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第二节 函数的单调性与最大(小)值

第二节 函数的单调性与最大(小)值

第二节 函数的单调性与最大(小)值

1.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( ) A .y =log 12x B .y =2x -1

C .y =x 2

-1

2

D .y =-x 3

解析:由所求函数在(-1,1)内是增函数,故排除C ,D ,又选项A 中对数函数的真数x>0,排除A.故选B.

答案:B

2.(2013·吉林实验中学三模)已知函数f(x)=?

????-x +3a ,x <0,

a x ,x ≥0

(a >0且a ≠1)是R 上的减函数,则a 的取值范围是( )

A .(0,1) B.??????

131 C.? ???0,13 D.? ??

??

0,23 解析:由f(x)在R 上是减函数得,0<a <1,且-0+3a≥a 0,由

此得a ∈????

??13,1. 答案:B

3.(2013·郑州第一次质检)已知定义在R 上的函数f(x)是增函数,则满足f(x)<f(2x -3)的x 的取值范围是( )

A .(-2,+∞)

B .(-3,+∞)

C .(2,+∞)

D .(3,+∞)

解析:依题意得,不等式f(x)<f(2x -3)等价于x <2x -3,由此解得x >3,即满足f(x)<f(2x -3)的x 的取值范围是(3,+∞).

答案:D

4.(2014·陕西卷)下列函数中,满足“f(x +y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )

A .f(x)=x 3

B .f(x)=3x

C .f(x)=x 12

D .f(x)=? ??

??12x

解析:依次判断各选项,易知3x +y =3x ·3y 且y =3x 为增函数,B 项符合条件,故选B.

答案:B

5.(2013·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)=?????f 1(x ),x ≥0,f 2(x ),x <0,

下列命

题正确的是( )

A .若f 1(x)是增函数,f 2(x)是减函数,则f(x)存在最大值

B .若f(x)存在最大值,则f 1(x)是增函数,f 2(x)是减函数

C .若f 1(x),f 2(x)均为减函数,则f(x)是减函数

D .若f(x)是减函数,则f 1(x),f 2(x)均为减函数 解析:可举反例说明选项A 、B 、C 错误.故选D. 答案:D

6.若f(x)在(0,+∞)上是减函数,则f(a 2

-a +1)与f ? ??

??

34的大小

关系是____________________.

解析:∵a 2

-a +1=? ????a -122+34≥3

4

,f(x)在(0,+∞)上是减函数,

∴f(a 2-a +1)≤f ? ??

??

34.

答案:f(a 2-a +1)≤f ? ??

??

34

7.若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为?

??

???-254

,-4,

则m 的取值范围是________.

解析:∵f(x)=x 2

-3x -4=? ????x -322-254

∴f ? ????32=-25

4

.又f(0)=-4, 故由二次函数图象可知?????32≤m ,m -3232-0.

解得3

2

≤m≤3.

答案:????

??32,3 8.函数y =x +2x +1的最小值为____________. 解析:y =x +2x +1=(x +1)2≥1(∵x ≥0),∴y min =1. 答案:1

9.已知函数f(x)=1a -1

x (a >0, x >0).

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;

(2)若f(x)在??????12,2上的值域是????

??

122,求a 的值.

解析:(1)证明:设x 2>x 1>0,则x 2-x 1>0,x 1x 2>0,∵

f (x 2)-f(x 1)=? ????1a -1

x 2

-? ????1a -1x 1=1x 1-1x 2=x 2-x 1x 1x 2

>0, ∴f(x 2)>f(x 1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.

(2)解析:∵f(x)在??????12,2上的值域是??????12,2,又f(x)在????

??

12,2上单

调递增,

∴f ? ????12=12,f(2)=2.∴易得a =2

5

. 10.已知函数f(x)=a -1|x|

.

(1)求证:函数y = f(x)在(0,+∞)上是增函数;

(2)若f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数a 的取值范围. 解析:(1)证明:当x ∈(0,+∞)时,f(x)=a -1

x ,

设0<x 1<x 2,则x 1x 2>0,x 2-x 1>0.

∴f(x 1)-f(x 2)=? ????a -1x 1-? ??

??a -1x 2 =1x 2 -1x 1=x 1-x 2

x 1x 2

<0. ∴f(x 1)<f(x 2),即f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)解析:由题意知,a -1

x <2x 在(1,+∞)上恒成立,

设h(x)=2x +1

x ,则a

设1<x 3<x 4,则x 3-x 4<0,x 3x 4>1,0<1

x 3x 4

<1.

∴h(x 3)-h(x 4)=? ????2x 3+1x 3-? ??

?

2x 4+1x 4

=(x 3-x 4)?

??

??

2-

1x 3x 4<0, ∴h(x 3)<h(x 4),

∴h(x)在(1,+∞)上单调递增. ∴a≤h(1),即a≤3.

∴a的取值范围为(-∞,3].