四川大学期末考试试卷A卷

四川大学期末考试试卷（A 卷）

（2014—2015年第二学期）

科目：微积分（I ）-2 课程号： 考试时间：120分钟

注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记0分。

一、填空题(每小题3分，共18分)

1．函数22

ln(2)z x y =++在x =2，y =1时的全微分为

2．已知曲线23,,x t y t z t ===上的点M 处的切线平行于平面24x y z ++=，则M 的坐标 是

3．二重积分()22222sin 34x y a x x y d σ+≤-++??的值等于

4．设L 为连接(1,0), (0,1)两点的线段，曲线积分()L x y ds +?的值等于

5. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限的部分，曲面积分2(1)dS x y ∑

++??的值等于 6．微分方程ln dy y x y dx x

=的通解是 二、计算题 (每小题8分，共48分)

1．设 543

1z xz yz -+=，求2(0,0)z x y ???． 2．设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有连续二阶偏导数，求2 , 24x y z x y

π==???． 3．计算2z dxdydz Ω???，其中Ω是两个球2222x

y z R ++≤，2222 (0)x y z Rz R ++≤>所围成的闭

区域．

4．利用格林公式计算积分232()(2)L

x xy dx y xy dy -+-??，其中L 顶点为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界．

5．计算222()()()S

I y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-??,其中S 为抛物面222z x y =--位于0z ≥内的部分的上侧．

6．求微分方程tan sec dy y x x dx

-=满足初始条件00x y ==的特解．

三、应用题 (每小题10分，共20分)

1．抛物面22

z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长和最短距离．

2．设函数()x ?连续， 且满足00()()()x x x x e t t dt x t dt ???=+-??， 求()x ?． 四、分析证明题 (每小题7分，共14分)

1

．设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=??+=?

，讨论(,)f x y 在(0,0)处的可微性．

2．设()[,],()0f x C a b f x ∈>，证明2()()()b

b a a dx f x dx b a f x ≥-??．