广义相对论简介

3．广义相对论的简介洛伦兹变换告诉我们，时间与空间有内在联系。“能量动量张量”的表达式和“质能关系式表明，质量与运动不可分割，真空光速不变原理和相对性原理告诉我们，一切惯性系平权。所以绝对时空的概念被Einstein抛弃了。抛弃绝对时空导致了一个新的困难：惯性系如何确定？

不仅如此，万有引力不能纳入相对论的框架。

在对以上两个问题的反复思考下，Einstein提出了广义相对性原理和等效原理作为建立新理论的基石。

（1）狭义相对性原理 一切惯性参考系都是平权的。基本物理规律在任何坐标系形式下都不变——广义协变原理。

（2）一切惯性参考系内，任意参考者测量光速都是c。

（3）等效原理。

1907年，Einstein在《关于相对论原理和由此得出的结论》一文中，作出了关于引力对时钟的影响及引力红移的预言。他根据引力场与惯性力场等效的思想得出，一个处于引力场中的时钟，当所在点引力势为Ф时，它所指示的当地时间读数将是与它调准的不处在引力场中的同样读数的（1+Ф/c2）倍。“在这个意义上，我们可以说，在过程发生地点的引力势愈大，在时钟中发生的过程——一般说来是任何物理过程——也就进行得愈快。”[1]同样的结论在1911年4月所发表的《引力对光传播的影响》一文中也给出了。在这篇论文中，Einstein从等效原理出发，得出了光从无引力场的真空中的频率ν0到

引力势为Φ中的频率ν的变化与引力势间的关系是ν=ν0(1+Φ/c2)，这与引力场中时钟读数的变化一致；同时结合波传播的惠更斯原理，得出光在经过引力场时传播方向发生朝向天体偏折的结论，偏折角为以后实际测量结果和广义相对论计算结果的一半。在这篇论文中，Einstein根据等效原理还论证了静态引力场的光速不是常数，处于引力场为Φ的场中光速为c与真空中光速c0的关系是c=c0(1+Φ/c2)。半年后，亚伯拉罕首次把这个结论推广到非静态场中，他尝试后发现把非恒定光速的思想推广到狭义相对论是不可能的。亚伯拉罕对此评论说：“c的可变性意味着洛伦兹群只能在无限小区域中成立。”这一论断后来被Einstein马上发现[2]。

对于Einstein来说，1907——1908年，是广义相对论的初创阶段。直到1911年，Einstein还没有放弃牛顿的引力论，只是在旧理论上点缀了“等效原理”，弄成了东拼西凑的混合物，得出的结论在量上不可能是精确的。Einstein在1912年2月和1912年3月接连准备好了两篇关于引力的文章，提出的都是时间弯曲而空间平直的模型；还提出了光速在引力场中不是常数，等效原理只对无限小的场成立，引力场能量密度带来的引力场的非线性等观点。

从1912年8月Einstein回到苏黎士以后的一年多的时间里，他与格罗斯曼合作，先后发表了三篇文章，这些文章标志着广义相对论发展过程的重要阶段。其中第一篇论文《广义相对论纲要和引力论》发表于1913年。在这篇论文中，Einstein在他的新思想与相适应的数学方法相结合上作了第一次尝试。但是，有两个问题值得注意，第一

个是论文中给出的场方程KΘμν=Γμν不是普遍协变的，它的协变关系仅只在线性变换中才能成立。然而广义协变性原理却要求在任意变换下的协变性。而且，在无限弱的静止引力场的特殊条件下，场方程的一级近似应该退化为牛顿引力定律的形式。第二个问题是后来发现的，由它给出的结果不能与水星近日点进动的观测值相符。存在这两个问题的根本原因在于，Einstein为了坚持守恒定律限制了坐标系的选择，为了维护因果性，放弃了广义协变性的要求。因为他认为如果把拉普拉斯算符作用到张量gμν上时，这个算符会退化，因此要求引力场方程只对一个确定的变换群协变。同时，他还认为，对任意坐标系变换都保持协变的引力定律，与因果原理矛盾。

Einstein的这个失误，使他又花了近两年的艰苦努力。在这期间，亚伯拉罕，米，诺茨屈劳姆就引力问题曾与Einstein展开了讨论，这对引力理论的发展起了重要的推动作用。诺茨屈劳姆的理论是一个标量理论，而且可以在闵可夫斯基空间中得到理解，被称为是狭义相对论性引力理论，其中空间是弯曲的，但具有平坦闵可夫斯基坐标“映象”这一人为限制。在这个理论中，引力质量正比于系统的总质量，等效原理是统计原理。不过这个理论不能预言光线在星体引力场附近的偏折。

1914年，Einstein与洛伦兹的学生福寇一起发表了一篇严格遵守广义协变性要求的引力理论的简短论文，发现从绝对运算和广义协变性的要求出发，可以证明诺茨屈劳姆的理论只是Einstein—格罗斯曼理论的一种特殊情况，其标志是真空光速不变这一附加条件；

Einstein —格罗斯曼理论包含着光的弯曲，而诺茨屈劳姆的理论没有光的弯曲。

1.广义坐标变换

设一个时空区域同时被旧坐标系()3210x x x x x ,,,μ和新坐标系()

3'2'1'0x'x x x x ,,,'μ所覆盖，其中','ct x ct x 00==，c 是光速，t 与t ’是时间。新旧坐标之间的关系可表示为

()

)(',,,a 3210x x x x x x x'x'μμμ== ),,,,(3210a =μ （1） 每一个新坐标都是四个旧坐标的函数。

微分（1）式，得到广义坐标变换下微分的变换关系

),,,,(''3210dx x x dx =??=νμννμμ

（2） 这里采用了Einstein 惯例。

（2）的逆变换为

),,,,('3210dx x'x dx =??=νμμμνν

（3） 定义在坐标变换中不变的量为标量。

在广义坐标变换下，向坐标微分元一样变换的量，称为逆变矢量，

),,,,(''3210A x x A =??=νμννμμ

（4） 在广义坐标变换下，变换规律为

),,,,('

'3210A x x A =??=νμνμνμ （5） 的量称为协变矢量。容易看出，逆变和协变矢量都有四个分量组成。 在广义坐标变换下按

)('')(')('''25T x'

x x x T 24T x'x x'x T 23T x x x x T βανβαμνμαβνβμαμν

αββναμμν

????=????=????= 变换的量分别称为逆变张量、协变张量、混合张量。

2.张量的运算：

μνμνμνC B A =+ （26）

σμνσμνD B A = （27）

缩并运算：

u B A =μμ （28）

3.度规张量

在四维时空中，我们把两点间的距离推广为“间隔”。在直角坐标系中，它可表示为

222222dz dy dx dt c ds +++-=（29）

间隔的平方应与坐标微元的二次方有关

νμdx dx ds 2--（30）

但左边是标量，而右边是逆变矢量，必须让坐标微分元与一个二阶协变张量缩并

νμμνdx dx g ds 2=（31）

张量μνg 称度规张量共十六个分量，可用矩阵表示

??????

? ??333231302322212013121110

03020100g g g g g g g g g g g g g g g g （32）

它是一个对称张量νμμνg g =。

3、时间与空间

在广义相对论中，跟据等效原理，可对时空中的任意观测者A 引入相对于他瞬时静止的互补惯性系B ，并仿照狭义相对论，定义静止于B 系中的“真实钟”为坐标钟，它所记录的时间为惯性系中所固有的时间。

由狭义相对论

系B 的固有时间为

c

ids d =

τ (33) 微分几何告诉我们

B A ds ds =（34）

所以，我们可以合理的定义观测者A 的固有时间

图3 观测者A 与B B B A A d c ids c ids d ττ===（35） 的世界线 下面我们来考察相对于某一个坐标系μx 静止的观测者，寻找它的坐标时间和固有时间之间的关系。 由（29）和（35），不难得到此关系为

dt g dx g c

1dx dx g c 1c ids d 00000-=-=-==

νμμντ（36）

在图4中，假定A 与B 空间相邻点，光信号从B 射向A ，再从A 射向B ，所需坐标时间为

02010dx dx x )()(+=?（37）

未假定光速的各向同性，所以01dx )(不一定等于02dx )(，在B 引入局

部惯性系0x ?相应的固有时间为

图4 固有距离的测量 000dx g c

1-=?τ（38） 在局部惯性系中，光速各向同性等于c ，因此，两相邻点的纯空间距离为

000x g 2

12c dl ?-=?=τ（39） 此即用标准尺测得的纯空间距离。

由),,,()(321k i dx dx g dx dx 2g dx g 0ds k i ik i 00i 20002=++==（40） 得00k i ik 000k 0i i 0i 0g dx dx g g g g dx g dx )(-±-=

（41） 00k

i ik 000k 0i 0g dx dx g g g g 2x )(-=?

带入（38）可得

k i ik 2k i 000k 0i ik dx dx dl dx dx g g g g dl γ=???

? ?

?-=（42） 其中00

0k 0i ik ik g g g g -

=γ是纯空间度规。 4、短程线 A 、B 之间的一根曲线长度可用积分给出

?=B

A ds I （43）

由变分原理得到

0ds B A =?δ(44)

沿曲线人选一个标量参数λ并注意到νμμνdx dx g ds 2=上式可写为

0Ld B

A =?λδ（45）

其中拉格朗日函数

L=21x x g d ds )(..νμμνλ=（46） 而广义速度λμμ

d dx x =. 将（46）带入拉格朗日方程

0x L d d x L =???

? ????-??.μμλ （47） 可得短程线方程

0d dx d dx d x d 22=Γ+λλλ

νμαμνα （48） 它也是广义相对论中的运动方程。

回到广义协变原理之后，Einstein 在1915年10月与11月，集中精力探索新的引力场方程。先后于11月4日，11日，18日和25日，每周一次，一连四周向普鲁士科学院递交了四篇论文。在11月4日的论文中，他提出了废弃1913年提出的场方程的原因。这些理由在11月28日写给索末菲的信中，提得更加明确。他说：“我认识到，到现在为止，我的引力场方程是完全站不住脚的。关于这一点，有如下线索：（1）我证明了，在一个均匀转动的参照系中，引力场并不满足场方程。（2）水星近日点进动每一百年不是18″而是45″。（3）在我去年的论文中，协变的考察没有提供哈密顿函数H 。如果把它加以适当推广，它就会允许任意的H ，于是，要适应坐标系的协变，是徒劳无功的。在对以前的讨论结果和方法失去一切信心之后，我清楚

地看到，只有与普遍的协变理论，即黎曼协变理论联系起来，才能得到令人满意的解决。”[3]摆脱了引力场方程只能在线性变换下协变的限制之后，广义相对论的进展来自于Einstein 对张量的重新认识。他保留了“对泊松方程推广”的原有形式。但现在他认为牛顿引力理论的泊松方程▽2φ=4πGρ/c 中的ρ，应对应于引力源体系的质量，能量，动量以及全部的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量T μν；而牛顿引力势φ则对应于时空度规张量g μν，再根据张量的对称性，协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了协变形式的引力场方程： R μν-g μνR/2=8πGT μν/c 4 ，其中G 为牛顿引力常量，Rμν为里奇张量，R 为标量曲率张量。引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了引力源物质体系，它们在场方程中的结合，恰恰反映了马赫原理的思想。

5、场方程

时空曲率=能量动量（49）

物质的能量动量可写成二阶张量μνT 。时空曲率可写成αλμνR 。

可以把曲率张量缩并，得到一个二阶张量λμR

λμνλμνρλμννρR R R g ≡=（50）

称Ricci 张量，它是对称张量，有十个独立分量。代入（49） μνμνκT R -=(51)

用逆变张量写出就是μνμνκT R -=（52）

μνT 应满足能量—动量守恒定律

0T =μνν;（53）

由??????

? ??=333231323222121312111321T T T cM T T T cM T T T cM c S c S c S T ///εμν（54） 此式用三维空间的矢量写出来就是

)()(56t M T 55t S ??-=????-

=??ε 其中00T =ε是能量密度，0i i cT S =是能流密度，M 是动量密度，三维空

间的张量ij T （i ，j=1，2，3）是动量流密度。（55）、（56）分别是能量

和动量守恒定律。

（53）要求（52）左端满足0R =μνν;。但这一般不可能。

由毕安基恒等式

μνμννμνμνR g R 0R g 21R ==-

;)(（57）

R 称曲率标量因此，如果把方程（51）、（52）改写成

μνμνμνκT R g 21R -=-（58）

μνμνμνκT R g 2

1R -=-(59) 矛盾就消除了。这两个方程就是Einstein 给出的广义相对论的基本方程——场方程。它们通常称为Einstein 场方程，反映物质的能量—动量如何决定时空曲率。

德国数学家希尔伯特也于1915年11月20日，几乎同时得到了满足广义协变原理的引力场方程。虽然马赫原理在广义相对论的起源中，起了重要的启发作用，而且Einstein 相信广义相对论实现了马赫

原理所要求的废除绝对空间的哲学愿望。但是，马赫拒绝承认相对论；严格的分析表明，广义相对论不完全符合马赫原理，马赫原理既不是广义相对论的逻辑前提，也不是它的推论。

马赫关于惯性的思想萌发于贝克莱的著作中，大体上可归结为：（1）空间本身并不是一件“东西”，它仅仅是从物质间距离关系的总体中得到的一种抽象。（2）一个质点的惯性是该质点与宇宙中所有其他物质相互作用的结果。（3）局部的无加速度判据决定于宇宙中全部运动的某种平均值。（4）力学的全部本质是所有物体的相对运动。

一个旋转着的弹性球在其赤道附近鼓起。这个球是怎样“知道”它在旋转而必须是鼓起的呢？对于这个问题，马赫可以这样回答：它“感觉”到围绕它旋转的宇宙物质的作用；这是一种由于转动造成的宇宙物质对球体的万有引力失去原来的平衡达到的剩余引力。但对牛顿来说，这是相对于绝对空间的转动形成的（惯性）离心力，和万有引力截然不同。Einstein将这些思想的综合称为“马赫原理”。当然，马赫的这些思想还不成熟，因为还根本没有一个“质量感应”效应的定量理论。在通向广义相对论的某个阶段，Einstein曾经设想，牛顿的平方反比律与一个完善的引力理论的差别，就像仅仅以库仑定律为基础的简单电学理论与麦克斯韦最终理论的差别一样。1953年，夏马复活并发展了1872年蒂斯朗的麦克斯韦形式的引力理论，发现它在很大程度上包括马赫原理：惯性力对应于宇宙的引力“辐射场”，并与距离的一次方成反比。不幸的是，这个理论在其他方面和相对论相抵触。例如，在狭义相对论中质量随速度而变化，但在麦克斯韦理论中电荷

应当是不变量。再者，由于质能关系式，物体的引力结合能具有负能量（负质量），因而系统总质量不等于部分质量之和。而在麦克斯韦理论中，作为线性理论的直接结果，电荷（类似于质量）是严格可加的。在引力理论的发展史上，类似麦克斯韦理论的引力磁场理论有不少，最后证明多半是广义相对论的弱场近似形式。

Einstein对惯性问题的解决方法，即广义相对论，要比麦克斯韦理论复杂得多。在“一级近似”下，它简化为牛顿理论；在“二级近似”下，它实际上具有麦克斯韦理论的特征。至于在什么意义上，它是真正“马赫主义”的，还有争论。任何时候都应当注意：（1）马赫原理是扎根于经典运动学之中的；（2）它没有考虑可能作为空间内容的“场”。因此，它在近代物理学中完整的公式表述还是成问题的。Einstein内心期望的广义相对论是符合等效原理的：“在一个贯彻一致的相对论中，不可能有相对于‘空间’的惯性，而只有物体相互的惯性。因此，如果我使一个物体距离宇宙中别的一切物体在空间上都足够远，那么它的惯性必定减到零。”不过，场方程的很多解不符合这个要求。

Einstein指出，依据马赫原理应该期望：（1）在物体附近有物质堆积时，它的惯性质量应增加；（2）邻近物体作加速运动时，此物体应受到一个与加速度同方向的加速力；（3）转动的中空物体，必在其内部产生径向离心力与科里奥利力。实验发现，广义相对论中的这些效应的确存在，但不象马赫原理期望的那么大。广义相对论给出了介乎牛顿立场与马赫立场之间的中间立场。比较彻底地贯彻了马赫原理

的是Brans - Dicke理论，而不是广义相对论。

美国科学哲学家Michael Friedman指出，Einstein在对相对论作哲学解释时，混同了运动相对化的两种策略：马赫的相对化纲领和广义相对性化纲领。马赫的相对化纲领要求用相对性术语定义所有绝对项（比如把惯性原理解释为相对运动变化带来的引力的变化效应）；广义相对性化纲领只要求运动方程可以写成广义协变性的形式，并不要求象莱布尼兹的相对化纲领所主张的消去所有绝对项。从牛顿力学转向相对论时，相对论只部分地实现了马赫的纲领（加速和转速现象部分地由远处质量决定而不是完全由外部质量决定）。造成这种误解的原因是，在广义相对论以前的物理理论中，规定理论中的客体的对称性，惯性系等价和等效原理所决定的局部等价造成的惯性力场与引力场的不可分辨性，以及物理规律的数学协变性这三者是一致的。而在广义相对论中，这三者是不同的：例如，主张惯性系与非惯性系可以分辨的牛顿力学也可以写成广义协变性的数学形式，只要在牛顿力学方程中增加与加速度有关的项，就能在平直时空中把牛顿力学表述成广义协变的方程；等效原理只能在局部保证惯性力场与引力场不可分辨，而在整体上永久引力场不可能采用坐标协变的方式消去，等等。在Einstein的《广义相对论的基础》这一经典文献中，他从讨论假想的空虚时空中的两个球在相互旋转时是否会出现一个球鼓起为椭球的思想实验中包含的马赫原理开始，悄悄地溜向需要扩展相对性原理使得惯性运动和非惯性加速和转动在物理规律上不可区分，然后把这种要寻求的广义相对性等同于运动方程的广义协变性。当然，这条思

路是误导人的。运动方程数学形式的相同和协变性不足以保证惯性系和非惯性系的物理等价，也不足以表达Einstein心目中要寻求的广义相对性原理。物理定律数学形式的相同和协变性的概念只有在平直时空理论的文本中对应于物理等价性和相对论的概念，而在平直时空中存在着一组优先的惯性系。在广义相对论中，无引力场太空中静止或作匀速直线运动的参照系和引力场中无自转的自由下落的无穷小参照系都是严格的惯性系，称为局域惯性系；局域的绝对加速和绝对转动可以从局域的惯性运动中分离出来，和以前的物理理论一样，非惯性运动和惯性运动的运动定律不同：在非惯性运动中，具有用弯曲时空度规描述的惯性力和相对论修正项[4]。

实际上，很多学者相信，哥德尔所给出的广义相对论旋转宇宙模型表明时空的确具有绝对性，宇宙可以绕着自己的时空框架旋转不息，绝对空间和绝对时间的幽灵仍然萦绕于广义相对论的理论内核中。即使否定牛顿的全域静止的绝对时空会在广义相对论中出现，相对于一组定域惯性系的绝对加速和绝对转动的确存在。这里的绝对时空恰好是因为旋转宇宙在无限远处的度规不同于惯性时空度规的渐近平坦性而被识别出来的。哥德尔解需要非零的宇宙常数，具有空间均匀性而不具备各向同性，出现了封闭的类时线，物质在这些宇宙中相对于局部惯性框架旋转等特点。不少学者怀疑哥德尔解的物理真实性，Einstein在怀疑的同时指出哥德尔解重视对时间概念的深入分析，并且注意到在哥德尔的新解中，对于按宇宙论意义隔得很远的世界点而言，早迟之分（过去，现在和未来的差别）被抛弃了。

有关广义相对性原理在广义相对论中是否必要的问题是有争论的。苏联物理学家B.A.福克认为，由于自然规律未必一定得具有微分方程的形式，而协变性正是对着这种形式而言的。那么除了方程以外，还必须加上初始条件，边界条件等其它条件。但初始条件和边界条件不是协变的，同样的公式在不同的参照系中对应着不同的物理内容。这说明在两个参照系中，实现两种具有同一形式补充条件的过程，一般是不可能的，因此广义相对性原理是不存在的。由此福克进一步认为：对表达Einstein引力理论，广义相对性原理也是没有必要的。实际上，只是从这个原理的全部逻辑结论中，应用了场的微分方程的协变性。福克和M.Friedman一样，把广义协变性视为数学或逻辑的要求，而且不应把广义协变性等同于Einstein所设想的，但并非为相对论所必需的广义相对性。而中国物理学家周培源认为，物理学规律满足协变性的要求，不仅是逻辑和数学的要求，更是因为物理规律本身具有在各参照系通用和变换的客观性；福克等人把相对性理解为物理过程的相似性，而不是物理过程在坐标变换下的协变性，这就引伸出了错误的哲学理解。

我们认为，广义协变性是表达物理规律的广义相对性的一个数学理想，它要求物理规律在四维黎曼时空保持协变性。四维黎曼时空虽然不像欧几里德空间或闵可夫斯基时空那样成为牛顿力学或狭义相对论的先验几何，其中运动学是独立于动力学的；但是，四维黎曼时空却对引力场的几何化提供了定性的约束，黎曼时空中的质点运动学是与引力场的动力学紧密相关的。四维黎曼时空的引入，并不是任意

的约定，而是因为非惯性运动引起的相对论效应必然导致欧氏几何和闵氏几何失效，时空出现弯曲；根据等效原理，引力场局域地等效于惯性力场，就可以证明相对论的引力场需要引入弯曲时空。在建立广义相对论的过程中，Einstein考虑了一个转动的刚性圆盘的理想实验。他发现，当刚性圆盘转动时，在不同的半径处，由于旋转的线速度不同，引起的洛仑兹收缩也不同，圆周与其半径之比不再是2π，从而使欧几里得定理在匀速转动参照系中，极有可能不再成立。然而旋转圆盘的惯性力与引力等效，由此，Einstein认识到，在引力场中，欧几里得几何学不严格成立。Einstein的广义相对论本质上就是将引力场与弯曲时空的度规联系起来的产物，广义协变性是通过引入黎曼时空的柔性度规自然出现的，等效原理保证了引力场的黎曼几何化处理具有物理意义。

通过Einstein的学生N. 罗森等人的努力，弯曲时空规范的广义相对论也建立起了平直时空的新形式，它们之间可以通过数学变换形式相互转换。弯曲时空规范以三组已经建立的数学化定律为基础：Einstein方程，它描述物质如何产生时空曲率；告诉我们理想尺钟测量Einstein弯曲时空的长度和时间的定律；告诉我们物质和场如何在弯曲时空中运动。平直时空规范也以三组定律为基础：描述平直时空中的物质如何产生引力场的定律；描述场如何决定理想尺寸的收缩和理想的时钟流如何膨胀的定律；描述引力场如何决定粒子和场在平直时空中运动的定律。在弯曲时空里，Einstein场方程在口头上可以说“质量产生时空曲率”。用平直时空规范的语言，场方程被说成“质量

产生决定尺度收缩和时钟膨胀的引力场”。虽然Einstein场方程的这两种说法在数学上是等价的，但在语言上却大不相同，可以相互推导出来[7]。平直时空规范与弯曲时空规范的关系非常类似于彭加勒——洛伦兹理论与Einstein狭义相对论的关系。如果在能量动量张量中考虑引力场本身的能量贡献，新的平直时空引力论就与广义相对论不完全等价了，这就是所谓的平直时空引力理论（FSG）或狭义相对论时空理论（SR时空理论）；它目前没有被证伪，但在强调引力场的物质性，消除能量动量张量的二阶张量与引力场曲率张量的四阶张量的不对称性，保证引力场和物质场总能量——动量守恒等方面比广义相对论要满意。

广义相对论，相较于狭义相对论，进一步指出时间——空间与能量——动量之间的关系。广义相对论认为，能量——动量的存在，会使四维时空弯曲。引力是一个历史概念，并不是客观存在，引力效应只是时空弯曲的一种表现形式而已。

[参考文献]

[1] 《Einstein文集》（第二卷），范岱年赵中立许良英（编译），商务印书馆，1977年3月第1版,p203.

[2] [美] A.佩斯：《上帝是微妙的——Einstein的科学与生平》，陈崇光德清等译，科学技术文献出版社，1988年8月第1版,p280.

[3]《Einstein文集》（第一卷），许良英李宝恒赵中立范岱年（编译），商务印书馆，1976年1月第1版,p80.

[4] 同[2]，p354. [7] Michael Friedman , Foundation of space-time

Theories, Princeton: Princeton University Press,pp206~211.

广义相对论基础

广义相对论基础 Introduction to General Relativity 课程编号：S070200J15 课程属性：学科基础课学时/学分：60/3 预修课程：大学理论物理、高等数学 教学目的和要求: 本课程为物理学、天文学研究生的学科基础课，同时也是为今后有可能接触到引力理论的其它学科研究生的学科基础课。主要介绍爱因斯坦的广义相对论。使学生具有在今后接触到引力场问题时，能通过阅读有关书籍文献对更深入的问题进行了解的能力。本课强调弄清物理和几何图像。本课不涉及引力场量子化、引力和其它作用之统一以及以抽象数学工具表现时空几何等问题。本课也扼要对广义相对论的观测和实验检验，黑洞问题和宇宙学问题进行简要地介绍。 内容提要: 第一章张量分析基础 张量代数，联络，协变微商，测地线方程，Killing矢量。 第二章引力场方程 引力与度规，引力红移，黎曼曲率张量，Bianchi恒等式，引力场方程。 第三章场方程的应用（Ⅰ） 西瓦兹解，西瓦兹场中质点的运动，光线偏折，引力透镜效应，雷达回波，0Kruskal坐标和黑洞，Keer度规。 第四章场方程的应用（Ⅱ） 宇宙学原理,共动坐标系，Robertson-Walker度规，宇宙学红移，标准宇宙学模型简介。 主要参考书： 1. R, Adler， M.Bagin,M.Schiffer，Introduction to General Relativity（第二版），McGraw-Hill Book Company，New York，1975. 2. 俞允强，《广义相对论引论》，北京大学出版社，北京，1997。 3. S. Weinberg，Gravitation and Cosmology，John Wiley Sons,Inc.，New York，1972. 撰写人：邓祖淦(中国科学院研究生院) 撰写日期：2001年09日

广义相对论简介

广义相对论简介 引子 由牛顿力学到狭义相对论，基本观念的发展是，其一：由一切惯性系对力学规律平权到一切惯性系对所有物理规律平权；其二：由绝对时空到时空与运动有关。 爱因斯坦进一步的思考：非惯性系与惯性系会不平权吗？物质与运动密不可分，那么时空与物质有什么关系？关于惯性和引力的思考，是开启这一迷宫大门的钥匙，最终导致广义相对论的建立。 §1 广义相对论的基本原理 一、等效原理 1. 惯性质量与引力质量 实验事实：引力场中同一处，任何自由物体有相同的加速度。 根据上述事实及力学定律，可得任一物体的惯性质量 与引力质量 满足 常量，与运动物体性质无关，选择合适的单位，可令 ＝ ＝ ， 即惯性质量与引力质量相等。从而，在引力场中自由飞行的物体，其加速度必等于 当地的引力强度 。 2. 惯性力与引力 已知在非惯性系中引入惯性力后，可应用力学规律，而惯性力。在 此基础上，讨论下述假想实验。 1) 自由空间中的加速电梯(如图1) 以 为参考系,无法区分ma 是惯性力还是引力。因此，也可以认为是在引力场中 匀速运动的电梯。 2) 引力场中自由下落的电梯S*(如图2) 以S*为参考系，无法区分是二力平衡 还是无引力。因此，也可认为S*是 自由空间中匀速运动的电梯。 以上二例表明，由 ＝ ， 可导出惯性力与引力的力学效应不可区分， 或者说，一加速参考系与引力场等效。当然，由于真实引力场大范围空间内不均匀， 图 图1 图 2

因此，这种等效只在较小范围空间内才成立，我们称之为局域等效。 3. 等效原理 弱等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切力学效应等效。 强等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切物理效应等效。 广义相对论的等效原理是指强等效原理。 4.对惯性系的再认识——局域惯性系 按牛顿力学的定义，惯性定律成立的参考系叫惯性系。恒星参考系是很好的惯性 系，不存在严格符合此定义的真正的惯性系。惯性系之间无相对加速度。 按爱因斯坦的定义，狭义相对论成立的参考系，或（总）引力为零的参考系叫惯 性系。因此，以引力场中自由降落的物体为参考的局域参考系是严格的惯性系，简 称为局惯系。引力场中任一时空点的邻域内均可建立局惯系，在此参考系内运用狭 义相对论。同一时空点的各局惯系间无相对加速度，不同时空点的各局惯系间有相 对加速度。 二、广义相对性原理 原理叙述为：一切参考系对物理规律平权，即物理规律在一切参考系中的表述形 式相同。 为了在广义相对性原理的基础上建立广义相对论理论，爱因斯坦所做的进一步工 作是使引力几何化，即把引力场化作时空几何结构加以表述。对广义相对论普遍理 论的研究数学上涉及黎曼几何、张量分析等，超出本简介范围，下面只作浅显的说 明。 §2 引力场的时空弯曲 一、弯曲空间的概念 从高维平直空间可观测低维平直空间与弯曲空间的差异。 平面——二维平直空间内：测地线（即两点间距离的极值线）为直线，三角形内 角和＝，圆周长＝。 球面——二维弯曲空间：测地线为弧线，如图。三角形(PMN)的内角和＞， 圆周长＜。 故通过测量可判定空间弯曲。(如图3) Array二、引力场的空间弯曲 讨论爱因斯坦转盘(如图4) 相对惯性系S以角速度均匀 转动的参考系。由S系可推知 系中的测量结果（狭义相对论） 图 3

广义相对论的理解

11、广义相对论的几 个疑难问题 1、暗物质的本质：现代宇宙学观测表明宇宙中存在暗物质和暗能量。但是它们的起源仍然是个谜。我们能找到的普通物质仅占整个宇宙的4%，各种测算方法都证实，宇宙的大部分是不可见的。要说宇宙中仅仅就是暗色尘云和死星体是很容易的，但已发现的有力证据说明，事实并非如此。正是对宇宙中未知物质的寻找，使宇宙学家和粒子物理学家开始合作，最有可能的暗物质成分是中微子或其它两种粒子：neutralino和axions（轴子），但这仅是物理学的理论推测，并未探测到，据认为，这三种粒子都不带电，因此无法吸收或反射光， 但其性质稳定，所以能从创世大爆炸后的最初阶段幸存下来。 天文学家已经证明：宇宙中的天体从比我们银河系小100万倍的星系到最大星系团，都是由一种物质形式所维系在一起的，这种物质既不是构成我们银河系的那种物质，也不发光。这种物质可能包括一个或更多尚未发现的基本粒子组成，该物质的聚集产生导致宇宙中星系和大尺寸结构形成的万有引力。同时，这些粒子可能穿过地面实验室。 美国能源部LANL实验室的液体闪烁体中微子探测器、加拿大Sudbury中微子观测站和日本超级神冈加速器实验的最新结果给出 有力的证据：中微子以各种形式“振荡”，因此必定会具有质量。虽然质量很小，但宇宙中大量的中微子加起来可使总的质量达到相当高。美国费米国家实验室新的加速器实验MiniBooNE和MINOS将研究中微子震荡和中微子质量。 尚未发现的其它粒子有可能存在，例如一种称为超对称的新对称理论预言有一种大的新类型的粒子，其中有些可解释暗物质。现正在费米实验室TeV能级加速器进行的和计划在CERN正建造的大型强子对撞机（LHC）上开展的实验，以及地下低温暗物质寻找和空间利用伽马射线大面积天体望远镜所进行的实验，目的都是要寻找超对称粒子。 阿尔法磁谱仪（AMS）安装在国际空间站上，寻找反物质星系和

广义相对论的学习总结

广义相对论的学习总结 1.引言 1.1前言 经过过去一年对广义相对论的学习，基本对广义相对论的基本原理和运用有了比较完整的认识。这篇文章是为了总结自己学习的体会，尽量用自己的语言谈谈对广义相对论的理解。由于作者水平有限，也为了文章的简洁，所以省去数学推导，仅保留基本的数学公式和方法说明。 广义相对论是爱因斯坦一大理论成果，可以解释宏观世界一切物体的运动，可以在一切坐标系下运用，本身又保持了相当完美的对称性和简洁性。随着空间探测技术的发展，广义相对论的许多结论都得到了证明，而广义相对论和量子力学构成了现代物理的两大支柱。 1.2导语 在具体介绍广义相对论的内容之前，我想用自己的语言，对广义相对论的思想和研究问题步骤做一个小的总结和介绍。总的来说，广义相对论是建立在四个假设之上，通过这四个假设，爱因斯坦认为惯性场和引力场等效，以及所有参考系的平权性。然后爱因斯坦把引力场认为是一种几何效应。是由于质量在空间上的分布不均匀，导致空间的空间扭曲。 在数学上，用张量来代表物理量，以满足物理规律在所有参考系下都成立。用黎曼几何来刻画弯曲空间，联络来描述引力强度，曲率

张量来描述空间弯曲，度规张量来描述引力势。 接下来便是构建场运动方程。我们可以用惠曼的名言总结道：“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。”按照爱因斯坦的想法，引力是由于质量空间分布不均匀造成的几何效应。所以爱因斯坦场方程左边应该是反映时空的几何性质的张量，右边是能动张量。再继续利用能量守恒定律，便可以推出爱因斯坦场方程。 应用爱因斯坦的场方程，得到了很多新奇的结论和实验预言，并且以“水星进动”和“引力红移”为代表的实验验证了广义相对论的正确性。 广义相对论还预言了引力弯曲效应极大情况下黑洞的存在。 而广义相对论作为宇宙学的理论基础，特别是近几十年观测技术的进步，使得宇宙学建立起了相对完整的理论系统。 2.基本假设 广义相对论建立在以下假设下。 2.1等效原理 广义相对论用的是强等效原理。 引力场与惯性场的的一切物理效应都是局域不可分辨的。 2.2马赫原理 惯性力起源于物质间的相互作用，起源于受力物体相对于遥远星系的加速运动，而且与引力有着相同或相近的物理根源。

高中物理 《广义相对论简介》教学设计 新人教版选修3-4

《广义相对论简介》教学设计 适用教材 人教版选修3-5第十五章第4节 教学目标 1．了解广义相对性原理和等效原理。 2．了解广义相对论的几个结论及主要观测证据。 3．通过本节学习，激发学生探索宇宙奥秘的兴趣，形成初步的相对论时空观。 教学重点 广义相对性原理和等效原理。 教学难点 理解广义相对论的几个结论。 教学方法 在教师的引导下，共同分析、研究得出结论。 教学用具： 投影仪及投影片。 教学过程 （一）引入新课 师：1915年，继狭义相对论发表10年之后，爱因斯坦又发表了广义相对论。这节课我们来了解一下广义相对论的基本原理和几个结论。 （二）进行新课 1．超越狭义相对论的思考 师：请大家阅读教材，回答狭义相对论中无法解释的两个问题是什么？

学生阅读、思考。 生：第一个问题，狭义相对论无法解释引力作用以什么速度传递，没有办法把万有引力理论纳入狭义相对论的理论框架；第二个问题，狭义相对论只适用于惯性参考系，为什么狭义相对论只在惯性参考系适用而在非惯性系不适用？狭义相对论本身无法解释。 师：爱因斯坦认真思考了以上两个问题，又向前迈进了一大步，把相对性原理推广到包括非惯性系在内的任意参考系，提出了广义相对性原理。 2．广义相对性原理和等效原理 师：广义相对性原理的内容：“在任何参考系中，物理规律都是相同的”，也可以理解为：“物理学定律必须对于无论哪种方式运动着的参考系都成立”。 师：在广义相对论中还有另一个基本原理这就是著名的等效原理。请大家阅读教材，看看什么是等效原理，它是如何提出来的。 学生阅读、思考。 师：（投影下图，做简要讲解。） 停泊在行星表面的飞船里，没有支撑的物体会做自由落体运动即匀加速运动，这是因为飞船处在行星表面空间的引力场中；如果飞船远离行星表面做匀加速运动，也会观察到没有支撑的物体的自由落体运即匀加速运动。我们不能根据飞船内的自由落体运动来判断飞船到底在加速运动，还是停在一个行星的表面。这说明一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价，这就是等效原理。 3．广义相对论的几个结论

广义相对论

第一&二章 1. 设想有一光子火箭，相对于地球以速率v=0.95c 飞行，若以火箭为参考系测得火箭长度为15 m ，问以地球为参考系，此火箭有多长 ？ 解 ：固有长度, 2. 一长为 1 m 的棒静止地放在 O ’x ’y ’平面内，在S ’系的观察者测得此棒 与O ’x ’轴成45°角，试问从 S 系的观察者来看，此棒的长度以及棒与 Ox 轴的夹角是多少？设想S ’系相对S 系的运动速度 4.68m l ==

第三章 1.简述狭义相对论与广义相对论的基本原理。P9、15、2* ①狭义相对论：所有的基本物理规律都在任一惯性系中具有相同的形式。这就叫狭义相对性原理。 相对性原理：一切惯性参照系等效，即物理规律在所有的惯性系中都具有完全相同的形式。 光速不变原理：真空中的光速是常量，它与光源或观察者的运动状态无关，即不依赖于惯性系的选择。 ②广义相对论：一切参照系都是平权的。或者说，客观的物理规律应在任意坐标变换下保持形式不变。 等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。 广义相对性原理：一切参考系都是平权的或客观的真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变，即广义协变性。 2.什么是广义相对论的等效原理？强等效原理与弱等效原理有何区别？ 等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。 3.在牛顿力学中是否能够定义惯性参照系？什么是局部惯性系？P12、29 引力与惯性力有何异同？ 定义不同：惯性力的度量是惯性质量写为F=ma，而引力的度量是引力质量， 由万有引力定律写成 (1)(2) 2 g g m m F G r ，从物理本质上是不同的。 相同：二者的实验量值是相等的，根据等效原理引力与惯性力的任何物理效果都是等效的 4.弯曲时空是用什么几何量来描述的？什么是引力场的几何化？P35 处于形变的四维时空区域，从物理上说可以认为是有引力存在的时空区域。所以，表示时空弯曲的几何量，同时也表示了引力场的状态。 引力场中的物理问题便等价于弯曲时空的几何问题，这种看法就称为引力场的几何化。 5.如何利用等效原理说明引力场中光线弯曲与谱线的红向偏移?

广义相对论课程教学大纲

广义相对论课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：广义相对论 所属专业：理论物理专业 课程性质：专业方向必修课 学分：3 （二）课程简介、目标与任务；‘ Einstein在1915年创建的广义相对论是关于时间—空间的性质与物质及其运动相互依赖关系的学说，是建立在广义协变性要求，等效原理和黎曼几何基础上的引力理论和宏观物质运动理论。广义相对论就其创造性和理论的深刻程度来说，都是非凡的和令人惊奇的，这一理论不仅对牛顿力学的核心内容（牛顿方程和万有引力）给予了统一和深刻的解释，还预言了许多牛顿力学所不能解释的新物理效应，并为以后的天文观测和实验所验证。本课程主要介绍广义相对论的数学基础、基本概念和基础知识以及广义相对论的经典实验验证。通过课程的学习使学生深入了解和掌握广义相对论的知识，为进一步深造打下扎实的基础，并能够应用到研究工作中。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程包括：理论力学、电动力学。先修课程是该课程的理论基础。 （四）教材与主要参考书。 教材： 广义相对论讲义，段一士 主要参考书： 1.《广义相对论》，刘辽，高等教育出版社 2.《微分几何入门与广义相对论》，梁灿彬，科学出版社 3.《Gravitation》，C.W.Misner, K.S.Thorne, J.A.Wheeler，W.H.Freeman and company 4.《General Relativity》,Robert M.Wald, The University of Chicago Press

二、课程内容与安排 第一章引言（2学时） 1.1 相对论发展简史 1.2 广义相对论基本原理 第二章黎曼几何（12学时） 2.1 张量 2.2 协变微商 2.3 曲率张量与挠率 2.4 黎曼流形、度规和黎曼联络 2.5 黎曼曲率张量 2.6 利奇（Ricci）张量、标曲率和爱因斯坦张量 2.7 黎曼曲率张量与拓扑 2.8 微分形式与外积 2.9 不变体积元和广义高斯积分定理 第三章爱因斯坦引力场方程（15学时） 3.1 广义相对论基本原理 3.2 “短程线”方程与矢量的平行移动 3.4 度规的弱引力场和低速近似与牛顿第二定律 3.5 爱因斯坦引力场方程 3.6 爱因斯坦引力场方程的作用量、Palatini公式 3.7 广义相对论中的坐标条件 第四章引力场方程的中心球对称解与新引力效应（18学时） 4.1 引力场方程的中心球对称解 4.2 行星轨道进动 4.3 光线在恒星附近的偏折 4.4 雷达回波的延迟 4.5 固有时与引力频移

广义相对论的基本原理

广义相对论的基本原理 爱因斯坦提出马赫原理、广义协变性原理和等效原理作为广义相对论的基本原理。他采用弯曲时空的黎曼几何来描述引力场，给出引力场中的物理规律,进而提出引力场方程，奠定了广义相对论的理论基础。 1、1马赫原理 狭义相对论完全废除了以太概念,即电磁运动的绝对空间,但却仍然没有对经典力学把绝对空间当作世界的绝对惯性结构的理由做出解释,也没有为具有绝对惯性结构的力学提供新的替换。也就是说,惯性系的存在,对于力学和电磁学都是必不可少的。狭义相对论紧紧地依赖于惯性参考系，它们是一切非加速度的标准;它们使一切物理定律的形式表达实现了最简化。惯性系的这种特权在很长时间里保持着一种神秘性。为了满足狭义相对论而修改牛顿引力(平方反比）理论的失败,导致了广义相对论的兴起。 爱因斯坦是出于一种哲学欲望才把绝对空间彻底地从物理学中清除出去的。自一开始，狭义相对论就把惯性系当作一种当然的存在。可能，爱因斯坦本来也不反对在狭义相对论基础上建立的引力论。由此，爱因斯坦不得不超越狭义相对论。在这一工作中,他十分诚恳地反复强调,他得益于物理学家兼哲学家马赫的思想。爱因斯坦说：“没有人能够否认,那些认识论的理论家们曾为这一发展铺平了道路;从我自己来说,我至少知道:我曾经直接地或间接地特别从休漠和马赫那里受到莫大的启发。”爱因斯坦建立广义相对论的一个重要思想是认为时间和空间的几何不能先验地给定，而应当由物质及其运动所决定。这个思想直接导致用黎曼几何来描述存在引力场的时间和空间,并成为写下引力场方程的依据。爱因斯坦的这一思想是从物理学家和哲学家马赫对牛顿的绝对空间观念以及牛顿的整个体系的批判中汲取而来的。爱因斯坦把这一思想称为马赫原理。 马赫原理早在17世纪就已经有了萌芽。马赫的惯性思想包括四个方面的内容:（1）空间本身并不是一种“事物”,它纯粹是物质间距离关系总体的抽象。（２）粒子的惯性是由这个粒子与宇宙中所有其他物质的相互作用造成的。(3)局部的非加速度标准决定于宇宙中所有物质的平均运动。（４）力学中的所有物质都与所有物质存在相对运动。由此，马赫写道：“……如果我们认为地球在绕轴自转或处于静止状态,同时恒星在围绕着它公转，这都没有关系……惯性定律必定能证明,第二个假设和第一个假设得出的结果是精确地一致的。”我们说地球在“自旋”，自旋的弹性球在赤道上会凸起来。但是，弹性球是怎么“知道”自旋必然导致凸起的呢?对于这个问题,牛顿的回答是，它“感受”到了绝对空间的运动;马赫的回答则是,变凸的弹性球“感受”到了宇宙物质在围绕它转。对于牛顿来说,相对于绝对空间的旋转产生离心力。这种离心力完全不同于万有引力。对于马赫来说,离心力也是引力。它是由物质与物质之间的作用引起的。 爱因斯坦在走向广义相对论的进程中，曾经推测牛顿的平方反比理论可能与完全的引力理论存在许多差异。１953年，夏马（D.W.Sciａｍa)复活并推广了19世纪天体力学家、勒维烈的学生提泽兰（F.Tiｓsｅrａｎd，1845~1８96）的一种麦克斯韦式的引力理论。并且发现,它大大地包括了马赫原理:惯性力对应于宇宙的引力“辐射场”,并与距离的一次方成反比。然而，不幸的是，这种理论在其他方面严重违背相对论。比如,在狭义相对论中,质量是随速度变化的；在麦克斯韦理论中,电荷却是不变的。还有，因为Ｅ=mc2的关系式，物体的引力束缚能具有（负的）质量；这样，系统的总质量不可能等于部分的质量之和；而麦克斯韦理论中电荷（类比于质量）却是严格增加的。爱因斯坦的广义相对论对惯性问题的解决,比麦克斯韦理论要复杂得多。然而,在“一级近似”上，它可化为牛顿理论；在“二级近似”上它则具有麦克斯韦特征。

2013人教版选修(3-4)15.4《广义相对论简介》word教案

普通高中课程标准实验教科书—物理选修3－4[人教版] 第十五章相对论简介 新课程学习 15.4 广义相对论简介 ★新课标要求 （一）知识与技能 1．了解广义相对性原理和等效原理。 2．了解广义相对论的几个结论。 （二）过程与方法 通过本节的学习，初步认识狭义相对论和广义相对论的基本原理。 （三）情感、态度与价值观 通过本节内容的学习，激发探索宇宙奥秘的兴趣，形成初步的相对论时空观。★教学重点 广义相对性原理和等效原理。 ★教学难点 理解广义相对论的几个结论。 ★教学方法

在教师的引导下，共同分析、研究得出结论。 ★教学用具： 投影仪及投影片。 ★教学过程 （一）引入新课 师：1915年，继狭义相对论发表10年之后，爱因斯坦又发表了广义相对论。这节课我们来了解一下广义相对论的基本原理和几个结论。 （二）进行新课 1．超越狭义相对论的思考 师：请大家阅读117页有关内容，说一说狭义相对论中无法解释的几个问题是什么？ 学生阅读、思考。 生：狭义相对论无法解释引力作用以什么速度传递；狭义相对论是惯性参考系之间的理论。为什么惯性参考系有这样特殊的地位？狭义相对论无法解释。 师：爱因斯坦认真思考了以上问题，又向前迈进了一大步，把相对性原理推广到包括非惯性系在内的任意参考系，提出了广义相对性原理。 2．广义相对性原理和等效原理 师：在任何参考系中，物理规律都是相同的，这就是广义相对性原理。 师：在广义相对论中还有另一个基本原理这就是著名的等效原理。请大家阅读教材，看看什么是等效原理，它是如何提出来的 学生阅读、思考。 师：（投影下图，做简要讲解。）

一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价，这就是等效原理。 3．广义相对论的几个结论 师：从广义相对论的两个基本原理出发，可以直接得到一些“意想不到”的结论。请大家阅读教材，说明得到了哪些结论这些解论的实验验证是什么？ 学生阅读，思考。 生1：第一个结论，物质的引力使光线弯曲。20世纪初，人们观测到了太阳引力场引起的光线弯曲。观测到了太阳后面的恒星。 生2：第二个结论，引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别。例如在强引力的星球附近，时间进程会变慢。天文观测到了引力红移现象，验证了这一结论的成立。 师：总结学生的回答。投影下图做必要讲解。 鼓励学生勇于探索，用于发现新的规律，为推动人类文明做出自己的贡献。 （三）课堂总结、点评 本节我们了解了爱因斯坦在对狭义相对论无法解释的几个问题的思考的基础上，提出了广义相对性原理和等效原理，从而创立了广义相对论。我们还了解了广义相对论的两个

广义相对论简介

3．广义相对论的简介洛伦兹变换告诉我们，时间与空间有内在联系。“能量动量张量”的表达式和“质能关系式表明，质量与运动不可分割，真空光速不变原理和相对性原理告诉我们，一切惯性系平权。所以绝对时空的概念被Einstein抛弃了。抛弃绝对时空导致了一个新的困难：惯性系如何确定？ 不仅如此，万有引力不能纳入相对论的框架。 在对以上两个问题的反复思考下，Einstein提出了广义相对性原理和等效原理作为建立新理论的基石。 （1）狭义相对性原理 一切惯性参考系都是平权的。基本物理规律在任何坐标系形式下都不变——广义协变原理。 （2）一切惯性参考系内，任意参考者测量光速都是c。 （3）等效原理。 1907年，Einstein在《关于相对论原理和由此得出的结论》一文中，作出了关于引力对时钟的影响及引力红移的预言。他根据引力场与惯性力场等效的思想得出，一个处于引力场中的时钟，当所在点引力势为Ф时，它所指示的当地时间读数将是与它调准的不处在引力场中的同样读数的（1+Ф/c2）倍。“在这个意义上，我们可以说，在过程发生地点的引力势愈大，在时钟中发生的过程——一般说来是任何物理过程——也就进行得愈快。”[1]同样的结论在1911年4月所发表的《引力对光传播的影响》一文中也给出了。在这篇论文中，Einstein从等效原理出发，得出了光从无引力场的真空中的频率ν0到

引力势为Φ中的频率ν的变化与引力势间的关系是ν=ν0(1+Φ/c2)，这与引力场中时钟读数的变化一致；同时结合波传播的惠更斯原理，得出光在经过引力场时传播方向发生朝向天体偏折的结论，偏折角为以后实际测量结果和广义相对论计算结果的一半。在这篇论文中，Einstein根据等效原理还论证了静态引力场的光速不是常数，处于引力场为Φ的场中光速为c与真空中光速c0的关系是c=c0(1+Φ/c2)。半年后，亚伯拉罕首次把这个结论推广到非静态场中，他尝试后发现把非恒定光速的思想推广到狭义相对论是不可能的。亚伯拉罕对此评论说：“c的可变性意味着洛伦兹群只能在无限小区域中成立。”这一论断后来被Einstein马上发现[2]。 对于Einstein来说，1907——1908年，是广义相对论的初创阶段。直到1911年，Einstein还没有放弃牛顿的引力论，只是在旧理论上点缀了“等效原理”，弄成了东拼西凑的混合物，得出的结论在量上不可能是精确的。Einstein在1912年2月和1912年3月接连准备好了两篇关于引力的文章，提出的都是时间弯曲而空间平直的模型；还提出了光速在引力场中不是常数，等效原理只对无限小的场成立，引力场能量密度带来的引力场的非线性等观点。 从1912年8月Einstein回到苏黎士以后的一年多的时间里，他与格罗斯曼合作，先后发表了三篇文章，这些文章标志着广义相对论发展过程的重要阶段。其中第一篇论文《广义相对论纲要和引力论》发表于1913年。在这篇论文中，Einstein在他的新思想与相适应的数学方法相结合上作了第一次尝试。但是，有两个问题值得注意，第一

广义相对论入门08-引力红移20160519

一、牛顿理论对引力红移的解释 光子在逃离引力场时势能增加 R m GM r r r GMm E R =???????-=?∫∞ r r d 3由于光子的质量为 2c h m ν=其中h 为普朗克常量，ν为光子的频率；光子能量变化量又可以用频率的变化量来表示 ν ??=?h E 因此 R c h GM R m GM E h 2 νν==?=??红移量为R c GM 2=?νν二、稳态时空中的标准钟 在静态时空中，要求 0=??μνg t 且()3,2,100==k g k 而在稳态时空中，不要求时轴正交，仅要求 0=??μνg t 假设太阳（P 1点）在t 1时刻发射一光线，地球（P 2点）在t 2时刻收到；太阳在t'1时刻又 发射一光线，地球在t'2时刻收到。由于时空稳态，所以121 2t t t t -=′-′移项，得 1 11222d d t t t t t t =-′=-′=需要注意的时，移项前后表达式的物理含义有着本质的区别：移项前，表示两束光线从太阳传播到地球所需要的时间相同；移项后，表示太阳发射两束光线的时间间隔与地球接受到两束光线的时间间隔相等。 ()()()()1 1222110020021100122002d 2121d d d d d d τττττr c GM r c GM g g t g t g --=--=???????-=?-=式中r 1为太阳半径R ，r 2为日地距离。当r 2>>r 1时，可认为r 2=∞，因此 121 22d 21d ττ-????? ?-=R c GM 三、广义相对论中的引力红移 频率的定义为

t N d d =ν太阳发射的光线为 1 11d d τν?=N 地球接收到的光线为 2 22d d τν?=N 令21d d N N =，则 ()()1212 212120010012112212121d d ννννττνν<-≈--=--==R c GM r c GM r c GM g g ν1表示在太阳处测得的太阳光谱，ν2表示在地球处测得的太阳光谱。红移量为L +?? ????+=--=-=222212121211R c GM R c GM R c GM Z ννν牛顿理论计算出的红移量仅为广义相对论计算出的红移量的一阶分量，而不包含高阶分量。引力红移的结论表明：当光离开引力源时，频率减小；反之，当光射向引力源时，频率增大。

贺显丰_广义相对论的诞生

广义相对论的诞生 物理学贺显丰14344007 摘要 广义相对论是人类思想史上的杰作，是纯粹理性思维的胜利。通往广义相对论之路展现了物理学史上一幅最激动人心最恢弘壮阔的图景。本文回顾了广义相对论诞生的历程，介绍了爱因斯坦建立广义相对论的伟大贡献，探讨了广义相对论对现代物理学的影响。 关键词 广义相对论；爱因斯坦；弯曲时空；科学史 1 引言 2015年是广义相对论创建100周年，也是狭义相对论诞生110周年。 广义相对论是爱因斯坦继狭义相对论后，对物理学作出的又一巨大贡献， 也是他一生科学成就的巅峰。 1915年11月25日，36岁的爱因斯坦在普鲁士科学院报告了“基于广 义相对论对水星近日点运动的解释”，而后在1916年第7期的物理年鉴上 发表了“广义相对论基础”一文，对广义相对论作了系统的阐释，这标志着 广义相对论的诞生。广义相对论以其深刻的物理思想、抽象的数学工具以 及精确的实验验证，成为物理学史上具有划时代意义的杰作。 本文介绍了爱因斯坦创建广义相对论的过程，以及在这一过程中爱因 斯坦经历的多次物理思想上的飞跃，从中我们可以了解一般科学研究的方 法，这对现实的科学研究具有重要意义。我们还在最后简要探讨了广义相 对论对现代物理学的影响。 2 广义相对论的诞生 2.1 狭义相对论的困难 狭义相对论发表之后，受到了学术界的赞扬，但是也有一些反对的意 见，不过爱因斯坦很清楚这些反对的人是因为没有理解相对论。可是很快， 爱因斯坦便认识到自己的狭义相对论确实存在问题，而且是很严重的问 题，但并非是反对者所谓的问题。他的理论面临着两个严重的困难：一个 是“惯性系无法定义”；另一个是“万有引力定律不能写成洛伦兹协变的形 式”。 狭义相对论是建立在惯性系的基础上的，然而现在惯性系却无法定义 了，这是一个严重的问题。在牛顿理论中，惯性系被定义为相对于绝对空 间静止或作匀速直线运动的参考系，但是狭义相对论抛弃了绝对空间，因 此上述定义不再有效。爱因斯坦曾尝试利用牛顿第一定律来重新定义惯性 系，即一个不受外力的物体在其中保持静止或匀速直线运动状态的参考系 为惯性系，但是“不受外力”意味着一个物体能在惯性系中保持静止或匀速 直线运动的状态。很明显这种定义造成了逻辑上的循环。可见，惯性系的 定义问题是狭义相对论的一个基本困难。

广义相对论的解释

广义相对论的两个基本原理是：一，等效原理：引力与惯性力等效；二，广义相对性原理：所有的物理定律在任何参考系中都取相同的形式。它的主要内容是爱因斯坦提出“等效原理”，即引力和惯性力是等效的。这一原理建立在引力质量与惯性质量的等价性上。根据等效原理，爱因斯坦把狭义相对性原理推广为广义相对性原理，即物理定律的形式在一切参考系都是不变的。物体的运动方程即该参考系中的测地线方程。测地线方程与物体自身固有性质无关，只取决于时空局域几何性质。而引力正是时空局域几何性质的表现。物质质量的存在会造成时空的弯曲，在弯曲的时空中，物体仍然顺着最短距离进行运动(即沿着测地线运动——在欧氏空间中即是直线运动)，如地球在太阳造成的弯曲时空中的测地线运动，实际是绕着太阳转，造成引力作用效应。正如在弯曲的地球表面上，如果以直线运动，实际是绕着地球表面的大圆走。 引力是时空局域几何性质的表现。虽然广义相对论是爱因斯坦创立的，但是它的数学基础的源头可以追溯到欧氏几何的公理和数个世纪以来为证明欧几里德第五公设（即平行线永远保持等距）所做的努力，这方面的努力在罗巴切夫斯基、Bolyai、高斯的工作中到达了顶点：他们指出欧氏第五公设是不能用前四条公设证明的。非欧几何的一般数学理论是由高斯的学生黎曼发展出来的。所以也称为黎曼几何或曲面几何，在爱因斯坦发展出广义相对论之前，人们都认为非欧几何是无法应用到真实世界中来的。 在广义相对论中，引力的作用被“几何化”——即是说：狭义相对论的闵氏空间背景加上万有引力的物理图景在广义相对论中变成了黎曼空间背景下不受力(假设没有电磁等相互作用)的自由运动的物理图景，其动力学方程与自身质量无关而成为测地线方程：

广义相对论的理论基础解读

广义相对论的理论基础 爱因斯坦于1905年提出狭义相对论之后，便试图在狭义相对论的基础上对牛顿的引力理论进行改造。牛顿引力理论虽然在天文学上得到广泛的支持，但是，它不能说明水星近日点的剩余进动，也不能对宇宙大范围的性质给出完满的描述；而且，在理论的基本概念上同狭义相对论也是互相冲突的。 爱因斯坦在深入分析引力质量同惯性质量等价这一早已熟知的事实的基础上，提出了引力场同加速度场局域性等效的概念；他又把惯性运动的相对性的概念推广到加速运动；并在前人对牛顿时空观的批判中汲取了精华，提出了时间和空间的性质应当由物质运动决定这一革命性的思想。这些引导他采用黎曼几何来描述具有引力场的时间和空间，写出了正确的引力场方程；进而精确地解释了水星近日点的剩余进动，预言了光线偏折、引力红移、引力辐射等一系列新的效应。他还对宇宙的结构进行了开创性的研究。著名的1919年日全食观测，证实了爱因斯坦关于光线偏折的预言，一度轰动世界。随后，广义相对论便被物理学界普遍接受下来，并且被公认为经典理论物理学中最完美的理论。 几十年来，广义相对论又得到新的验证和发展，特别是60年代以来，在天文学中得到了广泛的应用。引力红移、雷达回波等实验进一步证实了这个理论的预言。脉冲星和微波背景辐射的发现，证实了以广义相对论为基础的中子星理论和大爆炸宇宙论的预言。近年来，对于脉冲双星的观测也提供了有关引力波存在的证据。 60年代以来，奇性理论和黑洞物理的研究取得很大进展。近来，关于正能定理的猜测得到了证明，有关引力的量子理论以及把引力同其他相互作用统一起来的研究也极为活跃。这些，不仅丰富了对广义相对论理论基础的认识，同时，也揭示了广义相对论本身所不能解决的一些重大的疑难问题，为进一步探索引力相互作用，以及时间、空间和宇宙的奥秘提出了新的课题。 广义相对论的理论基础 爱因斯坦提出等效原理、广义协变性原理和马赫原理作为广义相对论的基本原理。他采用弯曲时空的黎曼几何来描述引力场，给出引力场中的物理规律，进而提出引力场方程，奠定了广义相对论的理论基础。30年代，爱因斯坦等人又发展了运动理论。60年代以来，R．彭罗塞引入现代微分几何的方法，并和S．W．霍金等人发展了奇性理论。近年来，丘成桐等人又完成对著名的正能猜测的证明。这些都大大丰富了广义相对论的理论基础并提出新的课题。 广义相对论的基本原理 等效原理是广义相对论最重要的基本原理。这个原理的实验依据是由厄缶实验等精确证明的引力质量和惯性质量的等价性。 爱因斯坦认为，这个等价性的重要推论是：在自由下落的升降机里，由于升降机以及其中所有的仪器都以同样的加速度下降，因而无法检验外引力场的效应。换句话说，自由下落升降机的惯性力和引力互相抵消了。爱因斯坦认为，这表明，引力和惯性力实际上是等效的。这就是爱因斯坦原来意义下的等效原理。 不过，在真实的引力场和惯性力场之间并不存在严格的相消。比如，真实的引力场会引起潮汐现象，而惯性力场却并不导致这种效应。但是，在自由下落的升降机里，除开引力以外，一切自然定律都保持着在狭义相对论中的形式。事实上，这正是真实引力场的重要本质。如果把自由下落的升降机称为局部惯性系，那么，等效原理就可以比较严格地叙述为：在真实引力场中的每一时空点，都存在着一类局部惯性系，其中除引力以外的自然定律和狭义相对论中的完全相同。 爱因斯坦把狭义相对论所考察的作匀速运动的参照系之间的相对性。推广到作任意运动的参照系之间的相对性。为此，他提出物理定律必须在任意坐标系中都具有相同的形式，即它们必须在任意坐标变换下是协变的。这就是广义协变性原理。 广义协变性对物理定律的内容并没有什么限制，只是对定律的数学表述提出了要求。爱因斯坦后来也是这样认为的：广义协变性只有通过等效原理才能获得物理内容。 爱因斯坦建立广义相对论的另一个重要思想是认为时间和空间的几何不能先验地给定，而应当由物质及其运动所决定。这个思想直接导致用黎曼几何来描述存在引力场的时间和空间，并成为写下引力场方程