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四川省绵阳市高中2011级第二次诊断性考试(数学文)

保密 ★ 启用前【考试时间：2011年1月15日下午15:00 — 17:00】

绵阳市高中2011级第二次诊断性考试

数学（文科）

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）；如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；

如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的

概率：k n k k

n n P P C k P --??=)1()(．

一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．

1．设集合I = { x ︱︱x －2︱≤2，x ∈N * }，P = { 1，2，3 }，Q = { 2，3，4 }，则 I （P ∩Q ）=

A ．{ 1，4 }

B ．{ 2，3 }

C ．{ 1 }

D ．{ 4 } 2．若向量a 、b 、c 满足 a + b + c = 0，则a 、b 、c

A ．一定能构成一个三角形

B ．一定不能构成一个三角形

C ．都是非零向量时一定能构成一个三角形

D ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 3．将直线x －3y －2 = 0绕其上一点逆时针方向旋转60?得直线l ，则直线l 的斜率为

A ．33

B ．3

C ．不存在

D ．不确定

4．已知f (x ) = sin (x +

2π)，g (x ) = cos (x －2

)，则下列命题中正确的是 A ．函数y = f (x ) · g (x ) 的最小正周期为2π

B ．函数y = f (x ) · g (x ) 是偶函数

C ．函数y = f (x ) + g (x ) 的最小值为－1

D ．函数y = f (x ) + g (x ) 的一个单调增区间是]4

,43[ππ-

5．为了得到函数)6

2sin(π

-=x y 的图象，可以将函数y = cos 2x 的图象

A ．向右平移6

个单位长度 B ．向右平移3

个单位长度

C ．向左平移

6π个单位长度 D ．向左平移

个单位长度

6．直线4x －3y －12 = 0与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方

程为 A ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 1 B ．（x －1）2 +（y －1）2 = 1

C ．（x －1）2 +（y + 1）2 =2

D ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 2

7．设双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），两条准

线间的距离等于c ，则双曲线的离心率e 等于

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3

8．已知焦点（设为F 1，F 2）在x 轴上的双曲线上有一点P (x 0，

)，直线x y 3= 是双曲线的一条渐近线，当0

21=?PF PF 时，该双曲线的一个顶点坐标是 A ．（2，0） B ．（3，0） C ．（2，0） D ．（1，0） 9．若不等式︱x －a ︱－︱x ︱＜ 2－a 2 当x ∈R 时总成立，则实数a 的取值范围是 A ．（－2，2） B ．（－2，1） C ．（－1，1） D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）

10．若抛物线y 2 = x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，焦点为F ，O 是坐标原点，则△POF 的面积等于

A ．16

B ．322

C ．161

D ．

11．已知等腰三角形的面积为

，顶角的正弦值是底角正弦值的3倍，则该三角形一腰的长为 A ．2 B ．3 C ．2

D ．6

12．设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C （C ? A ），有x + t ∈

A ，且f （x + t ）≤ f （x ），则称f （x ）为C 上的t 低调函数．如果定义域为 [ 0，+∞)的

函数f （x ）=－︱x －m 2︱+ m 2，且 f （x ）为 [ 0，+∞)上的10低调函数，那么实数m 的取值范围是

A ．[－5，5 ]

B ．[－5，5]

C ．[－10，10]

D ．]2

5,25[-

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，请不要答在试题卷上．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．不等式

的解是． 14．已知函数f （x ）= sin x －cos (6

x )，x ∈[ 0，2π)，则满足f （x ）＞0的x 值的集合为．

15．设a ＞2b ＞0，则29

()(2)

a b b a b -+

-的最小值是．

16．给出下列命题：

① “sin α－tan α＞0”是“α 是第二或第四象限角”的充要条件； ② 平面直角坐标系中有三个点A （4，5）、B （－2，2）、C （2，0），则直线AB 到直线

BC 的角为4

arctan 3

；

③ 函数x

x x f 22

cos 3cos )(+=的最小值为32；

④ 设 [m ] 表示不大于m 的最大整数，若x ，y ∈R ，那么[x + y ]≥[x ] + [y ] ．其中所有正确命题的序号是．（将你认为正确的结论序号都写上）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）设△ABC 三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)2,(b a p =，

)1,(sin A q =，且q p //．（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若△ABC 是锐角三角形，)tan cos sin ,1(),cos ,(cos B A A n B A m -==，求n m ? 的取值范围． 18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，

AB 是半圆⊙O ：x 2 + y 2 = 1（y ≥0）的直径，C 是半

圆O （除端点A 、B ）上的任意一点，在线段AC 的延长线上取点P ，使︱PC ︱=︱BC ︱，试求动点P 的轨迹方程． 19．（本题满分12分）某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：在盒子里预先放有

大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）．（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率；（Ⅱ）求该幸运观众获得1000元奖金的概率．

20．（本题满分12分）已知函数1)1(6)12(3

)(23+--+-=x m m x m x x f ，x ∈R ．

（1）当m =－1时，求函数y = f (x ) 在 [－1，5 ] 上的单调区间和最值；（2）设f ′(x ) 是函数y = f (x ) 的导数，当函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点时，求实数m 的取值范围．

21．（本题满分12分）设椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为212，左

焦点到左准线的距离为73．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设椭圆C 上有不同两点P 、Q ，且OP ⊥OQ ，过P 、Q 的直线为l ，求点O 到直线l 的距离． 22．（本题满分14分）已知{ a n }是等差数列，{ b n }是等比数列，S n 是{ a n }的前n 项和，a 1 = b 1

= 1，2

212

b S =．

（Ⅰ）若b 2是a 1，a 3的等差中项，求a n 与b n 的通项公式；

（Ⅱ）若a n ∈N *