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圆培优经典题

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第七课圆的基本性质

几何定义:线段AB绕点A旋转一周得到的图形叫做圆,其中,点A为圆心,AB为半径。

集合定义:平面内到固定点等于定长的点的集合。

弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径

弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以A、C为端点的弧记作AC”,读作“圆弧AC”或“弧

AC”.大于半圆的弧(如图所示ABC叫做优弧,?小于半圆的弧(如图所示)AC或BC叫做劣弧.注意:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.

垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,?并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用.

圆心角:顶点在圆心,两边与圆相交的角,叫做圆心角。

弧度:圆弧所对应的圆心角。

有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中,?相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

定理的推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,?那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.

圆周角:顶点在圆上,两边与圆相交的角,叫做圆周角。

圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,?都等于这条弦所对的圆心角的一半.

圆周角定理推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。

例1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中CD,点O是CD的圆心,?其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图24-5所示,正常水位下水面宽AB=?60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由.

例3.如图,点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上,BC 是直径,AD=DC

例4.如图,⊙O 的弦AB 、半径OC 延长交于点

D ,BD=OA 求∠

例5.如图已知BC 为直径,G 为半圆上任一点,A 为?BG 中点,AP ⊥BC 于P ,求证:AE=BE=EF 。

课堂同步:

1.如图,如果AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,那么下列结论中,?错误的是( ).

A .CE=DE

B .B

C B

D = C .∠BAC=∠BAD D .AC>AD

2.如图,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是( )

A .4

B .6

C .7

D .8

3.如图,在⊙O中,P是弦AB的中点,CD是过点P的直径,?则下列结论中不正确的是()A.AB⊥CD B.∠AOB=4∠ACD C.AD BD

D.PO=PD

4.下列命题中,真命题的个数为()

①顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③900的圆周角所对的弦是直径;

④直径所对的角是直角;⑤圆周角相等,则它们所对的弧也相等;⑥同弧或等弧所对的圆周角相等.

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

5.如果两个圆心角相等,那么()

A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对

6.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB与CD关系是()

A.AB=2CD

B.AB>CD

C.AB<2CD

D.不能确定

7.如图,⊙O中,如果AB=2AC,那么()

A.AB=AC B.AB=AC C.AB<2AC D.AB>2AC

8.如图,A, B, C, D 是同一个圆上的顺次四点,则图中相等的圆周角共有()

A.2对

B.4 对

C.8 对

D.16对

9.如图,MN是半圆O的直径,K是MN延长线上一点,直线KP交半圆于点Q,P.若∠K=200,∠PMQ =400,

则∠MQP等于()

A. 300

B. 350

C. 400 D . 500

10.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,且AB≠AC,∠ABC 和∠ACB的平分线分别交⊙O于点D, E,且BD=CE,

则∠A 是( )

A.300

B.450

C.600

D.900

11.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

12.如图,AB为⊙O直径,E是BC中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=_____.

13.P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________;?最长弦长为_______.

14.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_____.

15.如图,A, B, C, D是⊙O上的点,已知∠1=∠2,则与AD相等的弧是,与BCD相等的弧是,于是AD= , BD= .

16.如图,以ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆,分别交BC、AD于E、F,若∠D=50°,

求BE的度数和EF的度数.

17.如图, AB是⊙O的直径,C, D是AB上的点,且AC=BD; P,Q是⊙O上在AB同侧的两点,且AP BQ

=, 延长PC, QD分别交⊙O于点M, N.求证:AM BN

=.

18.如图,Rt△ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E,求AB、AD的长。

19.如图,BC 是⊙O 的直径,弦 AE ⊥BC ,垂足为点D,12

AB BF =,AE 与BF 相交于点G. 求证:(1)BE EF =;(2)BG=GE

课后练习:

1.如果两条弦相等,那么( )

A .这两条弦所对的弧相等

B .这两条弦所对的圆心角相等

C .这两条弦的弦心距相等

D .以上答案都不对

2.在⊙O 中,圆心角∠AOB=90°,点O 到弦AB 的距离为4,则⊙O 的直径的长为( )

A .42

B .82

C .24

D .16

3.下列说法正确的是( )

A .顶点在圆上的角是圆周角

B .两边都和圆相交的角是圆周角

C .圆心角是圆周角的2倍

D .圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

4.下列说法错误的是( )

A .等弧所对圆周角相等

B .同弧所对圆周角相等

C .同圆中,相等的圆周角所对弧也相等

D .同圆中,等弦所对的圆周角相等

5.如图,已知AB 是半圆O 的直径,∠BAC=200

, D 是AC 上任意一点,则∠D 的度数是( )

A . 1200 B. 1100 C .1000 D. 900

6.如图所示的暗礁区,两灯塔A, B 之间的距离恰好等于圆的半径,为了使航船(S )不进入暗礁区,那么S 对两灯塔A, B 的视角∠ASB 必须 ( )

A .大于600

B .小于600

C .大于300

D .小于300

7.如图,AC 是⊙O 的直径,点B, D 在⊙O 上,那么图中等于12

∠BOC 的角有( )

A. l 个

B. 2 个

C.3 个

D. 4 个

8.如图,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距等于1,那么两个同心圆

的半径之比为()

A.3:2 B.5:2 C.5:2D.5:4

9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )

A.0条

B.1条

C.2条

D.4条

10.如图,已知AB 是⊙O的直径,CD与AB相交于点E,∠ACD=600,∠ADC=500 ,则∠AEC= .

11.已知3cm长的一条弦所对的圆周角是1350 , 那么圆的直径是

12.如图, AB, AC, AD是⊙O的三条弦,E是AB上一点,AD是∠BAC的平分线,且∠BAC=600,则∠BED

13.在⊙O中,直径CD=15cm,弦AB⊥CD于点M,OM∶MD=3∶2,则AB的长是

14.若圆中一弦与弦高之和等于直径,弦高长为1,则圆的半径长为

15.圆内一弦与直径相交成300的角,且分直径为1 cm和5 cm两段,则此弦长为

16.如图,A, B, C为⊙O上三点,∠BAC=1200,∠ABC=450 , M, N 分别为BC, AC的中点,则OM:ON的值为

17.如图,⊙O中,半径CO垂直于直径AB,D为OC的中点,过D作弦EF∥AB,则∠CBE=

18.如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,过C、D分别作CN⊥CD、DM?⊥CD,?分别交AB于N、M,请问图中的

AN与BM是否相等,说明理由.

19.如图,∠AOB=90°,C、D是AB三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F,求证:AE=BF=CD.

20.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.

21.如图, A, B, C, D四点都在⊙O上, AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD.求弦AC的长.

22.如图,⊙O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA=1:4, 求工件半径的长.

23.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.

24.如图,AB是半圆的直径,AC为弦,OD⊥AB,交AC于点D,垂足为O,⊙O的半径为4,OD=3,求CD的长.

25.半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?

26.如图,公路MN和公路PQ在P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m.假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/时,那么学样受影响的时间为多少秒?

27.如图,在⊙O中,两弦AC、BD垂直相交于M,若AB=6,CD=8,求⊙O的半径。

能力提高:

1.在半径为1的⊙O中,弦AB、AC的长分别为2和3,则∠BAC的度数为

2.AB是⊙O的直径,AC、AD是⊙O的两弦,已知AB=16,AC=8,AD=?8,?求∠DAC的度数.

3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=2∠A ,BM平分∠ABC交外接圆于点M , ME//BC交AB于点E.试判断四边形EBCM的形状,并加以证明.

4.已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD,AB将CD分成3cm和7cm两部分,求:圆心O到弦AB的距离.

5.如图,点A是半圆上的三等分点,B是BN的中点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上

什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.

6.如图,在△ABC中,AD, BE, CF是三条高,交点为H,延长AH交外接圆于点M,试证:DH =DM

7.如图,⊙O的半径为10cm,G是直径AB上一点,弦CD经过点G,CD=16cm,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,求AE-BF的值。

8.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC的平分线交BC于D,交⊙O于E,且AC=6,AB=8,求CE的长。

第八课 与圆有关的位置关系(1)

点与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系:

r d r d r

d ?点在圆内点在圆上点在圆外)3()2()1( r d r d r d ?直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离)3()2()1(

①直线和圆没有公共点,叫做直线和圆相离;

②直线和圆有唯一公共点,叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点。 ③直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线。

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线的判定有两种方法.

①若直线与圆有公共点,连圆心和公共点成半径,证明半径与直线垂直即可.

②若直线和圆公共点不确定,过圆心做直线的垂线,证明它是半径(利用定义证)。根据不同的条件,选择不同的添加辅助线的方法是极重要的.

切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径

切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角(三角形中用周长和内切圆的半径表示面积,直角三角形中用边关系表示内切圆半径)

弦切角:顶点在圆上,一边与圆相切,一边与圆相交的角。

圆内接三角形:顶点在圆上的三角形,叫做圆内接三角形。

三角形外接圆的画法:作三角形三边的中垂线,三条中垂线的交点即为外接圆的圆心,简称外心。 三角形的内切圆:与三角形三边相切的圆,叫做三角形的内切圆。

三角形内切圆的画法:作三角形三个角的平分线,三条角平分线的交点即为内切圆的圆心,简称内心。

例1.已知三角形ABC 内接于⊙O ,过点A 作直线EF .

(1)如图(1)所示,AB 为直径,要使得EF 是⊙O 的切线,还需添加的条件是(?只需写出三种情况): ①___________或②_____________或 ③______________________;

(2)如图(2)所示,AB 为非直径的弦,∠CAE=∠B ,求证:EF 是⊙O 的切线.

例2.如图,∠PAQ 是直角,半径为5的⊙O 与AP 相切于点T,与AQ 相交于两点B 、C.

(1)BT 是否平分∠OBA?证明你的结论.

(2)若已知AT=4,试求AB 的长.

例3.如图,P 为⊙O 外一点,PO 交⊙O 于C ,过⊙O 上一点A 作弦AB ⊥PO 于E ,若

∠EAC=∠CAP ,求证:PA 是⊙O 的切线.

例4.如图,AB 是⊙O 的弦,OA OC ⊥交AB 于点C ,过B 的直线交OC 的延长线于点E ,当BE CE =时,

直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系?请说明理由.

课堂同步:

1.若⊙A 的半径为5,圆心A 的坐标是(3,4),点P 的坐标是(5,8),你认为点P 的位置为( )

A.在⊙A 内

B.在⊙A 上

C.在⊙A 外

D.不能确定

2.已知△ABC 中,∠C=90°,AB=5,周长等于12,则它的内切圆的半径为( )

A.1

B.2

C.2.5

D.3.5

3.平面直角坐标系中,点A (3,4),以点A 为圆心,5为半径的圆与直线y=-x 的位置关系是( )

A.相离

B.相切

C.相交

D.以上都有可能

4.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长36,以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )

A.相离

B.相交

C.相切

D.不能确定

5.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O 为圆心,6cm 为半径的圆与直线AB 的位置关系是( )

A.相交

B.相切

C.相离

D.不能确定

6.给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中真命题共有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

7.如L 是⊙O 的切线,要判定AB ⊥L,还需要添加的条件是( )

A.AB 经过圆心O

B.AB 是直径

C.AB 是直径,B 是切点

D.AB 是直线,B 是切点

8.设⊙O 的直径为m,直线L 与⊙O 相离,点O 到直线L 的距离为d,则d 与m 的关系是( ) A.d=m B.d>m C.d>2m D.d<2

m 9.在平面直角坐标系中,以点(-1,2)为圆心,1为半径的圆必与( )

A.x 轴相交

B.y 轴相交

C.x 轴相切

D.y 轴相切

10.如图,AB 、AC 为⊙O 的切线,B 、C 是切点,延长OB 到D,使BD=OB,连接AD,如果

∠DAC=78°,那么∠ADO 等于( )

A.70°

B.64°

C.62°

D.51°

11.如图,P(x ,y)是以坐标原点为圆心,5为半径的圆周上的点,若x 、y 都是整数,猜想这样的P 点一共有( )

A.4个

B.8个

C.12个

D.16个

12.如图,四边形ABCD内接于⊙O,则x=

13.如图,AB是⊙O的弦,AC切⊙O于点A,且∠BAC=45°,AB=2,则⊙O的面积为

14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点,则R的取值范围是

15.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于____度.

16.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°,点C是优弧AB上的一点,则∠ACB的度数

为_______

17.如图,⊙O为△ABC的内切圆,D、E、F为切点,∠DOB=73°,∠DOE=120°, 则∠DOF=_______度,

∠C=______度,∠A=_______度.

18.如图,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作⊙C,半径为r。

(1)当r取什么值时,点A、B在⊙C外.

(2)当r在什么范围时,点A在⊙C内,点B在⊙C外.

19.如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,过C作半圆的切线,连接AC, 作直线AD,使∠DAC=∠CAB,AD

交半圆于E,交过C点的切线于点D.

(1)试判断AD与CD有何位置关系,并说明理由;

(2)若AB=10,AD=8,求AC的长.

课后练习:

1.图中∠BOD的度数是() A.55° B.110° C.125° D.150°

2.下列说法不正确的是( )

A.和圆有两个公共点的直线与圆心的距离小于圆的半径;

B.直线l上一点到圆心的距离等于半径,则l与圆有公共点;

C.圆的切线只有一条;

D.和圆有两个公共点的直线与圆相交

3.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边,则该三角形为( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等边三角形

4.如图,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°,过点C的切线PC与AB的延长线交于点P,那么∠P 等于() A. 15° B.20° C.25° D.30°

5.如图,AB与⊙O切于点B,AO=6cm,AB=4cm,则⊙O?的半径为()

A...

6.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了点与点的距离,?点到直线的距离.类似地,如图,若P是⊙O外一点,直线PO交⊙O 于A、B两点,PC?切⊙O于点C,则点P到⊙O的距离是()

A.线段PO的长度 B.线段PA的长度 C.线段PB的长度 D.线段PC的长度

7.如图,已知∠BAC=45°,一动点O在射线AB上运动(点O与点A不重合),设OA=x,如果半径为1的⊙O 与射线AC有公共点,那么x的取值范围是().

A.2

1<

< C.2

x

≤ D.2

1≤

x

0≤

≤x B.2

x

8.M是⊙O内一点,已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm,最短的弦长为8 cm,则OM=___ cm.

9.为改善市区人民生活环境,市建设污水管网工程,某圆柱型水管的直径为100 cm,截面如图,若管内污水的面宽AB=60 cm,则污水的最大深度为_____ cm.

10.如图,方格纸上一圆经过(2,6)、(-2,2)、(2,-2)、(6,2)四点,?则该圆圆心的坐标为_____

11.如图,已知直线CD与⊙O相切于点C,AB为直径,若∠BCD=?40°,则∠ABC的大小等于_______(度).

12.直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距离为7,则r的取值范围是_________

13.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2cm?为半径作⊙M,?当OM=______cm时,⊙M与OA相切.

14.如图,BC为半⊙O的直径,点D是半圆上一点,过点D作⊙O?的切线AD,BA⊥DA于A,BA交半圆于E,已知BC=10,AD=4,那么直线CE与以点O为圆心,2.5为半径的圆的位置关系是________

15.如图,某部队在灯塔A的周围进行爆炸作业.A周围3km内的水域为危险区域,有一鱼船误入离A处2km的B处,为了尽快驶离危险区域,该船应沿哪个方向航行(要求给予证明)?

16.王奶奶有一块三角形的布料,∠ABC=90°,她要裁成一个圆片,已知AB=60cm,BC=80cm,为了充分地利用这块布料,使剪下来的圆片的直径尽量大些,她应该怎样裁剪?这个圆的直径是多少?

17.已知△ABC的内心为点O,∠BOC=110°,求∠A的大小。

18.如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长BD 到点C ,使DC=BD ,连结AC ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E .

(1)求证:AB=AC ;(2)求证:DE 为⊙O 的切线;(3)若⊙O 的半径为5,∠BAC=600,求DE 的长.

19.已知,如图,⊙D 交y 轴于A 、B,交x 轴于C ,过C 的直线:822--=x y 与y 轴交于P.

(1)求证:PC 是⊙D 的切线;(2)判断在直线PC 上是否存在点E ,使得S △EOC =4S △CDO ,若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.

20.在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,AC=5,BC=12,⊙O 的半径为3.

(1)若圆心O 与C 重合,则⊙O 与AB 有怎样的位置关系?

(2)若点O 沿CA 移动,当OC 等于多少说,⊙O 与AB 相切?

21.在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠BAC 的平分线交BC 于D ,E 为AB 上一点,DE=DC ,以D 为圆心,DB 长为半径做⊙D 。求证:

(1)AC 是⊙D 的切线;(2)AB+EB=AC 。

能力提高:

1.如图是小明完成的.作法是:取⊙O 的直径AB ,在⊙O 上任取一点C 引弦CD ⊥AB.当C 点在半圆上移动时(C 点不与A 、B 重合),∠OCD 的平分线与⊙O 的交点必( )

A.平分弧AB

B.三等分弧AB

C.到点D 和直径AB 的距离相等

D.到点B 和点C 的距离相等

2.如图,已知PA 切⊙O 于A ,割线PBC 经过圆心O ,OB=PB=1,OA 绕点O?逆时针旋转60°到OD ,则PD 的长为( )

3.如图,⊙M 与x 轴相交于点A (2,0),B (8,0),与y 轴相切于点C ,则圆心M?的坐标是_______.

4.如图所示,60APB ∠=,半径为a 的O 切PB 于P 点.若将O 在PB 上向右滚动,则当滚动到O 与PA 也相切时,圆心O 移动的水平距离是

5.如图,A 是以BC 为直径的⊙O 上一点,AD ⊥BC 于点D ,过点B 作⊙O 的切线,与CA 的延长线相交于点E ,G 是AD 的中点,连结OG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF?与CB 的延长线相交于点P .

(1)求证:BF=EF ;

(2)求证:PA 是⊙O 的切线;

(3)若FG=BF ,且⊙O 的半径长为BD 和FG 的长度.

人教数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题(含答案)附答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点一次落在直线y x =上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y x =于点M,BC边交x轴于点N(如图). (1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积; (2)旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的度数; (3)设MBN ?的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中,p值是否有变化?请证明你的结论. 【答案】(1)π/2(2)22.5°(3)周长不会变化,证明见解析 【解析】 试题分析:(1)根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积; (2)解决本题需利用全等,根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数; (3)利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子. 试题解析:(1)∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,直线y=x与y轴的夹角是45°, ∴OA旋转了45°. ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 2 452 3602ππ ? =. (2)∵MN∥AC, ∴∠BMN=∠BAC=45°,∠BNM=∠BCA=45°. ∴∠BMN=∠BNM.∴BM=BN. 又∵BA=BC,∴AM=CN. 又∵OA=OC,∠OAM=∠OCN,∴△OAM≌△OCN. ∴∠AOM=∠CON=1 2(∠AOC-∠MON)= 1 2 (90°-45°)=22.5°. ∴旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°.(3)在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化. 证明:延长BA交y轴于E点, 则∠AOE=45°-∠AOM,∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM, ∴∠AOE=∠CON. 又∵OA=OC,∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN.

圆培优题

六年级上册圆培优题 圆 ?易错题 1、两个圆的半径比是2:3,他们的直径比是( ),周长比是( )。 2、一个圆的直径扩大到原来的2倍,它的半径就扩大到原来( )倍,它的周长扩大到原来的( )倍。 3、一座石英钟的时针长6cm ,经过6小时,这时针的尖端所走的路程是( )cm ,经过12小时,这时针的尖端所走的路程是( )cm 4、周长相等的正方形,长方形和圆,面积最大的是( ),最小的是( )。 5、将一个圆,沿半径剪开,得到若干个小扇形,然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长是圆的( ),宽是圆的( )。如果这个长方形的宽是3cm ,那么这个长方形的长是( )cm,周长是( )cm ,面积是( )平方厘米。如果拼成的长方形的长为12.56dm ,那么原来圆的面积是( )cm 2 6、小圆的半径是大圆半径的3 1,小圆的面积是大圆面积的( )。 7、一张正方形的周长是16分米,把它剪成一个最大的圆,剪去部分的面积是( )平方分米。 8、有一半圆的周长是25.7cm ,它的面积是( )平方厘米。 9、在一块直径是1.2米的圆形桌布周围缝在一条花边,接头处长6厘米,这条花边长( )米。 10、用一根12.56dm 长的铁丝弯成一个圆形铁环,这个铁环的直径是( )dm ,面积是( )dm 2 求阴影部分的面积与周长

例1、求下面图形中阴影部分的面积与周长。 练2、.如图,四个扇形的半径相等, 3、如图所示,正方形的面积是18dm2,求阴影部分的面积。(单位:厘米) 求圆的面积。

4、.如图,大正方形的边长为6厘米,小正方形的边长为4厘米求阴影部分的面积。 5、求阴影部分的面积。(单位:厘米) 半圆的周长 例1、有一个半圆形的零件如图所示,周长是25.7厘米,求这个半圆形零件的面积。 练1、如图所示,这个四分之一园的周长是17.85厘米,求它的面积。

最新圆的专项培优练习题及答案

《圆》的专项培优练习题 1.如图一,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是EB的中点,则下列结论不成 立的是() A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE 图一图二图三2.如图二,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为() A.4 B.C.6 D. 3.四个命题: ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分; ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等; ③点P(1,2)关于原点的对称点坐标为(-1,-2); ④两圆的半径分别是3和4,圆心距为d,若两圆有公共点,则1

7.已知AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D. (1)如图①,当直线l与⊙O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小; (2)如图②,当直线l与⊙O相交于点E、F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小. 8.如图,AB为的直径,点C在⊙O上,点P是直径AB上的一点(不与A,B重合),过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D,使DQ=DC,连接DC,试判断CD 与⊙O的位置关系,并说明理由。 9.如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA 的平行线与AF相交于点F,CD=,BE=2. 求证:(1)四边形FADC是菱形;(2)FC是⊙O的切线.

圆精典培优竞赛题(含详细答案)

圆培优竞赛 1.如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C、D,若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是() A 5 13 12 . 12 5 C 3 13 5 D 2 13 3 【答案】B. 【解析】 试题分析:如答图,连接PO,AO,取AO中点G,连接AG,过点A作AH⊥PO于点H,∵PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E, ∴PA=PB,CA=CE,DB=DE,∠APO=∠BPO,∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r,∴PA=PB=3 r 2 . ∵⊙O的半径为r,∴在Rt△APO中,由勾股定理得 2 2 313 PO t r 2 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO=. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴AH OH OA PA OA OP ==,即 AH OH 3r13 r r 2 == ∴ 313213 AH OH=.∴ 13213513 GH GO OH =--. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 13 513 r H5∠=∠===. 故选B.

考点:1.切线的性质;2.切线长定理;3.勾股定理;4.相似三角形的判定和性质;5.锐角三角函数定义;6.直角三角形斜边上中线的性质;7.转换思想的应用. 2.如图,以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上,小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数,则R、r的值可能是( ). =5,r=2 =4,r=3/2 =4,r=2 =5,r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用,在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中,看是否满足条件。 做圆心O 和正方形中心O。设正方形边长为a。设AB中点为H,连接OH并延长,交大圆于点J

圆的培优题

圆有关知识练习 1.半圆周长为25.7厘米,半径是()分米,面积是()平方分米。 2.圆周长是直径的()倍。 3.半径是3厘米的半个圆周长是(),直径是3厘米的半圆周长是()。 4.圆半径扩大5倍,直径扩大()倍,面积扩大()倍。 5.挂表的分针长10厘米,从8:00到12:00分钟走了()厘米,时针走了()圈。 6.()决定圆的位置,()决定圆的大小。 7.圆有()对称轴。 二、请你来当小裁判。 1、圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。() 2、当圆的半径等于2分米时,这个圆的周长和面积相等。() 3、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长一定也相等. ( ) 4、同一个圆的直径一定是半径的2倍。() 5、两端都在圆上的线段,直径是最长的一条。() 6、半圆的周长是圆周长的一半。() 三、选一选。(选择正确答案的序号填在括号里) 1、圆周率π()3.14。A、大于B、等于C、小于 2、下面各图形中,对称轴最多的是()。A、等腰三角形B、正方形C、圆 3、一个圆的周长是31.4分米,这个圆的面积是()分米2。 A、314 B、78.5 C、15.7

4、一个半圆,半径是r,它的周长是()。 A、πr + 2r B、πr C、π/4 5、周长相等的正方形、长方形和圆,()的面积最大。 A、正方形 B、长方形 C、圆 四.解决问题 (1)电视塔的圆形塔底半径为15米,现在要在它的周围种上5米宽的环形草坪(如下图): ①需要多少平方米的草坪? ②如果每平方米草坪需用50元,那么植这块草坪至少需要多少元? (2)已知以圆的半径为边长的正方形的面积是20平方厘米。求阴影面积。 (3)有一根6厘米长的绳子,它的一端固定在长是2厘米、宽是1厘米的长方形的一个顶点A处(如图),让绳子另一端C与边AB在一条线上,然后把它按顺时针方向绕长方形一周,绳子扫过的面积是多少? (4)有三个面积都是6平方厘米的圆,两两相交(如图),交点都在圆心上。求阴影部分 面积。

圆的培优专题

第4题 第5题 第6题 第1题 第2题 第3题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图,△ABC 内有一点D ,DA =DB =DC ,若∠DAB =20?,∠DAC =30?, 则∠BDC = . 2、如图,AE =BE =DE =BC =DC ,若∠C =100?,则∠BAD = . 3、如图,四边形ABCD 中,AB =AC =AD ,∠CBD =20?,∠BDC =30?,则 ∠BAD = . 解题策略:通过添加辅助圆,把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题,思维更明朗! 4、如图,□ABCD 中,点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点,若∠D =60?, 则∠AEC = . 5、如图,O 是四边形ABCD 内一点,OA =OB =OC ,∠ABC =∠ADC =70?, 则∠DAO +∠DCO = . 6、如图,四边形ABCD 中,∠ACB =∠ADB =90?,∠ADC =25?,则∠ABC = . 解题策略:第6题有两个直角三角形共斜边,由直角所对的弦为直径,易得到ACBD 共圆.

第10题 第11题 第12题 第7题 第8题 第9题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图,AB 为⊙O 的直径,C 为AB 的中点,D 为半圆AB 上一点,则∠ADC = . 8、如图,AB 为⊙O 的直径,CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ,则∠ABC = . 9、如图,AB 为⊙O 的直径,3BC AC =,则∠ABC = . 解题策略:以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径! 10、如图,AB 为⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,∠BAC =50?,则∠ADC = . 11、如图,⊙O 的半径为1,弦AB =2,弦AC =3,则∠BOC = . 12、如图,PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线,PAB 过圆心O ,若AC CD =,∠P =30?, 则∠BDC = . (设∠ADC =x ,即可展开解决问题) 解题策略:在连接半径时,时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形,是解题的另一个关键点! 圆的四接四边形的外角等于内对角,是一个非常好用的一个重要性质!

中考数学《圆》精选基础题经典培优专题训练(含有答案解析)

九年级上册数学《圆》专项训练 一、选择题(每小题3分,共33分) 1.(2005·资阳)若⊙O 所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最 小距离为b(a>b),则此圆的半径为() A. 2 b a+ B. 2 b a- C. 2 2 b a b a- + 或D.b a b a- +或 2.(2005·浙江)如图24—A—1,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是() A.4 B.6 C.7 D.8 3.已知点O为△ABC的外心,若∠A=80°,则∠BOC的度数为() A.40°B.80°C.160°D.120° 4.如图24—A—2,△ABC内接于⊙O,若∠A=40°,则∠OBC的度数为() A.20°B.40°C.50°D.70° 5.如图24—A—3,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为() A.12个单位B.10个单位 C.1个单位D.15个单位 6.如图24—A—4,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠B=60°,则∠A等于()A.80°B.50°C.40°D.30° 7.如图24—A—5,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=5,则△PCD的周长为() A.5 B.7 C.8 D.10 8.若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为4m,母线长为3m,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是() A.2 6m B.2 6m πC.2 12m D.2 12m π 9.如图24—A—6,两个同心圆,大圆的弦AB与小圆相切于点P,大圆的弦 CD经过点P,且CD=13,PC=4,则两圆组成的圆环的面积是() A.16πB.36πC.52πD.81π 10.已知在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,那么△ABC的内切圆的半径为 () 图24—A—5 图24—A—6 图24—A—1 图24—A—2 图24—A—3 图24—A—4

圆精典培优竞赛题(含详细答案)

圆培优竞赛 1.如图,PA 、PB 切③O 于A 、B 两点,CD 切OO 于点E,交PA, PB 于C 、D,若。 O 的半径为r, △ PCD 的周长等 PA=PB, CA=CE, DB=DE, Z APO= Z BPO, Z OAP=90 o. ???△PC D 的周长等于 3r, PA=PB= ?? O O 的半径为 r, .??在 Rt △ APO 中,由勾股定理得 713 GO 」r . 4 . Z OHA= Z OAP=90 o, Z HOA= Z AOP, . HOA AOP. . 考点:1.切线的性质;2.切线长定理;3.勾股定理;4.相似三角形的判定和性质; 三角函数定义;6.直角三角形斜边上中线的性质; 7.转换思想的应用. 3r,贝U tan / APB 的值是( ) 连接 PO, AO,取AO 中点 B 两点,CD 切③。于点 G,连接AG,过点A 作AH ± PO 于点 E, L 2 3 而 PO 」t —r ---- r 2 2 .AH OH PA OA AH OH r 3 r J13 —r ----- r 2 2 ' . 3血 2寸13 AH ---------- r , OH ----------- r . 13 13 2而 5/13 GH GO OH ---- r ------- r ------- r 4 13 52 ???/ AGH=2 Z APO= Z APB, AH tan APB tan AGH GH 3 13 13「12 5.13 5 52 r 5.锐角 【答案】B. 【解析】 试题分析:如答图, H, . ? PA 、PB 切③ O 于 D. 故选B. H

初一数学上培优试题(绝对经典)汇编

培优数学试题 1、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为0,b a , b 的形式,求20062007a b +。 2、三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且|||| || ||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则32 1ax bx cx +++的值是多少? 3、 若|||||| 0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少? 4、如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 5、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 22006200()()()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 6、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数,求321a b +-的值。

7、(1)123456-+-+-+…20012002+-的值是__________________。 (2)如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所 示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( ) A.2a B.2a - C.0 D.2b (3)已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 8、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 9、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。 10、已知|a b -2|与|a -1|互为相互数,试求下式的值. ()()()()()()1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++

圆的培优专题含解答

第7题 第8题 第9题 第4题 第5题 第6题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图,△ABC 内有一点D ,DA =DB =DC ,若∠DAB =20?,∠DAC =30?, 则∠BDC = . (∠BDC = 1 2 ∠BAC =100?) 2、如图,AE =BE =DE =BC =DC ,若∠C =100?,则∠BAD = . (50?) 3、如图,四边形ABCD 中,AB =AC =AD ,∠CBD =20?,∠BDC =30?,则 维更明朗! 4、如图,□ABCD 中,点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点,若∠D =60?, 则∠AEC = . (∠AEC =2∠B =2∠D =120?) 5、如图,O 是四边形ABCD 内一点,OA =OB =OC ,∠ABC =∠ADC =70?, 则∠DAO +∠DCO = . (所求=360?-∠ADC -∠AOC =150?) 6、如图,四边形ABCD 中,∠ACB =∠ADB =90?,∠ADC =25?,则∠ABC = . (∠ABC =∠ADC =25?) 解题策略:第6题有两个直角三角形共斜边,由直角所对的弦为直径,易得到ACBD 共圆. 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图,AB 为⊙O 的直径,C 为AB 的中点,D 为半圆AB 上一点,则∠ADC = . 8、如图,AB 为⊙O 的直径,CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ,则∠ABC = . 9、如图,AB 为⊙O 的直径,3BC AC =,则∠ABC = .

第10题 第11题 第12题 答案:7、45?; 8、30?; 9、22.5?; 10、40?; 11、150?; 12、110? 解题策略:以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径! 10、如图,AB 为⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,∠BAC =50?,则∠ADC = . 11、如图,⊙O 的半径为1,弦AB ,弦AC ∠BOC = . 12、如图,PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线,PAB 过圆心O ,若AC CD =,∠P =30?, 则∠BDC = . (设∠ADC =x ,即可展开解决问题) 解题策略:在连接半径时,时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形,是解题的另一个关键点! 圆的四接四边形的外角等于内对角,是一个非常好用的一个重要性质! 圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算 1、如图,AB 是⊙O 的弦,OD ⊥AB ,垂足为C ,交⊙O 于点D ,点E 在⊙O 上,若∠BED =30?,⊙O 的半径为4,则弦AB 的长是 . 略解:∵OD ⊥AB ,∴AB =2AC ,且∠ACO =90?, ∵∠BED =30?,∴∠AOC =2∠BED =60? ∴∠OAC =30?,OC = 1 2 OA =2,则AC =AB =2、如图,弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ,OA =5,AB =6,则BC = . 略解:∵直径CD ⊥弦AB ,∴AE =BE =1 2 AB=3 ∴OE 4=,则CE =5+4=9

圆精典培优竞赛题(含详细答案)

培优竞赛 试题分析:如答图,连接PO, AO,取AO 中点G,连接AG,过点A 作AH 丄PO 于 点H, ???PA 、PB 切OO 于A 、B 两点,CD 切OO 于点巳 /.PA=PB f CA=CE, DB 二DE,上APO 二上BPO, ZOAP=90°. v Z OHA=ZOAP=90°z / HOA=Z AOP, /. A HOA<^ A AOP. = — = PA OA OP AAH = ^r. OH = ^r.AGH = GO-OH = ^r-^r = ^r. 13 13 4 13 52 ??? z AGH=2 z APO= z APB.二 tanZAPB = tanZAGH =—= 丄 =—? GH 5>/13 5 52 F 考点:1沏线的性质;2?切线长定理;3?勾股定理;4?相似三角形的判定和性质;5?锐角 三角函数定义;6?直角三角形斜边上中线的性质;7?转换思想的应用.1. 如图,PA 、PB 切OO 于A 、B 两点, CD 切OO 于点E,交PA, PB 于C 、D,若 △PCD 的周长等于3r, 则tonZAPB 的值是( C. -^3 D. -V13 ???△PCD 的周长等于3r, /,PA=PB=-r. 2 vOO 的半径为r,???在RtAAPO 中,由勾股定理得PO = AH OH 2 OO 的半径为 【答案】 B. 【解析】 4 2

2. 如图,以PQ 二2r(r€Q)为直径的圆与一个以R(R€Q)为半径的圆相切于点P ?正方形 ABCD 的顶点A 、B 在大圆上,小圆在正方形的外部旦与边CD 切于点Q.若正方形的 边长为有理数,则R 、「的值可能是()? A.R 二5, r 二2 B.R 二4, r 二3/2 C.R 二4, r 二2 D.R 二5, r 二3/2 【答案】D 【解析】 本题老查圆和勾股定理的综合应用,在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中,看是否满足条件。 做圆心0'和正方形中心。。设正方形边长为a 。设A3中点为连接并延长, 交大圆于点丿 将各个选项数据代入,知D 正确。 3. 如图,RtAABC 中,上090° , AB 二5, AC 二3,点E 在中线AD 上,以E 为圆心 的OE 分别与AB 、BC 相切,则0E 的半径为()? 所以 “+"+/?—

初三数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题附详细答案

初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题附详细答案 一、圆的综合 1.如图1,直角梯形OABC中,BC∥OA,OA=6,BC=2,∠BAO=45°. (1)OC的长为; (2)D是OA上一点,以BD为直径作⊙M,⊙M交AB于点Q.当⊙M与y轴相切时,sin∠BOQ=; (3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度,从点O沿线段OA向点A运动;同时动点D以相同的速度,从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动.当点P到达点A时,两点同时停止运动.过点P作直线PE∥OC,与折线O﹣B﹣A交于点E.设点P运动的时间为t (秒).求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标. 【答案】(1)4;(2)3 5 ;(3)点E的坐标为(1,2)、( 5 3 , 10 3 )、(4,2). 【解析】 分析:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),易证四边形OCBH是矩形,从而有OC=BH,只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可. (2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2),则有OH=2,BH=4,MN⊥OC.设圆的半径为r,则 MN=MB=MD=r.在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2,从而得到点D与点H重合.易证△AFG∽△ADB,从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG.设OR=x,利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x,进而可求出BR.在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题.(3)由于△BDE的直角不确定,故需分情况讨论,可分三种情况(①∠BDE=90°, ②∠BED=90°,③∠DBE=90°)讨论,然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题. 详解:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),则有∠BHA=90°=∠COA,∴OC∥BH.∵BC∥OA,∴四边形OCBH是矩形,∴OC=BH,BC=OH. ∵OA=6,BC=2,∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4. ∵∠BHA=90°,∠BAO=45°, ∴tan∠BAH=BH HA =1,∴BH=HA=4,∴OC=BH=4. 故答案为4. (2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2).

初三《圆》培优专题练习

O A E D B C F O A B C D P 初三《圆》培优专题练习 一、选择题 1、如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,已知∠B =60°,则∠CAO 的度数是( ) A .15° B .30° C . 45° D .60° 2.如图,弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ,垂足为H ,且CD =22,BD =3,则AB 的长为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 3. 下列命题中,真命题是 ( ) A .相等的圆心角所对的弧相等 B .相等的弦所对的弧相等 C .度数相等的弧是等弧 D .在同心圆中,同一圆心角所对的两条弧的度数相等 4.边长为2的等边三角形的外接圆的半径是( ) (A ) 3 3 (B ) 3 (C )2 3 (D )2 3 3 5,圆内接四边形ABCD 中,四个角的度数比可顺次为( ) (A )4:3:2:1 (B )4:3:1:2 (C )4:2:3:1 (D )4:1: 3:2 6.如图3,已知⊙O 的半径为5,点到弦的距离为3,则⊙O 上到弦所在直线的距离为2的点有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 7、 ⊙O 的半径为10cm ,两平行弦AC ,BD 的长分别为12cm ,16cm ,则两弦间的 距离是( ) A. 2cm B. 14cm C. 6cm 或8cm D. 2cm 或14cm 8、 如图,⊙O 是?ABC 的外接圆,AO BC ⊥于F ,D 为AC ? 的中点,E 是BA 延长线上一点,∠=?D A E 114,则∠C A D 等于( ) A. 57° B. 38° C. 33° D. 28.5° 二、填空题 1、.已知圆O 的半径为6㎝,弦AB=6㎝,则弦AB 所对的 圆周角是 度。 2、一条弦分圆周为5:7,这条弦所对的圆周角的度数是 。 3、.弓形的半径为10cm ,弦长为12cm ,则弓形高为___________cm. 4、 如图,弦CD ⊥AB 于P ,AB=8,CD=8,⊙O 半径为5,则OP 长为________。 5.如图7所示,⊙O 的两弦AB 、CD 交于点P ,连接AC 、BD , 得S △ACP :S △DBP =16:9,则AC :BD

圆精典培优竞赛题(含详细问题详解)

实用文档 圆培优竞赛 1.如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E ,交PA,PB于C、D,若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是() A. 5 13 12 B. 12 5 C. 3 13 5 D. 2 13 3 【答案】B. 【解析】 试题分析:如答图,连接PO,AO,取AO中点G,连接AG,过点A作AH⊥PO于点H,∵PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E, ∴PA=PB,CA=CE,DB=DE,∠APO=∠BPO,∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r,∴PA=PB= 3 r 2 . ∵⊙O的半径为r,∴在Rt△APO中,由勾股定理得 2 2 313 PO t r r 22 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO r =. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴ AH OH OA PA OA OP ==,即AH OH 3r13 r r 2 ==. ∴ 313213 AH r,OH r ==.∴ 13213513 GH GO OH r r r =-=-=. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 r 13 513 r H5 ∠=∠===. 故选B. 考点:1.切线的性质;2.切线长定理;3.勾股定理;4.相似三角形的判定和性质;5.锐角三角函数定义;6.直角三角形斜边上中线的性质;7.转换思想的应用.

的顶点A 、B 在大圆上,小圆在形的外部且与边CD 切于点Q.若形的边长为有理数,则R 、r 的值可能是 ( ). A.R=5,r=2 B.R=4,r=3/2 C.R=4,r=2 D.R=5,r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用,在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中,看是否满足条件。 做圆心O '和形中心O 。设形边长为a 。设AB 中点为H ,连接OH 并延长,交大圆于点J a 2r R J O'O D B A C P Q 则连接OA .由勾股定理有22a OH R =-22 a JH R R =--所以2222 a r a R R R ++-=。 将各个选项数据代入,知D 正确。 3.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,点E 在中线AD 上,以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切,则⊙E 的半径为( ). 765B C E A

圆的专项培优练习题(含答案)

圆的专项培优练习题 1.如图1,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是EB的中点,则下列结论不成 立的是() A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE 图一图二图三2.如图2,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为() A.4 B C.6 D 3.四个命题: ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分; ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等; ③点P(1,2)关于原点的对称点坐标为(-1,-2); ④两圆的半径分别是3和4,圆心距为d,若两圆有公共点,则1

7.已知AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D. (1)如图①,当直线l与⊙O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小; (2)如图②,当直线l与⊙O相交于点E、F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小. 8.如图,AB为的直径,点C在⊙O上,点P是直径AB上的一点(不与A,B重合),过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D,使DQ=DC,连接DC,试判断CD 与⊙O的位置关系,并说明理由。 9.如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA 的平行线与AF相交于点F,BE=2. 求证:(1)四边形FADC是菱形;(2)FC是⊙O的切线.

圆培优经典题

圆培优经典题 第七课圆的基本性质 几何定义:线段AB绕点A旋转一周得到的图形叫做圆,其中,点A为圆心,AB为半径。 集合定义:平面内到固定点等于定长的点的集合。 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以A、C为端点的弧记作AC”,读作“圆弧AC”或“弧 AC”.大于半圆的弧(如图所示ABC叫做优弧,?小于半圆的弧(如图所示)AC或BC叫做劣弧.注意:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,?并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用. 圆心角:顶点在圆心,两边与圆相交的角,叫做圆心角。 弧度:圆弧所对应的圆心角。 有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中,?相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 定理的推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,?那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 圆周角:顶点在圆上,两边与圆相交的角,叫做圆周角。 圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,?都等于这条弦所对的圆心角的一半. 圆周角定理推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。 例1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中CD,点O是CD的圆心,?其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径. 例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图24-5所示,正常水位下水面宽AB=?60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由.

(完整版)初三数学圆的专项培优练习题(含答案)

初三数学圆的专项培优练习题(含答案) 1.如图1,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是?EB的中点,则下列结论不成立的是() A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE 图一图二图三2.如图2,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为() A.4 B.33C.6 D.23 3.四个命题: ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分; ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等; ③点P(1,2)关于原点的对称点坐标为(-1,-2); ④两圆的半径分别是3和4,圆心距为d,若两圆有公共点,则1

7.已知AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D. (1)如图①,当直线l与⊙O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小; (2)如图②,当直线l与⊙O相交于点E、F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小. 8.如图,AB为的直径,点C在⊙O上,点P是直径AB上的一点(不与A,B重合),过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D,使DQ=DC,连接DC,试判断CD 与⊙O的位置关系,并说明理由。 9.如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA 的平行线与AF相交于点F,CD=43,BE=2. 求证:(1)四边形FADC是菱形;(2)FC是⊙O的切线.

备战中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)附详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,在ABC 中,90ACB ∠=,BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ,过点D 作 DE AD ⊥交AB 于点E ,以AE 为直径作O . ()1求证:BC 是O 的切线; ()2若3AC =,4BC =,求tan EDB ∠的值. 【答案】(1)见解析;(2)1tan 2 EDB ∠=. 【解析】 【分析】 ()1连接OD ,如图,先证明OD//AC ,再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥,然后根据切线 的判定定理得到结论; ()2先利用勾股定理计算出AB 5=,设 O 的半径为r ,则OA OD r ==,OB 5r =-, 再证明BDO ∽BCA ,利用相似比得到r :()35r =-:5,解得15 r 8 = ,接着利用勾股定理计算5BD 2= ,则3CD 2=,利用正切定理得1 tan 12 ∠=,然后证明1EDB ∠∠=,从而得到tan EDB ∠的值. 【详解】 ()1证明:连接OD ,如图, AD 平分BAC ∠, 12∴∠=∠, OA OD =, 23∴∠=∠, 13∴∠=∠,

//OD AC ∴, AC BC ⊥, OD BC ∴⊥, BC ∴是O 的切线; () 2解:在Rt ACB 中,5AB ==, 设 O 的半径为r ,则OA OD r ==,5OB r =-, //OD AC , BDO ∴∽BCA , OD ∴:AC BO =:BA , 即r :()35r =-:5,解得158 r = , 158OD ∴= ,258 OB =, 在Rt ODB 中,5 2 BD == , 32 CD BC BD ∴=-= , 在Rt ACD 中, 3 12tan 132 CD AC ∠=== , AE 为直径, 90ADE ∴∠=, 90EDB ADC ∴∠+∠=, 190ADC ∠+∠=, 1EDB ∴∠=∠, 1 tan 2 EDB ∴∠=. 【点睛】 本题考查了切线的判定与性质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;也考查了圆周角定理和解直角三角形. 2.如图,已知Rt △ABC 中,C=90°,O 在AC 上,以OC 为半径作⊙O ,切AB 于D 点,且BC=BD . (1)求证:AB 为⊙O 的切线; (2)若BC=6,sinA= 3 5 ,求⊙O 的半径; (3)在(2)的条件下,P 点在⊙O 上为一动点,求BP 的最大值与最小值.

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