浅谈数学分析中的构造法
浅谈数学分析中的构造法
摘要: 构造法是一种非常重要的数学方法.本文一方面阐明构造法的基本思想,另一方面通过具体实例来说明构造法在数学分析中的应用.
关键词: 数学分析; 构造法; 应用
中图分类号: O171
Discussions on Construction Methods in Mathematics
Analysis
ZHANG Guang -ping
(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, Gansu, China)
Abstract: Construction method is a very important mathematical thought. In this paper, the basic ideas of construction method are clarified, on the other hand the applications of construction method are explained in mathematics analysis by some examples.
Key words: mathematics analysis; construction method; application
数学中的构造法是一种创造性思维活动,在对数学问题的认识、解决中都离不开构造,按波利亚的说法,求解数学问题就是一个不断地变换问题、解决问题的过程.他指出:“如果你不能解决所提出的问题可先解决一个与此相关的问题,你能不能想出一个更易着手的问题?一个更普遍的问题?一个特殊的问题?一个类比的问题?”这里“想出”一个问题,就是构造一个辅助问题,不是直接去解决原问题,而是去构造一个与原问题相关的辅助问题,通过解决辅助问题进而解决原问题,这就是构造法.下面就构造法在数学分析中的具体应用举例说明.
1、构造辅助函数
在数学分析中根据题设条件,构想、组合成一种新的函数,使问题在新的关系下实现转化从而得到解决,这不仅应用于定理的证明,而且也应用于解题过程中.
根据定理的条件,我们首先构造一个辅助函数,使得这个函数满足另一个已证明的定理的条件,从而把我们所要证明的定理给予证明.
定理1（拉格朗日（Lagrange ）中值定理） 若函数f 满足如下条件: （1）f 在闭区间[],a b 上连续; （2）f 在开区间(),a b 内可导, 则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b a
ξ-'=
-.
分析 要证存在(),a b ξ∈,使得
()()()f b f a f b a
ξ-'=-,我们可以令x ξ=,则
()()()f b f a f x b a
-'=-,进而在等式两边积分得,
()()()f b f a x f x c b a
-=+-,接下来
我们令0c =,然后把上式进行移项得到()()()0f b f a f x x b a --
=-,所以令
()()()()
f
b f a F
x f x x b a
-=-
-,即()()()()()()f b f a F x f x f b x b b a
-=----.
证明 构造辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f b x b b a
-=--
--,显然,()F x 在
[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()()()()()0f b f a F a f a f b a b b a
-=--
-=-
以及有()()()()()()0f b f a F b f b f b b b b a
-=---=-,从而满足Rolle 定理的条件,
由Rolle 定理知,至少存在一点(),a b ξ∈,使得()()()()0f b f a F f b a
ξξ-''=-
=-,
即()()()f b f a f b a
ξ-'=-成立.
下面利用微分中值定理构造辅助函数,进而证明不等式.
例1 设0b a >>,证明
ln
b a b b a b
a a
--<<.
分析 仔细观察不等式,我们发现中间项是对数形式,可以通过不等式及对数的性质进行适当的变形为1ln ln 1b a b b a
a
-<
<-,进而借助微分中值定理,构造一个对
数函数.
证明 构造辅助函数()ln f x x =,[],x a b ∈,显然()f x 在[],a b 上满足拉格朗
日中值定理的条件,且()1f x x '=,即(),a b ξ?∈,使()()()1
f b f a f b a ξξ
-'==
-,即 ln ln ln
b b a
b a a
ξ
--==
,而我们知道11
1b
a
ξ
<
<
,故可以得到
b a b a
b a b
a
ξ
---<
<
,
即
ln
b a b b a b
a
a
--<<
.
下面利用函数的单调性构造辅助函数,进而证明不等式. 例2 设 02
x π
<<
, 证明
tan sin x x x
x
>
.
分析 如果我们仅从题设入手,初看之下,很难找到解题思路,但是如果我们把这个不等式构造成一个函数,再利用函数的单调性,则可以解决这个问题. 证明 经分析首先构造辅助函数()2tan sin f x x x x =-,那么()00f =,进而可以得到()22sin sec tan cos 22sin sin tan 2f x x x x x x x x x '=+-=+-,()00f '=以及
()21c o s 22s i n t a n s e c c o s f x x x x x x ??''=+-+????
.
当0,
2x π?
?
∈ ??
?
时,我们可以有cos 0x >,1cos 2
cos x x
+
>,sin 0x >,tan 0x >,
故有()0f x ''>,即()f x '在0,2π
??
????上严格单调递增,故我们可以有
()()00f x f ''>=,0,
2
x π
??
?∈ ???
,进而()()00f x f >=,0,
2x π?
?
?∈ ??
?
,即0,
2x π?
?
?∈ ??
?
我们可以有()()2sin tan 00f x x x x f =->=以及s i n 0x >,tan 0x >,从而可以有
t a n s i n x x x
x
>
,0,
2x π?
?
?∈ ??
?
.
2、 构造数列
无论是定理的证明,还是在求解问题中,构造数列都有非常重要的作用. 定理2（Heine 定理） 设f 在()00U x 内有定义.()0
lim x x f x A →=存在的充要条
件是对于任何含于()00U x 且以0x 为极限的数列{}n x ,有极限()lim n n f x A →∞
=.
证明 充分性: 用反证法,假设()0
lim x x f x A →≠,即当0x x →时f 不以A 为极
限.由极限定义的否定叙述可知:00ε?>,对0δ?>(无论多么小),都存在
()0
,x U
x δ∈,使得()0f x A ε-≥,根据假设条件,我们可以构造一个数列{}n x . 取11δ?=,都存在()0101,x U x δ∈,使得()10f x A ε-≥;取212
δ?=
,都存在
()0
202,x U x δ∈,使得()20
f
x A
ε-≥,按上述步骤取1n n
δ?=
,都存在
()0
0,n n x U
x δ∈,使得
()0n f
x A ε-≥,显然数列{}()
00n x U x ?且0lim n n x x →∞
=但()lim n n f x A →∞
≠,这与假设矛盾,以()0
lim x x f x A →=成立.
必要性: 设()0
lim x x f x A →=,则对于0ε?>,0δ?>,使得00x x δ<-<时,则
有()f x A ε-<.又设数列{}()00n x U x ?且0lim n n x x →∞
=,则对于上述的0δ>,存在
0N >使得当n N
>时有0n x x δ<-<,从而()n f x A ε-<,这就证明了结论.
例 3 设s 为有界数集.证明:若sup s a s =?,则存在严格递增数列{}n x s ?,使得lim n n x a →∞
=.
证明 因为a 是s 的上确界,故对任给的0ε>,存在x s ∈,使得x a ε>-.又因为a s ?,故x a <,从而有a x a ε-<<.
现取11ε=,则存在1x s ∈,使得11a x a ε-<<,再取211
m in ,02
a x ε??
=->????
,则
存在2x s ∈,使得22a x a ε-<<且有()2211x a a a x x ε>-≥--=,一般地,按上述步骤得到1n x s -∈之后,取11min ,n n a x n
ε-??
=-????
,则存在n x s ∈,使得n n a x a ε-<<,
且有()11n n n n x a a a x x ε-->-≥--=,上述过程无限地进行下去,得到数列{}n x s ?,它是严格递增数列,且满足1n n n n n a x a a x a n
εεε-<<<+?-<≤,1,2,.n = 这
就证明了lim n n x a →∞
=.
3、 构造不等式
根据题设的条件,构造不等式是我们解题中经常用到的方法,构造恰当的不等式,使原问题得以转化,更加容易的解决问题.
例
4 证明1lim 1n
n n →∞?
?+ ?
?
?存在.
分析 要证明极限是否存在,首先应构造不等式,进而利用单调有界定理以证明结论.
证明 经分析首先证明数列的单调性,设0b a >>,构造不等式
()()1
1
1n n n
b
a
n b
b a ++-<+-,
n 为任意正整数,进一步整理后得到不等
式:()11n n a b n a nb +>+-????. ()1
把111
a n =+
+以及11b n
=+
代入()1式,又由于我们知道
()()11111111n a nb n n n n ???
?+-=++-+= ? ?
+???
?,故有1
11111n n
n n +???
?+>+ ? ?
+???
?,所以我
们可以知道11n
n ????
??+?? ???????
为递增数列.
其次证明数列的有界性,把1a =以及112b n
=+
代入()1式,得到
()()1111122n a nb n n n ?
?+-=+-+=
??
?,故有21111114222n
n
n n ???
?>+?+< ? ?
???
?,即数列
11n
n ??????+??
???????
有上界.由单调有界性定理知:数列11n
n ??????+??
???????
是收敛的,即
1lim 1n
n n →∞?
?+ ??
?存在.
4、 构造区间套
区间套定理是实数集中非常重要的一个定理,我们可以采用二等分法来构造区间套,进而将所要证明的问题给予解决. 例5 证明确界定理.
分析 设A 为非空的数集,假设A 有上界,由于A ≠?,所以存在0x A ∈.由于
A
有上界,不妨设0M 为A 的上界,假如0M A ∈,则显然0sup M A =,否则0M A ?,
则00x M <,那么构造区间[]00,x M ,接下来对于闭区间[]00,x M 采取两等分法,得到区间000,
2x M x +?
?
????
,00
0,2
x M M +??
?
?
?
?
.若中点00
12
x M x +=
为A 的上界,则选取区
间[]01,x x 为[]11,a b ,否则选取[]10,x M 为[]11,a b ,按照以上的步骤,可以得到一个区间套,进而结论得证.
证明 现只证明上确界的情况,下确界用类似的方法可以证明.
设0M 为非空数集A 的上界,假如0M A ∈,则显然0sup M A =,那么定理的结论得到证明,否则0M A ?,则00x M <,那么构造区间[]00,x M ,接下来我们以
[]00,x M 为出发点,构造一个区间套来证明上确界的存在性.
接下来对于闭区间[]00,x M 采取两等分法,得到区间
000,2x M x +??????
,00
0,2
x M M +??
?
?
?
?
.若中点00
12
x M x +=
为A 的上界,则选取区间
[]01,x x 为[]11,a b ,否则选取[]10,x M 为[]11,a b ,那么[][]110
0,,a b x
M
?,并且
00
112
M x b a --=
,再将区间[]11,a b 采取两等分法,若中点11
22
a b x +=
为非空数集A
的上界,则选取[]12,a x 为[]22,a b ,否则选取[]21,x b 为[]22,a b ,那么[][]2211,,a b a b ?并且00
11
222
2
2
M x b a b a ---=
=
.
按照以上的步骤继续下去,我们可以得到一列闭区
间:[]00,x M ,[]11,a b ,[]22,a b ,[]33,a b , [],n n a b , ,它们满足条件:[][]11,,n n n n a b a b ++?并且当n →∞时00
2
n n n
M x b a --=
→,所以根据区间套定
理可知,存在唯一的[],n n a b ξ∈,使得lim lim n n n n a b ξ→∞→∞
==.
由每次区间的取法可知,每个n b 为数集A 的上界,而每个n a 都不为数集A 的上界.那么对于A 中的任何一个数x ,由n x b ≤得出lim n n x b ξ→∞
≤=,所以我们可以知
道ξ为数集A 的上界.又由li m n n a ξ→∞
=可知,对于0ε>,存在正整数N ,使得
n a ξε-<并且n a 都不为数集A 的上界,那么ξε-更不是数集A 的上界,所以数集
中必有大于ξε-的数.这就证明了ξ为数集A 的上确界.
5、 构造反例
在数学分析中为了加强对概念的理解或加强对概念之间关系的理解,我们经常通过举反例来理解这种关系,构造反例的过程其实就是深入去研究命题的过程,可见构造反例在数学分析中意义重大.
例6 二元函数在可微点处必连续但函数的连续点处不一定可微,函数在可微点处必偏导数存在但偏导数存在不一定可微,对吗?
解 举例(
),f x y =
,该函数在原点连续但是在该点不可微.举例
(
)22
22
0,0,0x y f x y x y +≠=+=?,我们知道该函数在原点偏导数都存在,即
()0
000,0lim
x x f x
?→-==?,()0,00y f =,但是由二元函数可微性定义知函数
(
)22
220,0,0x y f x y x y +≠=+=?
在原点处不可微.
6、 结束语
构造法在数学分析中的很多章节中都有所应用,形式具有较大的灵活性,除了构造辅助函数、构造数列、构造不等式、构造区间套、构造反例之外,我们经常还遇到构造积分、构造级数、构造覆盖等,构造法对于培养创造性思维能力有无可替代的作用,有利于培养数学的学习兴趣.
参考文献:
[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（第三版）（上、下册）[M]. 北京:高等教育出版社,
2001.
[2] 华东师范大学数学系. 数学分析学习指导书(上、下册)[M]. 北京:高等教育出版
社,2004.
[3] 傅丽. 数学分析中的基本方法-构造法[J]. 青海师专学报, 2000, 3:23--26.
最新浅谈构造法在中学数学解题中的应用上课讲义
浅谈构造法在中学数学解题中的应用 富源六中范文波 [摘要]：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它是一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。本文主要通过大量的例题说明构造法是广泛存在于解题过程中的，而且对于解某些问题是非常有用的. [关键词]：构造法；创造性；构造；几何变换 1 前言 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一. 构造的数学思想提炼于数学各分支的研究方法之中，它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体，显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一. 什么是构造法又怎样去构造呢？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法”. 构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养我们创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助. 构造法包含的内容很多，在解题中的应用也千变万化，无一定规律可言,它需要更多的分析、类比、归纳、判断，同时能激发人们的直觉思维和发散思维.
数学分析中的英文单词和短语
数学分析中的英文单词和短语 第一章实数集与函数
第二章 数列极限 Chapter 2 Limits of Sequences 第三章 函数极限 Chapter 3 Limits of Functions 第四章 函数的连续性 Chapter 4 Continuity of Functions
第六章 微分中值定理 及其应用 Chapter 6 Mean Value Theorems of Differentials and their Applications
第七章 实数的完备性 Chapter 7 Completeness of Real Numbers 第八章 不定积分 Chapter 8 Indefinite Integrals 第九章 定积分 Chapter 9 Definite Integrals
第十章定积分的应用Chapter 10 Applications of Definite Integrals 第十一章反常积分Chapter 11 Improper Integrals 第十二章数项级数Chapter 12 Series of Number Terms 第十三章函数列与函数项级数 Chapter 13 Sequences of Functions and
Series of Functions 第十四章 幂级数 Chapter 14 Power Series 第十五章 傅里叶级数 Chapter 15 Fourier Series 第十六章 多元函数的极限与连续 Chapter 16 Limits and Continuity of Functions of Several Variavles
用唯物辩证法分析大学生就业问题
用唯物辩证法分析大学生就业问题 1．矛盾的同一性和斗争性 矛盾是反映事物内部和事物之间对立统一关系的哲学范畴。对立和统一分别体现了矛盾的两种基本属性。矛盾的同一性是指矛盾双方互相依存，互相贯通的性质和趋势。它有两个方面的含义:一是矛盾着的对立面之间相互依存,互为存在的前提，并共处于一个统一体中；二是矛盾着的对立面之间相互贯通，在一定条件下相互转化。矛盾的斗争性是矛盾着的对立面之间相互排斥，相互分离的性质和趋势。矛盾的斗争性和矛盾的同一性在事物发展过程中是相互结合共同发生作用的。 随着高校扩招以后毕业生人数创出新高，大学生就业形势一年比一年严峻。然而同时许多企业因为就业市场的不完善，就业信息的不畅通，大学生眼高手低等问题而招不到满意的人才。从对立统一角度看，大学生就业难与公司招不到满意的人才这两个问题统一存在于社会中，就业难和招不到人本是统一的可以相互补充的。然而大学生多反而造成了招人市场的混乱，再加上很大一部分大学生不愿意从基层做起，挑拣工作，使一些普听岗位遇到人才稀缺的情况，这体现了矛盾的斗争性 2．矛盾的普遍性和特殊性 矛盾存在于一切事物中，存在于一切事物发展过程的始终，旧的矛盾解决了，新的矛盾又产生，事物始终在矛盾中运动。矛盾的普遍存在，但不同事物的矛盾又是具体的，特殊的。从以前看起，大学生还寥寥无几的时候，市场上高科技人才紧缺，当时大学生是供不应求的。而现在，在高校普遍扩招的当下，大学生并不罕见。但从以前到现在，人才市场的需求结构已经发生了剧烈的变化。随着产业结构调整和升级，人才结构也要随之调整。而很多专业课程设置长期不变，与现实需要结合比较差。随着社会变革的加快，对大学生的实践能力和创新能力的要求不断加强，传统的专业课程设置已不能满足人才市场的需求。 就业问题这一矛盾是普遍存在的，而不同时期则有不同时期的特殊性，高校专业结构和课程设置若不改变，则难以解决这一矛盾。 二、从量变和质变的角度分析 事物的联系和发展都采取量变和质变两种状态和形式。量变是事物数量的增减和次序的变动，是保持事物的质的相对稳定性的不显着变化，体现了事物渐进过程的连续性。质变是事物性质的根本变化，是事物由一种质态向另一种质态的飞跃，体现了事物渐进过程和连续性的中断。量变是质变的必要准备，质变是量变的必然结果。量变和质变是相互依存、相互贯通的，量变引起质变，在新质的基础上，事物又开始新的量变，如此交替循环，形成事物质量互变的规律性。质量互变规律体现了事物发展的渐进性和飞跃性的统一。 还是从以前到现在看，也许曾经学历高就代表着好工作，但随着时代不断发展，产业结构也在不断调整和升级。终于，量变引发质变，新形势下，一纸文凭已经不足以成为就业的通行证。用人单位对专业知识技能、实践创新能力、团队合作能力、应变能力等提出了越来越高的要求。而要想就业能力达到用人单位的要求，自身也要发生质变，不能平时只死啃书本，也要不断积累市场需求的专业能力，量变引发质变，这样才能使自己成为新时代满足市场需求的人才。而许多大学生只是学课上知识，在当今发生了质变的社会，对就业风险缺乏必要的准备。
数学分析的基本内容和方法
渤海大学数理学院 毕业论文 论文题目：简述数学分析中的基本内容和方法 系别：数学系 专业年级：数学与应用数学专业07级 姓名：王迪 学号：07020176 指导教师：王长忠 日期：2011年5月20日
目录 一、数学分析中的研究对象 (3) 二、数学分析的基本内容 (3) 三、数学分析中的基本概念和相互关系 (3) 1.极限概念 (4) 2.连续和一致连续的概念 (5) 3.收敛和一致收敛概念 (6) 4.导数概念 (6) 5.微分概念 (7) 6.原函数和不定积分 (7) 7.定积分 (8) 8.一元函数中极限、连续、导数、微分之间的关系 (8) 9.多元函数中，极限、连续、偏导数、方向导数和全微分之间的关系 (9) 10.连续与一致连续的关系 (9) 11.收敛和一致收敛的关系 (9) 12.连续、不定积分和定积分的关系 (10) 13.微分和积分的关系 (10) 四、数学分析的主要计算 (11) 1.极限的求法 (12) 2.微分学中的计算 (13) 3.积分学中的计算 (14) 4.无穷级数中的计算 (14) 五、数学分析的主要理论 (15) 1.实数的连续性和极限的存在性 (16) 2.连续函数的基本性质 (17) 3.微分学的基本定理和泰勒公式 (18) 4.积分中的理论 (19) 5.无穷级数和广义积分的敛散性 (20) 6.函数级数和广义参变量积分的一致收敛性 (21) 六、数学分析的基本方法 (21) 七、数学分析教学内容的初步实践与思考 (22)
简述数学分析中的基本内容和方法 王迪 （渤海大学数学系辽宁锦州121000中国） 摘要：数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。应全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 关键词：极限，微分，积分，近似。 Contents and methods of mathematical analysis Wang di (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematical analysis is based on the theory of real numbers. The real number system is the continuity of the most important feature, with the continuity of real numbers to discuss the limit, continuity, differentiation and integration. It is in discussing the function of the various limits of the legitimacy of the process of operation, it gradually established system of rigorous mathematical theory. Mathematical analysis should be fully grasp the basic theory of knowledge; develop logical thinking and rigorous reasoning ability; people with good computing power and skills; improve the mathematical model, and apply the tools of calculus to solve practical problems. Key word: Limits, differentiation, integration, and similar.
数学解题中的构造法思想
数学解题中的构造法思想 数学科 庞春英 我们首先从下面例题的解法开始讨论： 例：解方程组 ?? ???=++=++=++323232c z c cy x b z b by x a z a ay x 解法一：直接按照三元一次方程组的消元法解题 （略）。 解法二：把原方程组改写为?????=---=---=---0002323 23x cy z c c x by z b b x ay z a a 利用方程根的定义，我 们把a,b,c 看成关于t 的三次方程023=---x yt zt t 的三个根。根据韦达定理得： x abc y ac bc ab z c b a ==++=++,,，因此原方程组的解为：?? ? ??++=++==c b a z ca bc ab y abc x 。 比较例题的两种解法：解法一作为一般的方法，求解极为麻烦，运算量大；解法二则是构造一个满足问题条件的关于t 的三次方程，构造的元件是a,b,c ，构造的“支架”是原方程变形的关系式“023=---x yt zt t ”。在解法二中，以问题已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系式为“支架”，在思维中构造了一种新的“建筑物”这种方法有一定的普遍意义。 在解题过程中思维的创造活动的特点是“构造”，我们称之为构造性思维，运用构造性思维解题的方法称为构造法，即为了解决某个数学问题，我们通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、模型、方程、函数以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，可以看作是构造解题。 早在公元前三百年左右，欧几里德为了证明素数有无穷多个，假设只有有限个素数n p p p p 321,,，而构造一个新素数121+n p p p ，从而证明了原命题。另外，古希腊人为了证明毕达哥拉斯学派的信条“万物皆为（有理数）”是不对的，构造一个边长为1的正方形，则它的对角线竟不是一个“有理数”。上述这些大概是数学史上最早采用构造法解题的例子吧。 所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。构造法体现了数学发现的思想，因为解决问题同获得知识一样，首先需要感知它，要通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件；构造法还体现了类比的思想，为了找出解题的途径，很自然地联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供了参照对象；构造法还体现了化归的思想，把一个个零散的发现由表及里，由浅入深地集中和联系起来，通过恰当的方法加
中考数学构造法解题技巧
构造法在初中数学中的应用 所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法： 一、构造方程 构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。 1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。 例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b ∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0 分别解得a=4，b=15 2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。 例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。 20，18，5x，-6y的平均数是1。求 的值。 分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。 二、构造几何图形 1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。 例4：已知，则x 的取值范围是（）
马原论文 唯物辩证法与大学生生活的关联
唯物辩证法与大学生生活的关联唯物辩证法与大学生生活的关联 摘要：马克思主义的中的唯物辩证法作为自然、社会、思维发展的一般规律的学科，是人们认识和改造世界的根本方法。所以在我们的日常生活、学习和工作中会有相当广泛的应用。在此我就对大学生生活中的一些事情进行分析，运用唯物辩证法的知识进行剖析。 关键字:唯物辩证法，认识和改造，根本方法，如何，应用，大学生唯物辩证法即“马克思主义辩证法”。恩格斯指出：“辩证法不过是关于自然、人类社会和思维的运动和发展的普遍规律的科学。”是以自然界、人类社会和思维发展最一般规律为研究对象，是辩证法思想发展的高级形态马克思主义哲学的重要组成部分，是人们认识世界和改造世界的根本方法。唯物辩证法则博大精深，对我们有着深深的影响。如何能更好的运用需要做到如下几点： 1、主观要自觉地适应客观。现实生活中，人们往往是逆此规则行事，不顾客观实际情况，一厢情愿的思考、处理问题，其结果是事与愿违，自寻烦恼，劳而无功，贻误事业和自身。 2、要善于抓主要矛盾。也就是要善于“牵牛鼻子”。在实践生活中，人们易犯的错误是平均用力或不分轻重缓急，不分主次，头发胡子一把抓，甚而见小不见大，抓了“芝麻”，丢了“西瓜”。其结果是事倍功半，收效甚微。 3、强化内外因相结合的理念。在学习，创业和生活实践中，在充分发挥自身主观能动作用的同时，应充分利用外部因素中一切有利的条件，使内外因达到最佳结合状态，才能实现预定的目标。这里，主观努力，充分发挥
内因的作用，是起决定性作用的，是事业成败的关键所在，是自我发展，创业谋生的关键所在。“世上无难事，只怕有心人”说的就是这个道理。这要求人们要克服依赖心理，强化自立，自强意识，才能立于不败之地。 4、要正确认识和科学把握物质与精神的辩证关系。是第一性的前提下，必须重视精神的能动作用。不能把物质与精神人为的隔离开来或对立起来；不能片面的强调某一方面的重要性而否定另一方面的地位和作用。要力图使物质与精神形成促互动的良性制约关系，而不是相反。要深刻认识到，解放和发展生产力，要精神动力和智力支持；创造物质财富，需要精神动力和智力支撑，这是不容否认的事实。 接下来就让我们了解一下唯物辩证法是如何影响我们的学习，生活。 （一）唯物辩证法在学习中的应用 一个人从生下来到死亡，大部分时间是在进行实践活动，从事生产实践、社会实践以及其他各项实践活动。比如游泳，一个人并不是天生下来就会游泳，必须经过后天的实践才学会游泳。跳到水里才能学会游泳，站在岸上是永远学不会游泳的，这就是实践出真知。初学游泳者跳到水里身子就像称砣一样不由自主直往下沉，难免要呛水，这个时候他出于本能，脚就会用力踩水，手就会乱拨水，避免溺水。通过实践，他总结了经验教训，把感性的认识上升到理性的认识，认识产生了一个飞跃，懂得了游泳要用手往下往后拨水，要用脚往下往后踩水，巧妙利用水的浮力，这是游泳的基本要领。在下次游泳中，他就会自觉地用手拨水，用脚踩水，又摸索总结出游泳中要学会潜水，学会换气，才不会呛水。这时他的认识又产生了一个新的飞跃，游泳技术又提高了一步。通过“实践—认识——再实践——再认识”，才能真正
数学分析中极限的化归转化思想方法
万方数据
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试论数学分析中极限的化归转化思想方法 作者：杨丽星 作者单位：丽江师范高等专科学校数理系 刊名： 科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2010，""(12) 被引用次数：0次 参考文献(18条) 1.华东师大教学系.《数学分析》.高等教育出版社,1991 2.复旦大学数学系.《数学分析》.高等教育出版社,1983 3.解思泽,赵树智.《数学思想方法纵横论》.科学出版社,1987 4.明清河.《教学分析的思想与方法》.山东大学出版社,2004 5.徐利治.《数学方法论选讲》.华中工学院,1988 6.张雄,李得虎.《数学方法论与解题研究》.高等教育出版社,2003 7.米山国藏.《教学的精神、思想和方法》.四川教育出版社,1986 8.史九一,朱梧槚.《化归与归论化联想》.江苏教育出版社,1989 9.解思泽,徐本顺.《数学思想方法》.山东教育出版社,1995 10.M.克莱因.《古今数学思想》.上海科技社,1981 11.王仲春,李元中.《数学思维与数学方法论》.高等教育出版社,1989 12.喻平.《数学问题化归理论与方法》.广西师大出版社,1999 13.钱吉林等.《数学分析题解精粹》.崇文书局,2003 14.杨永平.运用化归思想,探索解题途径,数学通报,1994(08) 15.凌瑞壁.浅谈数学分析中的化归思想.广西教育学报,1995(02) 16.陈向阳.浅谈数学分析中的化归思想和化归法.桂林教育学院学报,1996(03) 17.黄焕萍.倒析数学分析中的化归思想方法.广西师院学报,1997(01) 18.林远华.化归思想在数学分析解题中的应用.河池师专学报,2002(02) 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/c69088268.html,/Periodical_kjxx201012407.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7949722f-5a15-4b0c-928e-9dcf008e8a3f 下载时间：2010年8月11日
高考数学-构造法求数列通
高考数学-构造法求数列通项 型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列 (1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a n+1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与 )1(11p q a p p q a n n --=-- +，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ． 例1、已知数列{}n a 满足11 2a =，132 n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --= ，得111(1)2n n a a --=--，又11 2 10a -=≠， 所以数列{1}n a -是首项为12，公比为1 2 -的等比数列， ∴1 111 1(1)() 1()2 2 n n n a a -=---=+-． 练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n n a ． (2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++n n n n q a p q a q ， 令n n n a b q = ，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解． 例1、已知数列{a n }中，a 1=65，1 111()32 n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=3 2(2 n a n )+1，令 b n =2 n a n ， 则b n+1=32b n +1，b n+1-3=3 2 （b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)3 2 (341+--n ， ∴ a n =n n 2 332+- ． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求通项n a ． 答案：3 1()222 n n a n =-． (3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）
从唯物辩证法看大学生就业问题
从唯物辩证法看大学生就业问题 作为一名大三学生，也马上就要毕业。我们知道大学生就业问题一直都是全国性的市场经济条件下的一个突出的经济问题，是政治经济学理论研究的难点，在世界上的许多国家和地区，都在一定程度上受到就业不足的困扰。在我国，随着知识经济发展引起的经济结构调整的展开和改革的深化，大学生就业问题已成为经济发展中难点问题，在这样的背景下，深化对知识经济发展条件下就业理论的研究，具有特殊的重要意义。 根据马克思主义基本原理，首先，我们应该以联系的观点看分析为何会出现大学生就业困难的问题。 （一）联系是具有客观性，事物的联系时事物本身固有的，不是主观臆想的。 从大学生教育方面来看，高校普遍扩大招生，扩招后优质办学资源被快速稀释。各校的办学定位被快速模糊，加上培养模式的僵化，学校责任心的下滑，致使人才培养的质量、结构与社会需求严重脱节。过快的教育规模扩张速度影响了大学生的培养质量。这也是大学生在社会上竞争力不足的原因之一。从大学生本身来说，大学生本身的就业观念出现错误，一大部分认为，大学生的工作应该是比普通的工人的工资、待遇还要好才符合他们的学历，他们把自己的学历看成了是高人一等的门槛，不愿意去从事那些本身是劳力的工作。 （二）联系是具有普遍性，任何事物都不能孤立存在，都同其他事物处于一定的的相互联系之中。整个世界是相互联系的统一整体。 从社会的大背景来分析，这几年来，地震、全球金融的次贷危机等一系列的重大事件交织发生，这些直接或间接地影响了我国社会经济发展的格局，并构成了当前就业面临着紧张、急剧的局面。现在我国是处于经济的转型期间，农村富余劳动力以及市场竞争产生了大量的下岗失业人员，再加上，高校毕业生越来越多，更是冲击着整个市场的容纳能力。接着，我国经济发展不平衡，东西部差异；产业发展不平衡，第三产业的发展部充分，相当限制了就业的机会。 所以，用马克思的联系的发展的观点来看待问题，会发现事物的产生都有其存在的原因以及发展的因素。由联系的观点我们可以了解到大学生就业困难原因是由时代的客观性以及影响的普遍性造成的，再次在发展观点的指导下，大学生就业困难另辟蹊径更是具有对社会的发展的创新。因此解决问题的对策也应该从联系、发展的层次出发。事物是普遍联系和发展的，整个世界就是一个过程的集合体，是在永恒发展的，大学生就业困难是我们的现实问题，但是，不会永远是社会问题。 作为一名大学生，我们应该努力提升自身的综合素质，包括素质与能力。当代大学生必须有把自己事业与国家进步、社会的发展及人类的文明融为一体的品格，崇尚真善美，坚持真理，有强烈的事业心和责任感，并具有良好的职业道德，树立正确的世界观、人生观、价值观。要争取知识广博，具备合理的知识结构，有一定的科学文化素养，具有创新精神，随机性、灵活性的思维方式，做到因人、因时、因事而异。有良好的心理素质，面临更加激烈社会竞争，能视变化为机遇，视困难为坦途，有顽强的自制力，坚定的信念，及对生活充满期望，充满热情。 唯物辩证法是马克思主义哲学体系的重要组成部分，是哲学方法论的最高代表，是时代精神的精华，是认识世界和改造世界的强大思想武器，当然也是指导基础教育改革取得成功的锐利武器。因此，我们一定要加强理论素养，努力学习和掌握唯物辩证法，发挥它在基础教育改革中的指导作用。
高中数学解题方法之构造法(含答案)
十、构造法 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维 方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方 向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。 历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构 造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、 巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来， 构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。 构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提， 根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带， 使解题另辟蹊径、水到渠成。 用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、 数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这 些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结 规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特 点，以便依据特点确定方案，实现构造。 再现性题组 1、求证： 3 10910 22≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则4 2511≥???? ??+??? ??+ y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证： 22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a （构造图形、复数） 4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当 c a b 111+=时取等号。（构造图形） 6 、求函数y = 再现性题组简解： 1、解：设)3(92 ≥+=t x t 则t t y t f 1)(2+==，用定义法可证：f (t )在),3[+∞上单调递增，令：3≤12t t < 则0)1)((11)()(2 1212122212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f ∴310313)3(9 10322=+=≥++= f x x y
唯物辩证法分析社会热点问题-
美国执意“走钢丝”，必将寸步难行！ 最近，国际社会讨论最多的就是美国对台军售的问题，这也是中国人民普 遍关注的社会热点问题，然而由唯物辩证法的客观实在性可知，任何一个事物 的出现都有其存在的客观原因，而最客观的原因就是当今世界发展到一定的阶段，必然会有其相应的问题，而美国对台军售问题就是其中一个，所以我们先 从发展这一角度来看待社会热点问题。 自第二次世界大战以来，世界各国都非常注重政治、经济、文化的发展，这个时间段是世界各国快速发展的时期，并且取得了许多令全世界人民骄傲的 成就，全世界人民的生活水平都有了明显的改善。 然而，由唯物辩证法的否定之否定规律可知，发展是一个过程，它不仅不可能一下子解决所有问题，而且会不断出现新的问题以取代旧的事物。随着经 济的发展，经济社会发展中一些深层次矛盾和问题不断显现，新问题更是层出 不穷。而随着人们思想观念、价值取向、行为方式、评判标准的深刻变化和民 主意识、法制意识、权利意识、公平意识的不断增强，人们对这些问题带来的 困扰、造成的压力感受更明显，对尽快解决这些问题、过上更加美好生活的要 求和期待更强烈。因此，当前社会热点问题凸显具有一定的必然性，是发展到 一定水平的必然现象。 问题是一种现象，因一定的客观条件而存在，随客观条件的变化而变化。当前的社会热点问题是世界经济发展新的阶段性特征的具体体现，是社会客观 实际和人们主观认识相互作用的直接结果。 新时期的社会热点问题, 一般具有以下特征:一是时代性,二是挑战性,三 是普遍性,四是敏感性。 对社会热点问题的分析处理离不开对唯物辩证法的正确把握, 具体应着重如下几方面。 一、冷静思考。从辩证唯物主义的观点看来: 冷与热是相对的,辩证的。改革之路不可能一帆风顺,开放之举不可能完美无缺,往往是得失并存,利弊共生。因此,社会生活中出现诸多热点问题是不可避免的。关键是对这些热点问题的态度: 一方面, 不能回避, 要发挥主观能动性, 主动介入, 积极捕捉, 勇于触及, 提高政治敏锐性与观察力；另一方面,对热点问题要冷思考,要从全社会的大局出发,对热点问题进行理性思考,切不可头脑发热, 凭一时主观冲动, 为其推波助澜, 不仅无助于解决问题, 反而会激化矛盾,使问题复杂化,响社会稳定。对于美国对台军售问题，美国国内以及部分国外相关新闻报道，奥巴马此举有助于维持亚太地区的和平与稳定，以牵制中国对南海问题、钓鱼岛问题而引发的亚太地区的不稳定现象，以愚弄不知情的国内和国外人民。然而我们都知道，对于美国政府自己的说法不可避免的会对自己的行为有所掩饰，不能反应事物的客观性。所以对于人们议论纷纷即使是莫衷一是的问题不能人云亦云, 要了解问题的来龙去脉、发展趋势,了解热点问题与它事物间的互相联系、互相依存、互相转化关系, 了解社会各种议论、意见、建议及锋芒所向,正确把握热点问题的本质所在,对于社会矛盾要两利相衡取其重, 两害相衡取其轻。明确应该拥护什么,反对什么, 褒什么,贬什么,提倡什么,鞭挞什么,用冷静的头脑做出正确的判断。
初中数学方法大全之构造法
初中数学方法大全之构造法 构造法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁难的数学问题时，用常规解法，或是无从下手，或是解题过程异常繁杂，这时，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，往往可以化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效。 一、以概念为框架构造 【例1】已知方程 20(0)ax bx c a ++=≠的两根之和为1S ,两根平方和为2S ，两根立方和为 2)x + 90 ,. ac bd B D Rt ABC Rt CDA AC CA Rt ABC Rt CDA a d b c =? ?∠=∠=???????=? ????==∽≌
三、从公式特征构造 【例3】已知x 、y 、z 、r 都为正数，且满足2222,x y z z x +==。 求证：xy=rz 。 【思路分析】此题中，题设222x y z +=与勾股定理的结论非常相似，故可以从构造勾股定理入手进行本题的研究。 证明：如图，构造Rt △ABC ，使AC =x ，BC =y ，斜边AB =z 。作CD ⊥AB 于D 。 由射影定理可知：2AC AD AB =?，则有： 性解决周长与面积的最大值，但这样一来，本题的计算量就很大，而且也较麻烦。换一个思路，以矩形的一组邻边所在的直线为坐标轴，利用函数思想来解决本题，会有意料之外的效果。 解：以AB 、AD 所在的直线为坐标轴，建立平面直 角坐标系xOy 。 根据题意有：(24,0),(0,12)P Q ，易得PQ 所在的直线解 析式为：1122 y x =-+。
设1(,12)(024)2M m m m - +≤≤，则136,602 MF m ME m =-=-。 ∴周长12()2(3660)1922 MF ME m m m =+=++-=-+ 面积211(36)(60)(6)217822MF ME m m m =?=+-=-++ ∴当m =0时，周长最大等于192m ； 当m =0时，面积最大等于2160m 2。 六、其它构造 【例6】在锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D 、E 都落在BC 边上，F 、G 分别落在AC 、AB 边上。 【思路分析】要想作出这样的正方形，确实有些困 难，我们可以把条件放宽：求作一个正方形，使其有三个 顶点落在两边上，这样的正方形就比较好作了，我们可以 马上作出一个这样的正方形1111D E FG 。 这个正方形可以成为本题的一个跳板吗？实际上，我们得到的这个正方形，可以利用位似去作出需要的正方形DEFG 。 解：（略） 在学习数学的过程中，我们会遇到很多这样的题：有些题目有着深厚的“几何背景”，这样的题我们可以恰当地构造出几何图形，以形助数；有些题目有着浓厚的“代数氛围”，我们可以适时地构造出代数模型，以数解形；有些题目有着深刻的“函数味道”，我们可以合理地以函数为框架进行构造。这样不但能够达到另辟蹊径，巧思妙解的目的，而且对培养创造性思维也有很大的帮助。
浅谈构造法解题在高中数学竞赛中的应用
学好构造法 妙解竞赛题 在数学竞赛辅导过程中,需要长期给学生进行有针对性的数学思想方法的训练。其中构造法解题的思想,就是一种值得推广的解题思想方法。通过构造,可以建立起各种数学知识之间的联系与相互转化,让学生在熟练掌握各种数学知识的前提下交互使用,融会贯通。 一、构造几何模型,使代数问题几何化。 代数运算虽然直接,但有时会比较抽象且运算复杂,构造合乎要求的几何图形,可以是所求解的问题变得直观明朗,从而找到一个全新的接替办法。 例一,设a 为实数,证明：以1,1,34222+++-+a a a a a 为边长可以构成一个三角形,且三角形的面积为定值。 分析：从题目给出的三个根式我们知道,当实数a 去互为相反的两数时,只是其中两式角色互换,实质一样,故只需争对非负实数a 展开讨论即可。 ()( ) ? ???-+=++????-+=+-+= +120cos 121160cos 12113 2342222222 22a a a a a a a a a a 构造合乎要求的几何图形如图所示： ? =∠?=∠======120601CBE DAB CD BE AB a BC DF AD 于是：()( ) 343 2,3,222 2+=+= = =a a EF AE a AF 1 120cos 121,1,160cos 121,1,2 2 2 222++=????-+===+-=????-+====a a a a CE BE a BC a a a a DB FC AB a AD 所以：以1,1,34222+++-+a a a a a 为边长可以构成一个三角形,即ECF ?。 则：AEF AECF ECF S S S ??-= ?60 F E D C B A ?30 ? 120a a a 1 1 1
构造法在中学数学中的应用研究98943465
构造法在中学数学中的应用研究98943465
本科毕业设计（论文）题目构造法在中学数学解题中的应用研究
常熟理工学院本科毕业设计(论文)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计(论文)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本人签名：日期： 常熟理工学院本科毕业设计(论文)使用授权说明本人完全了解常熟理工学院有关收集、保留和使用毕业设计(论文)的规定,即：本科生在校期间进行毕业设计(论文)工作的知识产权单位属常熟理工学院。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业设计(论文)被查阅和借阅；学校可以将毕业设计(论文)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业设计（论文），并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。 保密的毕业设计(论文)在解密后遵守此规定。 本人签名：日期： 导师签名：日期：
构造法在中学数学解题中的应用研究 摘要 构造法是一种重要的划归手段，学生通过观察、分析、抓住特征、联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当的构造新的数学模型来达到解题的目的，在中学数学解题中具有重要的作用，主要涉及函数，图形，方程，数列等内容。构造法是一种富有创造性的方法，属于非常规思维，运用构造法解题有利于培养学生的创造性思维，提高学生观察、分析、解决问题的能力。 关键词：构造法，观察，分析，创造性，解题
谈大学生成长生活中的唯物辩证法
谈生活中的唯物辩证法 唯物辩证法是马克思主义的基础和核心,它是自然界、人类社会和人们思维最一般规律的科学。它不仅仅是一个理论学说，而且也是现实生活的指南。同时在大学生成长生活中实实在在地体现了唯物辩证法的意义。 1.坚持用发展的观点看问题 唯物辩证法认为:一切事物都是处于永不停息的运动，变化和发展的过程中，真个世界就是一个无限变化和永恒发展的物质世界，发展是新事物代替旧事物的过程。我们坚持用唯物辩证法这个观点就是要用发展的观点观察和分析问题。 每一个大学生都处于一个动态的变化发展中,知识的积累，道德情操的养成都是一个循序渐进的过程,学生的明辨是非的能力也是渐进的过程。他们在成长的过程中，通过参加各种各样的活动,参加各种各样的社团来充实自己，来提高自己，不为其他的，仅仅是为了将来的发展，所以在此过程中，无论遇到多大的挫折,他们均会勇往直前。用发展的眼光一步一步地促进自己的发展。 2.坚持一分为二看待事物。 唯物辩证法认为：事物自身包含的既对立又统一得关系叫矛盾，矛盾具有普遍性和客观性，要求我们要一分为二的看事情。 例如,我国的经济发展与自然环境的关系，一方面,加快经济发展速度，用较高的资源消耗和能源消耗可以取得更快的发展速度，但一旦这样做，会对自然环境产生严重的不良影响，面对这样的问题，我国采取了坚持科学发展观，坚持更好更快发展，者正确的处理了经济发展与自然环境这一对对立统一的关系。 ３.坚持具体问题具体分析。 唯物辩证法认为:矛盾的特殊性是指矛盾着的事物及其每一个侧面各有其特点。矛盾的特殊性是世界上诸种事物之所以千差万别的内在原因，构成这个事物区别于其他事物的特殊本质。它要求我们想问题办事情必须要坚持具体问题具体分析。 现在很多大学生都想去找工作,做兼职，特别是大一刚来的新生,作为一个大三的师姐，我听到师弟师妹问的最多的问题就是怎样才能找到兼职。其实我想说的是并不是所有的大学生都适合出去做兼职,必须要根据自己的实际情况。因为大学生兼职既有利也有弊，兼职时，可以培养交际、处事等方面的能力。人是锻炼出来的，兼职可以让人早得到锻炼。早出炉,早得到真金。以后找工作,关键是个人能力起决定性作用。兼职的人比没有兼职的人更成熟,更能适应社会。竞争是残酷的，只有不断地充实、锻炼自己，才能在竞争中立于不败之地。但有些同学没有经验,容易上当受骗,还有一些同学认为兼职可以赚钱而荒废学业。能力的锻炼固然重要，但我们做事情要权衡利弊,具体问题具体分析，经过慎重考虑后再做决定。4．重视量的积累促成质的飞跃。 唯物辩证法认为:任何事物的发展都是量变和质变的辩证统一,量变是质变的前提和必要的准备，质变是量变的必然结果,世界上任何事物的变化发展都是首先从量变开始的，当量变达到一定的程度时,必然会引起质变，没有量的积累就没有质的的飞跃。它要求我们一定要重视量的积累。 “不积跬步,无以至千里,不积小流，无以成江海，千里之行,始于足下”大学生的成长是一个量的积累过程, 作为一个学生,学生的天职是学习知识,积累知识，面对未来社会竞争,如果一个大学生要参与到竞争中，他就必须在大学里好好的积累知识,增强自身的社会竞争力。客观社会的残酷性,决定了在校大学生积累知识的重要性.没有知识无法谋生,没有知识无法养家，没有知识也无法报国,那么在无法谋生,养家,缺乏量的积累也只能是空中楼阁．随着社
浅谈数学分析中的数学思想
浅谈数学分析中的数学思想 李静 赤峰学院 10级 数学与统计学院 数学与应用数学2班 10041100332 摘要: 在学习数学分析中，首先接触到的就是关于数学名词的概念问题，那么毫无疑问，深入了解概念是学习掌握数学分析的第一要务；在掌握了概念之后，接下来就是运算能力以及对数学符号的熟识程度；然后就是在学习过程中及做题中学习实践的做题技巧，这就逐渐形成了数学思想方法。 数学知识中蕴含的思想方法是极其丰富的,尤其是隐藏于数学知识背后的数学思想的价值不可忽视.本文对数学分析内容中的函数思想、极限思想、连续思想、数形结合思想、化归思想进行初步的分析. 关键词: 数学分析; 数学思想; 分析 一、函数思想 函数概念和函数思想的提出和运用,使得变量数学诞生了,常量数学发展到变量数学,函数思想起了决定性作用.函数是数学分析的研究对象.函数思想就是运用函数的观点,把常量视作变量、化静为动、化离散为连续,将待解决的问题转化为函数问题,运用函数的性质加以解决的一种思想方法.在数学分析中,我们通常用来解决不等式的证明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等. 例1 证明 当0x >时,()2 ln 12 x x x -<+. 分析 这是一个不等式证明问题,直接证明有一定难度,但是将此问题转化为函数问题的单调性,即可解决问题. 证明 构造辅助函数()f x =()2ln 12x x x +-+,则()f x '=111x x -++,可证当0x > 时,()0f x '>,因此单调递增.又因为()00f =,所以当0x >时, ()()00f x f >=,即原不等式成立. 例2 判断() ()1ln 111 n n n n ∞=+-+∑的敛散性. 分析 这是一个级数问题,该级数为交错级数.从函数的观点出发,化离散为连续,转化为函数问题,运用函数的性质,从而解决问题. 解 该级数为交错级数,由莱布尼兹判别法知,要判断其敛散性,只需判断通项的绝对值