高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》基础测试题附答案

【最新】数学高考《函数与导数》复习资料

一、选择题

1．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=．当[]0,1x ∈，

()21f x x =-，则（ ）

A ．()123

5log 2log 32f f f ????

>> ?

???

?

?

B ．()1235log 2log 32f f f ????

>> ?

?????

C ．()1235log 2log 32f f f ????

>> ? ?????

D ．()2135log 3log 22f f f ????

>> ? ?????

【答案】A 【解析】 【分析】

推导出函数()y f x =的周期为4，根据题意计算出51022f f ??

??

=-<

? ?????

，()22

4log 3log 03f f ?

?

=-< ???

，()133log 2log 20f f ??

=> ???

，再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论. 【详解】

因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=，即

()()20f x f x +-=，

即()()2f x f x =--，()()()24f x f x f x ∴=--=-， 所以，函数()y f x =的周期为4，

因为当[]0,1x ∈时，()2

1f x x =-单调递减，

因为5110222f f f ??

??

??

=--=-<

? ? ???????，()224log 3log 03f f ??

=-< ???

， ()()1333log 2log 2log 20f f f ??

=-=> ???

， 因为2

41

0log 132<<<，所以241log 32f f ??

??-<- ? ??

?

??

， 所以，1

2314log 2log 23f f f ??

??

??>->- ? ? ???

?

?

??

，即()1235log 2log 32f f f ????

>> ? ?????

，

故选：A ． 【点睛】

本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关

键，属于中等题.

2．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1

C ．2

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

根据对称性即可求出答案． 【详解】

解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．

3．已知2

1()cos 4

f x x x =

+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】

Q ()21f cos 4x x x =

+，()()1

'sin ,'2

f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f

【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +

-

→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

4．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．

16

B ．

13

C ．

12

D ．

56

【答案】A 【解析】

曲线2

y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2

y x

=

与直线y x =所围成的封闭图形的面积为

()1

2

23100

111|236x x dx x x ??-=-= ???? ，故选A.

5．函数()1ln f x x x ?

?

=-

???

的图象大致是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】 【分析】

通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当

1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】

当2x =时，1

10x x -=>，函数有意义，可排除A ；

当2x =-时，13

02

x x -=-<，函数无意义，可排除D ；

又∵当1x >时，函数1

y x x

=-单调递增，

结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ??

=- ???

单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】

本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.

6．设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=L ( ) A ．222e e + B ．25050e e + C ．2100100e e +

D ．222e e --

【答案】A 【解析】 【分析】

由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】

由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称

又()f x Q 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数

()()()()()()()()()1281241240

f f f f f f f f f ++???+=++???++-+-+???+-=Q 且()()()()2

123422f f f f e e +++=+

()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++???+=++???+++++????????222e e =+

故选：A 【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.

7．已知函数()3

2

2

f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（ ）

A ．4或3-

B ．4或11-

C ．4

D ．3-

【答案】C 【解析】

分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求． 详解：∵3

2

2

()f x x ax bx a =+++， ∴2

()32f x x ax b '

=++．

由题意得2

(1)320

(1)110f a b f a b a =++=??=+++='?， 即2

239a b a b a +=-??++=?，解得33a b =-??=?或4

11a b =??=-?

． 当33

a b =-??=?时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =． 故选C ．

点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．

（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．

8．[]()x a,b ,f x m ?∈≥恒成立，等价于[]

()x a,b ,[f x ]m min ∈≥

9．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ） A ．3,

2??-∞ ???

B ．1,

2??-∞ ???

C ．5,

4??-∞ ???

D ．1,

4??-∞ ???

【答案】C 【解析】 【分析】

对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】

由题意可得3

2

431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解，

设()3243f x x x a =-+(0x >)，()()2

126621f x x x x x '=-=-，

令()0f x '<，得102x <<

；令()0f x '>，得12

x >， ∴()f x 在1

(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，

∴()min 11124f x f a ??

==-< ???

，解得：54a <.

故选：C. 【点睛】

本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

10．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．

32

C ．2

D ．

34

【答案】B 【解析】 【分析】

将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程

()0f x =可得出函数()y f x =的零点．

【详解】

141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，

2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为3

2

，故选B.

【点睛】

本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．

11．()263,0

34,0

x x x x f x x ?---≤=?->?，则函数()y f f x =????的零点个数为（ ）

A ．3

B ．5

C ．6

D ．7 【答案】D 【解析】 【分析】

作出()f x 的图像，将()y f f x =????的零点个数即()0f f x =????的实数根个数，令

()t f x =，解()0f t =有三个实数根，再结合图像即可得到答案.

【详解】

由题意，()y f f x =????的零点个数即()0f f x =????的实数根个数， 作()f x 的图像如图所示，

设()t f x =，则()0f t =，

当0t ≤时，即2630t t ---=，解得，1236,36t t =-=- 当0t >时，即340t -=，解得33log 4t =； 结合图像知，()36f x =-

()36f x =-+3()log 4f x =时有三个根，

所以()0f f x =????有7个根，即()y f f x =?

???的零点个数为7.

【点睛】

本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生数形结合的思想，属于中档题.

12．已知ln 3ln 4ln ,,34a b e c e

===（e

是自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a c b <<

C ．b a c <<

D ．c b a <<

【答案】C 【解析】 【分析】

根据ln 3ln 4ln ,,34a b e c e

=

==的结构特点，令()ln x f x x =，求导

()2

1ln x

f x x -'=，可得()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减，再利用单调性求解.

【详解】

令()ln x

f x x

=，

所以()2

1ln x

f x x -'=，

当0x e <<时， ()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减. 因为34e <<，

所以 ()()()34>>f e f f ， 即b a c <<. 故选：C 【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.

13．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln

3g x x x =--，1,22x ?∈?

????

的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln )4

[2,2+ B ．5

[2ln 2,

ln 2)4

-+ C ．5(ln 2,2ln 2)4

+- D ．(]2ln2,2-

【答案】A

【分析】

将问题转化为()()f x g x =-在1,22??

????

恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问

题转化为()h x 在1,22??????

上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定

区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】

()f x Q 与()g x 在1,22x ?∈?

????的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，

()()f x g x ∴=-在1,22??

????

恰有两个不同的解，

即2

21ln

3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22??

????

上恰有两个不同的解， 令()2

ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x

---+'=+-==

， ∴当1,12x ??

∈ ???

时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，

()h x ∴在1

,12

??

??

?上单调递减，在()1,2上单调递增，

又15ln 224h m ??

=--+

???

，()12h m =-，()2ln 22h m =-+， 原问题等价于()h x 在1

,22

?????

?

上恰有两个零点，

则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24?

?+??

?

?. 故选：A . 【点睛】

本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题.

14．若函数()()sin x

f x e x a =+在区间,22ππ

??

- ???

上单调递增，则实数a 的取值范围是

（）

A ．)

+∞ B ．[

)1,+∞ C ．()1,+∞

D ．()

+∞

【答案】B

【分析】

将问题转化为()0f x '≥在,22ππ??

- ???

上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化

04x a π??++≥ ??

?在,22ππ??

-

???上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(

14x a a a π?

??++∈-+ ???

?，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】

由题意得：()()sin cos 4x

x x f x e

x a e x e x a π??

?'=++=++ ?????

()f x Q 在,22ππ

??- ??

?

上单调递增 ()0f x '∴≥在,22

ππ

??

- ??

?

上恒成立

又0x e > 04x a π?

?

+

+≥ ??

?

在,22ππ??

-

???上恒成立

当,22x ππ??

∈- ???

时，3,

444x πππ??+∈- ??? sin 4x π???

?∴+∈ ? ? ????

(

14x a a a π?

??++∈-+ ???

? 10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】

本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.

15．已知函数()2

cos f x x x =-，若15log 3a f ??= ???，31log 5b f ?

?= ???，315c f ???? ? ? ????

=?，

则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>

C ．c b a >>

D ．c a b >>

【答案】B 【解析】 【分析】

判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】

()()()()2

2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数

故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.

()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x > 故()f x 在()0,π上单调递增，()155log 3log 3a f f ??

== ???

，

()331log log 55b f f ?

?== ??

?，

由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ??

??<< ? ? ?

????

，即c a b << 故选：B 【点睛】

本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.

16．[]0x a,b ?∈使得()f x m ≥成立，等价于[]

()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥

17．下列求导运算正确的是（ ） A ．()cos sin x x '

= B ．()1

ln 2x x

'

=

C ．()

333log x

x e '

= D ．()

22x x x e xe '

=

【答案】B 【解析】

分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.

详解：()'

cos sin x x =-，A 不正确；()'

11

ln222x x x

=?= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'

222x

x

x x e xe

x e =+，D 不正确，故选B.

点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.

18．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）

A ．()()2019202020202019f f >

B ．()()20192020f f >

C ．()()2019202020202019f f <

D ．()()20192020f f <

【答案】A 【解析】 【分析】

构造函数()()

f x

g x x

=

，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.

【详解】 令()()()0f x g x x x =

>，则()()()2xf x f x g x x

'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.

故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，

即

()()

2020201920202019f f >

，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A. 【点睛】

本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.

19．已知函数()2

f x x mx =+图象在点()()

1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，

若数列()1f n ????

?

?????

的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ） A ．

20152016 B ．

2016

2017

C ．

2017

2018

D ．

2018

2019

【答案】D 【解析】 【分析】

求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】

由()2

f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，

因为函数()2

f x x mx =+图象在点()()

1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，

()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则

()()211111

11

f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019

S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．

20．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r + B ．17[(1)(1)]a

r r r

+-+

C ．18(1)a r +

D ．18[(1)(1)]a

r r r

+-+

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：根据题意，

当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +， 孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，

??

孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，

可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：

1717

16

18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a

S a r a r a r r r r r

++-=++++??++==+-++-；

故选：D ． 【点睛】

本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.