设f(x)=(x2+x﹣1)9(2x+1)6,试求f(x)的展开式中: (1)所有项的系数和; (2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和. 12.求(x2+﹣2)5的展开式中的常数项. 13.求值C n5﹣n+C n+19﹣n. 14.3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的种数.(1)选5名同学排成一行; (2)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (3)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (4)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (5)全体站成一排,男、女各站在一起; (6)全体站成一排,男生必须排在一起; (7)全体站成一排,男生不能排在一起; (8)全体站成一排,男、女生各不相邻; (9)全体站成一排,甲、乙中间必须有2人; (10)全体站成一排,甲必须在乙的右边; (11)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变; (12)排成前后两排,前排3人,后排4人. 15.用1、2、3、4、5、6共6个数字,按要求组成无重复数字的自然数(用排列数表示). 数学试卷 一、选择题 (1)设集合{}A=246,,,{}B=123,,,则A B= ……………………………………( ) (A ){}4 (B ){}1,2,3,4,5,6 (C ){}2,4,6 (D ){}1,2,3 (2)函数y cos 3 x =的最小正周期是 ……………………………………( ) (A )6π (B )3π (C )2π (D )3 π (3)021log 4()=3 - ……………………………………( ) (A )9 (B )3 (C )2 (D )1 ) (4)设甲:1, :sin 62 x x π==乙,则 ……………………………………( ) (A )甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件; (B )甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件; (C )甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件; (D )甲是乙的充分必要条件。 (5)二次函数222y x x =++图像的对称轴方程为 ……………………………………( ) (A )1x =- (B )0x = (C )1x = (D )2x = (6)设1sin =2 α,α为第二象限角,则cos =α ……………………………………( ) . (A )32- (B )22- (C )12 (D )32 (7)下列函数中,函数值恒大于零的是 ……………………………………( ) (A )2y x = (B )2x y = (C )2log y x = (D )cos y x = (8)曲线21y x =+与直线y kx =只有一个公共点,则k= ………………………( ) (A )2或2 (B )0或4 (C )1或1 (D )3或7 (9)函数lg 3-y x x =+的定义域是 ……………………………………( ) (A )(0,∞) (B )(3,∞) (C )(0,3] (D )(∞,3] (10)不等式23x -≤的解集是 ……………………………………( ) 【 (A ){}51x x x ≤-≥或 (B ){}51x x -≤≤ (C ){}15x x x ≤-≥或 (D ){}15x x -≤≤ (11)若1a >,则 ……………………………………( ) (A )12 log 0a < (B )2log 0a < (C )10a -< (D )210a -< (12)某学生从6门课程中选修3门,其中甲课程必选修,则不同的选课方案共有…( ) 2017高一数学竞赛试题 导读:我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容,具体内容:在我们的学习生活中,考试试卷的练习是我们的重要学习方式,我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题,希望能够帮助到你!一、选择题:(本大... 在我们的学习生活中,考试试卷的练习是我们的重要学习方式,我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题,希望能够帮助到你! 一、选择题:(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的) 1.已知 , 为集合I的非空真子集,且 , 不相等,若,则 ( ) A. B. C. D. 2.与直线的斜率相等,且过点(-4,3)的直线方程为 () A. = 32 B. =32 C. =32 D. =-32 3. 已知过点和的直线的斜率为1,则实数的值为 ( ) A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 4. 已知圆锥的表面积为6 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径为 ( ) A. B.2 C. D. 5. 在空间中,给出下面四个命题,则其中正确命题的个数为 () ①过平面外的两点,有且只有一个平面与平面垂直; ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等,则∥; ③若直线l与平面内的无数条直线垂直,则l; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线; A.3 B.2 C.1 D.0 6. 已知函数定义域是,则函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( ) 8. 设甲,乙两个圆柱的底面面积分别为,体积为,若它们的侧面积相等且,则的值是 ( ) A. B. C. D. 9.设函数,如果,则的取值范围是 ( ) A. 或 B. C. D. 或 10.已知函数没有零点,则实数的取值范围是 () A. B. C. D. 11.定义在R上的偶函数满足:对任意的,有 .则 ( ) A. B. C. D. 12. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各个面中,直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有 m种不同的方法,在第2类 1 办法中有 m种不同的方法,…,在第n类办法中有n m种不同的方法,那么2 完成这件事共有: 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有 m种不同的方法,做第2步 1 有 m种不同的方法,…,做第n步有n m种不同的方法,那么完成这件事共2 有: 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置. 高三(职高)数学试题(三) (时间:120分钟 总分:150分) 一、 单项选择题:(本大题共15个小题,每小题3分,共45分。) 1. 设全集U ={x │4≤x ≤10,x ∈N},A={4,6,8,10},则C u A =( )。 A {5} B {5,7} C {5,7,9} D {7,9} 2. “a>0且b>0”是“a 2b>0”的( )条件。 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充分且必要 D 以上答案都不对 3. 如果f (x)=ax 2+bx+c (a ≠0)是偶函数,那么g (x)=ax 3+bx 2-cx 是( )。 A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既是奇函数又是偶函数 4. 设函数f (x)=lo g a x(a>0且a ≠1),f (4)=2,则f (8)等于( )。 A 2 B 12 C 3 D 13 5. sin80°- 3 cos80°-2sin20°的值为( )。 A 0 B 1 C -sin20° D 4sin20° 6. 已知向量a 的坐标为(1,x ),向量b 的坐标为(-8,-1),且a b + 与a b - 互相垂直,则( )。 A x=-8 B x=8 C x=±8 D x 不存在 7. 等比数列的前4项和是 203 ,公比q=1 3-,则a 1等于( )。 A -9 B 3 C 13 D 9 8. 已知2 1 2 3 ()() 3 2 y x -=,则y 的最大值是( )。 A -2 B -1 C 0 D 1 9. 直线l 1:x+ay+6=0与l 2:(a -2)x+3y+a=0平行,则a 的值为( )。 A -1或3 B 1或3 C -3 D -1 10. 抛物线y 2=-4x 上一点M 到焦点的距离为3,则点M 的横坐标为( )。 A 2 B 4 C 3 D -2 11. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,则A 1C 1与B 1C 所成的角为( )。 A 45° B 60° C 30° D 90° 12. 现有5套经济适用房分配给4户居民(一户居民只能拥有一套经济适用房),则所有的分法种数为( )。 A 5! B 20 C 45 D 54 13. 在△ABC 中,若a=2,b= 2 ,c= 3 +1,则△ABC 是( )。 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 无法确定 14. 如图是函数y=2sin(x ω?+)在一个周期内的图像 (其中ω>0,?<2 π ),则ω、?正确的是( )。 A ω=2,?=6 π B ω=2,?=3 π C ω =1,?=6 π D ω =1,?=3 π 15. 某乐队有11名乐师,其中男乐师7人,现该乐队要选出一名指挥,则选出的指挥为女乐师的概率为( )。 A 711 B 14 C 47 D 411 6 π - 5 6 π o 2 -2 x y 高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 1.从中选个不同数字,从中选个不同数字排成一个五位数,则这些五位数中偶数的个数为() A. B. C. D. 2.五个同学排成一排照相,其中甲、乙两人不排两端,则不同的排法种数为()A.33 B.36 C.40 D.48 3.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案有() A.900种 B.600种 C.300种 D.150种 4.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有__________种(用数字作答). 5.有五名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不能站在最左端,而乙必须站在丙的左侧(不一定相邻),则不同的站法种数为__________.(用数字作答) 6.有个座位连成一排,现有人就坐,则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________. 7.现有个大人,个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人,则不同的合影方法有__________种.(用数字作答) 8.(2018年浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9.由0,1,2,3,4,5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数. 10.将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法 2013-2014年度第二学期高三第一次模拟 数学试卷 总分:100分 考试时间:90分钟 命题人:XXX 一、单项选择题。(本大题共10小题,每小题4分,共40分,每小题列出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.设集合{|03,},M x x x N =≤<∈则M 的真子集个数为 ( ) A.3 B.6 C.7 D.8 2. 448log 3log 12log 4-+等于 ( ) A.1 3 - B.1 C. 1 2 D.5 3 - 3.若f (x )是偶函数,它在[)0,+∞上是减函数,且f (lg x )>f (1),则x 的取值范围是( ) A. ( 110,1) B. (0,1 10) (1,+∞) C. (1 10 ,10) D. (0,1) (10,+∞) 4.已知5343sin ,(,),cos ,(,2),13252 ππ ααπββπ=-∈=∈则αβ+是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 5.已知过点A (1,a ),和B (2,4)的直线与直线x-y+1=0垂直,则a 的值为( ) A.1 5 B.1 3 C.3 D.5 6.对于直线m 和平面α、β,其中m 在α内,“//αβ”是“//m β”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若椭圆2221(1)x y a a +=>的离心率2 2e =,则该椭圆的方程为 ( ) A.2 2 21x y += B.2 2 21x y += C.22 12x y += D.2214 x y += 8.设f (x )是定义在(,)-∞+∞内的奇函数,且是减函数。若0a b +>,则( ) 班级 考号 姓名 …………………………………….装…………订…………线………………………………………………………. 历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题45 排列组合(学生版) 一.选择题(共20小题) 1.(2009?全国卷Ⅰ)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A.150种B.180种C.300种D.345种2.(2010?广东)为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是() A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒3.(2007?全国卷Ⅱ)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有() A.10种B.20种C.25种D.32种4.(2006?湖南)在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是() A.6B.12C.24D.18 5.(2009?陕西)从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为() A.432B.288C.216D.108 6.(2014?辽宁)6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为() A.144B.120C.72D.24 7.(2012?浙江)若从1,2,3,?,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有() A.60种B.63种C.65种D.66种8.(2012?北京)从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位 数学试卷 一、选择题 (1)设集合{}A=246,,,{}B=123,,,则A B=U ……………………………………( ) (A ){}4 (B ){}1,2,3,4,5,6 (C ){}2,4,6 (D ){}1,2,3 (2)函数y cos 3x =的最小正周期是 ……………………………………( ) (A )6π (B )3π (C )2π (D )3 π (3)021log 4()=3 - ……………………………………( ) (A )9 (B )3 (C )2 (D )1 (4)设甲:1, :sin 62 x x π ==乙,则 ……………………………………( ) (A )甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件; (B )甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件; (C )甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件; (D )甲是乙的充分必要条件。 (5)二次函数222y x x =++图像的对称轴方程为 ……………………………………( ) (A )1x =- (B )0x = (C )1x = (D )2x = (6)设1sin =2 α,α为第二象限角,则cos =α ……………………………………( ) (A )32- (B )22- (C )12 (D )32 (7)下列函数中,函数值恒大于零的是 ……………………………………( ) (A )2y x = (B )2x y = (C )2log y x = (D )cos y x = (8)曲线21y x =+与直线y kx =只有一个公共点,则k= ………………………( ) (A )2或2 (B )0或4 (C )1或1 (D )3或7 (9)函数lg 3-y x x =+的定义域是 ……………………………………( ) (A )(0,∞) (B )(3,∞) (C )(0,3] (D )(∞,3] (10)不等式23x -≤的解集是 ……………………………………( ) (A ){}51x x x ≤-≥或 (B ){}51x x -≤≤ (C ){}15x x x ≤-≥或 (D ){}15x x -≤≤ (11)若1a >,则 ……………………………………( ) (A )12 log 0a < (B )2log 0a < (C )10a -< (D )210a -< 高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 2000年某省普通高等学校对口 招生数学试题 一、选择题(每小题3分,共30分.每小题选项中只有一个答案是正确的,请将正确答案的序号填在题后括号内) 1.设集合M={x|x∈R,x>–1},N={x|x∈R,x<3},则M∩N为() A.{x|x∈R,x>–1} B.{x|x∈R,x<3} C.{x|x∈R,–1 A.(1,0) B.(2,0) C.(0,1) D.(0,2) 9.设有命题:“对任意自然数n,当n5时,都有2n>n2 .”当用数学归纳法证明该命题时,如果对n=5时已证命题成立,并且假设当n=k(k5)时命题成立,则当n=k+1时,要证明的命题是() A.2k>(k+1)2 B.2k+1>(k+1) 2 C.2k+1>k2 D. 26>62 10.在(1+)11 的展开式中,的系数是() A.1 B.11 C.55 D.110 二、填空题(每小题4分,共24分) 1.270°=弧度. 2.已知平面直角坐标系中两点A(3,4),B(–3,2),则线段AB的中点坐标是. 3.函数的最小正周期是. 4.已知平面直角坐标系中两点A(6,–4),B(–9,11),且,则点M的坐标为. 5.在50件产品中恰有4件是次品,从这50件产品中任意选取5件,其中至少有3件是次品的选取方法共有种. 6.已知数列{an}为等差数列,满足a1 =1,且a5与a9的算术平均数为13,则该数列的公差d= . 三、解方程lg(x2 +2x–9)–lg(x–2)=1. 四、求函数f(x)=x2 +8x+3的最小值. 五、已知,且,求角的正切值. 六、设a、b、c都是正实数,求证: . 七、已知在平面直角坐标系中,椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,离心率e=,焦距等于,求该椭圆的方程. 最新高中数学奥数竞赛竞赛试题 总分200分 一、选择题(50分) 1、已知i 是虚数单位,则复数 122 i i +-=( ) A i B i - C 4355i -- D 4355 i -+ 2、下列函数中,既是奇函数,又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是( ) A 2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x = 3、已知,a b r r 均为单位向量,其夹角为θ,则命题:1p a b ->r r 是命题5:[,)26 q ππ θ∈的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a = ≤≤=-≤≤+,若P M P =I ,则实 数a 的取值范围是( ) A (,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞ 5、函数3sin()cos()226 y x x ππ = ++-的最大值是( ) A 134 B 134 C 132 D 13 6、如图,四棱锥S ABCD -的底面是正方形,SD ⊥底面ABCD ,则下列结论中不正确的是( ) A A B SA ⊥ B B C P 平面SAD C BC 与SA 所成的角等于A D 与SC 所成的角 D SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 7、程序框图如图所示,若 22(),()log f x x g x x ==,输入x 的 值为0.25,则输出的结果是( ) A 0.24 B 2- C 2 D 0.25- 8、设,i j r r 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量,且高中数学100个热点问题(三): 排列组合中的常见模型
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