巧妙求和(一)
巧妙求和
一、知识要点
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
【例题1】：求1+2+3+4+……+99+100的和
1、计算①1+2+3+4+5+……+199+200 ②1+3+5+7+9+……+97+99
2、1000-1-2-3-4-……-40
3、7000-2-4-6-……-100
【例题2】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
练习2：
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2. 2.有一个等差数列：2.5，8，11 (101)
这个等差数列共有多少项？这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
【例题3】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？
练习3：
1.一等差数列，首项=3.公差=
2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题4】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。
练习4：
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60
【例题5】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
练习5：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+...+195+200 （3）9+18+27+36+...+261+270 【例题6】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)
练习6：
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+...+1999）（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)
【例题7】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？
练习7：
1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？
2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？
2.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16
个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
【例题8】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
练习8：
1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？
3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
【例题9】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？
练习9：
1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
3.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一
次手。那么一共握了多少次手？
4.
3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？
【例题10】：100以内除以4而没有余数的数一共有几个？它们的和是多少？
练习10：
1、300以内除以6没有余数的数共有（）个，它们的和是（）。
2、200以内除以5余2的所有数的和是（）。
【例题11】：求除以7而没有余数的所有三位数的和是多少？
练习11：
1、除以6而没有余数的所有三位数的和是（）。
2、大于1500而小于2000的所有除以5没有余数的数的和是（）。
【例题12】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
练习12：
1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。
3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
.
【例题13】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
练习13：
1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。
随课练习
1)1+2+3+4+……+50 2+4+6+8+……+120 1500-1-2-3-……-40
2)1+5+9+13+……+441 8000-2-7-12-17-……-117
3)等差数列 1、5、9、13……的第15项是（）。
4)等差数列1、5、9、13、17……的第50项是（），第100项是（）。
5)小芳做游戏，她在地上第一行摆小棒3根，第二行摆小棒8根，第三行摆小棒13根……依次类推，那么第20行要摆小棒（）根，第30行她要摆小棒（）根。
6)等差数列中，如ａ
1=4，ａ
2
=6，ａ
3
=8，ａ
4
=10，……则ａ
20
=（），ａ
100
=（）。
7)等差数列1、3、5、7……207、209各项的和是（）。
8)所有三位数的和是（）。
9)500以内所有除以7余2的数的和是（）。
10)1至120以内除以4没有余数的所有数之和是（）。
11)等差数列5、8、11……，62在第（）项，前60项的和是（）。
12)某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。则这个剧院共有座位（）个。
13)小文从1月1日开始写大字，第一天写4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，1月30日他写大字91个。则小文每天比前一天多写（）个大字。
14)已知数到5、9、13、17、21……①这个数列中第50项是（）；②397是这个数列的第（）项；③这个数列的前100个数的和是（）。
15)等差数列1、4、7、10、13……，共有80项，其中所有奇数项的数的和是（）。
16)1000+999-998+997+996-995+……+106+105-104+103+102-101
17)（1994+1992+1990+……+4+2）-（1+3+5+7+……+1991+1993）
18)从300中第一次减去1，第二次减去2，第三次减去3……，这样连续减去（）次以后还剩下129。
19)一个七层的书架上放了777本书，已知上边一层比下边一层少放7本书。则最上面一层放了（）本书。
20)1至100这个自然数中，所有不能被9整除的数的和是（）。
21)在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，则这7个数的和是（）。
22)7、100个连续自然数的和是8250，去掉这100个数中的第奇数个数（第1个，第2个第3个……第99个），剩下的50个数相加的和是（）。
23)前37个自然数的和加上1998，所得的结果等于另外37个连续自然数的和，这37个自然数中最小的是（）
24)一只猴子每天都要吃桃子，如果它每天吃桃子的数量互不相同，那么 100个桃子最多够这只猴子吃（）天
25)李先生到某公司应聘，该公司前3个月是试用期，试用期间每月工资600元，试用期结束后的第一个月工资800元，以后每月工资比上一个月多50元，李先生第一年的收入是（）元。
26)从1开始的29个自然数的和加上2001，所得的结果等于另外29个连续自然数的和，这29个自然数中，最小的是（）。
27)用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果多个接头处都重叠1厘米，那么每张纸条长（）厘米。
28)从101到309包括这两个数的所有三位数，且只有十位上是0的数的和是（）。
29)小华将50多个同样的玻璃球放入一排同样的盒子里，其中只有一个没有装，然后他就去玩了。小刚从每个有玻璃球的盒子里，各拿了一个放在空盒子里，又把盒子重新排好。小华回家仔细一看，没有发现有人动过这个盒子和玻璃球。则共有（）个盒子，（）个玻璃球。
30)从1开始的几个连续自然数，如果去掉其中的一个，其余各数相加，然后再减去去掉的那个数，恰好等于100。这个去掉的数是（），最大的一个数是（）。
31)公路上每隔2千米有一个仓库，每个仓库存有10吨货物，现要把所有货物全部运送到距第10个仓库20千米的码头上，已知每吨货运1千米的运费是1元，则10个仓库的总运费是( )元。
32)从20起往后数30个连续的偶数，则最后一个偶数是（），这20个偶数的和是（）。
33)有一串数1、7、13、19、25……这列数的第1998个数是（）
34)按1、4、7、10、13、……排列的一列数中，第51个数是（）。
35)王雪读一本故事书，第一天读了8页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了32页正好读完。她一共读了（）天。
36)1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+……-2-1=（）
37)1996-5-12-19-26-……-145-152=（）
38)由小到大排列的8个整数，后一个数都比前一个数多5，这8个数相加的和正好是1996。排到最后的那个数是（）。
39)在等差数列6、13、20、27……中，从左向右数第（）个数是1994。
40)1992-1989+1986-1983+……+12-9+8-3=（）
41)计算：15-5+25-10+35-15+45-20+55-25+65-30+75-35+85-40+95-45+105-50+115-55+125-60=（）
42)1994+1993-1992-1991+1990+1989-1988-1987+…10+9-8-7+6+5-4-3+2+1=（）
43)“重阳节”那天，延龄茶座来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续的自然数。两年以后这25位老人的年龄和正好是2000岁。则其中年龄最大的老人今年（）岁。
44)一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位？
45)（1）11+12+13……+998+999+1000（2）2+6+3+12+4+18+5+24+6+30
46)求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几？
47)求等差数列46，52，58……172共有多少项？
48)求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项？
49)求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几？在这个数列中，2000是第几项？
50)从35开始往后面数18个奇数（单数），最后一个奇数是多少？
51)已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这个等差数列的第10项是多少？
52)100+200+300+ (2100)
53)81+79+……+17+15+13
54)有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次？
55)请用被4除余数是1的所有两位数组成一个等差数列。并求出这个等差数列的和。
56)在13和29之间插三个数，使这个五个数构成一个等差数列，那么插入的三个数分别是多少？
57)如果要在30和70之间插入若干个数，使他们组成一个公差是5的等差数列，那么一共要插入多少个数？
58)学校举行乒乓球赛，每个参赛选手要和其他选手进行一场比赛，一共进行了78场，计算出一共有多少个参赛选手？
59)一把钥匙和一把锁配着，现在有10把钥匙和10把锁混着了，最多要打多少次才能把钥匙和锁都配好？
60)40个连续奇数的和是1920，其中最大的一个是多少？
61)小明读一本600页的书，他每天比前一天多读1页。16天读完，那么他最后一天读了多少页？
四年级奥数试卷
1.如果数A减去数B的3倍，差是51；数A加上数B的2倍，和是111，那么数A=________，数
B=________。
2.有40个连续的自然数，其中最大的数是最小数的4倍，那么最大的数与最小的数之和是________。
3.牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上3只，最后清
查还剩6只。这群羊在过河前共有________只。
4.一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来
了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到________个桃子。
5.三只小猫去钓鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数
的5倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。黑猫钓上______条鱼。
6.从1，3，5，7中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的有______
个。
二、解答题：（每小题10分，共40分。）要求：写出推算过程。
7.16、如图7所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。请
问这样的填法存在吗？如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。
8.甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各自前往B地、A
地。甲每小时行32千米。乙每小时行48千米。甲、乙各有一个对讲机，当他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机联络。问：
（1）两人出发后多久可以开始用对讲机联络？
（2）他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇？
（3）他们可用对讲机联络多长时间？
9.星期天早晨，小明发现闹钟因电池能量耗尽停走了。他换上新电池，估计了一下时间，将闹钟的
指针拔到8:00。然后，小明离家前往天文馆。小明到达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时间是9：15。一个半小时后，小明从天文馆以同样的速度返回家中。看到闹钟显示的时间是11：20，请问，这时小明应该把闹钟调到什么时候才是准确的？
10.19．2005年，小张有一次出差的几天有日期数加起来恰好是60。问：小张出差了几天？是哪几
天？（注：日期数指a月b日中的b，如4月16日的日期数是16）
数列求和级计算答案
一、知识点：
1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都
叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个
数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项
的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公
差。
3、常用公式
等差数列的总和=（首项+末项）* 项数 2
项数=（末项-首项） /公差+1
末项=首项+公差 *（项数-1）
公差 *（首项=末项-项数-1）
公差=（末项-首项）/（项数-1）
等差数列（奇数个数）的总和=中间项* 项数
盈亏问题公式
（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2
=8（个）………………人数
10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子
或8×8+7=64+7=71（个）（答略）
（2）两次都有余（盈），可用公式：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？”
解（680-200）÷（50-45）=480÷5
=96（人）
45×96+680=5000（发）
或50×96+200=5000（发）（答略）
（3）两次都不够（亏），可用公式：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。
有多少学生和多少本本子？”
解（90-8）÷（10-8）=82÷2
=41（人）
10×41-90=320（本）（答略）
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（例略）
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
11.
小学生数学公式大全，第二部分：定义定理（算术方面）
1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5=2×5+4×5。
6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。0除以任何不是0的数都得0。
7、等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
8、方程式：含有未知数的等式叫方程式。
9、一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。
11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。
18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
数量关系式：
1，每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
2，1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数
3，速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
4，单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价
5，工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率
6，加数+加数=和和-一个加数=另一个加数
7，被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数
8，因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
9，被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
****************************************************** 和差问题的公式
（和+差）÷2=大数
（和-差）÷2=小数
和倍问题
和÷（倍数-1）=小数
小数×倍数=大数
（或者和-小数=大数）
差倍问题
差÷（倍数-1）=小数
小数×倍数=大数
（或小数+差=大数）
****************************************************** 植树问题：
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：
株数=段数+1=全长÷株距-1
全长=株距×（株数-1）
株距=全长÷（株数-1）
⑵如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×（株数+1）
株距=全长÷（株数+1）
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
****************************************************** 盈亏问题
（盈+亏）÷两次分配量之差=参加分配的份数
（大盈-小盈）÷两次分配量之差=参加分配的份数
（大亏-小亏）÷两次分配量之差=参加分配的份数
****************************************************** 相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
****************************************************** 追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
****************************************************** 流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2
水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2
****************************************************** 浓度问题：
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
****************************************************** 利润与折扣问题：
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=（售出价÷成本-1）×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%（折扣〈1）
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×（1-20%）
******************************************************
面积，体积换算
（1）1公里=1千米1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米（2）1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米（3）1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米（4）1公顷=10000平方米1亩=666。666平方米
（5）1升=1立方分米=1000毫升1毫升=1立方厘米
******************************************************
重量换算：
1吨=1000 千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
******************************************************
人民币单位换算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
******************************************************
时间单位换算：
1世纪=100年1年=12月
大月（31天）有：1\3\5\7\8\10\12月
小月（30天）的有：4\6\9\11月
平年2月28天，闰年2月29天
平年全年365天，闰年全年366天
1日=24小时1时=60分
1分=60秒1时=3600秒
小学数学公式几何体。
1、正方形
正方形的周长=边长×4 公式：C=4a
正方形的面积=边长×边长公式：S=a×a
正方体的体积=边长×边长×边长公式：V=a×a×a
2、长方形
长方形的周长=（长+宽）×2 公式：C=（a+b）×2
长方形的面积=长×宽公式：S=a×b
长方体的体积=长×宽×高公式：V=a×b×h
3、三角形
三角形的面积=底×高÷2。公式：S= a×h÷2
4、平行四边形
平行四边形的面积=底×高公式：S= a×h
5、梯形
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 公式：S=（a+b）h÷2
6、圆
直径=半径×2 公式：d=2r
半径=直径÷2 公式：r= d÷2
圆的周长=圆周率×直径公式：c=πd =2πr
圆的面积=半径×半径×π公式：S=πrr
7、圆柱
圆柱的侧面积=底面的周长×高。公式：S=ch=πdh=2πrh
圆柱的表面积=底面的周长×高+两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2
圆柱的总体积=底面积×高。公式：V=Sh
8、圆锥
圆锥的总体积=底面积×高×1/3 公式：V=1/3Sh
三角形内角和=180度。
平行线：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
垂直：两条直线相交成直角，像这样的两条直线，
我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
1、【和差问题公式】
（和+差）÷2=较大数；
（和-差）÷2=较小数。
2、【和倍问题公式】
和÷（倍数+1）=一倍数；
一倍数×倍数=另一数，
或和-一倍数=另一数。
3、【差倍问题公式】
差÷（倍数-1）=较小数；
较小数×倍数=较大数，
或较小数+差=较大数。
4、【平均数问题公式】
总数量÷总份数=平均数。
数量关系式：
1，每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
2，1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数3，速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
4，单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价
5，工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率
6，加数+加数=和和-一个加数=另一个加数
7，被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数
8，因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
9，被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
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四年级奥数思维训练专题-巧妙求和
四年级奥数思维训练专题-巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数. 相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差. 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算. 项数=（52－4）÷6＋1=9 答：这个数列共有9项. 试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算. 第100项=3+4×（100－1）=399
试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项. 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和. 分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 试一试3：6+7+8+…+74+75 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和. 分析：项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 试一试4：9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（二） 专题简析：
巧妙求和(一)
巧妙求和 一、知识要点 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 【例题1】：求1+2+3+4+……+99+100的和 1、计算①1+2+3+4+5+……+199+200 ②1+3+5+7+9+……+97+99 2、1000-1-2-3-4-……-40 3、7000-2-4-6-……-100 【例题2】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 练习2： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2. 2.有一个等差数列：2.5，8，11 (101) 这个等差数列共有多少项？这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题3】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习3： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【例题4】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。
练习4： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题5】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习5： 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+...+195+200 （3）9+18+27+36+...+261+270 【例题6】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习6： 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+...+1999）（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998) 【例题7】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 练习7： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
(完整版)巧妙求和
第8讲巧妙求和（一） 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 第100项=3+4×（100－1）=399. 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…， 3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25 首项=2.末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650. 练习4： 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270
巧妙求和(二)
学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 第十六周巧妙求和（二） 专题简析： 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时， 同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才 可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可 考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以 顺利解决。
例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一 1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
小学奥数之巧妙求和
五年级思维提升 今天的成绩是以往勤奋的表现，而一生的成绩还依靠毕生的勤奋。坚持就是胜利，毅力对最后的成功有决定意义。 巧妙求和 一、某些问题可以转化为若干个数的和。在解决这些问题时，同样要先判断是否是求等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、经典例题解析 例1 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读60页，正好读完。这本书共有多少页？ 解： 答： 想一想：如果把“第11天读60页，正好读完”，改成最后一天读60页，正好读完。该怎样解答？ 解：
习题：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个单词？解： 答： 例2 把30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至少要试多少次？ 解： 答： 习题：有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，都能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 解： 答： 例3 实验小学304个小朋友围成若干个圈（一圈套一圈）做游戏。已知内圈24人，最外圈52人。如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？ 解：（1）
（2） 答： 习题：小明练习写毛笔字。第一天写4个大字，以后每天比前一天多写相同数量的大字，最后一天写34个，共写589个大字。小明每天比前一天多写几个大字？ 解：（1） （2） 答：
课后跟踪习题 一、填空： 1、若干个数排成一列，称为。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为，最后一项称为。数列中的数的个数称为。 2、从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为 。后项与前项的差称为。 3、学习等差数列求和三个常用的公式。 1）求等差数列的和= 2）项数= 3）末项= 二、解答题 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。求这个等差数列有多少项？ 解： 答： 2、有一个等差数列2、5、8、11......101,这个等差数列共有多少项？ 解：
四年级奥数巧妙求和(一)
巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？ 练习: 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习: 1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？ 2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习: 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
练习: 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习: 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999) （3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998) 例6:如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求他的第8项。（1）一个等差数列的第5项是19，第8项是61，求他的第11项。。（2）如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，求他的第12项。（3）如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，求他的第110项。
小学数学四年级下册巧妙求和(1)专项训练题
小学数学四 年级下册巧妙求和(1)专项训练题 基础知识 填空 1.小数点的左边是它的（）部分，最低位是（）；小数点的右边是它的 （）部分，最高位是（）. 2.2个1.7个0．1和3个0．01用小数表示是（）；72个用小数表示是（）； 0．79用分数表示是（）. 3.小红在读一个小数时，没有看到小数点，结果读成了七万零四，原来的小数只 读出一个零，原来的小数是（）. 4.写出小于0．18而大于0．16的两位小数.三位小数.四位小数各一个（） （）（）. 5.骑车走同一段路程，小芳用了0．68小时，小红用了0．58小时，她俩谁的速 度快？（）. 6.把4．009的小数点向右移动三位，小数就扩大到原数的（）；把8400 后面的两个0去掉，就相当于缩小到原数的（）；在76的后面添上一个0，这个数就比原数扩大（）倍. 判断 1.把0.50中的0都去掉，它的大小不变.（） 2.4.96在自然数4和5之间. （） 3.3.58至 4.58之间的小数有无数个.（） 4. 0.1是1的十分之一, 是0.01的10倍．( ) 5. 把6写成两位小数是0.06．( ) 选择 1.把1米平均分成10份，其中的3份是（）米.
（1）1/10 （2）3/10 （3）3/100 2.把240缩小到它的（）是0.24. （1）1/10 （2）1/100 （3）1/1000 3.在2.3的末尾添上两个0，这个数（） （1）扩大到它的100倍（2）缩小为它的1/100 （3）大小不变 能力提高 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完.这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页.最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个.丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 4.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 5.甲.乙.丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍.求甲.乙.丙各是多少. 6.三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植30
四年级巧妙求和(二)
第十六周精巧求和（二） 专题简析： 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的详尽特点，有时可考虑将题中的数合适分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，恰好读完。这本书共有多少页？ 分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一 1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，恰好做完。这批零件共有多少个？2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 分析与解答：开第一把锁时，如果不恰好，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后
趣味奥数之巧妙求和
趣味奥数之巧妙求和 一、这一个标题 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有
多少项？ 3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【答案】1.（39-1）÷2+1=20项 2.（101-2）÷3+1=34项 3.（1001-11）÷5+1=199项 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 第100项=3+4×（100－1）=399. 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【答案】1.末项是21 2.1+（30-1）×3=88 3.2+（100-1）×4=398 【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…
四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题 巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 这一周学习“等差数列求和”。需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+ （项数—1）x公差 项数公式：项数=（末项—首项）十公差+ 1 求和公式：总和=（首项+末项）X项数十2 例1 ：有一个数列：4, 10, 16, 22,…，52,这个数列共有多少项？ 分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52- 4）十6+仁9,即这个数列共有9项。 练习一 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2,有一个等差数列：2, 5, 8, 11,…，101，这个等差数列共有多少项? 3,已知等差数列11, 16, 21, 26,…，1001，这个等差数列共有多少项?
例2:有一等差数列：3, 7, 11, 15,……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差X(项数—1)”进行计算。 第100 项=3+4 X( 100—1) =399 练习 1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少？ 2,求1, 4, 7, 10……这个等差数列的第30项 3,求等差数列2, 6, 10, 14……的第100项 例3:有这样一个数列：1, 2, 3, 4,…，99, 100o请求出这个数列所有项的和。 分析与解答：如果我们把1, 2, 3, 4,…，99, 100与列100, 99,…，3, 2, 1相加，则得到 (1+100) + (2+99) + (3+98) +…+ (99+2) + (100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101 相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100= (1+100)X 100*2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)X项数* 2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习三 计算下面各题。 (1) 1+2+3+…+49+50 (2) 6+7+8+…+74+75 (3) 100+99+98+…+61+60 例4:求等差数列2, 4, 6,…，48, 50的和
第8讲 巧妙求和(一)
第2讲巧妙求和（一） 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 练习1： 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？
2、有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习2： 1、一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？ 2、求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
练习4： 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习5： 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
【精品】四年级下册奥数试题-第十一课时 巧妙求和(二) 全国通用
第十一课时巧妙求和（二） 【教学目标】 1.某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和； 2.如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式； 3.在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 【教学重点】 理解等差数列求和公式的概念，灵活使用等差数列求和公式。 【教学难点】 准确确定数列的项数 【教学内容】 【典型例题】 例题1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 练习1： （1）刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ （2）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ （3）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 例题2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
（1）有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ （2）有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ （3）有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？ 例题3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？ 练习3： （1）学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？ （2）在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？ （3）假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？ 例题4：求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
巧妙求和
巧妙求和 专题简析：若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一个数称为末项。数列中数的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的两项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。例如1、4、7、10、13、16、19这个数列的首项是1，末项是19，项数为7项，公差是3. 关于等差数列，需要用到三个公式 1、求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 2、求项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1 3、通项公式第N项=首项+（项数-1）×公差 经典例题1、 1+4+7+10+13+16+19+22+25+28= 试一试 （1）1+2+3+4+5+6+7+8……………………+70+80 （2）5+9+13+17+21+25+29+33+37+41+45 （3）1+2+3+4+5+6+………………+99+100 ***（4）1+2+3-4+5+6+7-8+9+10+11-+12…………+97+98+99-100
有一个数列：4、10、16、22、28、…………52，这个数列中一共有多少项？ 试一试： 1、等差数列中，首项是1，末项是39，公差是2，这个数列一共有多少项？ 1、等差数列 2、5、8、11、14…………101.这个数列中一共有多少项？ 2、11、16、21、26、31、36…………1001，这个数列中一共有多少项？ ***4、1-2+3-4+5-6+7-8+9-10……+27-28+29-30+31=
有这样的一列数，3、7、11、15…………，这列数中的第第100项是多少？ 试一试： 1、等差数列中，首项=3，公差=2，项数=10.它的末项是多少？ 2、求等差数列1、4、7、10、……这个等差数列的第30项是多少？ 3、求等差数列2、6、10、1 4、18、……这个等差数列的第100项是多少？**4、1+2-3+4+5-6+7+8-9…………97+98-99=
四年级上册奥数第8讲 巧妙求和(一)
第8周巧妙求和（一） 专题简析： 若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中数的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。例如：3，6，9，…，96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。 这一周，我们将学习“等差数列求和”。为了更好地掌握此类问题，我们需要记住三个公式： 通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1 求和公式：总和=（首项+末项）X 项数÷2 在等差数列中，只要知道首项、末项、公差、及总和这五个量中的三个，就可以利用通项公式、项数公式及求和公式求其余两个量。 例1：等差数列4，10，16，22，…，52共有多少项？ 练习一： 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。这个等差数列共有多少项？ 2、等差数列2，5，8，11，…，101共有多少项？
3、已知一个等差数列的首项是11，末项是101，总和是504，这个数列共有多少项？例2：已知等差数列3，7，11，15，…，则该等差数列的第100项是多少？ 练习二： 1、一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？ 2、已知等差数列1，4，7，10，…，则该等差数列的第30项是多少？ 3、已知等差数列2，6，10，14，…，则该等差数列的第100项是多少？
例3：有这样的一个列数1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。 练习三：计算下面各题。 1、1+2+3+4+…+49+50 2、6+7+8+9+…+75 3、100+99+98+…+61+60 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习四：计算下面各题。 1、2+6+10+14+19+22 2、5+10+15+20+…+195+200
四年级上册奥数第16讲 巧妙求和(二)
第16周巧妙求和（二） 专题简析： 某些问题可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否是求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。 例1:刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 练习：1.刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完。这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学一个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个单词？ 例2:有30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？ 练习：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？
2.平面上有10个点，没有3个点在同一直线上。过这些点最多可以画出多少条直线？ 3.有10只盒子、44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？ 例3:某班有51个同学，毕业时每人都和其他所有人握一次手，那么共握了多少次手？ 练习：1.学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，如果有21人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？ 2.一次同学聚会中，参加聚会的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。那么一共握了多少次手？ 3.假期里有一些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了78次电话，问有多少同学相约互通了电话？ 例4:求1～99共99个连续自然数数位上的所有数字之和。
四年级 巧妙求和(一)
第八周精巧求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常严重的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式： 第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式： 项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：简易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 练习一 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。 要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399 练习二 1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 分析与解答：如果我们把1，2，3，4，...，99，100与列100，99， (3) 2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习三 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
小学四年级奥数专项练习 16 巧妙求和(二)
专题16 巧妙求和（二） 【理论基础】 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
小明读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习一 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 练习二 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
1 巧妙求和
巧妙求和 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【例题3】有这样一个数列：1,2,3,4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…， 3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
四年级奥数举一反三第十六周巧妙求和(二)
四年级奥数举一反三第十六周巧妙求 和【二】 专题简析； 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例1；刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 分析与解答；根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解； 【30＋60】×11÷2=495【页】 想一想；如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习一 1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？
3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
例2；30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 分析与解答；开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=【29＋1】×29÷2=435【次】。练习二 1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3，有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
小学数学四下巧妙求和(2)专项训练题
四下3——4 基础知识 填空 1、0.01平方米扩大到它的100倍是（），1平方米缩小到它的1/1000是（）。 2、（）扩大到它的1000倍是96；（）缩小到它的1/100是0.089。 3、把0.03扩大到它的100倍是（）；缩小到它的1/10是（）。 4、十分之一是小数的（）；十分位上的3个单位相当于（）个千分位上的单位。 5、把0.96的小数点向左移动两位后，缩小为原数的（）。 6、0.2的小数点向右移动三位后，再向左移动两位是（）。 7. 把1米平均分成10份, 每份是1米的( ), 写成分数是( ), 写成小数是( )米；取其中的7份, 写成分数是( )米,写成小数是( )米． 8、一位小数表示（）分之几，计数单位是0.1 两位小数表示（）分之几，计数单位是0.01 三位小数表示（）分之几，计数单位是0.001 9、小数的（）添上“0”或去掉“0”，小数的大小（）。这叫做小数的性质。 判断 1、计算小数加减法，得数的小数部分有0的要把0去掉（） 2、小数加减法混合运算一定要先算加法，后算减法（） 3、整数都比小数大（） 4、把4.123的小数点去掉，这个数就扩大3倍。（） 5、在小数点的后面添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。（） 选择 1、一个小数的小数点向左移动三位，这个数就（）。 （1）缩小为它的1/100 （2）扩大到它的100倍（3）缩小为它的1/1000 2、把120缩小到它的（）是1.2。 （1）1/10 （2）1/100 （3）1/1000 3、由3个一，3个0.01组成的小数是（）。 （1）3.3 （2）3.03 （3）0.33 4、两个数相加，一个加数增加0.7，另一个加数减少3.6，那么和（） （1）增加4.3 （2）减少1.8 （3）减少2.9