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数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

第三学期数学分析考试题

一、 判断题(每小题2分,共20分)

1.开域是非空连通开集,闭域是非空连通闭集. ( )

2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时,三者必相等. ( )

3.连续函数的全增量等于偏增量之和. ( )

4.xy y x f =

),(在原点不可微. ( )

5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在,则),(),(y x f y x f yx xy =. ( )

6.dy y x xy y )

1(sin 2

1

+?

+∞

在)1,0(内不一致收敛. ( )

7.平面图形都是可求面积的. ( ) 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. ( )

9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”. ( ) 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i n

i σ?≤≤来代替. ( )

二、 填空题(每小题3分,共15分)

1.设)sin(y x e z xy +=,则其全微分=dz .

2.设32),,(yz xy z y x f +=,则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad .

3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段,则?=+L

ydx xdy .

4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 .

5.曲面2732

2

2

=-+z y x 在点(3,1,1)处的法线方程为 . 三、计算题(每小题5分,共20分) 1.求极限

xy

y x y x )

(lim 22)0,0(),(+→.

2. 设),(y x z z =是由方程z

e z y x =++所确定的隐函数,求xy z . 3.设]1,0[]1,0[?=A ,求??++=

A

y x

ydxdy

I 2

322

)

1(.

4.计算抛物线)0()(2

>=+a ax

y x 与x 轴所围的面积.

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

四、(10分)密度2

2

),,(y x z y x +=

ρ的物体V 由曲面2

22y x z +=与2=z 所围

成,求该物体关于z 轴的转动惯量. 五、(10分)求第二类曲面积分

??

++S

dxdy z dzdx y dydz x 2

22

其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向. 六、(第1小题8分,第2小题7分,共15分).

1. 求曲线6222=++z y x ,22y x z +=在点(1,1,2)处的切线方程和法平面方程. 2.证明:

2

2114

π=

+?

+∞

dx x

七、(10分)应用积分号下的积分法,求积分)0(ln )1cos(ln 1

0>>-?a b dx

x

x x x a

b .

第三数学分析参考答案及评分标准

一、 判断题(每小题2分,共20分)

1.开域是非空连通开集,闭域是非空连通闭集. (

?) 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时,三者必相等. ( √ ) 3.连续函数的全增量等于偏增量之和. ( ?)

4.xy y x f =

),(在原点不可微. (

√ )

5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在,则),(),(y x f y x f yx xy =. ( ?)

6.dy y x xy y )

1(sin 2

1

+?

+∞

在)1,0(内不一致收敛. (

√ )

7.平面图形都是可求面积的. (

?) 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. ( √ )

9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”. (

?)

10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i n

i σ?≤≤来代替. ( √ ) 二、 填空题(每小题3分,共15分) 1.设)sin(y x e

z xy

+=,则其全微分=dz

dy y x y x x e dx y x y x y e xy

xy

)]cos()sin([)]cos()sin([+++++++.

2.设3

2

),,(yz xy

z y x f +=,则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3).

3.设L 为沿抛物线2

2x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段,则?=+L

ydx xdy 2 .

4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于

b a 5

3

2.

5.曲面2732

22=-+z y x 在点(3,1,1)处的法线方程为1

11

19

3--=

-=

-z y x .

三、计算题(每小题5分,共20分) 1.求极限

xy

y x y x )

(lim 22)

0,0(),(+→.

解:先求其对数的极限)ln(lim 2

2)

0,0(),(y x xy y x +→.

由于)0,(0

ln )ln(2222

22

2+

→=+→≤+r r y x r r y x xy 令,

所以

)l n (lim

2

2

)

0,0(),(y x xy y x +→=0,故xy

y x y x )

(lim

2

2

)

0,0(),(+→=1.

2. 设),(y x z z =是由方程z e z y x =++所确定的隐函数,求xy z . 解:方程z e z y x =++两边对x ,y 求偏导数,得 x

z e

x

z z

??=??+

1 y

z e

y

z z

??=??+

1

解得

1

1-=

??=

??z

e y

z x

z

32)

1()1()11(-=???--=-??=

z z

z z

z xy e e

y z e e

e y z 。 3.设]1,0[]1,0[?=A ,求??++=

A

y x

ydxdy

I 2

322

)

1(.

解:先对y 后对x 积分,得到

?

?

++=

1

2

3221

)

1(y x ydy dx I ?

+-

+=

1

2

2

)2

11

1(

dx x x 3

122ln

+

+= 。

4.计算抛物线)0()(2

>=+a ax y x 与x 轴所围的面积.

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

解:曲线ACO 由函数],0[,a x x ax y ∈-=

表示,ONA 为直线0=y ,于是

?

=

xdy S D ?

?

+

=

ACO

ONA

xdy xdy dx ax

a x a

?

-=

)12(

2

6

1)2

(

a dx x ax a

=

-=

?

四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面2

22y x z +=与2=z 所围成,

求该物体关于z 轴的转动惯量.

解:根据物体关于坐标轴的转动惯量的定义,得

dV z y x y x J V

z ),,()(2

2ρ???

+=

作柱面坐标变换

???

??===,,s i n ,c o s

:z z r y r x T θθ

有V r z r J .

),,(=θ在xy 坐标面上的投影为

}4),{(2

2

≤+=y x y x D , 则V 在T 下的原象为

}20,20,22

)

,,{(2

πθθ≤≤≤≤≤≤='r z r

z r V

于是有 dz r dr d J r z ?

??=

π

θ20

2

2

2

4

2ππ

35

256)2

2(22

2

4

=

-

=?

dr r

r 。

五、(10分)求第二类曲面积分

??

++S dxdy z dzdx y dydz x 2

22

其中S 是球面2

2

2

2

)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向.

解:由轮换对称性知,只须计算??S

dxdy z 2

由,)()(2

22b y a x R c z ----±=- 利用极坐标变换可得:

??

S

dxdy z 2

dxdy

b y a x R

c dxdy b y a x R c R

b y a x R

b y a x ))()(())()((2

2

2

2

2

2

)()(2

222

2

2

)()(????

≤-+-≤-+------

-

----+

=

dr r R d c R

2

20

20

4-=?

?

c R 3

3

8π=

最后得到

??

++S

dxdy z dzdx y dydz x 2

22)(3

83

c b a R ++=

π 。

六、(第1小题8分,第2小题7分,共15分).

1. 求曲线6222=++z y x ,22y x z +=在点)2,1,1(0P 处的切线方程和法平面方程. 解:令6),,(222-++=z y x z y x F ,22),,(y x z z y x G --=,- 则两曲面在点)2,1,1(0P 处的法向量为:

)2,1,1//()4,2,2()

2,2,2())(),(),((0

0001===P z y x z y x P F P F P F n )1,2,2()

1,2,2())(),(),((0

0002--=--==P z y x y x P G P G P G n

于是曲线的切向量为:

)0,1,1//()0,5,5(551

2

2

211

--=-=--=j i k

j i

τ 从而切线方程为:

21

11

1-=--=-z y x ,

法平面方程为:0)1()1()1(1=-?-+-?y x ,即0=-y x .

2.证明:

2

2114

π=

+?

+∞

dx x

证明:设4

11

x

t +=

,则dt t t

dx 4

34

5)

1(4

1-

-

--= ,有

=

+?

+∞

dx x

4

11dt t t

4

34

11

)1(4

1

-

-

-? )4

31,4

11(4

1-

-B =

)4

31,4

3(4

1-B =

2

24

3sin

4

π

π

=

?=

七、(10分)应用积分号下的积分法,求积分)0(ln )

1cos(ln 1

0>>-?a b dx x

x

x x a

b .

解:令???????==-<<-=0,

01,10,ln )1cos(ln )(x x a b x x x x x x g a

b . 则)(x g 在]1,0[上连续,因此有 dx x g dx x

x

x x I a

b ?

?=

-=1

1

0)(ln )1cos(ln

)ln (])1cos(ln

[1

???

-=

=

b

a

a

b y

y

b

a

x

x x dy x dx

dy x x

令 ?????

=≤<=0

,

010,

)1c o s (l n ),(x x x x

y x f y

则),(y x f 在],[]1,0[b a ?上连续,所以有

dx dy x x

y

b

a

])1(ln

cos [1

?

?dx x x

s co dy y

b

a

?

?=

)1(ln

1

)(cos )1(0

t

b

a

t

y e x dt

t e

dy -+-+∞

==

?

?

令 dy y y b

a

?

+++=

2

)

1(11 2

222ln 2

12

2++++=a a b b 。