幂的运算性质
幂的运算性质
知识梳理
1．知识结构
2．知识要点
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a
a a +=? （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()mn n m a a =
（3）积的乘方，等于每个因式分别乘方，即()n n n b a ab =
（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 n m n m a
a a -=÷（a ≠0） （5）零指数和负指数：规定10=a ，p p a a
1=-（其中a ≠0，p 为正整数） （其中，m 、n 均为整数）
3．中考预测
对于幂的运算性质的考查，在中考中多以选择题和填空题出现，以考查对该性质的掌握，题目侧重于基础知识的掌握和运用，以及对该性质的理解，题目不会很难，但是会有一定的综合性，应准确把握和理解幂的运算性质，防止混淆。
解题指导
例 （1）计算n m a a ?3)(的结果是 （ ）
（A ）n m a +3 （B ）n m a +3 （C ）)(3n m a + （D ）mn a 3
（2）下列运算正确的是（ ）
（A ）954a a a =+ （B ）33333a a a a =??
（C ）954632a a a =? （D ）()743
a a =- （3）在①[]32
5)(a a -?-；②34)(a a -?；③2332)()(a a ?-；④[]34a --中，计算结果为12a -的有（ ）
（A ）①和③ （B ）①和② （C ）②和③ （D ）③和④
（4）若._____,927936
==??x x x x 则
分析： 以上各题考查的是幂的运算性质的综合运用，要准确把握幂的运算性质，防止混淆. 幂的运算性质 同底数幂相乘 幂的乘方 积的乘方 同底数幂相除
解答：（1）n m n m n m a a a a a +=?=?333)(，选B ；
（2）对于（A ），两者不是同类项，不能相加，对于（B ）结果应为9a ，对于（C ）结果是正确的，对于（D ）()124343a a a ==-?，故选C
（3）①[]325)(a a -?-=()1165a a a -=-?-；
②34)(a a -?=12a -；
③2332)()(a a ?-=1266a a a -=?-；
④[]34a --=()1212a a =--，所以②和③的结果为12a -，应选C ；
（4）因为=??x x x 2793()()=??x x x 32
333x x x x 6323333=??，而()12626339== 所以，有12633=x ，126=x ，2=x .
点评：应用幂的运算性质时，应细心观察题目，准确应用性质，不要搞婚，计算是要细 心，防止出现计算错误，这类问题一般比较简单，只要性质掌握熟练后，就能顺利解决问题. 自我测验
基础验收题
一、 选择题
1．计算20022003)2()5.0(-?的结果是 （ ）
（A ） 5.0- （B ） 5.0 （C ） 1 （D ） 2
2．下列各式计算出错的是 （ ）
（A ） 95310101010=?? （B ） 834a a a a =??-
（C ）n n x
x x x +-=--532)()( （D ） n n n y y y 211=?-+ 3．计算：100101)2()2(-+- 的结果是 （ ）
（A ） 1002
- （B ） 2- （C ） 2 （D ） 1002 4．的结果是11001000+?x x （ ）
（A ）12100000+x （B ）2510
+x （C ）2210+x （D ）3510+x 5．下面计算：52510251275105225257252;;;)(;)(;)(x
y x x y x x y x x x x x x x ======中，其中错误的结果的个数是 （ ）
（A ） 5 个 （B ） 4 个 （C ） 3 个 （D ） 2 个
二、填空题
1．计算：______)(32=-?-a a ；
整数指数幂及其运算(1)
整数指数幂及其运算 主备人季春鸿 教学目标 1.理解负整数指数幂的概念，了解整式和分式在形式上的统一 2.掌握整数指数幂运算的性质，会用性质进行简单的整数指数幂的相关计算 3.体验由正整数指数幂到负整数指数幂的扩充过程，体验数学研究的一般方法：由特殊到一般及转化思想 教学重点与难点 1.负整数指数幂的概念 2.理解整数指数幂的运算性质；会运用性质进行相关的计算 教学过程 一．复习引入： 1.计算：27÷23=_____，a9÷a4=_____； （由学生用数学式子表示上述同底数幂的除法法则，并指出其中字母的规定，强调指数是正整数，底数不等于零） 2.思考：22÷25=______；a2÷a4=_____； 在学生独立思考的基础上，让学生猜测计算的结果，并请学生讲解计算的过程及依据，体验分数与除法的关系；然后进一步提出“如何用
幂的形式表示计算结果”的问题 222 12=-、331a a -= 二．学习新课：整数指数幂及其运算 1．负整数指数幂的概念：p p a 1a =-（a ≠0，p 是自然数） 2．整数指数幂：当a ≠0时，n a 就是整数指数幂，n 可以是正整数、负整数和零 将下列各式写成只含正整数指数幂的形式： 2210 110=-、551x x -= 变式训练1：221(10)(10)--= -、551(1)(1)x x --=- 变式训练2：13 2()23-=、2227()()72-= 通过变式训练2，学生同桌讨论当指数为负数，底数为分数时的情形，并总结出()()p p a b b a -= 判断正误： 02122 2271 (2)4 1(50)501 7729()34x x -----=-=-=- ==①②③④⑤
幂的运算教学设计
初中数学教学案例 ——幂的运算（一） 一、案例实施背景 本节初一下学期数学第八章第一课时的内容，所用教材为沪科版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）。 二、教学目标 1、知识与技能：理解同底数幂的推导法则，会用同底数幂的法则进行运算。 2、过程与方法：探究同底数幂的乘法法则，让学生体会从一般到特殊，以及从特殊 到一般的数学方法。 3、情感态度与价值观：引导学生主动发现问题，解决问题，在这一过程中提高学生 学习数学的兴趣。 三、教学教学重、难点 1、重点：正确理解同底数幂的乘法法则。 2、难点：会用同底数幂的乘法法则进行运算。 四、教学用具 多媒体平台及多媒体课件 五、教学过程 （一）创设情境，设疑激思 1、播放幻灯片，引出问题： 我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”计算机每秒可进行2.57×1015 次运算，问它工作一个小时（3.6 ×103s）可进行多少次运算？ 2、提问温故：①什么叫乘方? ②乘方的结果叫做什么? 3、针对问题，学生思考后回答 2.57× 3.6×103×1015=9.252×？ 4、教师肯定学生的回答并提出新问题：？到底是多少，通过今天的学习——同 底数幂的乘法，相信大家能找到这个问题的答案。（板书课题：8.1，幂的乘法——同底数幂的乘法) （二）探究新知 1、试一试（根据乘法的意义）
定义：底数相等的两个或两个以上的幂相乘成为同底数幂的乘法。 22 × 23=(2 ×2 ) ×(2 ×2 ×2) (乘方的意义) = 2 ×2 ×2 ×2 × 2 (乘法结合律) =25 (乘方的意义) 前面的例题：1015×103=(10 ×· · · · · ×10) ×(10×10 ×10) 15个10 = 10 ×· · · · · ×10 18个10 =1018 思考：观察上面的两个式子，底数和指数有什么关系？ 2、怎么求a m· a n(当m、n都是正整数)： a m·a n =（aa…a）（aa…a）（乘方的意义） m个a m个a = aa…a（乘法结合律） (m+n)个a =a m+n（乘方的意义） 3、通过上面的例子，你能发现同底数幂相乘有什么规律吗？ 底数不变，指数相加 4、总结：同底数幂的乘法法则（幂的运算性质1）： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 即：a m· a n = a m+n (当m、n都是正整数) （三）、逐层推进，巩固新知 本节课学习的幂的运算法则1只使用于同底数幂相乘，不能乱用，用该法则需要判断两点：
课题 整数指数幂的运算法则
课题 整数指数幂的运算法则 【学习目标】 1．理解整数指数幂的运算法则，并熟练实行运算． 2．熟练掌握整数指数幂的性质． 3．在学习过程中进一步培养学生的逻辑思维水平与计算水平． 【学习重点】 整数指数幂的运算法则． 【学习难点】 整数指数幂的各种运算． 行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么． 行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点． 注意：1.指数为负数的数不一定是负数． 2．最后结果不能含有负指数，若有负指数，应化成分数或分式的形式．情景导入 生成问题 知识回顾：教材P 19说一说： 1．正整数指数幂的运算法则有哪些？ a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a nm ；(ab)n ＝a n b n ； a m a n ＝a m －n (a ≠0)；????a b n ＝a n b n (b ≠0)． 2．零指数幂与负整数指数幂： a 0＝1(a ≠0)；a －n ＝a 0－n ＝a 0 （a n ） ＝（1）a n ；a －1＝1a (a ≠0)． 自学互研 生成水平 知识模块 整数指数幂的运算法则及运算 (一)自主学习 阅读教材P 20例7、例8. (二)合作探究 学习例7、例8的计算，你发现了什么？ 在前面我们已经把幂的指数从正整数推广到了整数，能够说明：当a ≠0，b ≠0时，正整数指数幂的运算法则对于整数指数幂也成立． 归纳：a m a n ＝a m ·1a n ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n)＝a m －n ； ????a b n ＝(a·b －1)n ＝a n ·(b －1)n ＝a n ·b －n ＝a n b n . 我们能够把正整数指数幂的5个运算法则推广并归纳为整数指数幂的以下3个运算法则：
整数指数幂的运算法则
整数指数幂的运算法则 教学目标：1、通过探索掌握整数指数幂的运算法则。 2、会熟练进行整数指数幂的运算。 3、让学生感受从特殊到一般的数学研究的一个重要方法。 重 点：整数指数幂的运算法则的推导和应用。 难 点：整数指数幂的运算法则的理解。 过 程： (一)课前检测 正整数指数幂运算法则： =?n m a a =n m a ）（ =?n b a ）（ =n m a a =n b a ）（ (二)新课预习 1、自主探究： 1）、阅读教材P41~42 2）、尝试完成下列练习，检查自学效果： 1、下列运算正确的是： A:632a a a =? B: 532a a --=）（ C:22-a 412a --= D: 222a 3a a --=- 2、设a ≠0，b ≠0，计算下列各式： =?-25a a =-3-2a ）（ =-4-12b a b a ）（ =-33b 2a ）（ 3、计算下列各式： 23222x 3y x y -- 22 222 x 2()xy y x y --+- = = = = 3)、完成课后练习。 （三）、成果呈现 1）、抽查各小组预习答案，并请学生代表小组展示。 2）、其它小组质疑、辩论、点评。 3）、全班归纳总结本节知识。 （四）：练习巩固：
A 1、计算 =?-38x x =--332y x ）（ =-3-24ab a ）（ =?-382-2）（ =÷-2 35ab 2b -a ）（ =-+--2224x 4x 4x ）（ B 2、若27 13x =，则x= 3、一个分式含有x 的负整数指数幂，且当x=2时，分式没有意义，请你写出一个这样的分式 。 C 4、已知01132=++x x ，求1-+x x 与2 2-+x x 的值。 6、小结： 整数指数幂的运算法则： =?n m a a =n m a ）（ =?n b a ）（ =n m a a =n b a ）（ 错题更正：
幂的运算知识要点归纳及答案解析
幂的运算知识要点归纳及答案解析 【要点概论】 要点一、同底数幂的乘法特点 +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 ()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其 是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010 101122 1.22???? ?=?= ? ????? 重点四、注意事项
第一讲幂的运算性质
幂的运算性质 知识要点 ◆要点1 同底数幂的乘法： a m ·a n ＝a m ＋n （m ，n 都是正整数） 可扩展为a m ·a n ·a p ＝a m ＋n ＋p ★说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。 ◆要点2 幂的乘方与积的乘方 (1) 幂的乘方：(a m )n ＝a mn （m ，n 都是正整数），可推广为()[]mnp p n m a a = (2) 积的乘方：(ab )n ＝a n b n （n 为正整数），可扩展为(abc )n ＝a n b n c n ◆要点3 同底数幂的除法 a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ） ◆要点4 零指数与负整数指数的意义（两个规定）： (1) 零指数： a 0＝1 （a ≠0） (2) 负整数指数：p p a a 1=-（a ≠0，p 是正整数） 即任何一个不等于0的数的－p (p 为正整数)次幂等与这个数的p 次幂的倒数。也可变形为:p p p a a a ??? ??==-11 （观察前后幂的底数、指数变化） ★说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母a 、b 可以是单项式或多项式，运算法则皆可逆向应用；(2) 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即a ≠0；(3) 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4) 在运算当中，要找准底数（即要符合同底数），如果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。在计算过程中，时刻注意符号的变化。 易错易混点 (1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。
人教版八年级数学上册同步练习专题15-2-3：整数指数幂(负整数指数幂运算性质)
第十五章 分式 15.2.3 整数指数幂（负整数指数幂运算性质） 精选练习答案 一、单选题（共10小题) 1．若 1 x =2，则x 2+x －2的值是( ) A ．4 B ．1 44 C ．0 D ． 1 4 【答案】B 【解析】 试题分析：根据倒数的意义，求出x=12 ，然后代入后根据负整指数幂1(0)p p a a a -=≠可求解得原式=144. 故选：B. 2．（2018·大埔县湖山中学初一期中）下列计算正确的是（ ） A ．4381-= B ．()2 636--= C ．233 24 -=- D ．3 115125 ??-= ??? 【答案】C 【详解】 4 381--＝， A 选项错误；()2 636---＝，B 选项错误；23324--＝，C 选项正确；3 115125??-- ??? ＝，D 选项错误；故正确答案选C. 3．（2018·陕西高新一中初一期末）已知：()0 a 99=-，()1 b 0.1-=-，2 5c 3-??=- ??? ，那么a ，b ，c 三数的 大小为（ ） A ．a 故选：C 4．下列式子正确的是( ) A ．2(0.2)25--= B ．311()28-- =- C ．3(2)8--=- D ．311()327 -- =- 【答案】A 【详解】 A 、（-0.2）-2=25，故选项正确； B 、（-12 ）-3 =-8，故选项错误； C 、（-2）-3=-1 8，故选项错误； D 、（-13 ）-3=-27，故选项错误． 故选：A ． 5．（2018·广西中考真题）下列各式计算正确的是（ ） A ．a+2a=3a B ．x 4?x 3=x 12 C ．（ 1x ）﹣1=﹣1 x D ．（x 2）3=x 5 【答案】A 【详解】 A. a+2a=3a ，正确，符合题意； B. x 4?x 3=x 7，故B 选项错误，不符合题意； C. （ 1x ）﹣1 =x ，故C 选项错误，不符合题意； D. （x 2）3=x 6，故D 选项错误，不符合题意， 故选A. 6．（2018·东营市期末）计算（﹣3a ﹣1）﹣2的结果是（ ） A ．6a 2 B ． C ．- D ．9a 2 【答案】B 幂的运算例题精讲 【知识方法归纳】 知识要点 主要内容 友情提示 同底数幂相乘 m n mn a a a ?= (m 、n 是正整数)； a 可以多项式 幂的乘方 ()m n mn a a = (m 、n 是正整数) mn m n n m a a a ==)()( 积的乘方 ()n n n ab a b = (n 是正整数) n n n ab a )()(= 同底数幂的除法 m m n n a a a -=(m 、n 是正整数，m >n) n m n m a a a ÷≠÷ 方法归纳 注意各运算的意义，合理选用公式 注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数” 知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点） 同底数幂的乘法法则： +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同， 它们的指数之和等于原来的幂的指数。即m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 【典型例题】 例1：计算. （1）2 3 4 444??； （2）3 4 5 2 6 22a a a a a a ?+?-?； （3）1 1211()() ()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+?+?+++?+ 例2：辨析：下列运算是否正确？不正确的，请改为正确的答案。 (1)x 3 ·x 5 = x 15 ( ) ； (2) b 7 + b 7 =b 14 ( ) ； （3）a 5- a 2=a 3 ( ) (4) 2x 3+ x 3=2x 6 ( ) ； (5) (b- a)3=-(a- b)3 ( ) ； (6)(- a- b)4=(a- b)4 ( ) 幂的运算 一、教学内容： 1.同底数幂的乘法 2.幂的乘方与积的乘方 3.同底数幂的除法 二、技能要求： 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。 三、主要数学能力 1．通过幂的运算到多项式乘法的学习，初步理解“特殊——一般——特殊”的认识规律，发展思维能力。 2．在学习幂的运算性质、乘法法则的过程中，培养观察、综合、类比、归纳、抽象、概括等思维能力。 四、学习指导 1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n (m, n是自然数) 同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。学习这个法则时应注意以下几个问题： （1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如： (2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。 （3）指数都是正整数 （4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。 （5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如： x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加， 如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。 例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3(2) -a4·(-a)3·(-a)5 解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1 15.2.3整数指数幂 学习目标 1、知道负整数指数幂1n n a a -=（a ≠0，n 是正整数）。 2、掌握整数指数幂的运算性质。 3、会用科学计数法表示小于1的数。 一、自主学习 探究一：负整数指数幂 计算：5255 ÷＝ ；731010÷＝ 。 5255÷＝=525 5 731010÷＝()()=1010 。 则()()==--4310,5 归纳：一般的，规定：())0(≠=-a a n n 是整数，即任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，等于_____________________ 思考：当指数引入负指数后，对于幂的这些运算法则是否仍然适用？ 2a ·5a -= 251a a =25a a =)(1=3-a )5(2-+=a ，即2a ·5a -=)(2+a 2a -·5a -=2511a a = 71a =)( a )5(2-+-=a ，即2a -·5a -=)(2+-a 0a ·5a -=1×51a =5-a )5(0-+=a ，即0a ·5a -=)()(+a 归纳：当m 、n 是任意整数时，都有m a ·n a = 。 同理可得：当m 、n 是任意整数时，都有()=n m a _________和()=n a b ______________ 探究二：科学记数法 有了____________后，小于1的正数可以用科学记数法表示n a -?10（其中______≤≤a _____，n 为________）的形式 二、例题展示 计算：（1）63a a ÷- (2) 233(2)x y -- （2）23()ab --·2 b - 用科学记数法表示下列式子 （1）0.0000025 （2）0.00000102- （3）0.0025 整数指数幂 【教学目标】 1．了解负整数指数幂的意义； 2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算； 3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数。 【教学重难点】 让学生意识到有关幂的运算最终结果要化成正整数指数幂，学会负整数指数幂的意义的合理性和整数指数幂的性质应用。 【教学过程】 一、复习引入新课。 1．问题1：你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？ 追问：将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？ 师生活动：教师设疑，学生回忆，引出本节课的课题。 2．探索负整数指数幂的意义。 问题2：m a中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂m a表示什么？ （1）根据分式的约分，当a≠0时，如何计算35 a a ÷？ （2）如果把正整数指数幂的运算性质m n m n ÷=（a≠0，m，n是正整数，m＞n）中 a a a- 的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像35 ÷的情形也能使用，如何计算？ a a 师生活动：教师提出问题，学生独立思考后，交流自己的做法，激发学生探究新知的欲望。 3．探索整数指数幂的性质。 问题3：引入负整数指数和0指数后，m n m n ÷=（m，n是正整数）这条性质能否推 a a a- 广到m，n是任意整数的情形？ 师生活动：教师提出问题，引发学生思考。教师可以适当引导学生从特殊情形入手进行研究，然后再用其他整数指数验证这个规律是否仍然成立。 问题4：类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进 0.00001＝ ＝ 归纳：10n -＝ ＝ 师生活动：师生共同探索，发现规律。 追问1：如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？ 师生活动：教师提出问题，学生讲述方法，教师板书。 0.0035＝3.5×0.001＝-33.510?， 0.0000982＝9.82×0.00001＝-59.8210?。 追问2：观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？ 师生活动：学生独立思考后交流看法，师生共同寻找规律：对于一个小于1的正数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几。 例10：用科学记数法表示下列各数： （1）0.3；（2）0.00078；（3）0.00002009． 师生活动：教师提出问题，学生口述，教师板书。 例11：纳米（nm ）是非常小的长度单位，1nm ＝-910m 。把13nm 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上。13mm 的空间可以放多少个13nm 的物体（物体之间的间隙忽略不计）？ 师生活动：教师提出问题，由学生独立思考，并讲解解题思路。首先需要将1和13nm 的单位统一。由于1mm ＝-310m ，1nm ＝-910m ，所以13mm ＝()3-3103m ，13nm ＝()3-9310m ，再做除法即可求解。 二、练习。 1．用科学记数法表示下列各数： 000001，0.0012，0.000000345，0.0000000108。 师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时给予指导，解题过程可由学生进行评价。 三、小结。 教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ 3m m 幕的四则运算（知识总结） 一、 同底数幕的乘法 运算法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加。用式子表示为： a m a n a m n （m n 是正整数） 二、 同底数幕的除法 运算法则：同底数幕相除，底数不变，指数相减。用式子表示为：a m a n a m n °（a 0且m 、n 是正整数，m>n 。） 补充： 零次幕及负整数次幕的运算： 任何一个不等于零的数的 0次幕都等于1；任何不等于零的数的 p （p 是正整数） 次幕，等于这个数的 p 次幕的倒数。用式子表示为: 1 a 0 1（a 0），a p -（ a 0，p 是正整数）。 a p 、幕的乘方 mn 1、计算: 补充： 同底数幕的乘法与幕的乘方性质比较: 四、积的乘方 运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。用式子表示为： 扩展 m n p mnp mn p mp. np a a a a a b a b 提高训练 1. 填空 (1) (1/10)5 x (1/10)3 = ______________ (2) (-2 x 2 y 3) 2 = ______________ ⑶(-2 x 2) 3 = ___________ (4) 0.5 -2 = _________ (5) (- 10)2 X (- 10)0 X 10"2 = __________ 2. 选择题 (1)下列说法错误的是. A. (a - 1)0 = 1 a 工1 B. (— a )n = - a n n 是奇数 C. n 是偶数，(一a n ) 3 = a 3n D. 若a 丸，-为正整数,则a p =1/ a -p (2) [(-x ) 3 ]2 ?-x ) 2 ] 3的结果是（ ) A. x -10 B .-x -10 C. x -12 D. - x -12 (3) a m = 3 , a n =2, 则a m-n 的值是（ ) A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 8 3.计算题 (1) (-1/2 ) 2 十(-2) 3 十(-2) - -(口-2005) 0 ⑵(-2 a ) 3 F -2 = 同底数幂乘法 幂的乘方 幂的运算 乘法 乘方 指数运算种类 加法 乘法 运算法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘 乘方转化为同底数幕的乘法 练习： .用式子表示为: n 都是正整数） 注：把幕的 ①2 2 x 32 X 2 4 X 2 5 X 2 2 2 m n 3 m 1 2 2 ② a a a a a b “ a n b n （n 是正整数） （m n 、p 是正整数） 幂的运算性质：（1）a m ·a n = a m+n （2）（a m ）n = a mn ；（3）（ab ）n = a n b n ； （4）a m ÷a n = a m － n （a≠0，a ，n 均为正整数） 特别规定：（1）a 0＝1（a≠0）； （2）a -p = 1 (0,)p a p a 是正整数 1、计算：0.299×5101=________ 2、已知a=8131，b=2741,c=961,则a 、b 、c 的大小关系 是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．a ＜b ＜c D ．b ＞c ＞a 3、在代数式：x5+5, －1,x2－3x,π,5x ，x+1 x 2 整 式的有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 4、若5x |m|y 2—(m －2)xy －3x 是四次三项式，则m=___ 5、已知m -1n -13m+2n 1 x =6x =(),x 3 ，求的值。 6．已知a=1516 ，b=116 ，c=7 8 ，求 1234a+2468b ＋617c 的值． 7．已知：A =2x 2+3ax －2x －1, B=－x 2+ax －1且3A+6B 的值与 x 无关，求a 的值． 8．若（x 2＋nx ＋3）（x 2－3x ＋m ）的乘积中不含x 2和x 3项，求m 和n 的值． 10．证明代数式16＋a －｛8a －［a －9－（3－6a 〕｝的值与a 的取值无关． 11．若出为互为相反数，求多项式a+ 2a+3a+…+ 100a+100b ＋99b+…+2b+b 的值． 1．若a 2－3a+1=0, 求⑴a+ 1a 的值；⑵a 2+1 a 2 的值． 2．已知a= 1999x+ 2000，b=1999x+ 2001，c=1999x+ 2 0 0 2, 则多项式a 2+ b 2+c 2－ab －b c －ac 的值为（ ） A ．O B ．1 C ．2 D ．3 3、 计算（2+1）（22 +1）（23+1） (22) +1）的值 是 （ ） A 、42n －1 B 、222n C 、2n －1 D 、22n －1 【考题 3—1】(2004，江苏盐城，2分）分解因式：x 2－4y 2=____________ 【考题3－2】（2004、上海，2分）计算：（a －2 b ） (a+2 b ）=________． 【考题3－3】（2004、宁夏，3分）x 2+ 6x+_______ =（x+3）2 【考题3－4】（2004、天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x ＞y ，x －y 的值等于________． 苏教版七年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 幂的运算（基础） 【学习目标】 1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】 【396573 幂的运算 知识要点】 要点一、同底数幂的乘法性质 +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 ()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其 第13课时 整数指数幂及其运算 教学目标 理解整数指数幂的概念，掌握其运算法则. 知识精要 1．零指数 )0(10≠=a a 2．负整数指数 ).,0(1为正整数p a a a p p ≠=- 注意正整数幂的运算性质: n n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(, )(), 0(, 可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是0或负整数． 3. 用科学记数法表示绝对值大于0而小于1的数的方法: 绝对值大于0而小于1的数可以表示为：10n a -?（其中110,a n ≤<为正整数） 热身练习 1. 当x ________时，2(42)x -+有意义？ 2. 将代数式22 2332b a ----化成不含负指数的形式_______. 3. 将235()x y --+写成只含有正整数幂的形式是_______. 4. 计算： （1）03211(0.5)()()22 ---÷-+ （2）2574x x x x x ÷÷?? （3）2222()()a b a b -----÷+ （4） 32 3()xy - （5）02140)21()31()101()21()2(?++------ （6） 52332()()y y y ---÷? 5. 用小数表示下列各数 （1）610- （2）31.20810-? （3）59.0410--? 6. 用科学记数法表示下列各数 （1）34200 （2）0.0000543 （3）－0.000789 7. 计算：22(2)2----=_______. 8.自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”.已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示此数为_________米. 精解名题 1. 用负整数指数幂表示下列各式 初中数学专题复习资料-----幂的运算性质 【知识梳理】 1、知识结构 2、知识要点 （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a a a +=?←→a m+n =a m ·a n （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即() mn n m a a =←→a mn =(a m )n =(a n )m （3）积的乘方，等于每个因式分别乘方，即()n n n b a ab =←→a n b n =(ab)n （4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 n m n m a a a -=÷←→a m-n =a m ÷a n （a ≠0） （5）零指数和负指数：规定10 =a ，p p a a 1 = -（其中a ≠0，p 为正整数）（其中，m 、n 均为整数） 3、中考预测 对于幂的运算性质的考查，在中考中多以选择题和填空题出现，以考查对该性质的掌握，题目侧重于基础知识的掌握和运用，以及对该性质的理解，题目不会很难，但是会有一定的综合性，应准确把握和理解幂的运算性质，防止混淆。 （一）同底数幂的乘法 【解题讲解-------基础训练】 【例1】 1、（－12）2×（－12 ）3= 。2、（－b ）2·（－b ）4·（-b)= ，（m+n ）5·（n+m ）8 = 。 3、a 16 可以写成（ ） A ．a 8 +a 8 ； B ．a 8 ·a 2 ； C ．a 8 ·a 8 ； D ．a 4 ·a 4 。 4、下列计算正确的是（ ） A ．b 4 ·b 2 =b 8 B ．x 3 +x 2 =x 6 C ．a 4 +a 2 =a 6 D ．m 3 ·m =m 4 【解题讲解-------能力提升】 【例2】1、下面的计算错误的是（ ） A ．x 4 ·x 3 =x 7 B ．（－c ）3 ·（－c ）5 =c 8 C ．2×210 =211 D ．a 5 ·a 5 =2a 10 2、x 2m+2 可写成（ ） A ．2x m+2 Bx 2m +x 2 C ．x 2·x m+1 D ．x 2m ·x 2 3、若x ，y 为正整数，且2x ·2y =25 ，则x ，y 的值有（ ）对。A ．4；B ．3；C ．2；D ．1。 4、若a m =3，a n =4，则a m+n =（ ） A ．7 B ．12 C ．43 D ．34 5、若102 ·10n =10 2010 ，则n = 。 幂的运算性质 同底数幂相乘 幂的乘方 积的乘方 同底数幂相除 幂的运算 知识点总结及考点强化练习 第一部分 知识梳理 一、 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式表示为：+m n m n a a a ?=()m n 、都是正整数 2. 同底数幂的乘法可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 m n p m n p a a a a ++??=()m n p 、、都是正整数。 注意点： （1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数. （2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算. 二、 幂的乘方和积的乘方 1. 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 公式表示为：()()m n mn a a m n =，都是正整数. 幂的乘方推广：[()]()m n p mnp a a m n p =，，都是正整数 2．积的乘方 积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 公式表示为：()()n n n ab a b n =是正整数 积的乘方推广：()()n n n n abc a b c n =是正整数 注意点： （1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数. （2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加” 区分开. （3） 运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果. （4） 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式. 三、 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法 ： 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 公式表示为：(0)m n m n a a a a m n m n -÷=≠>，、是正整数，且 同底数幂的除法推广： (0)m n p m n p a a a a a m n p m n p --÷÷=≠>+，，、、是正整数 2．零指数幂的意义: 任何不等于0的数的0次幂都等于1： 用公式表示为：01(0)a a =≠ 3．负整数指数幂的意义: 任何不等于0的数的()n n -是正整数次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.(先进行幂的运算然后直接倒数)： 用公式表示为：1 (0)n n a a n a -=≠，是正整数 4．绝对值小于1的数的科学记数法 对于绝对值大于0小于1的数，可以用科学记数法表示的形式为10 n a -?，其中110a ≤<，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数（含整数位上的零）所决定. 注意点： （1） 底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了. （2） (0)a m n m n ≠>，、是正整数，且是法则的一部分，不要漏掉. （3） 只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1. 第二部分 例题精讲 考点1．幂的运算法则 例1． 计算 （1）26()a a -?； （2） 32()()a b b a -?-； （3）12()n a +； （4）2 232?? ? ??-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+ 变式 计算 （1）35(2)(2)(2)b b b +?+?+ （2）3223()()x x -?-； （3）41n n a a ++÷； 教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校 《整数指数幂的运算法则》教案 教学目标 1、通过探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则； 2、会用整数指数幂的运算法则熟练进行计算. 教学重点 用整数指数幂的运算法则进行计算. 教学难点 指数指数幂的运算法则的理解. 教学过程 一、创设情境，导入新课. 1、正整数指数幂有哪些运算法则？ (1)m n m n a a a +?=(m 、n 都是正整数)；(2)()m n mn a a =(m 、n 都是正整数) (3)()n n n a b a b ?=， (4)m m n n a a a -=(m 、n 都是正整数，a ≠0) (5)()n n n a a b b =(m 、n 都是正整数，b ≠0) 这些公式中的m 、n 都要求是正整数，能否是所有的整数呢？这5个公式中有没有内在联系呢？这节课我们来探究这些问题. 板书课题：整数指数幂的运算法则 二、合作交流，探究新知. 1、公式的内在联系 (1)用不同的方法计算：342(1)2 ， ()3223?? ??? 解：3341421(1)2323--===；3343(4)1421(1)222323 -+--=?=== ()333228233 27??== ???，()3 31332182323832727--??=?=?=?= ??? 通过上面计算你发现了什么？ 幂的除法运算可以利用幂的乘法进行计算，分式的乘方运算可以利用积的乘方进行运算. 幂的四则运算（知识总结） 一、同底数幂的乘法 运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。用式子表示为：n m n m a a a +=?(m 、n 是正整数) 练习： a 3·a =_______ a ·a 7—a 4 ·a 4 =____ 二、同底数幂的除法 运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。用式子表示为：n m n m a a a -=÷。(0≠a 且 m 、n 是正整数，m>n 。) 补充： 零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。用式子表示为：)0(10≠=a a ，p p a a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。 练习： 1、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）236x x x =÷ （2）m m m =÷4 5 （3）33a a a =÷ （4）224)()(c c c -=-÷- 2、计算： 03，15-，310-，27-，101-，0 )2004( 三、幂的乘方 运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为： ()n m mn a a =（m 、n 都是正 整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法 练习： 1、计算： ①()()()()2452232222x x x x -?-?②()()()3 2212m n m a a a a -?-? 2、下列各式的计算中，正确的是（ ） A.()235x x = B.()236x x = C.()2121n n x x ++= D.326x x x ?= 补充： 同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较： 幂的运算 指数运算种类 同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方 乘方 乘法 四、积的乘方 运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。用式子表示为：()n n n b a b a ?=?(n 是正整数) 扩展 p n m p n m a a a a -+=÷?()np mp p n m b a b a = (m 、n 、p 是正整数) 提高训练 1.填空 (1) (1/10)5×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2) 3 = (4) 0.5 -2 = (5) (－10)2×(－10)0×10-2 = 2.选择题 (1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1 B. (－a )n = － a n n 是奇数 《整数指数幂的运算法则》教案 教学目标 1、通过探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则； 2、会用整数指数幂的运算法则熟练进行计算. 教学重点 用整数指数幂的运算法则进行计算. 教学难点 指数指数幂的运算法则的理解. 教学过程 一、创设情境，导入新课. 1、正整数指数幂有哪些运算法则？ (1)m n m n a a a +?=(m 、n 都是正整数)；(2)()m n mn a a =(m 、n 都是正整数) (3)()n n n a b a b ?=， (4)m m n n a a a -=(m 、n 都是正整数，a ≠0) (5)()n n n a a b b =(m 、n 都是正整数，b ≠0) 这些公式中的m 、n 都要求是正整数，能否是所有的整数呢？这5个公式中有没有内在联系呢？这节课我们来探究这些问题. 板书课题：整数指数幂的运算法则 二、合作交流，探究新知. 1、公式的内在联系 (1)用不同的方法计算：342(1)2 ， ()3223?? ??? 解：3341421(1)2323--===；3343(4)1421(1)222323 -+--=?=== ()333228233 27??== ???，()3 31332182323832727--??=?=?=?= ??? 通过上面计算你发现了什么？ 幂的除法运算可以利用幂的乘法进行计算，分式的乘方运算可以利用积的乘方进行运算. ()m m n m n m n n a a a a a a -+--=?==，()11n n n n a a a b a b a b b b --??=?=?=?= ??? 因此上面5个幂 的运算法则只需要3个就够了： (1)m n m n a a a +?=(m 、n 都是正整数)；(2)()m n mn a a =(m 、n 都是正整数) (3)()n n n a b a b ?=， 2、正整数指数幂是否可以推广到整数指数幂. 计算：()()()333212 2,23--?， 解：(1)3333 330333(3)033122222212222122---+-?=?====?===， (2)()3322611333 -??== ???，()32(2)36613323--?-=== ()()()33331 1113232382721623-?====??? ()3333311111232323827216 ---?=?=?=?= 通过上面计算，你发现了什么？ 幂的运算公式中的指数m 、n 也可以是负数.也就是说，幂的运算公式中的指数m 、n 可以是整数，二不局限于正整数.我们把这些公式叫整数指数幂的运算法则. 三、反思小结，拓展提高. (1)知道了整数指数幂的运算法则只需要三个就可以了. (2)正整数指数幂的运算法则可以推广到整数指数幂.幂的运算例题精讲
幂的运算
15整数指数幂与科学计数法
整数指数幂 优秀教案
(完整版)幂的运算(知识总结)
幂的运算性质试题
苏教版七年级下册数学[幂的运算(基础)知识点整理及重点题型梳理]
(精品)初中数学讲义13整数指数幂及其运算(学生)
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幂的运算 知识点总结及考点强化练习
《整数指数幂的运算法则》教案新部编本
幂的运算知识总结
《整数指数幂的运算法则》教案