线性代数期末复习题详解
线性代数B 复习资料（2014）
（一）单项选择题
1 ?设A , B 为n 阶方阵，且（AB
2 = E ，则下列各式中可能不成立的是（ A ）
(C) BAB = A 」 (D) (BA)2
= E
2 .若由AB=AC 必能推出B=C （A , B , C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（C ）
仍然线性无关
组仍然线性无关
仍然线性相关
7.设n 阶方阵A 的秩r （A ）必有r 个行向量线性无关 (B) ABA = B 」 (A)A 丰 O (B)A=O (c)|A K 0 (D) AB HO 3. A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B , 使 AB=BA=A ，则（ （A ） B 为单位矩阵 （B ） B 为零方阵 (D) 不一定 4 ?设A 为n X n 阶矩阵，如果r （A ） （A ） A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组 合 （B ） A 的各行向量中至少有一个为零向量 （C ） A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行 （列） 向量的线性组合 5. 71 . 已知向量组a 1,0203, (A ) 些 + 5,02 7 ,5 乜4 (B ) % -叫企 _口3 "4 (C ) % + 叫,口2 + 4 +叫 (D ) % + ^2^2 ， 叫 -?4 （A ）如果r 个向量％, J 线性无关，则加入 k 个向量d , P 2, P k 后, （B ）如果r 个向量?1, J 线性无关，则在每个向量中增加 k 个分量后所得向量 （C ）如果r 个向量a 1 , %线性相关，则加入 k 个向量后, 仍然线性相关 （D ）如果r 个向量％, %线性相关，则在每个向量中去掉 k 个分量后所得向量组 则在 A 的n 个行向量中 A “4 线性无关 叫一％线性无关 6.下列说法不正确的是 24+%线性无关 (A 口4线性无关则向量组 （C ^4 - %线性无关 (B)任意r个行向量均可构成极大无关组 (C)任意r个行向量均线性无关 (D)任一行向量均可由其他r个行向量线性表示 必有一行(列)元素为零 必有两行(列)成比例 必有一行向量是其余行(列)向量的线性组合任一行向量是其余行(列)向量的线性组合 12.设向量组口1?2,…es(s>1 , ?1工0)线性相关，则( C )由a 1,?2,…，￡_1线性表出。 到第2列得到C,记B 0、 14.若向量组a ,P,Y线性无关线性相关，则(C ) (A)a必可由6线性表示. (B)P必不可由a , Y, 6线性表 示 (C M必可由。，线性表示. (D) §必不可由a , P, Y线性表示. &设方阵A 的行列式IA =0，则A中C (A) (B) (C) (D) 9.设A是mxn矩阵，齐次线性方程组 (A) A (B) A (C) A (D) A AX=0仅有零解的充分必要条件是(A ) 的列向量线性无关的列向量线性相关的行向量线性无关的行向量线性相关 11. n元线性方程组AX=b , r (A , (A)无穷多组解(B)有唯一解 10 .设A , B均为n阶非零矩阵，且 (A)必有一个等于零 (C)都等于n (C)无解(D)不确定 AB = 0,贝U A和B的秩(D ) (B)一个等于n, —个小于n (A)每个a i(i >1)都能(B)每个％(i > 1)都不能 (C)有一个a i(H>1)能(D)某一个W (i > 1)不能 13.设A为3阶矩阵，将A的第二行加到第一行得到B，再将B的第一列的(-1)倍加 则：(A) C=P」AP (B) C = PAp4 (C) C=P T AP (D) C = PAp T 15. 下列命题正确的是（D ） 若向量组线性相关，则其任意一部分向量也线性相关 线性相关的向量组中必有零向量 向量组中部分向量线性无关，则整个向量组必线性无关 向量组中部分向量线性相关，则整个向量组必线性相关 的向量是（ B ） %,口2,03线性相关。 21?设A 为n 阶方阵，且 lA =0，贝U C 中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 必有两行（列）对应元素乘比例 中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 中至少有一行（列）向量为零向量 22?向量组％,?2,…，O s 线性相关的充要条件是（C ） (A) (B) (C) (D) 16. 设向量组a i,a 2,…，ot s 的秩为r ,贝y D (A) (B) (C) (D) 必定r 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 向量组中任意r 个向量线性无关 向量组任意r+1个向量线性相关 A 是m X n 矩阵,r （A ）=r 贝U A 中必（ B ） 17. （A ） 没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 （B ） 有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 （ C ） 有等于零的r 阶子式没有不等于零的 r+1阶子式 r+1阶子式都等于零 18.能表成向量％ =（0, 0, 0, 1),02 = (0, 1, 1, 1),5 =(1, 1, 1, 1）的线性组合 (A) (0, 0, 1, 1)(B)(2, 1, 1, 0) (C)(2, 3, 1, 0,—1)(D)(0, 0, 0, 0,0) 19 .已知 ％ =(1, 2, 3), 5 =(3, -1, 2),5 =(2, 3, X )则 x= (A) 1 (B)2 (C) 4 (D) 5 20.向量组％ = (1, -1, 2, 4 )4=(0, 3, 1, 2),5= (3 0, 7, 14) 口4 =(1, -1, 2, 0）的秩为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (A) A (B) A (C) A (D)A (A) S ,口2,…Q s 中有一零向量 a 1 02 /\a s 中有一向量是其余向量的线性组合 8 02，…，O s 中任意一个向量均是其余向量的线性组合 k 1,k 2,…,k s ,使等式P =匕01 +k2a 2 +…+k ^s 成立 k 1,k 2,…,k s,使等式 P = k ^^k ^^ +k ^s 成立 (C)向量^，口仆口？,…0S 线性相关 (D) 对P 的线性表示不唯一 24.对于n 元方程组，正确的命题是( D ) (A) 如AX=0只有零解，则AX=b 有唯一解 (B) AX=0有非零解，则AX=b 有无穷解 (C)AX=B 有唯一解的充要条件是 A K 0 (D)如AX=b 有两个不同的解,则AX=b 有无穷多解 25 ?设矩阵的秩为r(A)=m (A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意个m 阶子式不等于零 (C)A 通过初等变换，必可化为(I m ,0)的形式 (D)若矩阵B 满 足BA = 0,则B=0. 26.非齐次线性方程组 AX=b 中未知数的个数为 n 方程个数为 m ,系数矩阵A 的秩为r , 则(A ) (A) r=m 时,方程组AX=b 有解 (B) r= n 时,方程组AX=b 有唯一解 (C) m=n 时，方程组AX=b 有唯一解 (D) r 么基础解系还可以是( (B ) 8 ,口2,…C s 中任意两个向量的分量成比例 (A ) g +|<2口2 +k3a 3 (B) (C ) 牛-叫巴2 -叫， (C) (D) 23.若向量P 可由向量组 ?1,?2,…，Ot s 线性表出，则(C ) (A)存在一组不全为零的数 (B)存在一组全为零的数 (D) a 1,a 1 —a 2 +a 3,a 3 —a 2, 28.向量组 ％卫2厂?，￡线性无关，且可由向量组 01, 02,…，0s 线性表示，则 D r(a i 02,…，8)必( )r( P i , …，P s ) (A)大于等于 (B)大于 (C)小于 29.设n 元齐次线性方程组 AX=0的通解为k( 1, 2,…，n ) (A) r(A)=1 30.设矩阵 n A = 1 I 2 (B) r(A)=n-1 1 A.2 B.1 31.设n 维向量组％,02,… 且有r>s,则(D) (A)( n)线性无关 32. 设 a 1?2," (C) r(A)=n (D)小于等于 T ,那么矩阵A 的秩为( B ) (D)以上都不是 的秩为2,贝U A =( C.0 D .-1 ,%(1 )中每一个向量都可由向量组 PjP z,…，P s (n 熾性表出, (B) ( n )线性相关 (C) ( I 熾性无关 (D) ( I )线性相关 ,ot n 是n 个m 维向量，且n>m,则此向量组a 1 a 2 必定(A ) 线性相关 矩阵A 适合条件( (A) 33. (A)A 中任何r+1列线性相关 (C) A 中有r 列线性无关 (B)线性无关 (C)含有零向量 (D)有两个向量相等 D )时，它的秩为r (B) A 中任何r 列线性相关 (D) A 中线性无关的列向量最多有 r 个 则A 的秩(C ) 34?若mx n 阶矩阵A 中的n 个列线性无关 (A)大于m 35?若矩阵 R (A )( (A) A r (B)大于n A 中有一个r 阶子式 A ) (B) < r (C) 等于n (D)等于m D 工0,且A 中有一个含D 的r+1阶子式等于零，则一定有 36?要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件 (A) A (B) A (C)A (D) A (C)=r (D) =r+1 (D )满足即可 37. (A) 中有r 阶子式不等于零 中任何r+1阶子式等于零 中不等于零的子式的阶数小于等于 中不等于零的子式的最高阶数等于 设mxn 阶矩阵A , B 的秩分别为 r 兰几 +「2 (B) r +「2 R(A)=n 是n 元线性方程组 AX=b (A)充分必要条件 38. 39.矩阵A= k-1 「1」2，则分块矩阵(A , B )的秩适合关系式( A ) 有唯一解(C ) (C)必要条件 (B)充分条件 -n I 的特征值为0,2,则3A 的特征值为 1丿 (D)无关的条件 -1、 -1有特征值入1 = k 2= 3,入3 = 12，则x=( 45.设 A 为三阶矩阵，已知 A + E=0, A + 2E=0, A + 3E =0, -1, 2,则下列矩阵中可逆矩阵是( (C) 2E-A (二)计算题与填空题 3 1. A —5A+6I = 0 ,贝U A =( 4.q =(1 -t 3 j a =(0 t =(— 0 t j, (A) 2,2; 40. A= (A) 2,2; 41 . B = 1 特征向量是(C) (B) 0,6； (C) 0,0; 一1〕，则-2I -2A + A 2的特征值为( 1丿 (B) -,-2； (C) 0,0; (A ) 42. (A ) 43. (D) 2,6; (D) 4-4； P ^AP ，扎0是A,B 的一个特征值,a 是A 的关于几。的特征向量，则B 的关于鼻。的 A 满足关系式 A =2 (B) P ot 1 (C) P a (D) P a A 2 -2A + E = 0，贝y A 的特征值是 已知—2是A= (A) 2 (B ) 1一2 (B) 4 /.= — 1 (C) A = 1 (D) A = — 2 是 -2 -2 -2 的特征值，其中 (C) — 2 b 丰0的任意常数，则x=( (D) — 4 (A) 2 (提示：用 特征值的和等于迹 (B ) (C) — 2 (D) 4 的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题 17) (A) 6 (B) — 4 (C) — 2 (D)4 3.设A 为3阶矩阵，且|A |=2,则行列式| A - 3A+ (-1/2) 44.已知矩阵 A= A + 4E = A 1, (D) 2E+A (0 2.设A 是3咒4矩阵,R(A)=2, B 当t H 0,2时，向量组a 1严2严3线性 组—线性表出。 答案：门 |3 I 0 & 确定a,b 为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解 X j -X 2 -2x 3 +3x 4 =0 X r -3X 2 -5X 3 +2X 4 =-1 X j +x 2 —ax 3 +4x 4 =1 X j +7x 2 +10x 3 +7x 4 = b 答：当a =—1,b =4时，解为 5.设 P =a k 5),% =Q —3 2) ,5=（2 -1 1仁k =（ ）时P 可被向量 6. . (1 0 0 0〕3 1 1 (1 3 0 —1 ］了1 2 1 0" 1 b 2 1 + k 1-2 丿 6 ，其中k 为任意常数； (-8) 7.设 P =(1 2 -2j T 1山2 =(1 1 —1)丁,《3 = (1 -1 1$.则 P 是否 为向量组的线性组合? (是) ，其中G ,C 2为任意非零常数； 当