第十讲等腰三角形(2)

D

A

B F

21E D C A B

N 第十讲 等腰三角形（2）

1、下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）

A 有两个内角相等的三角形

B 有一个内角是45°直角三角形

C. 有一个内角是30°的直角三角形

D. 有两个角分别是30°和120°的三角形

2、等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（ ）

A 15 B15或7 C 7 D 11

3、在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，若∠BDC ＝75°，则∠A 的度数为（ ）

A 、30°

B 、40°

C 、45 °

D 、60°

4、正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 为（ ）

A ．60

B ．90

C ．120

D ．150°

5、如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF ?的形状是（ ）

A ．等边三角形

B ．腰和底边不相等的等腰三角形

C ．直角三角形

D ．不等边三角形

第5题 第6题 第7题 第11题

6、如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状判断准确的是（ ）

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．不等边三角形

D ．不能确定形状

7、如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ）

A ．∠ACD=∠

B B ．CH=CE=EF

C ．CH=H

D D ．AC=AF

8、等腰三角形的一个角为100°，则它的一个底角为_______.

9、已知等腰三角形的一边等于4cm ，一边等于9cm ，那么它的周长等于________cm

10、已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______．

11、如图，ΔABC 中AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D 。

(1).若∠A=38°，则∠DBC=_________。(2).若AC+BC=10cm ，则ΔDBC 的周长为_________。

12、△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且BD=CD ，若AB=3，则AC=_____.

13、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______

14、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数___。

15、在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____度．

16、如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，?且∠ABD=?∠ACE ，求证：BF=CF ．

E D C

A B F E D C A B H F

E D A

H F 17、如图 AB =AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ．

（1）求证AD =AE ；(2) 连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．

18、已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且OB=OC ，

（1）求证：△ABC 是等腰三角形；

（2）判断点O 是否在∠B AC 的角平分线上，并说明理由。

19、如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE ?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；

②求证：CF=CH

20、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 是∠ABC 的平分线，AF ∥DC ，连接AC 、CF ，求证：CA 是∠DCF 的平分线。

。

第19讲 等腰三角形

第19讲 等腰三角形 考点1 等腰三角形的性质 1．(2019·攀枝花)如图，AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠1＝50°，则∠2的度数是(C) A ．55° B ．60° C ．65° D ．70° 2．(2019·广西北部湾)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠A ＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG 的度数为(C) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线．若AB ＝13，AD ＝12，则BC 的长为(B) A ．5 B ．10 C ．20 D ．24 4．(2019·宁夏)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE.连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行．若∠C ＝40°，则∠GAD 的度数为(C) A ．40° B ．45° C ．55° D ．70° 5．(2019·广安)等腰三角形的两边长分别为6 cm ，13 cm ，其周长为32cm. 6．(2019·兰州)在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，则∠B ＝70°． 7．(2019·毕节)如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD.若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为34°． 8．(2019·白银)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若 在等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝85或1 4 . 考点2 等腰三角形的判定 9．在△ABC 中，其两个内角的度数如下，则能判定△ABC 为等腰三角形的是(C) A ．∠A ＝40°，∠B ＝50° B ．∠A ＝40°，∠B ＝60° C ．∠A ＝20°，∠B ＝80° D ．∠A ＝40°，∠B ＝80° 10．(2018·桂林)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是3.

人教版初中数学讲义第11讲 等腰三角形

第11讲等腰三角形 知识点梳理： （一）等腰三角形的性质 等腰三角形的定义：腰、底边、顶角、底角。 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； （二）等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形(有两个角是60°的三角形是等边三角形)。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （三）方法点拨：等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 经典例题： 例1.等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想 1．已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是 2．已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是 3．等腰三角形的两边长是6和7，则三角形的周长为： *4．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是

沪科版-数学-八年级上册-15.3 等腰三角形第2课时 教案

15.3 等腰三角形第2课时 教学目标 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理. 2.能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系. 教学重点 等腰三角形的判定定理的运用. 教学难点 正确区分等腰三角形的判定与性质. 能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系. 教学过程： 一、复习等腰三角形的性质 二、新授： I.提出问题，创设情境 出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B 点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度． 学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”． II.引入新课 1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB=AC吗？ 作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？ 2．引导学生根据图形，写出已知、求证． 3.小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)． 强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．

4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据． III.例题与练习 例：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形． 分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明． 已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ． 证明：∵AD ∥BC ， ∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC （等角对等边）． 练习 1．已知：如图，AB=AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形． 证明：∵DE ∥AC ， ∴∠C=∠DEB ． ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ． ∴∠B=∠DEB ． 21 E D A B

新北师大八下数学下册第一章等腰三角形习题(共4课时)含答案

第1课时等腰三角形的有关概念 知识要点基础练 知识点1全等三角形 1.(成都中考)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是(C) A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC C.AC=DB D.AB=DC 2.(荆州中考)已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是SSS. 知识点2等腰三角形的性质 3.如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm,那么此三角形的周长是(D) A.15 cm B.15 cm或16 cm C.17 cm D.16 cm或17 cm 4.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为(D) A.30° B.75° C.75°或105° D.30°或75° 知识点3等腰三角形三线合一 5.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(C) A.5

B.6 C.8 D.10 6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=4. 综合能力提升练 7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿AC翻折180°,使点B落在点B'的位置上,则下列关于线段AC的性质的说法正确的是(D) A.是边BB'上的中线 B.是边BB'上的高 C.是∠BAB'的平分线 D.以上三种性质都有 8.如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数是(B) A.20° B.30° C.35° D.40° 9.若实数m,n满足等式|m-4|+-=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两边的边长,则△ABC的周长是 (B) A.22 B.20 C.16 D.20或16

总复习第19讲 三角形的基本认识

1 总复习第19讲 三角形的基本认识 一、考点诠释 ㈠三角形的分类 1、按角的大小关系分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 2、按边的大小关系分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形） ㈡三角形的角 1、内角：三角形的内角和=180° 2、外角：三角形的外角和=360° 3、内外角的关系：如图，①∠1+∠2=180°；②∠1=∠3+∠4；③∠1>∠3、∠1>∠4 ㈢三角形的边 1、三角形的两边之和大于第三边 2、三角形的两边之差小于第三边 ㈣三角形的三条重要线段 1、角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交，顶点与交点的连线（线段） 注：①内心（三角形三条角平分线的交点）到三角形各边的距离相等 ②外心（三角形三边中垂线的交点）到三角形各顶点的距离相等 2、中线：顶点与对边中点的连线（线段） 3、高线：从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段（线段） 注：①三角形的三线各有三条，并且都是线段 ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，“三线合一” ㈤三角形的中位线： 1、定义：三角形两边中点的连线（共有三条） 2、定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 二、考题精练 ㈠选择题： 1、以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A 、（4、5、6） B 、（2、3、5） C 、（4、4、9） D 、（12、5、6） 2、已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A 、12或9 B 、12 C 、9 D 、7 A B C D 1 2 3 4

2 3、到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（ ） A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条边的垂直平分线的交点 D 、三条角平分线的交点 4、如图，在Rt △ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点， 则x 可能是（ ） A 、10° B 、20° C 、30° D 、40° 5、如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变， 请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A 、∠A=∠1+∠2 B 、2∠A=∠1+∠2 C 、3∠A=2∠1+∠2 D 、3∠A=∠1+2∠2 6、下列各图中，∠1大于∠２的是（ ） ㈡填空题： 7、如图，AB ∥CD ，则∠1= 。 8、在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC ＝10，则DE ＝ 9、如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠， 使点A 落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF= 。 10、如图，在△ABC 中，BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线， 且PD ∥AB 、PE ∥AC ，则△PDE 的周长是 cm 。 11、如图，AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=36°、∠C=76°， 则∠DAF= 12、如图，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝ A C D B x 6 第4题 1 2 1l 2l （A ） 2l 1l 1 2 (l 1∥l 2) （B ） 1 2 （C ） A B C 1 2 (AB =AC ) （D ） A B E D 1 2 第5题 40° 60° A B C D 1 第7题 A D B F C E 第9题 A B D E P C 第10题 A B D F C 第11题 1 2 3 第12题

人教版数学八年级上册第十三章13.3.1-等腰三角形说课稿

《13.3.1等腰三角形的性质》说课稿 教学内容：义务教育课程标准试验教科书八年级数学上册第十三章第三节等腰三角形的性质,下面我从六个方面对本课的教学设计进行说明: 一、说教材 本节课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中“等边对等角”的边角关系，并且是对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。它所倡导的“观察---发现---猜想---论证”的数学思想方法是今后研究数学的基本思想方法。因此，本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。 二.说教学目标 1．探索并证明等腰三角形的两个性质。 2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等。 3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。 说重点：探索并证明等腰三角形的性质。 说难点：性质1证明中辅助线的添加和对性质2的理解。 三.说教法 在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，“教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。根据本课内容特点和初二学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。使学生全面参与、全员参与、全程参与，真正确立其主体地位。而教师只是作为数学学习的组织者、引导者、合作者，及时地给以引导、点拨、纠正。 四.说学法 只有好的学习方法才能培养能力，在学生探索知识的过程中培养他们掌握好的学习文教解题方法，并且通过自己动手操作、动脑思考，动口表述，培养学生的观察、猜想、概括、表述、论证的能力。 五.课标对本节课的要求 探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。 六.如何利用学案 是为了让学生在课前预习时有方向、有目标地进行自主预习，是辅助课堂学习的一种方式。 七.说教学过程 （一）知识回顾，导入新课（多媒体出示） 学生独立思考，然后回答。 设计意图：通过问题，了解等腰三角形的相关概念，复习等腰三角形的轴对称性，为突破教学难点（探究及证明等腰三角形的性质）做铺垫，分解教学难度。（二）探究新知 【活动一】动手操作 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折后，剪去阴影部分，再把它展开,得到的三角形有什么特点。它是轴对称图形吗? ②折叠过程中重合的线段和角有哪些?

《实验校》八上第九讲—等腰直角三角形辅助线方法

第九讲辅助线方法一 辅助线方法（一）已知等腰直角三角形：(1)若有一条直线过直角顶点，过两个锐角顶点向这条直线作垂线，形成三垂直证全等；(2)构造共直角顶点的等腰直角三角形证全等． 一、基本图形研究 1．直线l经过等腰直角三角形ABC的直角顶点，你能在图中构造全等吗？并据此提出数学问题． 2．直线l经过等腰直角三角形ABC的锐角顶点B，过A或C作直线l的垂线，你能在图中构造全等吗？你能对这个题提出相关的数学问题吗？ 二、变式训练 1．如图1，OA=2，OB=4，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC． (1)C点的坐标；(2)如图2，P为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶 点，P A为腰作等腰直角三角形APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．

2．如图，已知坐标系中，A (4，0)，B (O ，4)，P 为第四象限的一动点，且∠APO =135°，求证：AP ⊥BP ． 3．如图，点B 在x 轴正半轴，以OB 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形AOB ．若C 为BO 上一点，以AC 为直角边作等腰直角三角形ACD ，∠ACD =90°，连OD ，求∠AOD 的度数． 4．如图，A (O ，2)，B （－2，0），C 为点B 左侧一动点，以AC 为一腰作等腰直角三角形ACD ，∠ACD =90°，DB 的延长线交y 轴于E 点，在C 点移动的过程中，点E 的位置是否发生变化？证明你的结论． 5．已知△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为线段BC 上一动点，AE =AD ，AE ⊥AD ，连接BE 与AC 交于P 点，其中BC BD =n ． (1)如图1，若n =1时，则 PE BP = ，PC AP = ． (2)如图2，若n = 21时，则PE BP = ，PC AP = ，并证明你的结论，

1.1 等腰三角形 第2课时 教案

一、情境导入 我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？ 二、合作探究 探究点一：等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，求证：DE ∥BC . 证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB .又因为CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，所以∠AEB ＝∠ADC ＝90°，所以∠ABE ＝∠ACD ，所以∠ABC －∠ABE ＝∠ACB －∠ACD ，所以∠EBC ＝∠DCB .在△BEC 与△CDB 中，???? ?∠BEC ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，所以△BEC ≌△CDB ，所以BD ＝CE ，所以AB －BD ＝AC － CE ，即AD ＝AE ，所以∠ADE ＝∠AED .又因为∠A 是△ADE 和△ABC 的顶角，所以∠ADE ＝∠ABC ， 所以DE ∥BC . 方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等． 探究点二：等边三角形的相关性质 【类型一】 利用等边三角形的性质求角度 如图，△ABC 是等边三角形，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE .若∠ABE ＝40°，BE ＝DE ，求∠CED 的度数． 解析：因为△ABC 三个内角为60°，∠ABE ＝40°，求出∠EBC 的度数，因为BE ＝DE ，所以得到∠EBC ＝∠D ，求出∠D 的度数，利用外角性质即可求出∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握． 【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥ BC ，垂足为M ，求证：BM ＝EM . 解析：要证BM ＝EM ，由题意证△BDM ≌△EDM 即可．

认识等腰三角形

认识等腰三角形 一、填空。 1、（）是等腰三角形。 2、等腰三角形中有两条( )是相等的，有两个( )是相等的。 3、用32厘米的绳子围成一个腰长10厘米的等腰三角形，底长( )厘米，若围成的等腰三角形底长10厘米，腰长( )厘米。 4、一个等腰三角形的一个底角是36°，它的顶角是( )。 5、一个等腰三角形的顶角是102°，它的底角是( )。 6、一个等腰三角形的底边长是12厘米，腰长是15厘米，它的周长是( )厘米。 7、把一根长15厘米的铁丝做成一个腰长6厘米的等腰三角形，它的底边长是( )厘米。 8、一个等腰三角形有两条边的长度分别是3分米和7分米。这个三 角形的周长是（）分米。 9、一个等腰三角形顶角度数是一个底角的3倍，这个等腰三角形底角是()0，顶角是()0。 10、一个等腰三角形的周长是19厘米，其中一边长5厘米，其余两条边长（）厘米和（）厘米。 二、判断。 1、底角是600的等腰三角形是等边三角形。( ) 2、一个等腰三角形中有一个角是800，它一定是锐角三角形。( ) 3、一个等腰三角形中有一个角200，它一定是一个钝角三角形。( )

4、用一根18厘米的绳围成一个等腰三角形，底是10厘米，腰一定是4厘米。( ) 5、有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形。( ) 6、2厘米、2厘米、11厘米这三根小棒可以围成一个等腰三角形。( ) 三、选择。 1、把一个等腰三角形分成2个完全一样的三角形，每个三角形的内角和是() A、900 B、1800 C、2700 D、3600 2、底角是440的等腰三角形也是() A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形 3、下面（）组的三条线段能围成一个等腰三角形。 A、2厘米、2厘米、5厘米 B、5厘米、10厘米、5厘米 C、6厘米、6厘米、4厘米 D、3厘米、3厘米、7厘米 4、等腰三角形相邻两条边的长分别是10厘米和8厘米，它的周长（） A、一定是28厘米 B、一定是26厘米 C、可能是28厘米，也可能是26厘米 5、把12厘米的小棒截成3段，围成一个等腰三角形，下面（）是正确的。 A、3厘米、4厘米、5厘米 B、 8厘米、2厘米、2厘米 C 2厘米、5厘米、5厘米

备战中考--第20讲等腰三角形--(附解析答案)

备战2019中考初中数学导练学案50讲 第20讲等腰三角形 【疑难点拨】 1.与等腰三角形有关的问题，要分析问题的全面性和思考问题的周密性． （1）腰和底不分:解决等腰三角形求边长或周长问题时，解题关键是要分情况讨论，明确已知边是腰还是底，并根据三角形的三边关系定理检验各情况是否成立． （2）顶角和底角不分:根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论．另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在． （3）顶角顶点和底角顶点不分:判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整． （4）锐角三角形和钝角三角形不分:等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论．解决此类问题的关键是注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时一腰的垂直平分线与另一腰的交点位置不同，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论． 2. 巧用轴对称构等腰三角形解题： 在几何解题中,若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线,可根据图形的轴对称性,巧妙构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径,直观易懂,简捷明快. （1）图形含有垂线（或高线）, 以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形 （2）图形含有角平分线, 以角平分线为对称轴构等腰三角形[ （3）图形含有线段的垂直平分线, 以垂直平分线为对称轴构等腰三角形 根据图形的轴对称,巧妙构造等腰三角形,可迅速找到解题途径,构思新颖,方法独特,不仅能使问题化难为易,迎刃而解,而且有助于培养同学们探索求新的学习习惯,提高数学思维能力和几何解题能力． 【基础篇】

2019年宜宾中考总复习精练第4章第15讲等腰三角形与直角三角形

第十五讲 等腰三角形与直角三角形 1．(2019台州中考)如图，已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( C ) A ．AE ＝EC B ．AE ＝BE C ．∠EBC ＝∠BAC D ．∠EBC ＝∠ABE ,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．(2019烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE 与AB 的夹角为48°， 若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为( D ) A ．48° B ．40° C ．30° D ．24° 3．(2019大庆中考)如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC ＝90°，∠BCD ＝60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( B ) A ．30° B ．15° C ．45° D ．25° ,(第3题图)) ,(第5题图)) 4．(安顺中考)已知实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周 长是( B ) A ．20或16 B ．20 C ．16 D ．以上答案均不对 5．(2019大连中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( B ) A ．2a B ．22a C ．3a D. 43 3 a 6．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( A ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 7．(2019聊城中考)如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上．如果点P 是某个小矩形的顶点，连结PA ，PB ，那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．(内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之

等腰三角形第二课时

等腰三角形第二课时 教学目标 （一）教学知识点探索等腰三角形的判定定理. （二）能力训练要求探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念. （三）情感与价值观要求通过对等腰三角形判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解. 从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力. 教学重点等腰三角形的判定定理及其应用. 教学难点探索等腰三角形的判定定理. 教学过程 I.提出问题，创设情境 [师] 上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢? [ 生甲] 等腰三角形的两底角相等. [ 生乙] 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. [ 师] 同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢?这就是我们这节课要研究的问题. n.导入新课

[ 师] 同学们看下面的问题并讨论： [ 生甲] 应该能同时赶到出事地点. 因为两艘救生船的速度相同，同时出发，? 在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB 所以两船能同时赶到出事地点 [生乙]我认为能同时赶到0点的位置很重要，也就是A如果不等于B，? 那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点. [ 师] 现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，? 那么它们所对的边有什么关系? [ 生丙] 我想它们所对的边应该相等. [ 师] 为什么它们所对的边相等呢?同学们思考一下，给出一个简单的证明. [ 生丁] 我是运用三角形全等来证明的. [例1]已知：在厶ABC中，C（如图）. 求证：AB=AC. 证明：作BAC的平分线AD. 在厶BAD和厶CAD中 △BAD^A CAD(AAS). AB=AC. [ 师] 太好了. 从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果 有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形. 这个结论也回答了我们一开始提出的问题. 也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形. 等腰三角形的判定定理：如果一

(完整版)2019中考数学等腰三角形

等腰三角形 一、选择题 1．（2018?山东枣庄?3 分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在 小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是（） A．2 个B． 3 个C．4 个D．5个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选：B． 点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P 是解题的关键．2 2018?山东枣庄?3 分）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分 ∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（） 分析】根据三角形的内角和定理得出∠ CAF+∠CFA=90°，∠ FAD+∠AED=90°，根据角平分和对顶角相等得出∠ CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出 答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， C． A．B．

∴∠ CDA=9°0 ， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠ FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=C，F ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， = = ∵AC=3，AB=5，∠ ACB=90°， ∴BC=4， FC=F G， 解得：FC= ，即CE ．故选： 【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判 定，似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠ CEF=∠CFE． 3. （2018?山东淄博?4 分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B， C 的距离分别为3，4，5，则△ ABC的面积为（） 三角形的内角和定理以及相

培优专题讲解_等腰三角形(含解答)-

等腰三角形专题练习题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数． 练习1 1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18° 1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？ 1-3

3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________． 1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC 延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由． 练习2 1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 1-6 1-7 1-8 2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（） A．BD>BA B．BD

八年级数学上册12.3等腰三角形(第2课时)教案新人教版(1)

12.3 等腰三角形 教学目标 1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论 2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系. 教学重点 等腰三角形的判定定理及推论的运用 教学难点 正确区分等腰三角形的判定与性质 能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系 教学过程： 一、复习等腰三角形的性质 二、新授： I提出问题，创设情境 出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度． 学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”． II引入新课 1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？ 作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？ 2．引导学生根据图形，写出已知、求证．

2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理” (板书定理名称)． 强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”． 4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据． III例题与练习 1．如图2 其中△ABC是等腰三角形的是 [ ] 2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______ (根据什么？)． ②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)． ③若已知∠A＝36°，∠C＝72°， BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______． ④若已知 AD＝4cm，则BC______cm． 3．以问题形式引出推论l______． 4．以问题形式引出推论2______． 例：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形． 分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明． 练习：5．(l)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DEBC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？ (2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？ IV课堂小结

沪科版七年级上册数学精品教案之等腰三角形第4课时教案

15.3 等腰三角形 (第4课)-教案 合肥48中滨湖校区章苏珍 一、教学背景 1．教材分析 《等腰三角形》是沪科版八年级上册第15章第3节的内容，是安排在学生学习了轴对称以及全等三角形的判定的基础上进行学习的.本节课则是放在等腰三角形及等边三角形的性质和判定都已学习的基础上，由等边三角形的三线合一推导出在直角三角形中，30°锐角所对的直角边是斜边的一半，学生在旧知的学习巩固中发现新知，符合知识的生成过程，培养了学生的探究创新能力，同时让学生更容易接受和掌握新知。既对前面知识进行深化和应用，又激发了学生探究知识的兴趣，让学生在今后的学习中主动探究，勇于创新。 2．学情分析 学生在前面知识的学习中，已经对一些图形的性质及相互关系进行了大量的探索，在探索的同时，也经历了推理的过程，初步具备了有条理地思考及表达能力和一定的推理能力，树立了初步的推理意识。本节课结合学生熟知的三角板和已学知识进行进一步的探究，是学生很容易进入和接受的知识内容。 二、教学目标 1．探究有一个锐角等于30°的直角三角形的性质，并能运用这一性质解决问题； 2．经历对有一个锐角等于30°的直角三角形的性质的探索过程，培养学生的自主探究能力； 3．学会从不同的角度思考问题，养成严谨的科学态度，同时培养学生勇于开拓创新的精神。 三、教学重难点 重点：有一个锐角等于30°的直角三角形的特殊性质； 难点：有一个锐角等于30°的直角三角形的性质的应用。 四、教学过程 （一）知识回顾 等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定

（二）温故知新 1．这是两位同学的三角板，用这两块全等的三角板能拼成一个等边三角形吗?同样的一个等边三角形能被分成两个全等的直角三角形吗?这个直角三角形的两个锐角的度数分别是多少?你还能有其他的发现吗? 2．已知：如图，在等边△ABD中，AC⊥BD。 （1）求出∠BAC的度数； （2）求证：BC=1 2 AB （3）观察△ABC，你能得出什么结论吗？ （三）探究新知 由上面的知识探究发现如下定理。 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 B C A ∵在Rt△ABC，∠A=30° ∴BC=1 2 AB

2021年中考数学一轮复习 第19讲 等腰三角形-课后作业

第19讲等腰三角形 1．(2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(D) A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° 2．(2019·衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是(D) A．60°B．65° C．75°D．80° 3．(2019·台湾)如图，△ABC中，AC＝BC＜AB.若∠1，∠2分别为∠ABC，∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确(C) A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠A＋∠2＜180° D．∠A＋∠1＞180°

4. (2019·宁夏)如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC 上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD 的度数为(C) A．40° B．45° C．55° D．70° ,第4题图),第5题图) 5．(2020·宁波)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB 至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为(B) A．2 B．2.5 C．3 D．4 6. (2020·铜仁)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于(B) A．7 B．7或6 C．6或－7 D．6 7．(2019·齐齐哈尔)等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝1 2AC， 则等腰△ABC底角的度数为_15°或45°或75° _． 8．(2020·铜仁)已知等边三角形一边上的高为23，则它的边长为_4_．9．(2019·绥化)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC ＝AD，则∠A＝__36___度．

2019-2020年中考数学真题汇编详解19：等腰三角形

一、选择题 1. (2015年湖南衡阳，7，3分)已知等腰三角形的两边长分别为5和６，则这个等腰三角形的周长为 A.11 B.16 C.17 D.16或17 【答案】D 【解析】解：分两种情况：当三边长为5，5，6时，周长为16；当三边长为5，6，6时，周长为17.故选D. 2.（2014江苏省苏州市，7，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数 为（） A．35°B．45°C．55°D．60° 2019-2020年中考数学真题汇编详解19：等腰三角形 【答案】C 【解析】因为AB=AC，D为BC中点，所以∠BAC=2∠BAD=70°，所以∠C的度数为55°. 二、填空题 1. (2015浙江省绍兴市，13，5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种 衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是▲ cm。 【答案】18 【解析】本题考查了等边三角形的判定方法和性质，解题的关键是正确把握等边三角形的判定方法，将生活实际问题进行适当的数学建模．由条件可知△AOB中，OA=OB=18cm，∠AOB=60°，则△AOB是等边三角形，所以AB=18cm，即A，B两点之间的距离是18cm。 2.（2015义乌13，4分）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm．若衣架收拢时，∠AOB==60°，如图2，则此时AB= cm． 【答案】18 3.（2015湖南省永州市，17，3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，则有BC边上的中线、高线和∠BAC的平分线 重合于AD（如图一）.若将等腰△ABC的顶点A向右平行移动后，得到△A'BC（如图二）．那么，此时BC 边上的中线、BC边上的高线和∠BA′C的平分线应依次分别是________，________，________ (填A′D、A′F、A′E)

第3讲-等腰三角形2_数学作业

第 3讲等腰三角形2 1、如图，AD∥BC，AB∥CD，CE平分∠BCD，交AB于O，交DA延长线于E，①图中有个等腰三角形；②请证明其中一个三角形是等腰三角形。 2、已知等腰三角形的三边长分别是3，7 ，1+2a，则a的值是_______。 3、如图，在5×6的正方形网格中，找一格点C，使△ABC成为等腰三角形，这样的C点共有点。 4、如图，已知AB＝AC，BD＝BC，∠C＝72o，则∠ABD＝________. 5、如图，AB=AC，D是BC上一点，AE=AD，∠BAD=30°，∠ADC=α，则∠AED= 度（用 α表示）． 6、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将三角形绕C点顺时针旋转30°，得到△DCE， 则∠ABE= °. 7、如图，DC∥AB，∠A=∠B，求证：AD=BC。 8、如图所示,若△ABC、△ADE都是正三角形，（1）试比较线段BD与线段CE的大小？并说明理由； （2）直接写出一个角，使它等于直线AC和BD相交所成的锐角∠CFB（对顶角除外）； （3）计算直线EC和BD相交所成的锐角。 9、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，AD=BD，求证：AD=DC。 （第3题）（第4题）（第5题）（第6题）

10、已知如图，在△ABC中，点D、E分别在AC 、AB上，若AE=DE=DB=BC，且∠ABC=100°，求∠A 的度数． 11、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为α，则顶角的度数是 . 12、如图，已知锐角三角形ABC，请你将它分成三个等腰三角形。（保留画图痕迹） 13、如图，过数轴原点O作30度的角，OA=1，在数轴上找一点B，使△OAB是等腰三角形，画出B 点。 14、如果点P与正方形四边分别构成四个等腰三角形，那么这样的点可以找到几个？画图说明。 15、如图，△ABC中AB=AC，点P与三角形三边分别构成三个等腰三角形，那么这样的点可以找到几 个？画图说明。 16、如图，AC平分∠DAB，∠D+∠B=180°，求证：CD=CB.

等腰三角形和最短路径

等腰三角形和最短路径 温故知新 1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 2．如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（） A．AB∥DF B．∠B=∠E C．AB=DE D．AD的连线被MN垂直平分 3．如图，在△ABC中，AB=14厘米，BC=9厘米，E为AC的中点，DE⊥AC，则△BDC 的周长是（） A．23厘米B．16厘米C．19厘米D．无法确定 4．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点． （1）画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1； （2）写出AA1的长度．

课前热身 一、等腰三角形性质与判定 1、一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm 2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC垂足为D，∠A=40°，∠DBC=（） A．40°B．30°C．20°D．50° 3、下列条件中，不能得到等边三角形的是（） A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 4、已知a、b、c是三角形的三边长，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形 C．钝角三角形D．等腰直角三角形 5、等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．75° 6、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=12cm，则BC边的长为（） A．6 cm B．12 cm C．24 cm D．无法确定 二、最短路径问题 7、如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是． 8、要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．