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高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题概率与统计理科学生版资料

概率与统计

一、高考预测

计数原理、概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块,高考对该部分的考查分值也较多.从近几年的情况看,该部分考查的主要问题是排列组合应用问题,二项式定理及其简单应用,随机抽样,样本估计总体,线性回归分析,独立性检验,古典概型,几何概型,事件的独立性,随机变量的分布、期望和方差,正态分布的简单应用,在试卷中一般是2~3个选择题、填空题,一个解答题,试题难度中等或者稍易.预计2012年该部分的基本考查方向还是这样,虽然可能出现一些适度创新,但考查的基本点不会发生大的变化.计数原理、概率统计部分的复习要从整体上,从知识的相互关系上进行.概率试题的核心是概率计算,其中事件之间的互斥、对立和独立性是概率计算的核心,排列组合是进行概率计算的工具,在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具;统计问题的核心是样本数据的分布,反映样本数据的方法:样本频数表、样本频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,得到样本数据的方法是随机抽样,在复习统计部分时,要紧紧抓住这些图表和方法,把图表的含义弄清楚,这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解,如样本均值和方差的计算,用样本估计总体等.

二、知识导学

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:求概率的步骤是:第一步,确定事件

性质?

?

?

?

?

??

等可能事件

互斥事件

独立事件

n次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步,判断事件的运

算?

?

?

和事件

积事件即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第三步,

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运用公

()

()()()

()()()

()(1)

k k n k

n n

m

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P A

n

P A B P A P B

P A B P A P B

P k C p p-

?

=

?

??

+=+

?

??=?

?

=-

??

等可能事件:

互斥事件:

独立事件:

n次独立重复试验:求解第四步,答,即给提出的问题有一个

明确的答复.

(1)二项分布

次独立重复试验中,事件A发生的次数ξ是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…n,并且k n

k

k

n

k

q

p

C

k

P

P-

=

=

=)

(ξ,其中n

k≤

0,p

q-

=1,随机变量ξ的分布列如下:

ξ0 1 …k…n

P n

n

q

p

C0

01

1

1-

n

n

q

p

C…k n

k

k

n

q

p

C-q

p

C n

n

n 称这样随机变量服从二项分布,记作,其中、为参数,并记:)

,

;

(p

n

k

b

q

p

C k n

k

k

n

=

-

.

(2)几何分布

在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k

ξ=”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.

随机变量ξ的概率分布为:

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要点

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要点4 抽样方法与总体分布的估计

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3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.

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要点5 正态分布与线性回归

1.正态分布的概念及主要性质

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2.线性回归 简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法. 变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来,对n 个样本数据(11,x y ),(22,x y ),…,

(,n n x y ),其回归直线方程,或经验公式为:?y

bx a =+.其中1

2

2

1

,,

()n

i i

i n

i

i x y nxy

b a y b x x

n x ==-=

=-?-∑∑,

其中y x ,分别为|

i x |、|i y |的平均数.

三、易错点点睛

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【易错点2】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清,容易混淆,导致出错

1、在5

322x x ??+ ?

?

?的展开式中,5x 的系数为 ,二项式系数为 。 【易错点分析】在通项公式155152r r r r T C x -+=??中,5r C 是二项式系数,52r r

C ?是项的系

数。

解析:令1555r -=,得2r =,则项5

x 的二项式系数为

2

510C =,项的系数为225240C ?=。

【知识点归类点拨】在二项展开式中,利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题,其通常做法就是确定通项公式中r 的取值或取值范围,须注意二项式系数与项的系数的区别与联系

2

、如果3n

x ?? ?

的展开式中各项系数之和为128,则展开式中31

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x 的系数是( ) (A )7 (B )7- (C )21 (D )21-

解析:当1x =

(312128,7

n n n ?-

==∴=

7

(3x -

,

根据二项式通项公式

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2577733

17

7

(3)(1)()3

(1)r r r

r

r

r r

r

r T C x x C x

-

---+=-=-5

73,63r r ∴-=-=时对应3

1x ,

6766

61733311213(1)73.T C x x x -+=-=??=故31

x 项系数为21.

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【知识点归类点拨】在

()n

a b +的展开式中,系数最大的项是中间项,但当a ,b 的系数

不为1时,最大系数值的位置不一定在中间,可通过解不等式组

112

r r

r r T T T T +++≥??

≥?来确定之

2.在二项式

()11

1x -的展开式中,系数最小的项的系数为 。(结果用数

值表示)

解析:展开式中第r+1项为

()

11111r

r r C x -??-,要使项的系数最小,则r 为奇数,且使

11r

C 为最大,由此得5r =,所以项的系数为

()5

5

111462

C ?-=-。

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(1) 在问题(3)的基础上,再分配即可,共有分配方式222

3

64233

3C C C A A ???种。

【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题,是一类极易出错的题型,对于此类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关,分清先选后排,分类还是分步完成等,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计算重复或遗漏。

2.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师,派到三个班担任班主任(每班一位班主任),要求这三位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方法共有( )

A 、 210种

B 、420种

C 、630种

D 、840种

解析:首先选择3位教师的方案有:①一男两女;计125430C C ?=;②两男一女:计

21

54

C C ?=40。

其次派出3位教师的方案是33A =6。故不同的选派方案共有

()()31221

3545463040420

A C C C C ??+?=?+=种。

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(3)甲、乙2人先排好,共有2

2A 种排法;再从余下的5人中选三人排在甲、乙2人中间,

有35A 种排法,这时把已排好的5人看作一个整体,与剩下的2人再排,又有3

3A 种排法;这样,总共有

423

423720A A A ??=种不同的排法。

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【易错点6】二项式展开式的通项公式为

1r n r r

r n T C a b -+=,事件A 发生k 次的概率:()()

1n k

k k

n n P k C P P -=-二项分布列的概率公式:

,0,1,2,3

,k k n k k n p C p q k n -==01,p <<且1p q +=,三者在形式上的相似,在应用容

易混淆而导致出错。

1.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得—100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响。(1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望。(2)求这名同学总得分不为负分(即0ξ≥)的概率。

解析:(1)ξ的可能取值为—300,—100,100,300。

()()()()32233000.20.008,10030.20.80.09610030.20.80.384,3000.80.512

P P P P ξξξξ=-===-=??===??====

所以ξ的概率分布为

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根据

ξ的概率分布,可得ξ的期望

()()

3000.0081000.0961000.3843000.512180 Eξ=-?+-?+?+?=(2)这名同学总得分不为负分的概率为

()00.3840.5120.896

Pξ≥=+=

从而

ξ的分布列为

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01234

41664256256256

Eξ=?+?+?+?+?=

(2)

()()81175 3141

256256

P P

ξξ

≤=-==-=

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【知识点归类点拨】在正态分布()

2,N μσ中,μ为总体的平均数,σ为总体的标准差,

另外,正态分布

()

2,N μσ在

(),μσμσ-+的概率为0068.3,在()3

,3μσμσ-+内取值的概率为0099.7。解题时,应当注意正态分布()2

,N μσ在各个区间的取值概率,不可混淆,

否则,将出现计算失误。

四、典型习题导练

1、一笼子中装有2只白猫,3只黑猫,笼门打开每次出来一只猫,每次每只猫都有可能出来。(Ⅰ)第三次出来的是只白猫的概率;(Ⅱ)记白猫出来完时笼中所剩黑猫数为ξ,试求

ξ的概率分布列及期望。

2、深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球), 3 个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2 个球,用完后放回.(Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为

,求

的分布列和数学期望;(Ⅱ)求第

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二次训练时恰好取到一个新球的概率.

5、某学生参加跳高和跳远两项体育测试,测试评价设,,A B C 三个等级,如果他这两项测

试得到,,A B C 的概率分别依次为111,,326和

111

,,

424。(Ⅰ)求该学生恰好得到一个A 和一个B 的概率;(Ⅱ)如果得到一个A 记15分,一个B 记10分,一个C 记5分,设该学生这两

项测试得分之和为ξ,求ξ的分布列和数学期望。

6、某电视台有A 、B 两种智力闯关游戏,甲、乙、丙、丁四人参加,其中甲乙两人各自独立进行游戏A ,丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为,丙、丁两人各自闯关成功的概率均为

.(Ⅰ)求游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关

成功的人数的概率;(Ⅱ) 记游戏A 、B 被闯关成功的总人数为,求的分布列和期望.

7、盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球. 规定取出1

图3

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B

A

红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分 . 现从盒内任取3个球(Ⅰ)求取出的3个球中至少有一个红球的概率;(Ⅱ)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(Ⅲ)设ξ为取出的3个球中白色球的个数,求ξ的分布列和数学期望.

8、如图3,,A B 两点之间有6条网线连接,它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4. 从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量, 设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ

(Ⅰ)当6ξ≥

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时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率(Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望.

11、2012年2月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大

型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示:

⑴求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限(取过剩近似整数值);⑵从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位,求他们贷款年限相同的概率;

⑶假设该银行此星期的贷款业绩一共持续10个星期不变,在这段时间里,每星期都从借贷客户中选出一人,记ξ

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表示其中贷款年限不超过20年得人数,求()E ξ.

12、为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的500

名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示.(Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图),再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数;(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.

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13、某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩共

分五组,得到频率分布表如下表所示。

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级别

O

5 16

8

天数

4

2

10 15

14、空气质量指数PM2.5(单位:3

/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:

PM2.5

日均浓度

035 357575115115150150250250> 空气质量级别

级 三

级 四级 五级 六

空气质量类别

轻度污染

中度

污染 重度

污染

严重污染

某市2012年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测,获得

数据后得到如下条形图:(Ⅰ)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (Ⅱ)在上述30个监测数据中任取2个,设X 为空气 质量类别为优的天数,求X 的分布列.

15、户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关,对本单位的50名员工进行了问卷调查,得到了如下列联表:

喜欢户外运动不喜欢户外运动

男性 5

女性10

合计

5

已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是3

5.(Ⅰ)请将上面的

列联表补充完整;(Ⅱ)是否有99.5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由;(Ⅲ)经进一步调查发现,在喜欢户外运动的10名女性员工中,有4人还喜欢瑜伽.若从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人,记

ξ表示抽到喜欢瑜伽的人数,求ξ的分布列和数学期望.下面的临界值表仅供参考:

2

()

P K k

≥0.15 0.10 0.05

0.02

5

0.01

0.00

5

0.00

1

k

2.07

2

2.70

6

3.84

1

5.02

4

6.63

5

7.87

9

10.8

28

2

2

()

=,

()()()()

n ad bc

K n a b c d

a b c d a c b d

-

=+++

++++

参考公式:其中

16、在某

医学实验中,

某实验小组为

了分析某种药

物用药量与血喜欢户外运

不喜欢户外

运动

合计

男性20 5 25 女性10 15 25

液中某种抗体水平的关系,选取六只实验动物进行血检,得到如下资料:

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为无效动物.研究方案规定先从六只动物中选取两只,用剩下的四只动物的数据求线性回归方程,再对被选取的两只动物数据进行检验.

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17、一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R 的函数:

1()f x x =,

22()f x x =,33()f x x =,4()sin f x x =,5()cos f x x =,6()2f x =. (1)现从盒子中任

取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率;(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数ξ的分布列和数学期望.

18、“肇实,正名芡实,因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强,故名。”某科研所为进一步改良肇实,为此对肇实的两个品种(分别称为品种A 和品种B )进行试验.选取两大片水塘,每大片水塘分成n 小片水塘,在总共2n 小片水塘中,随机选n 小片水塘种植品种A ,另外n 小片水塘种植品种B .

(1)假设n =4,在第一大片水塘中,种植品种A 的小片水塘的数目记为ξ,求ξ的分布列和数学期望;

(2)试验时每大片水塘分成8小片,即n =8,试验结束后得到品种A 和品种B 在每个小片水塘上的每亩产量(单位:kg/亩)如下表:

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该种植哪一品种?(12分)

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20、甲、乙两同学进行下棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分(无平局),比赛进

行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止,设甲在每局中获胜的概率为

1

()

2p p >,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5

8.

(I )如右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分S ,T 的程序框图. 其中如果甲获胜,输人a=l .b=0;如果乙获胜,则输人a=0,b=1. 请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件?(Ⅱ)求p 的值; (Ⅲ)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量ξ的分布列和.E ξ 【解析】(Ⅰ)程序框图中的①应填2M =,②应填8n =.