向量组及其线性组合

第二节 向量组及其线性组合

内容分布图示

★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵

★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2

★ 线性方程组的向量形式

★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5

★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9

★ 向量组间的线性表示

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题3-2

★ 返回

内容要点:

一、n 维向量及其线性运算

定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量、

注:在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”称为向量,并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象、 引入坐标系后,又定义了向量的坐标表示式(三个有次序实数),此即上面定义的3维向量、 因此,当3 n 时,n 维向量可以把有向线段作为其几何形象、 当3 n 时,n 维向量没有直观的几何形象、

若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组、 例如,一个n m 矩阵 每一列

组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组,而由矩阵A 的的每一行

组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组、

根据上述讨论,矩阵A 记为

),,,(21n A 或

n A 21、 这样,矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系、

矩阵的列向量组与行向量组都就是只含有限个向量的向量组、 而线性方程组

的全体解当n A r )(时就是一个含有无限多个n 维列向量的向量组、

定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 的各对应分量之与组成的向量,称为向量 与 的与, 记为 ,即

由加法与负向量的定义,可定义向量的减法:

),,,(2211n n b a b a b a 、

定义3 n 维向量),,,(21n a a a 的各个分量都乘以实数k 所组成的向量,称为数k 与向量 的乘积(又简称为数乘),记为 k ,即

),,,(21n ka ka ka k 、

向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算、

注:向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同,从而也满足下列运算规律:

(1) ;

(2) )()( ;

(3) ; o

(4) ;)(o

(5) ;1

(6) ;)()( kl l k

(7) ;)( k k k

(8) .)( l k l k

二、向量组的线性组合

考察线性方程组

m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (1) 令

m mj j j j b b b n j a a a 2121),,,2,1( 则线性方程组(1)可表为如下向量形式:

n n x x x 2211 (2)

于就是, 线性方程组(1)就是否有解, 就相当于就是否存在一组数n k k k ,,,21 使得下列线性关系式成立:

定义4 给定向量组s A ,,,:21 ,对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式

称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数、

定义5 给定向量组s A ,,,:21 与向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使

则称向量 就是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出)、 注:(1) 能由向量组s ,,,21 唯一线性表示的充分必要条件就是线性方程组 s s x x x 2211有唯一解;

(2) 能由向量组s ,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件就是线性方程组 s s x x x 2211有无穷多个解;

(3) 不能由向量组s ,,,21 线性表示的充分必要条件就是线性方程组 s s x x x 2211无解;

定理1 设向量

m b b b 21 ,),,,2,1(21s j a a a mj j j j

则向量

能由向量组s ,,,21 线性表示的充分必要条件就是矩阵),,,(21s A 与矩阵),,,,(~21 s A 的秩相等、

三、向量组间的线性表示

定义6 设有两向量组

若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示、若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价、

按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在

使

所以

其中矩阵t s ij t s k K )(称为这一线性表示的系数矩阵、

引理 若,n t t s n s B A C 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B 为这一表示的系数矩阵、 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵、

定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示, 向量组B 可由向量组C 线性表示, 则向量组A 可由向量组C 线性表示、

例题选讲:

n 维向量及其线性运算

例1(讲义例1)设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21T T 如果向量满足,0)(2321 求 、

例2 (讲义例2)设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T

(1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求.x 例3 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,02,1(21 由于212 , 因此 就是21, 的线性组合、

例4 证明:向量)5,1,1( 就是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321 的线性组合并具体将 用321,, 表示出来、

例 5 证明: 向量)5,5,4(可以用多种方式表示成向量),3,2,1()4,1,1( 及)2,3,3(的线性组合、

向量组的线性组合

例 6 (讲义例3) 任何一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都就是n 维向量单位组

T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 的线性组合、

因为 .2211n n a a a

例7 (讲义例4) 零向量就是任何一组向量的线性组合、 因为 .00021s o

例8 (讲义例5) 向量组s ,,,21 中的任一向量)1(s j j 都就是此向量组的线性组

合、

因为 .0101s j j

例9 (讲义例6)判断向量T )11,1,3,4(1 与T )11,0,3,4(2 就是否各为向量组,)5,1,2,1(1T T )1,1,1,2(2 的线性组合、 若就是, 写出表示式、

课堂练习

1、试问向量 能否由其余向量线性表示? 若能, 写出线性表示式:

2、已知向量组 (B):321,, 由向量组 (A):321,, 的线性表示式为

试将向量组(A)的向量由向量组(B)的向量线性表示、

线性相关和线性无关的结论

§3.2性质定理总结： 一、线性相关的判别： 1、m ααα ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得 1122m m k k k .ααα++= 0 2、1α线性相关? 1α=0. 3、12,αα线性相关? 1α与2α的对应分量成比例. 4、m ααα ,,21线性相关?其中至少有一个向量能用其余向量线性表示. 5、n 个n 维向量线性相关?它们构成的行列式等于零. 6、m ααα ,,21线性相关 ?m ααα ,,21的秩小于m . 7、对调坐标不改变向量组的线性相关性. 8、部分相关?整体相关. 9、m 个n 维 (m >n ) 向量线性相关. 二、线性无关的判别： 1、m ααα ,,21线性无关?如果1122,m m k k k ααα++= 0则有 .021====m k k k 2、整体无关?部分无关. 3、无关则加长无关 三、线性相关的性质： m ααα ,,21线性无关，12m ,,,αααβ 线性相关?β可由m ααα ,,21线性表 示，且表示法唯一. 四、线性无关的性质： 1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数. 2、等价线性无关向量组的向量个数相同.

五、向量组的秩的性质： 1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩. A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组； A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式. 2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩. 3、等价向量组的秩相同. 六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.

向量组的线性有关性归纳

第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1 n 个有次序的数12,, ,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,, ,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ +

向量组及其线性组合

第二节 向量组及其线性组合 内容分布图示 ★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2 ★ 返回 内容要点： 一、n 维向量及其线性运算 定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m 矩阵 每一列 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行 组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵A 记为 ),,,(21n A 或 n A 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 的全体解当n A r )(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组. 定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 的各对应分量之和组成的向量，称为向量 与 的和, 记为 ，即 由加法和负向量的定义，可定义向量的减法： ),,,(2211n n b a b a b a . 定义3 n 维向量),,,(21n a a a 的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量 的乘积（又简称为数乘），记为 k ，即 ),,,(21n ka ka ka k . 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) ; (2) )()( ; (3) ; o (4) ;)(o (5) ;1 (6) ;)()( kl l k

向量组的线性关系

第十讲 向量组的线性关系 一、考试内容与考试要求 考试内容 向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关． 考试要求 （1）理解n 维向量的概念； （2）理解向量的线性组合与线性表示的概念； （3）理解向量组线性相关与线性无关的概念； （4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法； 注 适合于第十讲和第十一讲． 二、知识要点 引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？ 线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）； 矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数； 线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来； 线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组． 复习 （1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤ 其中A =（12,,,m αααL ），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m αααL 中向量的个数． （2）齐次方程组Ax o =???唯一零解 无穷解（有非零解），o 是向量． 1．线性组合（线性表示） 定义1 线性组合（线性表示） 给定向量12,,,,m βαααL ，如果存在数12,,,m k k k L ，使关系式成立 则称β是向量组12,,,m αααL 的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m αααL 线性表示：

注意1 （1）线性组合（或线性表示）对12,,,m k k k L 没有要求，可以全为零； （2）零向量可由任一同维的向量组线性表示； （3）判断β是否可由向量组12,,,m αααL 线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个具体表示就是Ax β=有一个特解． （4）表示式可以不惟一，但若12,,,m αααL 线性无关时，表示式惟一； （5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e L 线性表示； （6）向量组12,,,m αααL 中每个向量都可由自身向量组线性表示： 定义2 向量组的等价 向量组（I ）：12,,,s αααL 中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββL 线性表示，而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）:（II ）． 向量组的等价具有 ① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）:（I ）； ② 对称性：若（I ）:（II ），则（II ）:（I ）； ③ 传递性：若（I ）:（II ），（II ）:（III ），则（I ）:（III ）． 注意 2 记()12,,,s A ααα=L ，()12,,t B βββ=L ，则 （1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示的推广． （2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B == （3）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关； （4）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，且向量组（I ）线性无关，则必有r s ≤； 这是（3）的逆否命题．

向量组的线性相互与线性无关

向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???M 。这 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???M 。因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???M 有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

向量组的线性相关性 线性代数习题集

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠

三．计算题： 1． 设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为 何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？ （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？ 132123222 21110111(,,,)11111111111101110, 00(3)(12)r r r λ λλαααβλλλλλλλλλλλλλλλλλλ???++?? ? ?=+???→+ ? ? ? ?++??????+ ???→→-- ? ?-+--?? 解因为 2 2 211 10,00(3)(12)λλλλλλλλλλλ??+ ? →-- ? ?-+--? ? 123123123(1)03,(,,,)(,,)3, ,,,; R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一 123123123(2)0,(,,,)(,,)13, ,,,;R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一 123123123(3)3,(,,,)3(,,)2, ,,. R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示

向量组线性相关性判定

向量组线性相关性判定 安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：

日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的

重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性

向量组线性相关的几何意义

y O x 12345612 3 4 56图11)由两个2 维向量构成的向量组A : a 1, a 2M 1(1,2) M 2(2,4)M 3(3,6)在直线y =2x 取三点M 1, M 2, M 3, 作三个向量: )21(11,OM a ==)4,2(22==OM a )6,3(33==OM a 显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.线性相关的几何意义是: a 1, a 2共线. 向量组线性相关的几何意义

2)由3 个3 维向量构成的向量组线性相关的几2)(1,1,11-==RM a )2,0,2(22-==RM a 2),2,0(33-==RM a 向量组a 1, a 2, a 3 线性相关,因为2a 1 -a 2-a 3 = 0.M 1 M 2 M 3O x 3y 3z 3 R 图2 向量: 在π上取三点:M 1(1,1,1), M 2(2,0,1), M 3(0,2,1),作三个何意义是这3 个向量共面.如给定平面π: x+y+z =3.

3)四维向量组线性相关的几何意义 设有四维向量组 ,6914,13283,5421,41324321??????? ??--=??????? ??-=??????? ??--=??????? ??=αααα有α3= 2α1-α2, α4= α1+ 2α2, 所以向量组α1,四个平面交于同一条直线. 如图3 对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的α2, α3, α4线性相关, 其几何意义为:该向量组所

2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6图3

线性代数 向量组的线性组合

第二节 向量组的线性组合 分布图示 ★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2 内容要点 一、n 维向量及其线性运算 定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m ?矩阵 ???? ??? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 每一列 ???? ?? ? ??=mj j j j a a a 21α),2,1(n j = 组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行 ),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β 组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵A 记为 ),,,(21n A ααα = 或 ???? ?? ? ??=n A βββ 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 0=?X A n m 的全体解当n A r <)(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组. 定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向

向量的线性相关性及其应用

向量的线性相关性及其应用 摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。同时给出了线性相关性的一些应用。 关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵 一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念 1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量 空间中向量之间的关系。在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为向量组12,,s ααα 的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα 线性表示。特别地,零向量是任一向量组的线性组合。于是,就引出了线性相关和线性无关的定义: 定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得 1122s s k k k ααα++= 0 ,则称向量组12,,s ααα 线性相关; 否则称向量组 12,,s ααα 线性无关 。即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++= 0 ,就称为 线性无关。 定义2：对于向量组12,,s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得 1122s s k k k ααα++= β 则称向量β是向量组12,,s ααα 的线性组合 二． 关于线性相关性的几种判定 1. 利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用 的一种方法。具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++= 0 ,其中12,s k k k 为常数; ⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全

第六讲 向的线性相关性

第六讲 向量的线性相关性 教学目的： 1. 介绍向量及其线性运算； 2. 讲解向量的线性相关性的概念及判别法；这是重点中之重点。 教学内容： 第三章 向量的线性相关性与秩：§ 3.1 n 维向量及其线性运算； § 3.2 向量的线性相关性 教材相关部分： 第三章 向量的线性相关性与秩 § 3.1 n 维向量及其线性运算 一、n 维向量的概念 在中学物理中，力是一个有方向的量。如果让所有的力都从原点发出，决定其性质的便只有方 向和大小两个要素了。还有位移、速度、加速度等等，也都是同时具有大小和方向两个要素的量。这种量称为向量，可以用点的坐标来表示。 一个实数，是一维坐标，也表示一个实数轴上的向量，如5，也表示从0到5的一个向量， 称其为一维（实）向量（如图3.1）。一维向量的全体，记作{}R x x R ∈=|1 , 即实数轴。 x ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ -1 0 1 2 3 4 5 6 7 ( 图3.1 ) 一对实数，是二维坐标，也表示一个实平面上的向量，例如（1，2）也表示从原点到点（1，2）的一个向量，称其为二维（实）向量（如图 3.2）。二维向量的全体，也就是二维实平面，记作 {}R x x x R i ∈=|),(212。 三元实数组),,(k j i ，是一个三维坐标，也表示一个三维（实）向量（如图3.3）。三维向量的 全体，记作{}R x x x x R i ∈=|),,(3213 ，就是立体几何中的三维实空间。 ) 0 1 x （ 图3. 2 ） 1x ( 图3.3 ) 一般地我们有：

定义 3.1 由n 个数组成的n 元有序数组),,,(21n x x x Λ，称为一个n 维向量，其中i x 称为它的第i 个分量。如果n 个分量都是实数，便称为n 维实向量。 向量通常记作),,,(21n x x x X Λ=或),,(1n a a Λ=α。全体n 维实向量的集合记作 {}R x x x x X R i n n ∈==|),,,(21Λ。 (3.1) 今后如不加说明，本书中所说的向量都指实向量。n 维向量也可以写成列的形式，如 ? ?? ? ? ??=n x x X M 1、????? ??=m y y Y M 1、????? ??=n a a M 1α 等，不过行的形式和列的形式不能混写。 特别地，将所有分量全为0的向量称为零向量，记作）（0,,0Λ=θ或???? ? ??=00M θ。 我们规定：两个向量相等，当且仅当二者的所有分量一一对应相等。写作： Y X = 当且仅当 i i y x i =?,。 例 3.1 ? ???? ??=0011e 、????? ??=m y y Y M 1、??? ?? ??=n x x X M 1、????? ??=)()()(1X f X f X f m M 、)1,3(-=v 、 )0,1,0(2=ε、),,,(21n a a a Λ＝α，分别是三维、m 维、n 维、m 维、二维、三维、n 维（列或行）向量。而 )(X f Y = 则意味着m i x x f X f y n i i i ,,2,1),,,()(1ΛΛ===，即由m 个n 元函数组成的一个从向量到向量的多元映射。 二、向量的线性运算 定义3.2 设? ?? ? ? ??=n x x X M 1、????? ??=n y y Y M 1为两个n 维实向量，R l k ∈,为任意实数，定义向量的加 法和数乘为： ? ?? ?? ??++=+n n y x y x Y X M 11、 ??? ? ? ??=n kx kx kX M 1。 (3.2 ) 或者更一般地，将两个定义式合写作 ? ?? ?? ??++=+n n ly kx ly kx lY kX M 11 (3.3 ) 称为向量X 和Y 的线性运算。当1==l k 或0=l 时，（3.3）式便分别是(3.2)的两个式子。

向量组的线性相关性的判定

向量组的线性相关性的判定 摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件. 关键词：向量组；线性相关；行列式 引言 向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据. 向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子. 本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的. 1.向量组线性相关性的相关定义及性质 定义 1.1]1[ 定义在P 上的线性空间V ，对于给定的一组向量12,, ,n x x x ,如果存在n 个不全为0的数12,,,n λλλ，使得 11220n n x x x λλλ+++=. 那么称12,,,n x x x 是线性相关的.否则称12,, ,n x x x 是线性无关的. 性质1.1 若12,, ,n x x x 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余1n -个 向量线性表示.

向量组线性相关与线性无关

向量组线性相关与线性无关的判别方法 摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的 线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言 在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义 定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数 12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域 P 中没有不全为零的数12 ,m k k k ，使 0332211=++++m m k k k k αααα ， 称它是线性无关. 3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法 由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量. 关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断. 命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α， ()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.