高中数学检测：导数与函数的单调性含解析
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级基础夯实练
1．(岳阳模拟)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为() A．(0,1)B．(0,＋∞)
C．(1,＋∞) D．(－∞,0)∪(1,＋∞)
解析：选A.函数的定义域是(0,＋∞),
且f′(x)＝1－1
x＝
x－1
x,
令f′(x)＜0,解得0＜x＜1,
所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)．
2．已知函数f(x)＝1
2x
3＋ax＋4,则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的
()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.f′(x)＝3
2x
2＋a,当a≥0时,f′(x)≥0恒成立,故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．
3．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示,则函数y＝f(x)的图象可能是()
解析：选D.不妨设导函数y＝f′(x)的零点依次为x1,x2,x3,其中x1＜0＜x2＜x3,由导函数图象可知,y＝f(x)在(－∞,x1)上为减函数,在(x1,x2)上为增函数,在
(x 2,x 3)上为减函数,在(x 3,＋∞)上为增函数,从而排除A ,C.y ＝f (x )在x ＝x 1,x ＝x 3处取到极小值,在x ＝x 2处取到极大值,又x 2＞0,排除B ,故选D.
4．(珠海质检)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1,＋∞)上单调递增,则k 的取值范围是( )
A ．(－∞,－2]
B ．(－∞,－1]
C ．[2,＋∞)
D ．[1,＋∞)
解析：选D.由于f ′(x )＝k －1x
,则f (x )＝kx －ln x 在区间(1,＋∞)上单调递增?f ′(x )＝k －1x
≥0在(1,＋∞)上恒成立． 由于k ≥1x ,而0<1x
<1,所以k ≥1,即k 的取值范围为[1,＋∞)． 5．(2019·昆明模拟)已知函数f (x )(x ∈R)图象上任一点(x 0,y 0)处的切线方程为
y －y 0＝(3－x 0)(x 20－1)(x －x 0),那么函数f (x )的单调递增区间是( )
A ．(－1,1),(3,＋∞)
B ．(－∞,－1),(1,3)
C ．(－1,1)∪(3,＋∞)
D ．(－∞,－1)∪(1,3)
解析：选 B.因为函数f (x )的图象上任一点(x 0,y 0)的切线方程为y －y 0＝(3－
x 0)(x 20－1)(x －x 0),即函数图象在点(x 0,y 0)的切线斜率k ＝(3－x 0)(x 20－1),所以f ′(x )
＝(3－x )(x 2－1)．由f ′(x )＝(3－x )(x 2－1)＞0,解得x ＜－1或1＜x ＜3,即函数f (x )的单调递增区间是(－∞,－1),(1,3)．故选B.
6．(娄底模拟)设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0.且g (3)＝0.则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )
A ．(－3,0)∪(3,＋∞)
B ．(－3,0)∪(0,3)
C ．(－∞,－3)∪(3,＋∞)
D ．(－∞,－3)∪(0,3)
解析：选D.因为当x <0时,f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0,即[f (x )g (x )]′>0,
所以f (x )g (x )在(－∞,0)上单调递增,
又因为f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以f (x )g (x )为奇函数,关于原点对称,所以f (x )g (x )在(0,＋∞)上也是增函数．因为f (3)g (3)＝0,所以f (－
3)g (－3)＝0.所以f (x )g (x )<0的解集为x <－3或0 7．(济南模拟)若函数y ＝－43 x 3＋ax 有三个单调区间,则a 的取值范围是________． 解析：因为y ′＝－4x 2＋a ,且y 有三个单调区间, 所以方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根, 所以Δ＝02－4×(－4)×a ＞0,所以a ＞0. 答案：(0,＋∞) 8．(苏州二模)已知函数f (x )＝－12 x 2＋4x －3ln x 在区间[t ,t ＋1]上不单调,则t 的取值范围 ________． 解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－（x －1）（x －3）x , 由f ′(x )＝0,得函数f (x )的两个极值点为1和3, 则只要这两个极值点有一个在区间(t ,t ＋1)内, 函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上就不单调, 由t <1 答案：(0,1)∪(2,3) 9．(云南统考)已知函数f (x )＝ln x －x 1＋2x . (1)求证：f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]＜－13 ,求实数x 的取值范围． 解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0,＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x 1＋2x , ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x （1＋2x ）2＝4x 2＋3x ＋1x （1＋2x ）2 . ∵x ＞0,∴4x 2＋3x ＋1＞0,x (1＋2x )2＞0. ∴当x ＞0时,f ′(x )＞0.∴f (x )在(0,＋∞)上单调递增． (2)∵f (x )＝ln x －x 1＋2x , ∴f (1)＝ln 1－11＋2×1 ＝－13. 由f [x (3x －2)]＜－13 得f [x (3x －2)]＜f (1)． 由(1)得?????x （3x －2）＞0，x （3x －2）＜1， 解得－13＜x ＜0或23＜x ＜1. ∴实数x 的取值范围为? ????－13，0∪? ?? ??23，1. 10．设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ,其中a ∈R,讨论f (x )的单调性． 解：f (x )的定义域为(0,＋∞) f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x ＞0)． 当a ≤0时,f ′(x )＜0,f (x )在(0,＋∞)内单调递减． 当a ＞0时,由f ′(x )＝0,有x ＝12a . 此时,当x ∈? ?? ??0，12a 时,f ′(x )＜0,f (x )单调递减； 当x ∈? ?? ??12a ，＋∞时,f ′(x )＞0,f (x )单调递增． 综上当a ≤0时,f (x )的递减区间为(0,＋∞), 当a ＞0时,f (x )的递增区间为? ????12a ，＋∞,递减区间为? ????0，12a . B 级 能力提升练 11．(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( ) A ．f (x )＝2－x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝3－x D ．f (x )＝cos x 解析：选A.当f (x )＝2－x 时,e x ·f (x )＝e x ·2－x ＝e x 2x , 令y ＝e x 2x , 则y ′＝? ????e x 2x ′＝e x 2x －e x 2x ln 2（2x ）2 ＝e x 2x (1－ln 2)． ∵e x ＞0,2x ＞0,ln 2＜1, ∴y ′＞0. ∴当f (x )＝2－x 时,e x ·f (x )在f (x )的定义域上单调递增,故具有M 性质,经验证 B 、 C 、 D 不具有M 性质,故选A. 12．(杭州模拟)已知f (x )是可导的函数,且f ′(x )＜f (x )对于x ∈R 恒成立,则 ( ) A ．f (1)＜e f (0),f (2 020)＞e 2 020f (0) B ．f (1)＞e f (0),f (2 020)＞e 2 020f (0) C ．f (1)＞e f (0),f (2 020)＜e 2 020f (0) D ．f (1)＜e f (0),f (2 020)＜e 2 020f (0) 解析：选D.令g (x )＝f （x ）e x , 则g ′(x )＝? ?? ??f （x ）e x ′＝f ′（x ）e x －f （x ）e x e 2x ＝ f ′（x ）－f （x ）e x ＜0, 所以函数g (x )＝f （x ）e x 是单调减函数, 所以g (1)＜g (0),g (2 020)＜g (0), 即f （1）e 1＜f （0）e 0,f （2 020）e 2 020＜f （0）e 0, 故f (1)＜e f (0),f (2 020)＜e 2 020f (0)． 13．(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ,其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的定义域关于原点对称． ∵f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x , ∴f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x － 1e －x ＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x ), ∴f (x )为奇函数,又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2＝3x 2≥0(当且仅当x ＝0时,取“＝”),从而f (x )在R 上单调递增,所以f (a －1)＋f (2a 2)≤0?f (a －1)≤f (－ 2a 2)?－2a 2 ≥a －1,解得－1≤a ≤12. 答案：???? ??－1，12 14．(广东佛山月考)已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R)． (1)当a ＝1时,求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间(1,＋∞)上是减函数,求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时,f (x )＝ln x －x 2＋x ,其定义域是(0,＋∞), ∴f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x . 令f ′(x )＝0,即－2x 2－x －1x ＝－（x －1）（2x ＋1）x ＝0, 解得x ＝－12 或x ＝1. ∵x >0,∴x ＝－12 舍去． 当0 ∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,＋∞)上单调递减,即单调递增 区间为(0,1),单调递减区间为(1,＋∞)． (2)解法一：∵f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax ,其定义域为(0,＋∞), ∴f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x ＝－（2ax ＋1）（ax －1）x . ①当a ＝0时,f ′(x )＝1x >0, ∴f (x )在区间(0,＋∞)上为增函数,不合题意； ②当a >0时,f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax ＋1)(ax －1)>0(x >0),即x >1a . 此时f (x )的单调递减区间为? ?? ??1a ，＋∞. 依题意,得???1a ≤1，a ＞0， 解得a ≥1； ③当a <0时,f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax ＋1)(ax －1)>0(x >0),即x >－ 12a . 此时f (x )的单调递减区间为? ????－12a ，＋∞, ∴???－12a ≤1，a <0. 解得a ≤－12. 综上所述,实数a 的取值范围 ? ?? ??－∞，－12∪[1,＋∞)． 解法二：∵f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax ,x ∈(0,＋∞), ∴f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x . 由f (x )在区间(1,＋∞)上是减函数,可得g (x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1≤0在区间(1,＋∞)上恒成立． ①当a ＝0时,1≤0不合题意； ②当a ≠0时,可得???14a <1，g （1）≤0，即???a ＞14或a <0，－2a 2＋a ＋1≤0， ∴?????a >14或a <0，a ≥1或a ≤－12， ∴a ≥1或a ≤－12. ∴实数a 的取值范围是? ?? ??－∞，－12∪[1,＋∞)． 15．已知函数f (x )＝(x －2)·e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． (1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0； 当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0, 所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增． (2)设a <0,由f ′(x )＝0,解得x ＝1或x ＝ln(－2a )． ①若a ＝－e 2 ,则f ′(x )＝(x －1)(e x －e), 所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增, ②若a >－e 2 ,则ln(－2a )<1, 故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )＞0； 当x ∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0, 所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))和(1,＋∞)上单调递增, 在(ln(－2a ),1)上单调递减． ③若a <－e 2 ,则ln(－2a )>1, 故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0； 当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0, 所以f (x )在(－∞,1)和(ln(－2a ),＋∞)上单调递增, 在(1,ln(－2a ))上单调递减．