一元一次不等式组知识点和题型总结

一元一次不等式与一元一次不等式组

一、不等式

考点一、不等式的概念

题型一 会判断不等式

下列代数式属于不等式的有 .

① -x ≥5 ② 2x-y ＜0 ③ ④ -3＜0 ⑤ x=3 ⑥ ⑦ x ≠5 ⑧02x 3-x 2＞+ ⑨ 题型二 会列不等式

根据下列要求列出不等式

①.a 是非负数可表示为 .

②.m 的5倍不大于3可表示为 .

③.x 与17的和比它的2倍小可表示为 .

④.x 和y 的差是正数可表示为 . ⑤.x 的 与12的差最少是6可表示为__________________.

考点二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数.

基本训练：若a ＞b ，ac ＞bc ，则c 0.

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。

基本训练：若a ＞b ，ac ＜bc ，则c 0.

4、如果不等式两边同乘以0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。

练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由3a>2得a> 理

352≥+x

53

322

2y x y x ++0

y x ≥+

由： . ②. 由a+7>0得a>-7 理

由： . ③.由-5a<1得a> 理

由： .

④.由4a>3a+1得a>1 理

由： . 2、若x ＞y ，则下列式子错误的是（ ）

A.x-3＞y-3

B. ＞

C. x+3＞y+3

D.-3x ＞-3y 3、判断正误

①. 若a ＞b ，b ＜c 则a ＞c. （ ） ②.若a ＞b ，则ac ＞bc. （ ）

③.若 ，则a ＞b. （ ）

④. 若a ＞b ，则 . （ ）

⑤.若a ＞b ，则 （ ）

⑥. 若a ＞b ，若c 是个自然数，则ac ＞bc. （ ）

考点三、不等式解和解集

1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

练习：1、判断下列说法正确的是（ ）

A.x=2是不等式x+3＜2的解

B.x =3是不等式3x ＜7的解。

C.不等式3x ＜7的解是x ＜2

D.x=3是不等式3x ≥9的解 2.下列说法错误的是（ ） A.不等式x ＜2的正整数解只有一个 B.-2是不等式2x-1＜0的一个解

2

2bc ac ＞）（）＞（1c b 1c a 2

2++51

-3x

3y 2

2bc ac ＞

C.不等式-3x ＞9的解集是x ＞-3

D.不等式x ＜10的整数解有无数个

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一 会求不等式的解集

练习：1、不等式x-8＞3x-5的解集是 . 2、不等式x ≤4的非负整数解是 . 3、不等式2x-3≤0的解集为 .

题型二 知道不等式的解集求字母的取值范围

2、如果不等式（a-1）x ＜（a-1）的解集是x ＜1，那么a 的取值范围是 .

3、若(a-1)x ＞1，

，则a 的取值范围是 . 考点四、解不等式

1、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

2、用数轴表示不等式解的方法

练习1、将下列不等式的解集在数轴上表示出来。

x ≥2 x ＜ - x ＜3的非负整数解 -2＜x ≤3

2、已知实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是（ ） A cb>ab B ac>ab C cb

3、将函数

的自变量x 的取值范围在数轴上表示出来.

二、一元一次不等式

考点一、一元一次不等式的概念

1-a 1x ＜

1-x 1y

32

一元一次不等式的定义：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整

式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

练习：1、判断下列各式是一元一次不等式的是 .

2.若

是关于x 的一元一次不等式，则m= . 3.若 是关于x 的一元一次不等式，则m= .

考点二、解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为1

练习：1、解不等式3x-2＜7，将解集在数轴上表示出来，并写出他的正整数解.

2.解下列不等式

① 4352+>-x x ② )1(2)3(410-≤--x x

③ ④

考点三、一元一次不等式的解和解集

1.一元一次不等式的解和解集

练习：1.已知关于x 的方程2x+4=m-x 的解为负数，则m 的取值范围是（ ）

A. B. C. m ＜4 D. m ＞4 2.不等式3x+2＞5的解集是（ ）

A. x ＞1

B.x ＜1

C. x ＞0

D.x ≥1 3、若不等式x-3（x-2）≤a 的解集为x ≥-1，则a=（ ）

4.若

51-x 2-m 1m 2＞）（+是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . 34m ＜34m ＞

03-x

1

x 23x 2＞②＞①+y 23-x ＞③3-3y x 51-x ＞⑤π④

≥51-3x 1

m 2＞+8x 1m 3x 3m

2＜）（++6

x 3-43x 2-1≥31-x 2-122x ≤+

2、一元一次不等式的特殊解

练习：1、求x+3＜6的所有正整数解.

2、求10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来.

3、设不等2x-a≤0只有3个正整数解，求这三个正整数.

4、不等式4x-1≤19的非负整数解的和是多少？

3、已知一元一次不等式的解或解集求不等式中的字母取值

练习：1、已知不等式x+8＞4x+m（m是常数）的解集是x＜3，则m= .

2、已知x=3是关于x的不等式3x-a＞5的解，则a的取值范围是.

3、已知关于x的方程2x+4=m-x的解为负数，则m的取值范围是.

4、关于x的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。

5、已知在不等式3x－a≤0的正整数解是1,2,3，求a的取值范围。

考点四、一元一次不等式和方程的综合题

练习：1、若不等式ax-2＞0的解集为x＜-2，则关于y的方程ay+2=0的解为（）

A. y=-1

B.y=1

C. y=-2

D. y=2

2、已知关于x的方程5x-6=3（x+m）的解为非负数，则m取何值？

考点五、一元一次不等式的应用

练习：1、福林制衣厂现有24名制作服装工人，?每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条．

（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？

（2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，?若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？

1、小颖准备用21元买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本。请你帮她算一算，他还可能买几支笔？最多能买几支笔呢？

2、某种商品进价150元，标价200元，但销量较小.为了促销，商场决定打折销售，若为了保证利润率不低于20%，那么至多打几折？.

考点六、一元一次不等式与一次函数

练习：1、如图1所示，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，则不等式kx+b ＜0的解集是（ ） A.x ＜0 B.0＜x ＜1 C.x ＜1 D.x ＞1

2、如图2所示，直线y=kx+b 与x 轴交于点A （-4,0），则当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）

3、一次函数y= 的图象如图3所示，当-3＜y ＜3时，x 的取值范围是（ ）

4、已知直线y=2x+k 与x 轴的交点为（-2,0），则关于x 的不等式2x+k ＜0

5、若一次函数y=kx=b(k,b 为常数，且k ≠0）的图像如图4所示，则关于x 3

的解集为 .

6、如图所示，已知函数y=-3x+6 ①当x 时，y ＞0 ②当x 时，y ＜0 ③当x 时，y=0

3

x 23

-

④当x 时，y ＞6 ⑤当x 时，0＜y ＜6

⑥如果函数值y 满足-6≤y ≤6，求相应的x 的取值范围.

7、如图所示，直线L1： =2x 与直线L2： =kx+3在同一直角坐标系内交于点P.

（1）写出不等式2x ＞kx+3的解集.

（2）写出 的自变量x 的取值范围.

（3）设直线L2与x 轴交于点A,求三角形OAP 的面积.

三、一元一次不等式组

考点一、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解。

3、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 记：

1

y 2y 2

1

y y

当

时，x ＞b ；（同大取大） 当时，x ＜a ；（同小取小）

当时，a ＜x ＜b ；（大小小大取中间） 当时无解，（大大小小无解）

题型一 求不等式组的解集

1、在平面直角坐标系中，若点P(m －3，m ＋1)在第二象限，则m 的取值范围为( ) A ．－1＜m ＜3 B ．m ＞3 C ．m ＜－１ D ．m ＞－１

2、解下列不等式

① ②

3、解不等式组 并写出该不等式组的最大整数解.

题型二 用数轴表示不等式组的解集

1、把不等式组 的解集表示在数轴上正确的是（ ）

???

??+≤+）（

＜1x 31-x 5121x 5-31-x 2???

??≥+x

3

2

-13x 3

41-x 37-2x ）（＜??

?+≥--≥+x x x x 2236523??

?

??->+≥--1

3214)2(3x x

x x

2、把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3、不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）

4

、把不等式组

的解集表示在数轴上，正确的为图中的（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

题型三 知道不等式组的解集，求字母取值

①已知不等式组

的解集为x ＞3，则a 的取值范围是 .

②已知不等式组 的解集为x ＞a ，则a 的取值范围 .

③已知不等式组 无解，则a 的取值范围 .

④已知不等式组 有解，则a 的取值范围 .

???3x a

x ＞＞??

?3x a x ＞＞??

?3x a

x ＜＞???3

x a

x ＜

＞

变式：1、不等式组 的解集是x ＞2，求m 的取值范围.

2、不等式组 无解，求实数a 的取值范围.

题型四 不等式组与方程的综合题

1、若方程组 的解满足-1＜x+y ＜3，求a 的取值范围.

2、如果关于x 、y 的方程组 的解满足x ＞0且y ＜0，求a 取值范围. .

3、若关于x 、y 的方程组 的解x 、y 的值均为正数，求a 取值范围. .

??

?+++1m x 1x 59x ＞＜??

?≥+2-x 2x -10

a x ＞???=+

-=+72y x 1

y x 2a ???=+=-5a y 3x 10

y x 2???+=-+=+1

59

3a y x a y x

题型五 确定方程或不等式组中的字母取值

1、已知关于x 的不等式组 只有2个非负整数解，则实数a 的取值范围是？

2、若方程组{ 的解中x>y ，求k 的范围。

3、如果

的整数解为1、2、3，求整数a 、b 的值。

题型六 不等式组的应用

练习：1、甲，乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，?各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，?超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计

???≥0b -8x 0

a -9x ＜k y x y x =-=+34532??

?≥-12x -50＞a x

购买商品超出200元之后，超过部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；

（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．