概率论作业习题

概 率 论 作 业

1．写出下列随机试验的样本空间：

(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）； (2)在单位圆内任取一点，记录它的坐标；

(3)一射手射击，直到击中目标为止，观察射击情况。

(4)把A ，B 两个球随机地放到3个盒子中去，观察球的分布情况（假设每个盒子可容纳球的个数不限）。

2．一工人生产了四件产品，以A 表示他生产的第i 件产品是正品)4,3,2,1i (=，试用A 表示

)4,3,2,1i (=下列事件：

(1)没有一件产品是次品； (2)至少有一件产品是次品； (3)恰有一件产品是次品； (4)至少有两件产品不是次品。

3．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件A={第一次击中飞机}，B={第二次击中飞机} C={恰有一弹击中飞机}，D={至少有一弹击中飞机}，E={两弹都击中飞机}。 (1)试用事件A ，B ，表示事件C ，D ，E 。(2)C 与E 是互逆事件吗？为什么？

4．从一批产品中任意抽取5件样品进行质量检查。记事件A 表示“发现i 件次品”

)5,,2,1,0i ( =，试用A 来表示下列事件：

（1）发现2件或3件次品；（2）最多发现2件次品；（3）至少发现1件次品。 5．把事件B A ?与C B A ??分别写成互不相容事件和的形式。 6．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？

（1）B A B A =；（2）C B A C B A =)(；（3）φ=)A )(AB (；（4）若B A ?，则AB A =；（5）若φ=AB 且A C ?，则φ=BC 。

7.设}2x 0|x {S ≤≤=，1}21

|{≤<=x x A ，

}

x x B 23

41

|{<≤=。具体写出下列各事件： （1）B A ； （2）B ?； （3）B A ? （4）AB

8．一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球.今从袋中任意取出三个

球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率，（2）最大号码为5的概率，（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。

9．在1500个产品中有400个次品，1100个正品.任取200个，求（1）恰好有90个次品的概率；（2）至少有两个次品的概率。

10．将一枚骰子重复掷n 次，试求掷出的最大点数为5的概率。

11．从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。

12．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 13．把长为l 的棒任意折成3段,求此三段能构成一个三角形的概率。

14．在矩形}11,21:),{(≤≤-≤≤b a b a 中任取一点,求使方程0=+b ax 的解大于14

的概率.

15．设事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则正确的结论是_____ （1）1)B (P )A (P )C (P -+≤ （2）1)B (P )A (P )C (P -+≥ （3）)AB (P )C (P = （4）)B A (P )C (P ?=

16．设

31

)A (P =

，

21)B (P =

。在下列三种情况下求)A B (P 的值：

（1）φ=AB ； （2）B A ?； （3）

81

)AB (P =

17．设A 、B 为两个事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问（1）在什么条件下P(AB)取最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取最小值，最小值是多少？ 18．设A1、A2为两个事件，证明

（1）P(A1A2)= 1-P(1A )-P(2A )+P(1A 2A )

（2）1-P(1A )-P(2A ) ≤ P(A1A2) ≤ P(A1?A2) ≤ P(A1) +P(A2) 19．设A 、B 为两个事件，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3。求P(B A ). 20．A 、B 为两个事件且P(A)=1/2，P(B)=1/2，证明P(AB)=P(B A ).。 21.已知,5.0)(,4.0)(,3.0)(===B A P B P A P 求)|(B A B P

22.设A ，B 是两个事件，

61

)|(,31)()(=

==B A P B P A P ，求)|(B A P 23. 掷3颗骰子，若已知出现的点数没有两个相同，求至少有一颗骰子是一点的概率。

24．袋中有3个白球和一个红球，逐次从袋中摸球，每次摸出一球，如是红球则把它放回，并再放入一只红球，如是白球，则不放回，求第3次摸球时摸到红球的概率？

25．设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？ 26．袋中装有5枚正品硬币、3枚次品硬币（次品硬币两面均印有国徽）。从袋中任取一枚硬币，将它投掷3次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？

27．有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.2,0.3,0.5,求（1）至少有一门火炮命中目标的概率；（2）恰有一门火炮命中目标的概率。

28．盒中有10个合格品，3个次品，从盒中一件一件的抽取产品检验(取后不再放回)，以X 表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数，求X 的分布律，并求概率}3{

30．射手对目标独立射击5发,单发命中概率为0.6,求(1)恰好命中两发的概率;(2)至多命中3发的概率;(3)至少命中一发的概率. 31．从仲恺农业工程学院到火车站途中有六个路口，假设在各路口遇到红灯的事件相互独立，且概率都是1，（1）以X 表示途中遇到的红灯次数，求X 的分布律，（2）以Y 表示汽车行驶途中在停止前所通过的路口数，求Y 的分布律。（3）求从仲恺农业工程学院到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。

32．假设某汽车站在任何长为t （分）的时间内到达的候车人数N （t ）服从参数为3t 的泊松分布。（1）求在相邻两分钟内至少来3名乘客的概率；（3）求在连续5分钟内无乘客到达的概率。

33．某种疾病的发病率为0.01,求下列概率的近似值。 (1)100个人中恰有一人发病的概率

为多少？ (2) 100个人中至少有一人发病的概率为多少？

34．设随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，已知}{k X P =正比于k 值 ，求X 的分布律及分布函数，并求}3{},3{},3{≤=

35．设离散型随机变量X 的分布函数为?

???

???≥<≤<≤<=66483

42812)(x B x x x A

x F

（1）求参数A ，B （2）求X 的分布律。

36．设连续型随机变量X 的分布函数为

??

?≤>+=-0

00

)(x x Be A x F x

λ，其中0>λ是

常数。求（1）参数A ，B ，（2）}3{},2{>≤X P X P （3）X 的概率密度

37．设随机变量X 的概率密度为??

?

??<<≤≤=others x Cx x Cx x f 03

22

1)(2，（1）确定常数C ，并求

。X 的分布函数；（2）求0x 使05.0}{0=>x X P 。

38．设X 均匀分布于区间[-2，5]，求方程02442

=+++X Xu u 有实根的概率。

39.已知Ｘ的概率密度为

??

?<<+=其它010)21()(x x A x f ,求： (1) 求常数Ａ; (2)}.5.0{>X P (3)求F(x)

40．某甲上班地点离家仅一站路.他在公共汽车站候车时间为Ｘ（分钟），Ｘ服指数分布.其

概率密度为

?????≤>=-0

004

1)(4

1

x x e x f x .甲每天要在车站候车4次，每次若候车时间超过5分钟，

他就改为步行.求甲在一天内步行次数恰好是2次的概率

41．设Ｘ服从),(2

σa N 分布，求:

(1)}|{|σ<-a X P .(2)}2|{|σ<-a X P .(3)}3|{|σ<-a X P .

42. 设X ~N(0,1).求b 使：（1）P{|X|b}=0.05. (3)P{X

43．某汽车加油站的油库每周需油量X(kg)服从N （500，502）分布.为使该站无油可售的概率小于0.01，这个站的油库容量起码应多大？

44．在电源电压不超过200v, 200~240v ，和超过240v 三种情况下，某电器损坏的概率分

别为0.01,0.001,和0.1，假设电源电压X 服从正态分布),220(2

σN ,且知电压在250v 以下的

概率为0.9,现该电器损坏,求损坏时电源电压在200~240v 之间的概率.

45.一个电子部件包含两个主要元件，分别以X,Y 表示这两个元件的寿命（以小时计），设(),ξη的分布函数为

??

?≥≥+--=+---其它00

,01),()

(01.001.001.0y x e e e y x F y x y x ;求两个元件的寿命都

超过120小时的概率. 46. 设X 与Y 的联合密度函数为

(1)求参数A ，（2）求

P(2X-Y<1) ,(3)求分布函数在)

1,21

(),41,21(两点的值.

47．将一枚硬币连抛3次，以X 表示出现的正面次数，Y 表示出现反面的次数，求X 与Y 的联合分布律，并求事件“至少出现一次正面、一次反面”的概率。

48. 设随机向量（X,Y ）具有密度函数，

???

??>>=+-其它

01,1),(2

1y x x ce y x f y ,(1)求c,(2)求P{X<2},P{Y>2}

49.二维随机变量(X,Y)的分布函数为

??

?>>--=+--其它

b y x e x a y x F y 1

,1)

1)((),(12，

(1)求参数a,b ;(2)求}10,21{≤<≤

50．设随机向量（X,Y ）在区域}20,10);,{(≤≤≤≤=y x y x D 上服从均匀分布,求X 与Y 至少有一个小于12的概率.

51.二维随机变量(X,Y)服从分布函数:

其它01,111||,10)]1(1)[3107(2011||,1)3107(201

1

,10)1(1),(4224????

????

?<><≤≤--++<>++≥≤≤--=y x y x x y y y x y y y x x y x F

（1）求),(Y X 的边缘分布函数，（2）求X 的概率密度

52．设随机变量（X,Y ）具有下列概率密度

(1)??

?≤≤≤<=others x y x cx y x f 00,10),(，(2)

?????≤≤≤≤+=其它

02

0,103),(2y x xy

x y x f

(3)???-≤≤≤-=其它0||,01),(x

y x c y x f , (4)??

?≤≤=others y x y cx y x f 01),(22

分别求其中的未知参数c,并求关于X 和关于Y 的边缘概率密度。

53．若二维随机变量),(Y X 分别服从第52题中的概率密度，判断X 与Y 的独立性. 54．设X 服从参数1=λ的指数分布，Y 服从参数2=λ的指数分布，且X 与Y 独立，求}.2{Y X P <

55．X1,X2相互独立，且

2,1,0,}{=>=>-i x e x X p ix

i ，2,1,0}0{==

求：(1)}4,4{21>>X X P ；(2)}1{21<+X X P ；（3）1X 与2X 的联合分布函数。

56．设随机变量X 与Y 独立，下表列出了(X,Y)的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律的

57.在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件"两数之和小于1.2"的概率为多少？

58．已知X 的概率分布为

41

2

14120k

P X

π

π

，分别求)

cos(,232X Z X Y =+=的概率分布

59．已知X 的概率密度为

?????<<=其它

0208

3)(2

x x x f ,求Y=X2+1的分布函数和概率密度.

60．已知X 的概率密度为

?????≤>=100||0100||50)(2

x x x x f ,设21X Y -=,X e Z -=,求Y 与Z 的概率密度. 61．设电压Θ=sin A V ,其中A 是一个已知的正常数，相角Θ是一个随机变量，在区间（0，π）上服从均匀分布，试求电压V 的概率密度.

62．随机变量X 与Y 的联合概率密度为

??

?>>=--其它

00

,012),(43y x e y x f y

x , 分别求

(1)Y X Z += (2) ),max(Y X M = (3) ),min(Y X N = 的概率密度.

63．设随机变量X 与Y 独立，且X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，试求：(1)Z=X+Y 的概率密度. (2)),max(Y X M =的概率密度. (3)),min(Y X N =的概率密度. (4)Y X U -=2的概率密度. 64．设随机变量X 与Y 独立，且均服从参数为

p 的两点分布，

即p X P p X P -====1}0{,}1{.

分别求随机变量Y X U +=, ),max(Y X V =的分布律.并求U 与V 的联合分布律.

65．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求)X (E 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。） 66．设二维随机变量)Y ,X (的概率密度函数为??

?≤≤≤≤=00

1

012),(2x x y y y x f ,求

).Y X (E ),XY (E ),Y (E ),X (E 22+

67．设随机变量21,X X 的概率密度分别为

()??

?≤>=-,0,0,

0,221x x e x f x ()???≤>=-,

0,

0,

0,442x x e x f x 用数学

期望性质求（1）),(21X X E +

)32(2

21X X E -;（2）又设21,X X 相互独立，求)(21X X E 。 68．一台仪器有三个元件，各元件发生故障的概率分别为0.2，0.3，0.4 ，且相互独立，

试用两种方法求发生故障的元件数X 的数学期望。（写出X 的分布律及不写出X 的分布律的两种情况下。）

69．设随机变量X 具有密度函数：

???

?

???

<≤-≤<=其他

021210)(x x

x x x f 求DX EX ,。

70．(1)设???? ??-12/1312/112/103/12

~X ，求)52(3+X E ，

)52(3+X D 。 （2）设

)

4

,4(~π

π-

U X ，求： ①

)(3

X E ，)(3X D , ② ][cos X E ，][cos X D 。 （3）设X 服从均值为3的指数分布，求：

① ]2[X E ，]2[X D ； ② })(2|)({|X D X E X P <-；③ ][2X e E -，

][2X

e D -。 71．(1)设X 为n 次独立实验中事件A 出现的次数，在第i 次实验中时间A 出现的概率为

n i p i ,...,2,1,=，求DX 。

（2）设X 服从参数为2的 Poisson 分布，求随机变量23-=X Z 的期望与方差。 （3）对某一目标进行射击，直到击中目标为止，若每次射击命中率为p ，求射击次数的期

望与方差。

（4）设X 服从二项分布，且4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，求二项分布的参数

p n ,的值。

72．用切比雪夫不等式证明：能以大于９７％的概率相信，掷1000次均匀硬币时，正面出

现的次数在400到600之间。

73．设二元随机变量),(Y X 有密度函数：??

?

?

?<<<<--=其他

010,102),(y x y x y x f 求相关系数XY ρ。

74．已知随机变量ξ与η

的相关系数为

ρ，求b a +=ξξ1与d c +=ηη1的相关系数，其

中d c b a ,,,均为常数,,0≠ac .

75．已知),(Y X 服从二维正态分布，若)3,1(~2

N X ，)4,0(~2

N Y ，且

21

-

=XY ρ，

23Y X Z +

=。

（1）求)(Z E ，)(Z D ；（2）求XZ ρ；（3）X 与Z 是否相互独立？为什么？ 76．设

n X X X ,,21独立，它们的均值都为0，方差都为１，记

∑==

n

i i

X n X 1

1，求X X i

-与

X

X j -的相关系数，j i ≠。

（１）设4321,,,X X X X 独立服从（０，１）均匀分布，求：

]

5

1[4

1

∑=k k

kX

D

（２）已知随机变量Y X ,的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求：Y X U 23+=与

Y X V 3-=的方差及协方差。

77．设

n X X X ,,21的均值都是a ，均方差都是σ，任何两个的相关系数都是ρ，

∑==n

i i

X n W 1

1，求)()(W D W E 和。

78．设两个随机变量Y X ,相互独立，且都服从均值为0，方差为21的正态分布，求随机变量

Y

X -的期望。

79．设)4,

1(~N X ，)9,1(~-N Y ，且它们相互独立，试求Y X Z Y X Z 3,3221

-=+=的相关系数。

80．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，其密度函数为

??

?≥=-others

x e x f x

00)(λλ，求其各

阶矩

,4,3),(=n X E n

。 81．),(~2

σμN X ，Y 服从参数为λ的泊松分布，则（ ）

)1()()()()()()()()(22

22221λλλσλσλμ+=+=++=++=+-Y E D Y X E C Y X D B Y X E A

82．某电视机厂每月生产10000台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，该车间每月应生产多少只显像管？

83．某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，以X 表示在随意抽查的近100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。（1）写出X 的分布律；（2）利用拉普拉斯定理，求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率。

84．从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取1000粒,试求这1000粒种子的发芽率与0.9之差的绝对值小于0.02的概率.

85．设10021,,,X X X 是独立同分布的随机变量,其共同分布为区间(0,1)上的均匀分布,求

?)60(10021=≤+++X X X P

86．设),(~2

σμN X ,μ未知,且2σ已知, n X X ,,1 为取自此总体的一个样本,指出下列各式

中哪些是统计量,哪些不是,为什么? (1)μ-++n X X X 21 (2)1--n n X X (3)σ

μ

-X (4)∑

=-n

i i X 1

2

2

)(σμ

87．设

n X X ,,1 是来自具有)(2m χ分布的总体的样本.求样本均值X 的期望与方差.

88．设总体()~10,9X N ,61,X X 是它的一个样本,

∑==6

1

i i

X Z ,(1)写出Z 的概率密度; (2)

求P(Z>11).

89．设从总体),(~2

σμN X 中抽取容量为18的样本, μ,σ2未知 ,

(1)求P(S2/σ2≤1.2052),其中

1

)(1

2

2--=

∑=n X X

S n

i i

.,(2) 求D(S2).

90．设)(~),1,0(~2

n Y N X χ,X 与Y 相互独立,又

n

Y X t =

,证明),1(~2

n F t .

91．设总体)20,80(~2

N X ，从总体中抽取一个容量为100的样本，问样本均值与总体均值

之差的绝对值大于3的概率是多少？

92. 设总体()~0,1X N ,从此总体中取一个容量为6的样本(61,,X X ),设

26542321)()(X X X X X X Y +++++=,试决定常数c,使得随机变量cY 服从2χ分布. 93. 总体Y X ,独立,)625,125

(~),400,150(~N Y N X ,各从中抽取容量为5的样本,Y X ,分别样本均值,求0≤-Y X 的概率. 94．设总体X 服从参数为N 和

p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自X 的样本，

试求参数N 和

p 的矩估计量与极大似然估计量.

95．设总体X

具有概率密度为?????≥=+-其它,0,,1);()1

1(1c x x

c x f θθθθ其中参数10

<<θ，c 为已知常数，

且0>c .从中抽取一个样本n x x x ,,,2

1 ，求θ的矩估计.

96．设总体X 具有概率密度

?????<<=others

x x x f 003)(3

2θθ,

n X X X ,,,21 为一样本,未知参数

0>θ,求θ的矩估计量.

97．设总体X 具有概率密度为

????

?≤>=--0

,0,

0,

);(1x x e x x f x α

λαλαλ,其中0>λ是未知参数，

0>α是已知常数，试根据来自总体X 的简单随机样本),,,(21n X X X ，求λ的极大似然估计. 98．设总体X 服从几何分布

,10,,2,1,)1()(1

<<=-==-p k p p k X P k 试利用样本

n x x x ,,,21 求参数p 的极大似然估计.

99. 设总体22,),,(~σμσμN X 为未知参数, n X X X ,,,21 为一样本,求参数3

σγ=的

极大似然估计量. 100．设

n X X X ,,,21 是来自参数为λ的泊松分布的样本,试证对任意常数k ,统计量

2)1(S k X k -+是λ的无偏估计量.

101．设总体),(~2

σμN X ,n X X X ,,,2

1 为一样本,

∑=+-=n

i i i X X c 1

2

12

)(σ,求参数c ,

使∧

2σ为2

σ的无偏估计.

102．设总体

),(~2

σμN X ,μ已知,σ为未知参数, n X X X ,,,21 为一样本,

∑=∧

-=n

i i X c 1

|

|μσ, 求参数c ,使∧

σ为σ的无偏估计.

103．设θ?是参数θ的无偏估计量,且有0)?(>θD ,试证22)?(?θθ=不是2θ的无偏估计量.

104．设总体

),(~2σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本,试证：估计量321121

10351?X X X ++=μ

;32121254131?X X X ++=μ

;3213216131?X X X ++=μ

都是

μ的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.

105．已知总体X 的数学期望μ=)(X E ,试证：统计量∑=-n

i i X n 12)(1μ是总体方差2

σ的无

偏估计.

106．设),,,(21n X X X 是取自均匀分布),0(θU 的总体X 的一个样本.试证

}{max ?1i n i X ≤≤=θ是θ的一致估计.

概率论大作业讲解

现实生活中的大数定理及中心值定理的应用 电子工程学院

目录 摘要........................................... 错误！未定义书签。第一章引言...................................... 错误！未定义书签。第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2大数定律的定义 (3) 2.3几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (6) 3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11) 参考文献 (12)

对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现. 本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.

概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值. 在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1 1n i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位. 大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．

概率论课后习题答案

习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

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习题一 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： （1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A 表示“点数之和为7”； （2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A 表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”； （3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A 表示“寿命在2 000到2 500小时之间”. 2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间； （2）试写出下列事件所包含的样本点：A ={至少出现一个正面}，B ={出现一正、二反}，C ={出现不多于一个正面}； （3）如记i A ={第i 枚硬币出现正面}（i =1，2，3），试用123,,A A A 表示事件A ，B ，C . 3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A ＝{取得球的号码是偶数}，B ＝{取得球的号码是奇数}，C ={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： （1）A B U ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）C A ；（6）B C U ；（7）A C -. 4. 在区间上任取一数，记112A x x ??=<≤????，1 34 2B x x ??=≤≤????，求下列事件的表 达式：（1）A B U ；（2）AB ；（3）AB ，（4）A B U . 5. 用事件A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件： （1）A 出现，B ，C 都不出现； （2）A ，B 都出现，C 不出现； （3）所有三个事件都出现； （4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于二个事件出现； （8）三个事件中至少有二个出现. 6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表示事件“第次抽到废品”，试用的运算表示下列各个事件： （1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品； （2）只有第一次抽到废品； （3）三次都抽到废品； （4）至少有一次抽到合格品； （5）只有两次抽到废品. 7. 接连进行三次射击，设={第i 次射击命中}（i ＝1，2，3），试用表示下述事件： （1）A ={前两次至少有一次击中目标}； （2）B ={三次射击恰好命中两次}； ]2,0[i A i i A i A 321,,A A A

济南大学概率论A大作业答案

第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2． 2 1 81，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85； 8. 996.01211010 12或A -； 9． 2778.0185 6 446==A ；10. p -1. 二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B . 三、解答题 1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=） 相互独立， 又）B A B A P B P A P ,,9 1 )(),((==∴ .3 2 )(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P 2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末 尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则: =)(A P )()(B P B P += .125 3 4 1 2123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式： )()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ） )()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1) 设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的，

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论套练习题及答案

《概率论与数理统计》 同步练习册 学号＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿ 专业＿＿＿＿＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿＿＿＿＿

省电子技术学校继续教育部二O一O年四月

练习一 一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示 （A）A，B，C中至少有一个发生；（B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生；（D）A，B，C都不发生。2．已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X～B（n，p），则有 （A）E（2X－1）＝2np；（B）E（2X＋1）＝4np＋1；（C）D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1；（D）D（2X－1）＝4np（1－p）。4．X的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a＝（） （A）1/3；（B）0；（C）5/12；（D）1/4。5．常见随机变量的分布中，数学期望和差一定相等的分布是 （A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。 二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2

7． 已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。则整个电路断电的概率是______________________. 三、证明题 8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(； （2）P （1 )(2)-=ξ。

概率论与数理统计大纲各章节作业

第一章随机事件与概率 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}； A={（正，反），（正，正）}； B={（正，正），（反，反）}； C={（正，反），（正，正），（反，正）}。 2.设31)(=A P ，2 1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）AB =?，（2）B A ?，（3）81)(=AB P 解: （1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P （2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375 .0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他 拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少 解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 10 3819810991109101) |()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+= ++=∴ ++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥 Θ 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。

概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示 下列事件：

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。

概率论课程期末论文大作业

《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108

正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

概率论与数理统计1_8课后习题答案

第一章 思 考 题 1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个 能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ ３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把 它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 67 5844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等， 或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？ ５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不 相容事件又有何区别和联系？ ６．条件概率是否是概率？为什么？ 习 题 1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次 答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次 答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω== （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时， 样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥ 2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB (4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A Y Y (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A Y Y

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论习题试题集

第一章 随机事件与概率 一、填空题 1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)(=A B P ，则______________)(=B A P 。 2.设A ，B 为随机事件，已知 3.0)(=A P ， 4.0)(=B P ， 5.0)(=B A P ，则____________)(=B A P 。 3. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为6.0和5.0，现目标被击中，则它是甲命中的概率为___________。 4. 某射手在3次射击中至少命中一次的概率为87 5.0，则该射手在一次射击中命中的概率为___________。 5. 设随机事件 A 在每次试验中出现的概率为3 1,则在3次独立试验中A 至少发生一次的概率为___________. 6. 袋中有黑白两种球,已知从袋中任取一个球是黑球的概率为 41,现从袋中不放回地依次取球,则第k 次取得白球的概率为___________。 7. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为7.08.09.0，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率是___________。 8. 电路由元件A 与两个并联的元件B ，C 串联而成，若A ，B ，C 损坏与否相互独立，且它们损坏的概率依次为1.02.03.0，，，则电路断路的概率是___________。 9. 甲乙两个投篮，命中率分别为6.07.0，，每人投3次，则甲比乙进球数多的概率是___________。 10. 3人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是4 13151，，，则此密码被译出的概率是________。 二、选择题 1. 对于任意两个事件A ，B ，有)(B A P -为（ ） （A ）)()(B P A P - （B ）)()()(B A P B P A P -+ （C ）)()(AB P A P - （D ）)()()(AB P B P A P +- 2. 设A ，B 为两个互斥事件，且0)(,0)(>>B P A P ，则下列正确的是（ ）

最大似然估计学习总结(概率论大作业)

最大似然估计学习总结(概率论大作业)

最大似然估计学习总结 航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要：最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。 关键词：最大似然估计；离散；连续；概率密度最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。

最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？ 我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所

概率论习题答案

第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质

随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。