2017海淀区初中数学二模试题及答案
()
海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习
数 学
2017．6 学校 班级 姓名 准考证号
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．
1．如图，用圆规比较两条线段A B ''和AB 的长短，其中正确的是 A ．A B AB ''> B ．A B AB ''= C ．A B AB ''< D ． 不确定
2．如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是
A B
C D 3．下列计算正确的是 A ．23a a a -= B ．()
2
3
6a
a =
C =
D ．632a a a =÷
4．如图， ABCD 中，AD =5，AB =3，∠BAD 的平分线AE 交BC 于E 点，则EC 的长为 A ．4 B ．3 C ．2
D ．1
B E C
A D
★
★
★
★
★
7
65F
E
D
5．共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物园打开某共享单车APP ，如图，“ ”为小白同学的位置，“★”为检索到的共享单车停放点．为了到达距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是
A ．F 6
B ．E 6
C ．
D 5
D ．F 7
6．在单词happy 中随机选择一个字母，选到字母为p 的概率是 A ．
15
B ．
25
C ．3
5
D ．45
7．如图，OA 为⊙O 的半径，弦BC ⊥OA 于P 点．若OA =5，AP =2，则弦BC 的长为 A ．10 B ．8 C ．6
D ．4
8．在下列函数中，其图象与x 轴没有交点的是 A ．2y x = B ．31y x =-+ C ．2
y x =
D ．1y x
=
9．如图，在等边三角形三个顶点和中心处的每个“○”中各填有一个式子，若图中任意三个“○”中的式子之和均相等，则a 的值为 A ．3 B ．2 C ．1
D ．0
10．利用量角器可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设OA =1，以O 为
圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA 为直径作⊙M ．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：sin 600.87?≈，sin 450.71?=．下列角度中正弦值最接近0.94的是
A ．70°
B ．50°
C ．40°
D ．30°
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．若分式
1
2
x-
有意义，则x的取值范围是．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，4）为⊙O上一点，B为⊙O 内一点，请写出一个符合要求的点B的坐标．
13．计算：
1
11
m
m m
+
--
=．
14．某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y℃与向上攀登的高度x km的几组对应值如下表：
若每向上攀登1 km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为
2.5 km时，登山队所在位置的气温约为℃．
15．下图是测量玻璃管内径的示意图，点D正对“10mm”刻度线，点A正对“30mm”刻度线，DE∥AB．若量得AB的长为6mm，则内径DE的长为mm．
16．在一次飞镖比赛中，甲、乙两位选手各扔10次飞镖，下图记录了他们的比赛结果．你
认为两人中技术更好的是
，你的理由是
．
三、解答题（本题共72分，第17～26题每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）1722tan60
-
°
1
1
3
-
+
??
?
??
．
18．解不等式组：
()
322
12
1
3
x x
x
x
+-≥
+
>-
?
?
?
??
，
．
甲乙
19．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ．请你添加
一条线把它分成两个全等三角形，并给出证明． 20．若关于x 的方程
412m x
x
-
=的根是2，求()2
428
m m --+的值．
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （2，0）的
直线l ：3y mx =-与y 轴交于点B ． （1）求直线l 的表达式； （2）若点C 是直线l 与双曲线n
y x
=
的一个公共点， AB =2AC ，直接写出n 的值．
22．为了让市民享受到更多的优惠，某市针对乘坐地铁的人群进行了调查．
（1）为获得乘坐地铁人群的月均花费信息，下列调查方式中比较合理的是 ； A ．对某小区的住户进行问卷调查 B ．对某班的全体同学进行问卷调查
C ．在市里的不同地铁站，对进出地铁的人进行问卷调查
（2）调查小组随机调查了该市1000人上一年乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制
了频数分布直方图，如图所示．
① 根据图中信息，估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是 元； A ．20—60 B ．60—120 C ．120—180
②为了让市民享受到更多的优惠，相关部门拟确定一个折扣线，计划使30%左右的人获得折扣优惠．根据图中信息，乘坐地铁的月均花费达到 元的人可以享受折扣．
/元
频数/D
C
A B
D
B E C
A F
23．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，线段AC 的垂直平分线交AC 于D 点，交BC 于E
点，过点A 作BC 的平行线交直线ED 于F 点，连接AE ，CF ．
（1）求证：四边形AECF 是菱形；
（2）若AB =10，∠ACB =30°，求菱形AECF 的面积． 24．阅读下列材料：
2016年，北京市坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，围绕首都城市战略定位，加快建设国际一流的和谐宜居之都，在教育、科技等方面保持平稳健康发展，实现了“十三五”良好开局．
在教育方面，全市共有58所普通高校和81个科研机构培养研究生，全年研究生招生9.7万人，在校研究生29.2万人．全市91所普通高校全年招收本专科学生15.5万人，在校生58.8万人．全市成人本专科招生6.1万人，在校生17.2万人．
在科技方面，2016年全年研究与试验发展（R&D ）经费支出1479.8亿元，比2015年增长了6.9%，全市研究与试验发展（R&D ）活动人员36.2万人，比上年增长1.1万人．2013年，2014年，2015年全年研究与试验发展（R&D ）经费支出分别为1185.0亿元，1268.8亿元，1384.0亿元，分别比前一年度增长11.4%，7.1%，9.1%．
（以上数据来源于北京市统计局）
根据以上材料解答下列问题：
（1）请用统计图或统计表将北京市2016年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科
学生的招生人数和在校生人数表示出来；
（2）2015年北京市研究与试验发展（R&D ）活动人员为 万人； （3）根据材料中的信息，预估2017年北京市全年研究与试验发展（R&D ）经费支出
约 亿元，你的预估理由是 ．
25．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，D 为 AC
的中点，AC ，BD 相交于E 点，过点A 作⊙O 的切线交BD 的延长线于P 点． （1）求证：∠P AC =2∠CBE ；
（2）若PD =m ，∠CBE =α，请写出求线段CE 长的思路．
26．已知y 是x 的函数，该函数的图象经过A （1，6），B （3，2）两点． （1）请写出一个符合要求的函数表达式 ；
（2）若该函数的图象还经过点C （4，3），自变量x 的取值范围是0x ≥，该函数无最小
值．
①如图，在给定的坐标系xOy 中，画出一．个．
符合条件的函数的图象；
②根据①中画出的函数图象，写出6x =对应的函数值y 约为 ； （3）写出（2）中函数的一条性质（题目中已给出的除外）．
27．抛物线2
2
24y x mx m =-+-与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于
点C ，抛物线的对称轴为x =1． （1）求抛物线的表达式；
（2）若CD ∥x 轴，点D 在点C 的左侧，1
2
CD AB =
，求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线在直线x =t 右侧的部分沿直线x =t 翻折后的图形记为
G ，若图形G 与线段CD 有公共点，请直接写出t 的取值范围．
28．在锐角△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 中点．
（1）如图1，过点C 作CF ⊥AB 于F 点，连接EF ．若∠BAD =20°，求∠AFE 的度数； （2）若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 于N 点，射
线EN ，AB 交于P 点． ①依题意将图2补全；
②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有∠APE =2∠MAD ． 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：连接DE ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证∠PED =2∠MAD ．
想法2：设∠MAD =α，∠DAC =β，只需用α，β表示出∠PEC ，通过角度计算得
∠APE =2α．
想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证
△NAQ ∽△APQ ． ……
请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD ．（一种方法即可）
E
F
A
图1 图2
29．在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到两坐标轴的距离
之和等于点Q 到两坐标轴的距离之和，则称P ，Q 两点为同族点．下图中的P ，Q 两点即为同族点．
（1）已知点A 的坐标为（3-，1），
①在点R （0，4），S （2，2），T （2，3-）中，为点A 的同族点的是 ； ②若点B 在x 轴上，且A ，B 两点为同族点，则点B 的坐标为 ； （2）直线l ：3y x =-，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，
①M 为线段CD 上一点，若在直线x n =上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，求n 的取值范围；
②M 为直线l 上的一个动点，若以（m ，0
）为圆心，N ，使得M ，N 两点为同族点，直接写出m 的取值范围．
海淀九年级第二学期期末练习
数 学 答 案 2017．6
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．2x ≠
12．答案不唯一，例如（0，0）
13．1 14．答案不唯一，在10.89.6t -≤≤-范围内即可
15．2
16．乙；乙的平均成绩更高，成绩更稳定．
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．原式 = 23 -------------------------------------------------------------------------- 4分
= 5 -------------------------------------------------------------------------- 5分
18．解：原不等式组为()3221213
x x x x +-≥+>-??
???， ①
． ②
由不等式①，得362x x +-≥， ----------------------------------------------------------------- 1分
解得2x ≥； -----------------------------------------------------------------
2分
由不等式①，得1233x x +>-， ------------------------------------------------------------------ 3
分
解得4x <； -------------------------------------------------------------------
4分
∴ 原不等式组的解集是24x ≤<． ---------------------------------------------------------------
5分
19．连接AC ，则△ABC ≌ △ADC ． ---------------------------- 1分
证明如下：
在△ABC 与△ADC 中，
D
C
AB AD AC AC CB CD ===??
???
，，
， ---------------------------- 4分 ∴△ABC ≌ △ADC ． ---------------------------- 5分 20．解：∵关于x 的方程412m x
x
-
=的根是2，
∴ 412
4
m -
=． ------------------------------------------------------------------------------1
分
∴ 4m =． ------------------------------------------------------------------------------2分
∴()2
428m m --+
()2
44248=--?+ ------------------------------------------------------------------------------
4分
0=． -------------------------------------------------------------------------------- 5
分
21．解：（1）∵ 直线3l y mx =-：过点A （2，0），
∴ 023m =-． ------------------------------------------------------------------------------ 1分
∴ 3
2
m =． ------------------------------------------------------------------------------ 2分
∴ 直线l 的表达式为33
2
y x =-． ----------------------------------------------------- 3分
（2）n =32
-或
92
． ------------------------------------------------------------------------- 5
分
22．（1）C ； ---------------------------------------------------------------------------------------------- 2分
（2）① B ； ---------------------------------------------------------------------------------------------- 4分
② 100． ---------------------------------------------------------------------------------------------- 5分
23．（1）证明：∵ EF 垂直平分AC ，
∴ FA =FC ，EA =EC ， ---------------------------------------------------------------- 1
分
∵ AF ∥BC ， ∴ ∠1=∠2． ∵ AE =CE ，
∴ ∠2=∠3． ∴ ∠1=∠3． ∵ EF ⊥AC ，
∴ ∠ADF =∠ADE =90°． ∵ ∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°． ∴ ∠4=∠5．
∴ AF =AE ． ---------------------------------------------------------------- 2分
∴ AF =FC =CE =EA ．
∴ 四边形AECF 是菱形． ---------------------------------------------------------------- 3分
（2）解：∵∠BAC =∠ADF =90°， ∴AB ∥FE ． ∵AF ∥BE ， ∴四边形ABEF 为平行四边形． ∵AB =10，
∴FE =AB =10． ----------------------------------------------------------------------------------- 4
分 ∵∠ACB =30°，
∴tan AB
AC ACB
=
=∠
∴1
2
AECF S AC FE ?==菱形 ----------------------------------------------------------
5分
24．（1） 北京市2016年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生
招生人数和在校生人数统计表（单位：万人）
北京市2016年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生 招生人数和在校生人数统计图（单位：万人）
5
4
3
2
1
F E D
C
B A
---------------------------------- 2分
（2）35.1 ； -------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
分
（3）答案不唯一，预估理由与预估结果相符即可． --------------------- 5分
25．（1）证明：∵D 为 AC
的中点，
∴∠CBA =2∠CBE ． ------------------------------------ 1分 ∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB =90°， ∴∠1+∠CBA =90°．
∴∠1+2∠CBE =90°． ∵AP 是⊙O 的切线，
∴∠PAB =∠1+∠PAC =90°． ----------------------------- 2分
∴∠PAC =2∠CBE ． --------------------------------------3分
（2）思路：①连接AD ，由D 是 AC
的中点，∠2=∠CBE ， 由∠ACB =∠PAB =90°，得∠P =∠3=∠4，故AP =AE ； ②由AB 是⊙O 的直径，可得∠ADB =90°；由AP =AE ，
得PE =2PD =2m ，∠5=
12
∠PAC =∠CBE =α -------- 4分
③在Rt △PAD 中，由PD =m ，∠5=α，可求PA 的长； ④在Rt △PAB 中，由PA 的长和∠2=α，可求BP 的长； 由BE PB PE =-可求BE 的长；
⑤在Rt △BCE 中，由BE 的长和CBE α∠=，可求CE 的长． ------------------- 5分
26．（1）答案不唯一，例如6
y x
=，28y x =-+，2611y x x =-+等； -------------------------------2分
（2）答案不唯一，符合题意即可； ----------------------------------------------------------------- 4
A
分
（3）所写的性质与图象相符即可． ----------------------------------------------------------------- 5分
27．（1）解：∵抛物线()2
2
2
244y x mx m x m =-+-=--，其对称轴为1x =，
∴1m =．
∴该抛物线的表达式为2
23y x x =--． ------------------------------------------------- 2分
（2）解：当0y =时，2
230x x --=，解得11x =-，23x =，
∴抛物线与x 轴的交点为A （1-，0），B （3，0）． ---------------------------------
3分
∴4AB =．
当0x =时，3y =-，
∴抛物线与y 轴的交点为C （0，3-）． ------------------------------------------- 4
分
∵1
2
CD AB =
， ∴CD =2．
∵CD ∥x 轴，点D 在点C 的左侧，
∴点D 的坐标为（2-，3-）． -------------------------------------------------- 5
分
（3）11t -≤≤． ------------------------------------------------------------------------------------ 7分
28．（1）证明：∵AB =AC ，AD 为BC 边上的高，∠BAD =20°，
∴∠BAC =2∠BAD =40°． -------------------------------------- 1分 ∵CF ⊥AB ， ∴∠AFC =90°． ∵E 为AC 中点，
∴EF =EA =
1
2
AC ．
∴∠AFE =∠BAC =40°． ---------------------------------------- 2分
（2）① F
E
A
画出一种即可． ---------------------------------------------------------------------------------- 3
分
②证明：
想法1：连接DE ．
∵AB=AC ，AD 为BC 边上的高， ∴D 为BC 中点．
∵E 为AC 中点， ∴ED ∥AB ，
∴∠1=∠APE ． --------------------------------- 4分
∵∠ADC =90°，E 为AC 中点，
∴1
2
AE DE CE AC ===． 同理可证1
2
AE NE CE AC ===．
∴AE =NE =CE =DE ．
∴A ，N ，D ，C 在以点E 为圆心，AC 为直径的圆上． ----- 5分 ∴∠1=2∠MAD ． ------------------------------------------ 6分
∴∠APE =2∠MAD ． ------------------------------------------- 7分
想法2：设∠MAD =α，∠DAC =β，
∵CN ⊥AM ， ∴∠ANC =90°． ∵E 为AC 中点，
∴1
2
AE NE AC ==．
∴∠ANE =∠NAC =∠MAD +∠DAC =α+β． --------------------- 4分 ∴∠NEC =∠ANE +∠NAC =2α+2β． ------------------------ 5分 ∵AB =AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAC =2∠DAC =2β．
∴∠APE =∠PEC -∠BAC =2α． --------------------------------- 6分 ∴∠APE =2∠MAD ． --------------------------------------------- 7分
M
N E
C
D
B A
E D
C B A
P
M
N M P
N E
C
D
B
A
想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，连接AQ ，
∴∠1=∠2． ∵AB =AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD =∠CAD ．
∴∠BAD -∠1=∠CAD -∠2，
即∠3=∠4． ----------------------------------------- 4分 ∴∠3+∠NAQ =∠4+∠NAQ ， 即∠PAQ =∠EAN ． ∵CN ⊥AM ， ∴∠ANC =90°． ∵E 为AC 中点， ∴1
2
AE NE AC ==
． ∴∠ANE =∠EAN ． ---------------------------------------------------------------- 5
分
∴∠PAQ =∠ANE ． ∵∠AQP =∠AQP ，
∴△PAQ ∽ △ANQ ． ---------------------------------------------------------------- 6
分
∴∠APE =∠NAQ =2∠MAD ． -------------------------------------------------------- 7
分
29．（1）①R ，S ； ----------------------------------------------------------------------------------------------- 2
分
②（4-，0）或（4，0）； ------------------------------------------------------------------------ 4分
（2）①由题意，直线3y x =-与x 轴交于C （3，0），与y 轴交于D （0，3-）． 点M 在线段CD 上，设其坐标为（x ，y ），则有： 0x ≥，0y ≤，且3y x =-．
点M 到x 轴的距离为y ，点M 到y 轴的距离为x ， 则3x y x y +=-=．
∴点M 的同族点N 满足横纵坐标的绝对值之和为3． 即点N 在右图中所示的正方形CDEF 上．
∵点E 的坐标为（3-，0），点N 在直线x n =上，
∴33n -≤≤． --------------------------------------------------------------------------------------- 6
x
4
321Q
N M
P
A
B C
D
E
或m≥1．------------------------------------------------------------------------------------ 8
②m≤1
分