本文为word 版资料,可以任意编辑修 本文为word 版资料,可以任意编辑修
半角模型
已知如图:①∠2=1
2
∠AOB ;②OA =OB . O
A
B
E
F
123
连接FB ,将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置,连接F ′E ,FE ,
可得△OEF ≌△OEF ′ 43
21F'F
E
B
A
O
模型分析
∵△OBF ≌△OAF ′,
∴∠3=∠4,OF =OF ′.
∴∠2=12∠AOB ,
∴∠1+∠3=∠2
∴∠1+∠4=∠2
又∵OE 是公共边,
∴△OEF ≌△OEF ′.
(1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点;
(2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系;
(3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°.
模型实例
例1 已知,正方形ABCD 中,∠MAN=45°,它的两边分别交线段CB 、DC 于点M 、N .
(1)求证:BM+DN=MN .
(2)作AH ⊥MN 于点H ,求证:AH=AB .
证明:(1)延长ND 到E ,使DE=BM ,
∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB .
在△ADE 和△ABM 中,
??
???=∠=∠=BM DE B ADE AB AD
∴△ADE ≌△ABM .
∴AE=AM ,∠DAE=∠BAM
∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠NAD=45°.
∴ ∠MAN=∠EAN=45°.
在△AMN 和△AEN 中,
??
???=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A
∴△AMN ≌△AEN .
∴MN=EN .
∴BM+DN=DE+DN=EN=MN .
(2)由(1)知,△AMN ≌△AEN .
∴S △AMN =S △AEN .