梯形 中位线
精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号_11sh12sx002413
学员编号：shzd444年级：初二课时数：3
学员姓名：陈旭婷辅导科目：数学学科教师：李长青课题梯形中位线
授课时间：2012.3.10 12:50-14:50 备课时间：2012.3.7
教学目的1.复习四边形的相关知识点
2.对特殊的平行四边形的性质判定有一个明确的认识
教学内容
基础知识点：
梯形
证明一个四边形是梯形的方法
（1）证明它的一组对边平行,并且另一组对边不_____
（2）证明它的一组对边平行并且不______
等腰梯形
1．等腰梯形的判定
证明一个四边形是等腰梯形的方法有:
（1）先证明它是梯形,再证明一组对边______
（2）先证明它是梯形,再证明同一底上的两个角________
（3）先证明它是梯形,再证明两条对角线______
2．等腰梯形的性质
（1）等腰梯形在同一底上的两个角_____
（2）等腰梯形的两条对角线_____
（3）______梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底______点的一条直线
梯形中常用的几种作辅助线的方法
（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．
（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．
（3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形．
(4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形．
综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．
例题分析
例1. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于点G，F是垂足，求证：四边形ABGE 是等腰梯形。
例2．已知：在三角形 ABC中，AG⊥BC于G，E、F、H分别为AB、BC、CA的中点．求证：四边形EFGH为等腰梯形．
例3．已知：梯形ABCD中AD BC，E为AB中点，且AD＋BC=DC
求证：DE⊥EC，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．
中位线
1.中位线概念：
(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线
段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成
三角形的中位线．
2.中位线定理：
(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
【重点与难点分析】
重点：三角形、梯形中位线的概念及定理．
通过三角形、梯形中位线的概念及定理的证明的学习使学生掌握三角形、梯形中位线的定义，掌握三角形、梯形的中位线定理及其应用．
难点： 1.三角形中位线定理的证明，课本采用“同一法”证明的，其基础是三角形中位线定理与平行线等分线段定理的推论1是互为逆命题的关系．(2)线段的中点是唯一的，过两点的直
线也是唯一的．
定理证明的其它方法：
(1)通过旋转图形构造基本图形──平行四边形．(2)过三个顶点分别向中位线作垂线．
2.梯形中位线定理的证明，课本采用“化归”思想，把梯形中位线问题化归为三角形中位线
问题来证明．
定理证明的其它方法：
(1)连结一条对角线 (2)过上底一端作一腰平行线 (3)过一腰中点作另一腰平等线．
3.通过添加辅助线解决有关三角形中位线、梯形中位线的问题，提高分析问题，解决问题的能力．
4.连接四边形四边中点所得到的四边形是什么图形：要看四边形的对角线的关系
如果四边形的对角线相等，则连接四边形四边中点所得到的四边形为菱形
如果四边形的对角线垂直，则连接四边形四边中点所得到的四边形为矩形
如果四边形的对角线相等且垂直，则连接四边形四边中点所得到的四边形为正方形
例4.已知：如图所示，正方形ABCD的对角线交于O，∠BAC的平分线交BO于E，交BC于F，求
证：OE=1
2
FC。
A D
例5.在四边形ABCD 中，AC=BD ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点。 求证：OE=OF
例6．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AC 、BD 的中点 求证：（1）EF ∥BC ；（2）EF=
1
2
（BC －AD ）
【巩固练习】
一、填空题：
1.已知图1，中AC∥EF∥GH∥DB．AB 、CD 交于O ，AO=OF=FH=HB=AC=
2.5cm ，则HG= ．
G
E
H
o
F
A
B
C
D
（图1)
F
E M
D
B C
A （图2）
2.已知图2，三角形ABC 中AB=AC ，AD⊥BC，M 为AD 中点，CM 交AB 于点E ，DF∥CE，AC=9cm ，则AE= ．
A D
O E
F B
C
N
M A
B
C
D O
E F
3.已知图3，在梯形ABCD 中AD∥EF∥BC，AE=EB ，EM∥DC 且EM=3.5cm ，则DF= ．
4.已知图4，三角形 ABC 是等边三角形，AF⊥AB，点D 是CB 延长线上一点，EF∥DC，AE=3.5cm ，则AD= ．
M
F
E C
B
D
A （图3）
E
F
A
B
C
D
（图4)
二、证明题：
1.已知:如图示，AB⊥BD，DC⊥BD，O 为AC 中点，求证：OB=OD ．
O
B
D
A
C
2.已知：如图示，AD 平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：E 是BC 的中点．
E
D
B
A
C
3.已知：如图示， 平行四边形ABCD 中E 、F 分别为AB 、DC 中点，AF 、EC 交BD 于M 、N ，求证：BM=MN=ND ．
N
M
F
E
A
D
C
B 课后作业
1．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b(a （A ）12 （B ）13 （C ）23 （D ）25 2．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b(a 5 3．顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是（ ） （A ）矩形 （B ）菱形 （C ）等腰梯形 （D ）正方形 4．等腰梯形的下底是上底的3倍，上底与高相等，则下底角的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 5. 等腰梯形有一个角是60°，上下底长分别是2cm 和6cm ，则腰长为 6. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，△DEC 的周长为10cm ，BE=5cm ，则该梯形的周长为 7．如果梯形中位线把梯形分成两小梯形，它们的周长分别是24㎝和30㎝，并且它的中位线长为9㎝，那么原来梯形的周长是 ㎝。 8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，中位线EF 长为3cm ， ⊿BDC 为等边三角形，求梯形的两腰AB 、DC 的长及梯形的面积。 9．已知：在梯形ABCD 中AD∥BC，对角线AC⊥BD，EF 为梯形的中位线 ∠DBC=30° 求证：EF=AC． 10．如图，在梯形ABCD中，点E、F、G分别是AB、AD、BC的中点，EF=EG。求证：梯形ABCD是等腰梯形。 D C F G A E B 11．如图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，△ADE和△BCE是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点，分别为P、Q、M、N，求证：四边形PQMN为菱形。 12．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M是AD的中点，N是BC的中点，MN的延长线与BA 延长线交于G，与CD的延线线交于H。 求证：∠BGN＝∠CHN 三角形中位线定理的证明及其教学说明 以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则 ，有AD FC ，所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边 形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1． 法2： 如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则 ， 有FC AD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。 因为 ，所以DE BC 2 1． 法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形 ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD ，那么四边形BCFD 为平 行四边形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1． 法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ???，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DE BC 21。 法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线． 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。 ⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？ A C 图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗? C 图⑵： 说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。 梯形、中位线 【知识概要】 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似． 通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是： 1．平移腰：过一顶点作一腰的平行线； 2．平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 3．过底的顶点作另一底的垂线． 熟悉以下基本图形、基本结论 【课堂练习】 1.( “希望杯”邀请赛试题) 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a ，AB=b，则CD的长是． 思路点拨平移腰，构造等腰三角形、平行四边形． 注平移腰、平移对角线的作用在于，能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段，能把题 设条件集中到同一三角形中来． 2.(全国初中数学联赛试题)已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（） 10 A．4 B．6 C．82 D．2 3 思路点拨给出4条线段，要构成梯形需满足一定条件，解题的关键是确定可能的上、下底．注给出4条线段不一定能构成梯形，需满足一定的条件，讨论的方法是通过平移腰，把问题转化为三角形的问题讨论，请读者思考，设为梯形的上、下底，c、为腰，那么a、b、c、d满足怎样的条件? 3.(1)如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC (2)请你将(1)中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB=EC”仍 然成立，再根据改编后的问题画图形，并说明理由． 4. 如图，已知梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD=3，BC=6，高h =2，P 是BC 边上的一个动点，直线m 过P 点，且m ∥DC 交梯形另外一边于E ，若BP=x ，梯形位于直线m 左侧的图形面积为y (1)当3 梯形中位线定理 一教材分析 教材的地位和作用 本节课选自鲁教版八年级下册第八章《证明三》第四节，是《证明一》和《证明二》的继续，梯形中位线定理是在学习了三角形、平行四边形，平移和旋转等知识的基础上进行深入探究，是中学数学中的重要定理，为探索中位线与面积的关系奠定基础，具有承上启下的作用。 （二）学习目标： 1、知识技能目标：通过具体情境使学生记住梯形中位线概念，理解梯形中位线定理。 2、过程方法目标：经历观察、猜想、合作、交流、应用等过程，让学生进一步掌握归纳、类比、转化等数学思想方法应用。 3、情感态度目标：引导学生探索、交流与讨论，培养他们的合作与探究精神，促进师生间的教学相长。 （三）、教学重难点 重点：梯形的中位线定理及定理应用． 难点：梯形的中位线定理的证明． 二学情分析与学法分析： 经过初一、初二的学习，初三学生抽象思维能力已得到一定训练。有独立分析解决问题的能力，此外初三学生学习了三角形、平行四边形、旋转、平移等知识，为本节课重难点的解决提供了保障。在教学中应放手学生大胆的猜想并尝试证明，在知识的迁移中进行创造性学习，从而达到授人以渔的目的。 三、教学方法 引导探究法。教师为学生提供充分数学活动，学生在探求的过程中经历知识的发生、发展 和形成，但仍需要教师进行适度的引导，需要留给学生思考、交流空间。 四、教学环境 网络多媒体环境教学环境 五、信息技术应用思路（突出三个方面：使用哪些技术？在哪些教学环节如何使用这些技术？使用这些技术的预期效果是？） 1、利用几何画板软件进行教学展示与学生体验，让学生直观感受三角形中位线与梯形中位线之间的练习与区别、运用几何画板测量和计算来验证学生的猜想，动画演示引导学生的分析，教会学生如何将复杂图形分解来寻找解决问题的突破口，充分应用转化和数形结合的思想突破重点。 2.学生在电子白板画出自己构建的图形，通过成果展示拓宽学生视野的目的，分享证明方法的多样化，配合动画演示引导学生总结辅助线的做法 3、充分得用网络技术，在网络多媒体环境下，进行师生交流与学生演示。 4、在探究梯形中位线定理时运用几何画板软件度量、计算、作图技术及图形运动变化等展示技术，能让学生理解概念，引导学生猜想、探究定理证明，使学生感性认识上升到理性认识。 教学流程。 在△ABC 中①、BC AB F E 、为、 的中点 ②、∵M 、N 分别是BC 、AC 的中点 ∴线段EF 是 △ABC 的中位线 ∴ 线段MN 是△ABC 的中位线 2）、三角形有 3 条中位线，它们构成的三角形叫中点三角形。 3）、三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。 4）、在△ABC 中，AB =3，BC =5，CA =7，顺次连结三边中点得△DEF 的周长为___7.5______. 5）、在△ABC 中，D 、E 、F 分别 为AB 、BC 、CA 的中点，△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长是 20 。 6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是__ 24 。 结论：中点三角形的周长等于原三角形的 一半 . 7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__10 结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_ 二、中点四边形 1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫 中点四边形 2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关 1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形； 2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是矩形； 3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是正方形； 4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是平行四边形。 5）、任意四边形的中点四边形是平行四边形；菱形的中点四边形是矩形； 矩形、等腰梯形的中点四边形是菱形；正方形的中点四边形是正方形。 三、梯形中位线 1、定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半 。 热身练习 1．若三角形三条中位线长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是 24 cm 2。 2．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 7:9 ． 3. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为 22 ． 4. 若等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，则它的周长是＿22＿＿cm ． 4 1 梯形中位线定理教学设计 一、教材分析： 本节课要研究的是梯形的中位线，它是在学生已经学过三角形中位线基础上进行的，是本章的重点内容之一。学习并掌握梯形的中位线的概念和性质，将有利于提高学生解决四边形中的一些计算问题、证明问题和实践性问题的能力。另外，通过本节课的教学，可向学生渗透类比和转化的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。因此，本节课无论是在知识的学习，还是对学生能力的培养上都起着十分重要的作用。 二、教学目标： 1、知识目标：使学生初步掌握梯形中位线的概念及其定理。掌握梯形面积的第二个计算公式。 2、能力目标：使学生会运用梯形中位线定理来解决相关问题；通过直观演示、猜想实践、归纳论证等教学环节，培养学生类比和转化的思想方法，锻炼学生独立的思考能力、缜密的逻辑思维能力和观察归纳的能力。 3、情感目标：培养学生理论联系实际的科学态度。通过创设愉悦的学习情境，使学生自始至终处于积极思考、大胆置疑、勇于创新、合作学习的氛围中，从而提高学习兴趣和教学效益。 三、教学的重、难点： （1）重点：梯形中位线定理及其应用； （2）难点：梯形中位线定理的发现和论证的思想方法。 本节课设计的探究活动和分组讨论的教学环节，就是为了使学生能在教师引导下，发现梯形中位线的性质，并合理地添加辅助线证明定理。 四、教学方法和手段： 结合本节课内容和学生的实际情况，采用引导发现和设疑诱导的教学方法。在教学过程中，通过创设富有启发性和研究性的问题情景，激发学生对问题的猜想和思考，激发学生探求知识的欲望，自觉地经历从发现问题到解决问题的知识发生的全过程。为了增强教学的直观性，有利于教学难点的突破，增大课堂容量，提高教学效率，采用了多媒体计算机辅助教学手段。 五、教具、学具 计算机，刻度尺，量角器 六、教学程序： 梯形的中位线教案 重难点分析 本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或 梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段 相等提供了新的思路. 本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学 生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线， 添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度. 教法建议 1.对于中位线定理的引入和证明可采用发现法，由学生自己观察、猜想、测量、论证，实际掌握效果比应用讲授法应好些，教师可根据学生情况参考采用 2.对于定理的证明，有条件的教师可考虑利用多媒体课件来进行演示知识的形成及证 明过程，效果可能会更直接更易于理解 教学设计示例 一、教学目标 1.掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理 2.掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰” 3.能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能 力和分析能力 4.通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力 5.通过一题多解，培养学生对数学的兴趣 二、教学设计 引导分析、类比探索，讨论式 三、重点和难点 1.教学重点：梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算. 2.教学难点：梯形中位线定理的证明. 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片，常用画图工具 六、教学步骤 复习提问 1.什么叫三角形的中位线?它与三角形中线有什么区别?三角形中位线又有什么性质 (叙述定理). 2.叙述平行线等分线段定理及推论1、推论2(学生叙述，教师画草图，如图所示，结 合图形复习). (由线段EF引入梯形中位线定义) 引入新课 梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 现在我们来研究梯形中位线有什么性质. 如图所示：EF是的中位线，引导学生回答下列问题：(1)EF与BC有什么关系?()(2) 如果，那么DF与FC，AD与GC是否相等?为什么?(3)EF与AD、BG有何关系? ，教师用彩色粉笔描出梯形ABGD，则EF为梯形ABGD的中位线. 由此得出梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 现在我们来证明这个定理(结合上面提出的问题，让学生计论证明方法，教师总结). 已知：如图所示，在梯形ABCD中，. 求证：. 分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线定理即可证得. 说明：延长BC到E，使，或连结AN并延长AN到E，使，这两种方法都需证三点共线(A、N、E或B、C、E)较麻烦，所以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证即可得，从而证出定理结论. 证明：连结AN并交BC延长线于点E. 又， E B C A D F E B C A D F D A E 《梯形中位线 》教案 〖教学目标〗 1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线性质. 2．能够运用梯形中位线的概念及性质进行有关的计算和证明. 3．经历“操作-观察-猜想-验证”的探索过程，进一步感受数学中的化归思想．、 〖教学重点〗梯形中位线及其性质的应用 〖教学难点〗梯形中位线性质的证明 教学过程： 一、知识回顾 1. 三角形中位线定理：△ABC 中，D 、E 分别为AB 、 AC 边上的中点， 则DE//BC DE=1/2BC （位置关系、数量关系） 2.其它衍生结论：△ADE 与△ABC 的周长比为1:2 ，面积比为1:4...... 二、学习新知 （一）概念：联结梯形两腰的中点的线段 ，叫梯形中位线 如图：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 为AB 、CD 的中点，则EF 为梯形ABCD 的中位线 概念辨析：识别下图中EF 是否为梯形的中位线 H F E B C A D （二）学生操作：度量EF 、AD 、BC ，AD+BC ，∠B ∠AEF （三）类比猜测：EF 与AD 、BC 的关系：位置关系 EF//AD//EF 数量关系 EF=1/2(AD+BC) (五）分析证明： (六）得出新知： 梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半 即：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 为AB 、CD 的中点，则 EF//AD//EF EF=1/2(AD+BC) （七）巩固练习 1．一个梯形的上底长4 cm ，下底长6 cm ，则其中位线长为 cm ． 2．一个梯形的上底长10 cm ，中位线长16 cm ，则其下底长为 cm ． 3．已知梯形的中位线长为6 cm ，高为8 cm ，则该梯形的面积为________ cm 2 4．已知等腰梯形的周长为80 cm ，中位线与腰长相等，则它的中位线长 cm ． 三、应用新知 例题7、一把梯子部分如图所示,已知： AB//CD//EF//GH ,AC=CE=EG,BD=DF=FH,AB=0.3m ，CD=0.4m,求EF 、GH 的长。 中位线定理证明题 1、 如图，若CD AB //，E 、F 分别是BC 、AD 的中点， 且a AB =，b CD =，求EF 的长 2、已知矩形ABCD 中，cm AB 15=，cm BC 8=，E 、 F 、 G 、 H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求 四边形EFGH 的周长和面积 3、 如图，已知四边形ABCD 中，BC AD //， 若DAB ∠的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ， 且BE 平分ABC ∠，求证：BC AD AB += 4、如图，在ABC ?中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥，垂足为D ，M 是BC 的中点，cm AB 10=，求MD 的长 5、 如图，D 、E 、F 分别是ABC ?三边的中点，G 是AE 的中点， BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，求BE PQ :的值 6、 如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥， AC DE //，交AB 于E ，若5=AB ，求DE 的长 7、连接凸四边形一组对边中点的线段等于另一组对边和的一半，问这个凸四边形是什么四边形试证明你的结论 8、分别以ABC ?的边AC 和BC 为一边，在ABC ?外作正方形ACDE 和 CBFG ，点P 是EF 的中点，如图，求证：点P 到边AB 的距离是AB 的一半 9、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，?=∠30B ， ?=∠60C ，E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 已知7=BC ，3=MN ，求EF 的值 10、如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，?=∠=∠90ADC DCB ，E 为AB 中点，求证：DE CE = 11、如图，已知梯形ABCD 中，CD AB //，?=∠=∠90D DAB ，ACB ?是等边三角形，梯形中位线m EF 4 3 = ，求梯形的下底AB 的长 12、如图，梯形ABCD 的面积是12，求此梯形四边的中点组成的四边形EFGH 的面积 13、如图，已知A 为DE 的中点，设DBC ?、ABC ?、EBC ?的面积分别为1S 、 2S 、3S ，求1S 、2S 、3S 之间的关系 14、如图，在ABC ?中，?=∠120BAC ，以AB 、AC 为向形外作等边三角形ABD 和ACE ，M 为AD 中点，N 为AE 中点，P 为BC 中点，试求MPN ∠的度数 梯形的中位线 课题梯形的中位线 日期 教学目标1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理 2．掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰” 3．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力 4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力 5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣 重难点教学重点：梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算．教学难点：梯形中位线定理的证明． 教 法 引导分析、类比探索，讨论式 角色教师活动学生活动 备 注 教 学过程一、情景创设 上一节课我们通过对三角形的中位线定理的再认识，知道 顺次连接四边形各边的中点会得到一个平行四边形，那么如果 我顺次连接的是矩形，菱形或正方形，又会得到什么样的图形 呢？ 二、引入新课 1.梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质. 如图所示：EF是 的中位线，引 导学生回答下列问题：（1）EF与BC有什么关系？ （）（2） 与同学共同讨 论解决。 教学过程. 求证： . 分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线 定理即可证得. 说明：延长BC到E，使，或连结AN并延长AN到E，使， 这两种方法都需证三点共线（A、N、E或B、C、E）较麻烦，所 以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证即可得，从 而证出定理结论. 3.复习小学学过的梯形面积公式. （其中a、b表示两底，h表示高） 因为梯形中位线所以有下面公式： 例题：如图所示，有一块四边形的地ABC D，测得，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的 面积. 三、【小结】（以回答问题的方式让学生总结） （1）什么叫梯形中位线？梯形有几条中位线？ （2）梯形中位线有什么性质？ （3）梯形中位线定理的特点是什么？ （4）怎样计算梯形面积？怎样计算任意多边形面积？（用 投影仪） （结合上面提 出的问题，让学 生计论证明方 法，教师总结）. 这是一个不规 则的多边形面 积计算问题，我 们可以采取作 适当的辅助线 把它分割成三 角形、平行四边 形或梯形，然后 利用这些较熟 悉的面积公式 来计算任意多 边形的面积. 学过 梯 形、 三角 形中 位线 概念 后， 可以 把平 行线 等分 线段 定理 的两 个推 论， 分别 看成 是梯 形、 三角 形中 位线 的判 定定 理． 《三角形、梯形中位线定理应用练习课》教学设计 一、复习题组 1．知识要点 (1) 如图1，三角形中位线性质定理的条件是， 结论是； 三角形中位线判定定理的条件是， 结论是。 （图1） (2) 如图2，梯形中位线性质定理的条件是， 结论是； 梯形中位线判定定理的条件是， 结论是。 （图2） 2．基本方法 三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？ (1) 全等三角形对应边相等； (2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质； (3) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (4) 角平分线上的点到角的两边距离相等； (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (6) 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质； (8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。 系统小结，深刻理解 二、基本题组 1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是； 2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是； 3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是； 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是； 5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是； 6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。 8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。 9．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形； 10．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形； 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形 12．已知D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，则△DEF 与△ABC 的周长比为，面积比为。 13．如图3，在△ABC 中， D 、E 、F 是AB 的四等分点，D'、E'、F' 是AC 的四等分点，BC=28， 则DD'=，EE' =，FF' = 。 14．如图4，在△ABC 中，D 、E 是AB 边的三等分点，D'、E' 是AC 边的三等分点，若BC=18， 则DD'=，EE' =。 15．如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 是AB 的三等分点，EE' // FF' // BC ，分别交CD 于 E'、F'。若BC=28，AD=10，则EE' =，FF' = 。 （图3） （图4） （图5） 16．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（ ） A ．相等且平分 B ．相等且垂直 C ．垂直平分 D ．垂直平分且相等 17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 三、教练题组 例1．已知：如图6，在梯形ABCD 中，AB//CD ，以AD 、AC 为边作□ DC 的延长线交EB 于F 。 求证：EF = FB 。 〖注1〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳； 〖注2〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。 （图6） (1)延长EC ，交AB 于点G （如图7）； 三角形、梯形的中位线 课题引入： 课前练习A 思考如图,在池塘的两岸有A,B两个建筑物,你有多少种方法可测得这两建筑物之间的距离. 课前练习B（1） 操作将一张三角形纸片剪一刀(使剪痕平行于三角形的一边),然后把分割成的两块,拼成一个图形. 思考若要使拼成的图形为一个平行四边形,那么剪痕与三角形另两边的交点应在什么位置?又如何拼? 课前练习B（2） 剪痕与AB、AC分别相交于D、E,点D、E分别是AB、AC的中点. 如果梯形DBCE和△ADE恰好能拼成一个平行四边形BCFD,那么必有 △CFE≌△ADE, 可知AE=EC,AD=CF, DE=EF. 所以,E为AC的中点.又因为CF=BD,所以AD=BD, 即 D为AB的中点. 知识呈现： 新课探索二 一个三角形有几条中位线? 左图中有哪几个平行四边形 新课探索三 由上述探索,现在你认为右图测量A,B两建筑物之间的距离(D,E分别是AC,BC的中点)的设计方案可行吗? 如图,CA=AD,CB=BE,若DE=40m,则AB=____m. 新课探索四 例题1 已知:如图,点O是△ABC内任意一点,D、E、F、G分别是OA、OB、BC、AC的中点. 求证:四边形DEFG是平行四边形. 课内练习 1. 如图,已知AD=DB,AE=EC (1) 如果BC=___,那么DE=__; (2) 如果DE=5,那么BC=____. 2. 如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且AE=BF,联结AF,BE交于点M,联结DF,CE交于点N. 求证:MN= BC. 3. 如图,E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点,那么顺次联结E、F、 G、H,得到的四边形是怎样的一个四边形? 课堂小结： 课题：22.6（2）梯形的中位线 教学目标 1、理解梯形的中位线概念； 2、经历探索梯形中位线性质的过程，体会转化的思想方法； 3、掌握梯形的中位线的性质定理，能运用梯形中位线定理进行计算和论证．教学重点及难点 重点：掌握梯形中位线定理，并能应用定理进行计算和证明； 难点：识图，认识梯形中位线的性质． 教学过程设计 一、情景引入 1、温故知新 （1）结合图形，讲出三角形中位线定义及其性质； 几何语言：因为……，所以……． （2）习题评析 ①联结三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的， 面积为原三角形面积的； ②三角形的一条中位线分原三角形所成的一个小三角形与一个梯形的面积 比是； ③以等腰梯形两底的中点及两对角线的中点为顶点的四边形是； ④顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所成的四边形是． 2、思考：什么是梯形的中位线？梯形中位线有什么性质？ 二、学习新课 1、概念辨析 （1）梯形中位线定义：联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线． 如图，已知点E、F分别是梯形的腰AB、CD中点，则EF为梯形ABCD的 中位线． 探讨1：如何添加辅助线 探讨2：如何利用中点条件添加辅助线？ 探讨3：能否运用三角形的中位线定理得出梯形的中位线定理？ （3）结论1 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （4）结论2 梯形面积公式：梯形面积＝中位线×高． 2、例题分析 例 1 如图，一把梯子每一横档都互相平行，高度相等，已知最上面两条横档的长度分别为6、7，那么下面几根横档的长度分别为多少？ 【分析】利用梯形中位线定理可以先得出第三条边，其余的就 迎刃而解了． 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 为AB 的中点，AD+BC=DC ． 求证：DE ⊥EC ． 【分析】利用梯形中位线定理解题，即可考虑添加中位线． 由已知条件，联想到利用梯形ABCD 的中位线，并且可知中位线的长是DC 的一半；又梯形中位线与上、下底平行，于是可以从几对等角中获得结论． B B 另外，也有一种常用的添加辅助线方法，可以探讨是否可行． 3、问题拓展 当梯形的上底收缩为一点时，梯形成为三角形．因此可以说，三角形中位线定理是梯形中位线定理的特殊情况． 三、巩固练习 1、联结三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的 ；面积为原三角形面积的 ． “梯形的中位线”教学设计什么是梯形中位线 一、设计思想 1.教材分析“梯形的中位线”是苏教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（上册）第三章§3.6 三角形、梯形的中位线第二课时，是在学习了三角形中位线性质等知识的基础上提出的.梯形中位线性质是梯形的重要性质，是今后有关计 算和论证的重要依据.作为性质教学课，对培养学生科学的思维方法 和分析问题、解决问题的能力有非常重要的作用. 2.学情分析 学生已经初步掌握了三角形中位线的性质及其应用，以此作为 新知识的生长点.让学生多探索，多动脑，促进学生间的相互合作、 交流.性质的探究过程是对学生分析问题和解决问题能力的综合考查，而八年级学生类比、猜想、分析、归纳的思维方法和运用数学思想的意识比较薄弱，预见能力和抗挫折能力较欠缺，自学较困难. 3.教学策略 “梯形的中位线”这节课是安排在“三角形的中位线”之后， 教材反映在字面上的内容较少，仅一个操作、一个概念、一个性质、一个例题而已，为了创造性地使用教材，扩大学生的知识容量和思维容量，有效地培养学生的创新能力，我抓住“三角形可以看作上底为 0的梯形”这一知识生长点，通过类比、变式的方法，设计富有探究性的问题系列，力求形成“创设情境――建立模型――实验探究――推理论证――解释应用与拓展”的探究性教学过程. 二、教学目标 1.探索并掌握梯形中位线的概念、性质. 2.会利用梯形中位线的性质解决有关问题. 3.经历探索梯形中位线性质的过程，渗透转化、类比、运动与变化等数学思想，培养学生分析、类比、猜想、归纳等思维方法. 4.通过梯形中位线性质的推理论证，引导学生独立思考、合作交流，培养学生的自主意识、合作精神，增强学生学习的自信心和克服困难的意志力. 三角形中位线与梯形中位线 一、知识点梳理 1、三角形中位线定义;每个三角形有3条中位线 2、梯形中位线定义;每个梯形有且只有1条中位线 二、定理证明 知识点1：三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 （数量关系与位置关系 （2）定理的证明 如图，已知点D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC,且DE=1／2BC. 知识点2：梯形中位线定理 （1）定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。 （2）定理的证明 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AE=EB,DF=FC,求证：EF∥BC,EF=1／2(BC+AD) 三、典型例题分析 题型1 三角形的中位线 例1如图在四边形ABCD中，AC=BD,且M、N分别为AD、CB的中点，AC、BD交于点O，MN交BD于点E,交AC于F。求证：OE=OF 例2如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G、H分别是对角线AC、BD的中点，求证：EF与GH互相平分。 题型2 梯形的中位线 例 3 如图，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC、BD与MN交于点F、E，AD=30cm,BC=40cm.求EF的长。 例4填空： （1）顺次连接四边形各边中点所得图形是。 （2）顺次连接平行四边形四边形各边中点所得图形是。 （3）顺次连接矩形各边中点所得图形是。 （4）顺次连接菱形各边中点所得图形是。 （5）顺次连接正方形形各边中点所得图形是。 （6）顺次连接梯形各边中点所得图形是。 （7）顺次连接直角梯形各边中点所得图形是。 （8）顺次连接四边形各边中点所得图形是。 初中数学《三角形的中位线》教学设计 教学目标： １、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。 ２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。 ３、进一步训练说理的能力。 ４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。 教学重点： 经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。 教学难点： 进一步训练说理的能力。 教学过程： 一、三角形的中位线 （一）问题导入 在§24．3中，我们曾解决过如下的问题： 如图24．4．1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC。 由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点。 现在换一个角度考虑， 图24.4.1 如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？ （二）探究过程 1、猜想 从画出的图形看，可以猜想： DE ∥BC ，且DE ＝2 1BC ． 图24.4.2 2、证明：如图24．4．2，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点， ∴ 2 1==AC AE AB AD ． ∵ ∠A ＝∠A ， ∴ △ADE ∽△ABC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）， ∴ ∠ADE ＝∠ABC ，2 1=BC DE （相似三角形的对应角相等，对应边成比例）， ∴ DE ∥BC 且BC DE 2 1= 思考：本题还有其它的解法吗？ 已知： 如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC 。 求证： DE ∥BC ，DE ＝2 1BC 。 分析: 要证DE ∥BC ，DE ＝21BC ，可延长DE 到F ，使EF ＝DE ， 于是本题就转化为证明DF ＝BC ，DE ∥BC ， 故只要证明四边形BCFD 为平行四边形。 还可以作如下的辅助线作法。 3、概括 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有 三角形梯形中位线 知识点： 1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。 （2）三角形的中位线与三角形的中线不同 （3）三角形的中位线性质： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 定理符号语言表达： 在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点， ； 。 2．梯形中位线： 1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 定理符号语言表达： 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ； ∴ 。 注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系； 3）归纳总结出梯形的又一个面积公式： 我们知道：S 梯= 2 1 (a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积 3、中点四边形： 1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形； 总结：中点四边形取决与原四边形的对角线； 1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。 2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。 3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。 E D B C A E B D A C F 图2 试一试： 1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 2．一个三角形的中位线有_________条． 3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿， 线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿ 4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点 （1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm （2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为； 6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为； 7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为； 8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。 9等腰梯形的腰长是6cm，中位线是5cm，则梯形的周长是。10．顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是______. 11．如图所示，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OE∥BC． 12．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形． 三角形、梯形中位线定理应用练习课 一、复习题组 1．知识要点 A 1，三角形中位线性质定理的条件是，(1) 如图结论是； DE三角形中位线判定定理的条件是，CB结 论是。1）（图AD如图2，梯形中位线性质定理的条件是，(2) 结论是；EF梯形中位线判定定理的条件是， CB 2 结论是。（图）2．基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线 段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？全等三角形对应边相等； (1) (2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(3) 角平分线上的点到角的两边距离相等；(4) (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半；(6) 直角三角形中，(7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；(8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。 二、基本题组 1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；2 ．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；3 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是；．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。6 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。1 / 8 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；9 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；10 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。 系统小结，深刻理解 的周长比为，面积比为。各边的中点，则△DEF与△ABCD、E、F是△ABC 12．已知，AC的四等分点，BC=28的四等分点，D'、E'、F' 是13．如图3，在△ABC中，D、E、F是AB FF' = EE' =，。则DD'=，边的三等分点，若BC=18，边的三等分点，D'、E' 是AC 14．如图4，在△ABC中，D、E是AB ，EE' =。则DD'= CD于是AB的三等分点，EE' // FF' // BC，分别交．如图155，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F FF' = 。AD=10，则EE' =， E'、F'。若BC=28，A AADDD' EDED'E'E'FEFF'E'F'CCCBBB（图5）） （图4） 3 （图．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）16 D．垂直平分且相等．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分 A ）17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（．正方形．矩形C．菱形 D B A．平行四边形、教练题组三 □E为边作AD、AC，ACED，以，在梯形例1．已知：如图6ABCD中，AB//CD EB的延长线交于F。DC FCD求证：EF = FB。1 〖注〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳；BA）6 2 〖注〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。（图 2 / 8 梯形及中位线（习题） ? 例题示范 例 1：如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，且 AC ⊥ BD ，AF 是梯形的高．若梯形 ABCD 的面积为 49，则高 AF 的长为 ． 【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路： 由 AC ⊥BD ，考虑平移一条对角线，所以过点 D 作 DE ∥AC ，交BC 的延长线于点 E ，则四边形 ACED 是平行四边形． 因为△ABD 与△CDE 等底等高，所以S △ABD = S △CDE ， 则等腰梯形 ABCD 的面积可转为△BDE 的面积． 在等腰梯形 ABCD 中，AC =BD ，所以 DE =BD ，即△BDE 是等腰 直角三角形． 过点 D 作 DG ⊥BC 于点 G ，则 AF =DG ， 所以S △BDE = 1 BE ? DG = 1 ? 2DG ? DG = DG 2 = 49 ， 2 2 则 AF =DG =7． 例 2：如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形 BCED 的中位线， 若 DE =4cm ，则 FG 的长为 ． 【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路： 因为 DE 是△ABC 的中位线，DE =4 cm ，所以 BC =8 cm ． 因为 FG 是梯形 BCED 的中位线，所以 FG = BC + DE = 6 cm ． 2 【过程书写】 ∵DE 是△ABC 的中位线，DE =4， ∴BC =8． ∵FG 是梯形 BCED 的中位线， ∴FG = BC + DE = 8 + 4 = 6 ， 1 例3：如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别为AD，BD，BC，AC 的中点．要使四边形EFGH 是菱形，则应满足的条件是（） A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=CD D．AD=BC 【思路分析】 题目中出现多个中点，考虑中点四边形． EF 是△ABD 的中位线，EF∥AB，EF =1 AB ；2 HG 是△ABC 的中位线，HG∥AB，HG =1 AB ；2 所以EF∥HG，EF=HG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形EFGH 是平行四边形. 当AB=CD 时，EF=EH，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形EFGH 是菱形． 故选C． ?巩固练习 1.如图，在矩形ABCD 中，E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD， AD 的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．3 2.下列图形：①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④直角梯形； ⑤角；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 （） A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个 学科数学课题22.6 ⑵梯形的中位线执教人班级 时间地点 教学目标 1．理解梯形的中位线概念． 2．掌握梯形的中位线的性质定理，会运用这个定理进行简单的几何计算和论证． 3．经历探索梯形中位线性质的过程，体会转化的思想方法．能以运动变化的观点认识三角形的中位线、梯形中位线之间的区别和联系． 教学重点难点 重点：梯形中位线定理. 难点：梯形中位线性质定理的证明. 教学设计 教学 环节 教学过程设计意图 一复 习 引 入复习三角形中位线 （1）线段MN叫△ABC的什么？ （2）这样的中位线有几条？ （3）线段MN与BC有什么关系？ 为引出课题， 以及猜想并 证明梯形中 位线做铺垫 二新知探究1、概念的形成和巩固 （1）让学生根据几何画板引入过程，自己用文字概括出 梯形中位线的定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）操作：在梯形ABCD中，AD∥BC，作梯形ABCD的中位线MN 培养学生归 纳概括的能 力 突出概念中 的“要素”— “两腰” B C A D 2、梯形中位线的性质探索 （1） 猜一猜：应用几何画板测量得出如下猜想 ①梯形的中位线平行于两底 ②梯形中位线的长度等于两底和的一半 （2）证一证： 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AM =MB ，DN =NC ． 求证：MN //BC ，且MN =1 2 (AD+BC )． 证明： 联结AN 并延长AN 交BC 的延长线于E, ∵N 为CD 的中点 ∴DN=CN ∵AD ∥BC ∴∠DAN=∠E, ∠D=∠ECN ∴△ADN ≌△ECN ∴AN=NE,AD=CE 又∵M 为AB 中点 ∴ MN ∥BE 且MN= 12 BE ∵BE=BC+CE=BC+AD ∴MN ∥BC 且 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 符号语言 在梯形ABCD 中，AD //BC 由AM =MB ，DN =NC ，得MN 是梯形ABCD 的中位线． 则MN // AD // BC ，且MN =1 2 (AD+BC ) 1()2 MN BC AD =+N M A C B D三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
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