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北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合题专题复习

1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B．

（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，则点D的坐标；

（2）在（1）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，则点P的坐标．

2．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围．

3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）判断△BCD的形状，并说明理由；

（3）点为该抛物线上一动点P（与点B、C不重合），该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明

理由．

4．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C 两点，与x轴的另一交点为B．点D是AC上方抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求的最大值；

（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得△CDF中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．

5．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c

经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为线段OA上的动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N；若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

6．如图1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+k的顶点A在直线l：y＝x﹣3上，将抛物线沿直线l向右上方平移，使其顶点P始终保持在直线l上，设平移后的抛物线与原抛物线交于B点．

（1）请直接写出k的值；

（2）若抛物线y＝x2+k与直线l：y＝x﹣3的另一个交点为C．当点B与点C重合时．求平移后抛物线的解析式；

（3）连接AB，BP，当△ABP为直角三角形时，求出P点的坐标．

7．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的顶点为D，连接AD，AC，CD，BC，将抛物线沿着y轴平移，点C的对应点为点M，是否存在点M使得以M，B，C为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出平移后的抛物线表达式；若不存在，请说明理由．

8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0）与x轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线L的对称轴．

（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．

（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．

9．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣6经过点A（﹣3，0）和点（﹣1，0），顶点为D．

（1）求抛物线C1的函数表达式及点D的坐标；

（2）将抛物线C1绕坐标轴上一点P旋转180°得到抛物线C2，点A、D的对应点分别为A'、D'，是否存在以AD为边，且以A、D、A'、D'为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出抛物线C2的函数表达式，若不存在，请说明理由．

10．已知抛物线y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a（a＞），顶点为点D，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）若a＝3时，求此时抛物线的最大值；

（2）若当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值3，求此时a的值；

（3）若直线CD交x轴于点G，求的值．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；

（3）点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

12．对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K2的“近距离”．如图1，已知△ABC，A（﹣1，﹣8），B（9，2），C（﹣1，2），边长为的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上．

（1）填空：

①原点O与线段BC的“近距离”为；

②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O′坐标为（m，0），若正方形PQMN与△

ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为；

（2）已知抛物线C：y＝﹣+3x﹣a，且﹣1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；

（3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，﹣2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤180°），将旋转中的△ABC记为△AB′C′，连接DB′，点E为DB′的中点，当正方形PQMN中心O′坐标为（5，﹣6），直接写出在整个旋转过程中点E 运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”．

13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A的坐标是（3，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，且△PBC是直角三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在直线BC上是否存在点Q，使∠PQB＝∠CPB，若存在，求出点Q坐标：若不存在，请说明理由．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC的直角顶点C（0，12），斜边AB在x 轴上，且点A的坐标为（﹣9，0），点D是AC的中点，点E是BC边上的一个动点，抛物线y＝ax2+bx+12过D，C，E三点．

（1）当DE∥AB时，

①求抛物线的解析式；

②平行于对称轴的直线x＝m与x轴，DE，BC分别交于点F，H，G，若以点D，H，F

为顶点的三角形与△GHE相似，求点m的值．

（2）以E为等腰三角形顶角顶点，ED为腰构造等腰△EDI，且I点落在x轴上．若在x 轴上满足条件的I点有且只有一个时，请直接写出点E的坐标．

15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．

（1）求抛物线的解析；

（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC．

①当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；

②在①的条件下，y轴上存在点M，使四边形PMAB的周长最小，请求出点M的坐标；

③连接AC，当tan∠PBO＝2tan∠ACO时，请直接写出点P的坐标．

参考答案

1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B．

（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，则点D的坐标；

（2）在（1）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，则点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+x+2，点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，

∴，得m＝1，

∴点D的坐标为（1，2），

故答案为：（1，2）；

（2）过点P作PE⊥DB交DB的延长线于点E，作EF⊥x轴于点F，作PG⊥EF交EF 的延长线于点G，

∵∠DBP＝135°，

∴∠PBE＝45°，

∵∠BEP＝90°，

∴∠BPE＝∠PBE＝45°，

∴BE＝PE，

∵∠BEP＝90°，∠EFB＝90°，

∴∠PEG+∠BEF＝90°，∠EBF+∠BEF＝90°，∴∠PEG＝∠EBF，

又∵∠PGE＝∠EFB＝90°，PE＝EB，

∴△PGE≌△EFB（AAS），

∴EG＝BF，PG＝EF，

∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）（x+1），

∴当y＝0时，x＝2或x＝﹣1，

∴点B的坐标为（2，0）

∵点D（1，2），点B（2，0），

∴tan∠DBA＝2，

∴tan∠EBF＝2，

设BF＝a，则EF＝2a，EG＝a，PG＝2a，

∴点P的坐标为（2﹣a，﹣3a），

∴﹣3a＝﹣（2﹣a）2+（2﹣a）+2

解得，a1＝6，a2＝0（舍去），

∴点P的坐标为（﹣4，﹣18），

故答案为：（﹣4，﹣18）．

【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②

①+②得：a+c＝0 即a与c互为相反数，

①﹣②得：b＝﹣1；

所以抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），

∴对称轴为x＝，

当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝＜0，

∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），

画图可知，当≤﹣1时符合题意，此时﹣≤a＜0，

当﹣1＜＜0时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去

同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝＞0，

画图可知，当≥1时符合题意，此时0＜a≤，

当0＜＜1时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，

综上所述：a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤，

故答案为：﹣≤a＜0或0＜a≤．

3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）判断△BCD的形状，并说明理由；

（3）点为该抛物线上一动点P（与点B、C不重合），该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：

，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①．

（2）令y＝0，则x2+6x+5＝0，解得x＝﹣1或﹣5，

即点C（﹣1，0），

∵y＝（x+3）2﹣4，

∴D（﹣3，﹣4），

∵B（﹣4，﹣3），

∴BD＝＝，BC＝＝3，CD＝＝2，

∴CD2＝BD2+BC2，

∴∠CBD＝90°，

∴△CBD是直角三角形．

（3）设直线BP与CD交于点H，

当点P在直线BC下方时，

∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，

线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），

过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，

设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，

同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，

联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），

同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，

联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），

故点P（﹣，﹣）；

当点P（P′）在直线BC上方时，

∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，

则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，

即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，

联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），

故点P（0，5）；

故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．

4．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C 两点，与x轴的另一交点为B．点D是AC上方抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求的最大值；

（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得△CDF中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，

∴，

∴y＝﹣x2﹣x+2；

（2）如图1，令y＝0，

∴﹣x2﹣x+2＝0，

∴x1＝﹣4，x2＝1，

∴B（1，0），

过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，

∴△DME∽△BNE，

∴＝＝，

设D（a，﹣a2﹣a+2），

∴M（a，a+2），

∵B（1，0），

∴N（1，），

∴＝＝＝﹣（a+2）2+；

∴当a＝﹣2时，的最大值是；

（3）∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），

∴AC＝2，BC＝，AB＝5，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（﹣，0），

∴P A＝PC＝PB＝，

∴∠CPO＝2∠BAC，

∴tan∠CPO＝tan（2∠BAC）＝，

过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，

情况一：如图2，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，

∴∠CDG＝∠BAC，

∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，

即＝，

令D（a，﹣a2﹣a+2），

∴DR＝﹣a，RC＝﹣a2﹣a，∴＝，

∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，

∴x D＝﹣2，

情况二，∴∠FDC＝2∠BAC，

∴tan∠FDC＝，

设FC＝4k，

∴DF＝3k，DC＝5k，

∵tan∠DGC＝＝，

∴FG＝6k，

∴CG＝2k，DG＝3k，

∴RC＝k，RG＝k，DR＝3k﹣k＝k，∴＝＝，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣，

∴点D的横坐标为﹣2或﹣．

5．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为线段OA上的动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N；若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

【解答】解：（1）直线y＝﹣x+c交于点A（3，0），与y轴交于点B，

∴0＝﹣4+c，解得c＝4，

∴B（0，4），

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，

新北师大版二次函数章节练习题

二次函数练习题班级姓名成绩二次函数所描述的关系 1.下列函数中，哪些是二次函数？ 1 “、 (1) y=3(x-1)2+1 (2) y=x + (3) x F 列函数中：① y= — x 2;②y=2x :③y=22+x 2 — x 3；④m=3 — t — t 2是二次函数的是 s=3-2t (4) y= —⑸y=(x+3) 2-x 2 ⑹ v=10 n r2 x x 2 若y= ( 1) x m 6m 5是二次函数，则m=() —1 B . 7 C . — 1或7 D .以上都不对 F 列各关系式中，属于二次函数的是 (x 为自变量) 1 2 y= x 8 B . y= .. x 2 1 1 C . y= 2 x y=ax 2+bx+c(a , b , C 是常数)是二次函数的条件是 a M 0, b M 0, C M 0 B . a<0, b M 0, C M 0 C . a>0, 1 自由落体公式h= gt 2(g 为常量),h 与t 之间的关系是 2 A.正比例函数下列结论正确的是 A . y=ax 2是二次函数 B .二次函数自变量的取值范围是所有实数 C .二次方程是二次函数的特例 D .二次函数的取值范围是非零实数已知函数 y=(m 2— m)x 2+(m — 1)x+m+1. (1) 若这个函数是一次函数， (2) 若这个函数是二次函数，函数 A . b 丰 0, C M 0 (其中x 、t 为自变量). 2 D . y=a x B. 一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 2 如果函数y=x k 3k 2 +kx+1 求 m 的值; 求 m 的值是二次函数，贝U k 的值一 —定是 2 10 .如果函数y=(k — 3) x k 3k 2+kx+1是二次函数，则k 的值一定是 11. 下列函数属于二次函数的是( ) 1 y=x —— x B . y= (x — 3) 2 — x 2 1 C . y= 2 -x x D . y=2 (x + 1) 2 — 1 12. 在半径为 cm 的圆面上，从中挖去一个半径为 o x cm 的圆面，剩下一个圆环的面积为 y cm ，贝V y 与x 的函数关系式为( A . y= x 2 — 5 2 B . y= (5 — x ) 2 2 .y= —( x + 5) D . y= — x + 25 结识抛物线 y=ax 2 1 .函数y= ax 2 a 2 2a 6 是二次函数，当 a= ____ 时，其图象开口向上；当 a= ____ 时，其图象开口向下 2.填右表并填空：抛物线y=2x2的顶点坐标是 __________ 」对

北师大版二次函数经典总结与典型题

二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质： 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成

(完整版)初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是，当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向平移个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线相同，又过原点，那么a ＝，b ＝，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是，当函数值0y <时，对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=

12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ．都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ．都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-m D ． 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、（－1，1） B 、（1 ，1） C 、（0 , 1） D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = （ g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是（） A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x = -+ D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++，若0a <，0c >，那么它的图象大致是（） 21、根据所给条件求抛物线的解析式：（1）、抛物线过点（0，2）、（1，1）、（3，5）（2）、抛物线关于y 轴对称，且过点（1，－2）和（－2，0） 22．已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A （0，1），B （2，－1）两点. (1)求b 和c 的值； (2）试判断点P （－1，2）是否在此函数图像上？ 23、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边

北师大版二次函数测试题及答案

北师大版二次函数测试题一、选择题： 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0

的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1

两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于 A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答题：

(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)

22．1二次函数的图像和性质（一）一、学习目标 1．知识与技能目标：（1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。三、教学过程（一）创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）自主探究、合作交流：问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。问题5：什么是二次函数？形如。问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？

（三）尝试应用：例1．关于x 的函数是二次函数，求m 的值．注意：二次函数的二次项系数必须是的数。例2．已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5，求这个二次函数的解析式．（五）小结： 1．二次函数的一般形式是。2．会用法求二次函数解析式。（六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二）一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=

初三数学二次函数单元测试题及答案

远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩：一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()

9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线上的点，且-1

新北师大版二次函数章节练习题

二次函数练习题班级姓名成绩二次函数所描述的关系 1．下列函数中，哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)2+1 （2）y=x ＋ x 1 （3）s=3-2t （4）y=x x -21 (5)y=(x+3)2-x 2 (6) v=10πr 2 2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量). 3．若y=（m ＋1）x 5 62--m m 是二次函数，则m=（） A ．－1 B ．7 C ．－1或7 D ．以上都不对 4．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) A ．y = 8 1x 2 B ．y =12 -x C ．y = 21x D ．y =a 2x 5．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是 A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0 B ．a <0，b ≠0，c ≠0 C ．a >0，b ≠0，c ≠0 D ．a ≠0 6．自由落体公式h = 2 1gt 2 (g 为常量)，h 与t 之间的关系是 A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 7．下列结论正确的是 A ．y =ax 2是二次函数 B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ．二次方程是二次函数的特例 D ．二次函数的取值范围是非零实数 8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值; (2)若这个函数是二次函数，求m 的值 9．如果函数y=x 2 32+-k k +kx+1是二次函数，则k 的值一定是______ 10．如果函数y=(k －3) x 2 32+-k k +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______ 11．下列函数属于二次函数的是（） A ．y=x － x 1 B ．y=（x －3）2－x 2 C ．y=21x －x D ．y=2（x ＋1）2 －1 12．在半径为5㎝的圆面上，从中挖去一个半径为x ㎝的圆面，剩下一个圆环的面积为y ㎝2 ，则y 与x 的函数关系式为（） A ．y=πx 2 －5 B ．y=π（5－x ）2 C ．y=－（x 2 ＋5） D ．y=－πx 2 ＋25π 结识抛物线y=ax 2

北师大版二次函数的应用教案

第二章二次函数二次函数的应用（1）一、知识点 1. 利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路. 2. 求几何图形面积的常见方法. 二、教学目标知识与技能：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．过程与方法： 1. 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力． 2. 通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．情感与态度： 1. 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2. 能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3. 进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．

三、重点与难点重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 难点：把实际问题转化成函数模型. 四、创设情境，引入新知( 放幻灯片2、3、4) 1.(1) 请用长20 米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2) 怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 2. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； ⑵当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3) 若墙的最大可用长度为8 米，求围成花圃的最大面积. 设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程. 五、探究新知( 放幻灯片5、6、7)

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．

新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质（1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0