等差数列求和公式及应用学生版

等差数列求和公式及应用

知识大集合

1、如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差是一个固定数，这样的数列叫做等差数列。这个差叫做

这个数列的公差。

例如：1 ，3 ，5 ，7 ，9 ， (99)

2 ，4 ，6 ，8 ，10 ， (100)

1 ，4 ，7 ，10 ，13 ， (100)

都是等差数列。公差分别是2 ,2 ,3。

2、数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。

由于等差数列中，从第二项起，每一项等于前一项加上公差，所以：

等差数列求和公式：和 = （首项 +末项）×项数÷2；

末项 = 首项 + （项数– 1）×公差；

项数 = （末项–首项）÷公差 + 1。

例题、练习相结合

例1 计算：1＋2＋3＋4＋…＋78＋79＋80

练习1 计算：3＋5＋7＋9＋…＋97＋98＋99

例2 有一个数列4，10，16，22，…，58，这个数列一共有多少项？

练习2 有一个数列5，10，15，20，…，105，这个数列一共有多少项？

例3 写出数列1，3，5，7，9，…中的第40个数。

练习3 写出数列1，5，9，13，17，…中的第60个数。

例4 某影视城的一个放映厅设置了20排座位，第一排有30个座位，往后每排都比前一排多2个座位。问这个放映厅一共有多少个座位？

练习4 在一个室外运动场看台上共有18排座位，第一排有29个座位，往后每排都比前一排多3个座位。问这个看台上一共有多少个座位？

例5 求从1到1990的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

练习5 求从2到2012的自然数中，所有偶数之和与奇数之和的差。

例6 四（2）班共有45名同学举行一次联欢晚会，同学们在一起一一握手，且每两个人只握一次，问同学们一共握了多少次手？

练习6 某学校举行乒乓球比赛，一共有56名选手，每个选手都要与其他选手各赛一场，且每两个人只赛一场，问这次比赛共进行了多少场？

作业一

1、计算：3＋6＋9＋…＋2001

2、求（1＋3＋5＋7＋...＋2003）－（2＋4＋6＋8＋ (2002)

3、计算：8×2＋8×5＋8×8＋…＋8×2003

4、下面一列数是按一定规律排列的：3，12，21，30，39，48，57，66，…求：（1）第12个数是多少？（2）912是第几个数？

5、在等差数列9,19,29,39，…中，109是第几项？前10项的和是多少？

6、求和：1＋2＋3＋4＋…＋2001＋2002＋2001＋…＋4＋3＋2＋1

7、前25个自然数的和是325，即1＋2＋3＋4＋…＋25＝325。求紧接着下来的25个自然数的和，即26＋27＋

28＋29＋…＋50＝？

8、求和：2＋3＋7＋9＋12＋15＋17＋21＋22＋27＋27＋33＋32＋39＋37＋45

9、1～100的所有自然数中，求所有不能被9整除的自然数的和。

10、黑、白两种颜色的珠子，一层黑、一层白排成等边三角形的形状（如图）。当白珠子比黑珠子多10颗时，共

用了多少颗白珠子？

作业二

1、计算：

（1）6＋11＋16＋21＋…＋501 （2）101＋102＋103＋…＋999

2、在等差数列1，6，11，16，21，…中，求该数列的第25项。

3、已知等差数列2,5,8,11，…，问47是这个数列的第几项？

5、工人叔叔堆放电线杆，最下面一层摆18根，第二层摆17根，第三层摆16根，…，最上面是第18层只有1

根。请问这堆电线一共有多少根？

高中数学等差数列求和公式分析

高中数学等差数列求和公式分析 在数学的学习中等差求和公式是学习的重点的内容，而且哟U币极爱哦多的公式需要学生记忆，下面本人的本人将为大家带来等差求和公式的介绍，希望能够帮助到大家。 高中数学等差数列求和公式 公式Sn=(a1+an)n/2 Sn=na1+n(n-1)d/2;(d为公差) Sn=An2+Bn;A=d/2,B=a1-(d/2) 和为Sn 首项a1 末项an 公差d 项数n 通项 首项=2×和÷项数-末项 末项=2×和÷项数-首项 末项=首项+(项数-1)×公差 项数=(末项-首项)(除以)/公差+1 公差=如：1+3+5+7+……99公差就是3-1 d=an-a 性质： 若m、n、p、q∈N ①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq ②若m+n=2q，则am+an=2aq 注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。 高中数学一次函数知识点

一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x,y)，都满足等式：y=kx+b.(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k,b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限;

高中数学必修5《等差数列求和公式》教学设计

《等差数列求和公式》教学设计 知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n 项和公式是重点。获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学策略：用游戏的方法调动学生的积极性教学用具：flash ，ppt课堂系统部分：整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段 问题呈现1：有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已知，真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/个。 问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一袋金币是假的？ S = 10 + 9 + + 2 + 1 2S =11+11+ +11+11问题1：1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11?10=110110S ==552动画演示： 由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出 的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么 电子秤显示的数据应该是： (两) 55?2= 110 而实际显示的的数字是：102（两） 可见比全是真币时少了8两 又因为，每个假币比真币轻1两 所以，可知在电子秤上有8个假币 那么，第8袋全是假币。 设计说明：

这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。 动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式 承上启下，探讨高斯算法. 问题呈现2： 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝 石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度， 可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形, , 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让 , 将两个三角形拼成平行四边形. (1+21) ?21s = 212 设计说明： ?源于历史，富有人文气息. ?图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础. 探究发现： 问题3：如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?

等差数列求和公式的

等差数列求和公式的 问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？ 问题2：1+2+3+…+n=? 在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡 设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1 = + + +…+ ，得= 问题3：等差数列= ？ 学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q 问题4：还有新的方法吗？ （引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则= +（）+（）+…+[ ] = = （这里应用了问题2的结论） 1 ————来源网络整理，仅供供参考

问题5：= = ？ 学生容易从问题4中得到联想：= = 。显然，这又是一个等差数列的求和公式。 等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。 ————来源网络整理，仅供供参考 2

高中数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

学习等差数列求和公式的四个层次

学习等差数列求和公式的四个层次 黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2 )(11-+ =+= ,是数列部分最重要公式之一,学习 公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2 )(2 )(111-+ =+= += +-中,我们可以看到公式中出现了五 个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2 n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试 题) (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2 2+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 ) 1(2 1n d n n na S n -=-+ = 对照系数易知,2-=d 此时由2 1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知33 1S 与 44 1S 的等比中项为 55 1S , 33 1S 与 44 1S 的等 差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .(1997年全国高考文科) 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 241 3 1)51(4131432 54 3S S S S S ,

高中数学数列求和

第四节数列求和 [备考方向要明了] 考什么怎么考 熟练掌握等差、等比数 列的前n项和公式. 1.以选择题或填空题的形式考查可转化为等差或等比数列的数列 求和问题，如2012年新课标全国T16等． 2.以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和法 等求数列的前n项和，如2012年江西T16，湖北T18等. [归纳·知识整合] 数列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 (1)等差数列的前n项和公式： S n＝ n(a1＋a n) 2＝na1＋ n(n－1) 2d； (2)等比数列的前n项和公式： S n＝ ?? ? ??na1，q＝1， a1－a n q 1－q ＝ a1(1－q n) 1－q ，q≠1. 2．倒序相加法 如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．[探究] 1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么？ 提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后抵消． 2．利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？

提示：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差； (2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项． 5．分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [自测·牛刀小试] 1. 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1 (3n －2)(3n ＋1) 等于( ) A.n 3n ＋1 B.3n 3n ＋1 C ．1－1 n ＋1 D ．3－1 3n ＋1 解析：选A ∵1(3n －2)(3n ＋1)＝13????1 3n －2－13n ＋1， ∴ 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1 (3n －2)(3n ＋1) ＝13?? ? ???1－14＋????14－17＋???? 17－110＋…＋ ??????13n －2－13n ＋1＝13????1－13n ＋1＝n 3n ＋1 . 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321 64，则项数n 等于( ) A ．13 B ．10 C ．9 D ．6 解析：选D ∵a n ＝2n －12n ＝1－1 2n ， ∴S n ＝????1－12＋????1－122＋…＋????1－1 2n ＝n －????12＋12 2＋ (12)

等差数列求和练习题

等差数列前和练习题 编制：纪登彪时间：2014/9/5 1.已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若a1＝2，S3＝12，则S4＝( ) A．10 B．16 C．20 D．24 2. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＋a7＝18，则S9的值是( ) A．64 B．72 C．54 D．以上都不对 3. 设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为( ) A．22 B．21 C．20 D．19 4. 已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________． 5. 已知an＝n的各项排列成如图的三角形状： 记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(21,12)＝________. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ………………………… 6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn且S15>0，S16<0，则，，…，中最大的是( ) A. B. C. D. 7. 已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则·等于( ) A．2011 B．－2011 C．0 D．1 8. 将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组，第一组{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组{14,16,18,20,22,24}，则2010位于第( )组． A．30 B．31 C．32 D．33 9. 数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝0，b1＝－4，用Sk、Sk′分别表示等差数列{an}和{bn}的前k项和(k是正整数)，若Sk＋Sk′＝0，则ak＋bk＝________. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的第n项和Tn. 11、数列中，，且满足

高中数学 数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

高中数学数列求和的五种方法

高中数学数列求和的五种方法 一、公式法求和 例题1、设 {a n} 是由正数组成的等比数列,Sn为其前 n 项和，已知a2 ·a4=1 , S3=7，则 S5 等于( B) (A) 15/2 (B) 31/4 (C) 33/4 (D) 17/2 解析： ∵ {a n} 是由正数组成的等比数列 , 且a2 ·a4 = 1, q > 0 , 例题1图 注： 等比数列求和公式图 例题2、已知数列 {a n} 的前 n 项和 Sn = an^2+bn (a、b∈R), 且 S25=100 , 则a12+a14等于( B) (A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 不确定

解析： 由数列 {a n} 的前 n 项和 Sn = an^2 + bn (a、b∈R), 可知数列 {a n} 是等差数列, 由S25= 1/2 ×（a1 + a25）× 25 = 100 ， 解得a1+a25 = 8, 所以a1+a25 = a12+a14 = 8。 注： 等差数列求和公式图 二、分组转化法求和 例题3、在数列 {a n} 中, a1= 3/2 ， 例题3图（1） 解析： 例题3图（2） 故

例题3图（3） ∵a n>1，∴ S < 2 , 例题3图（4） ∴有 1 < S < 2 ∴ S 的整数部分为 1。例题4、数列 例题4图（1） 例题4图（2） 解析： 例题4图（3）

三、并项法求和 例题5、已知函数 f(x) 对任意x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x), 则 f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) 的值是多少？ 解析: 由条件可知：f(x)+f(1-x)=1，而x+(1-x)=1， ∴f(-2)+f(3)=1，f(-1)+f(2)=1，f(0)+f(1)=1， ∴ f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 3。 例题6、数列 {a n} 的通项公式a n=ncos（nπ/2），其前 n 项和为Sn，则 S2012 等于多少？ 解析：n 取奇数和偶数分组；答案：1006 。 四、裂项相消法求和 例题7、若已知数列的前四项是 例题7图（1） 则数列前n项和是多少？ 解析： 因为通项

初二数学等差数列求和公式

初二数学等差数列求和公式 各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，小编为大家整理了八年级数学等差数列求和公式，希望同学们牢牢掌握，不断取得进步! 公式 Sn=(a1+an)n/2 (首项+末项)X项数2 Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差) Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2) Sn=[2a1+(n-1)d] n/2 和为 Sn 首项 a1 末项 an 公差d 项数n 等差数列公式an=a1+(n-1)d 前n项和公式为：Sn=(a1+an)n/2=na1+n(n-1)d/2 假设m+n=p+q那么：存在am+an=ap+aq 假设m+n=2p那么：am+an=2ap 以上n均为正整数 文字翻译 第n项的值an=首项+(项数-1)公差

前n项的和Sn=首项+末项项数(项数-1)公差/2 公差d=(an-a1)(n-1) 项数=(末项-首项)公差+1 数列为奇数项时，前n项的和=中间项项数 数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2 等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列 通项 首项=2和项数-末项 末项=2和项数-首项 末项=首项+(项数-1)公差:a1+(n-1)d 项数=(末项-首项)/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1 公差= d=(an-a1)/(n-1) 如：1+3+5+7+99 公差就是3-1 将a1推广到am，那么为: d=(an-am)/(n-m) 性质： 假设 m、n、p、qN ①假设m+n=p+q，那么am+an=ap+aq ②假设m+n=2q，那么am+an=2aq(等差中项) 注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。 本文就是查字典数学网为大家整理的八年级数学等差数列

高中数学等差数列教案

课 题： 3.1 等差数列（一） 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面 我们看这样一些例子 1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，… （问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达她打算从今天起不再背单词

了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，… （问：多少天后她那3000个单词全部忘光？） 从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列 是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差 是d ，则据其定义可得： d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=

高中数学等差数列求和(1)

2013年7月GAO的高中数学等差数列组卷

高中数学等差数列求和 一．选择题（共25小题） 1．（2013?杭州模拟）数列{a n}中，，则a5+a6等于（）．C D． 2．（2012?温州一模）已知数列{a n}满足a1=5，，则=（） C． 3．（2012?朝阳区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5（） ． cos cos cos 6．（2007?深圳二模）已知数列{a n}的前n项和（n∈N*），则a4等于（） ．C D． ．C 8．已知数列，…是这个数列的第（）项． B．1 10．已知数列{a n）的通项公式为，则该数列的前4项依次为（） D 14．（2013?天河区三模）已知数列{a n}为等差数列，且a2+a7+a12=24，S n为数列{a n}的前n项和，n∈N，则S13的 n47n

19．（2013?河池模拟）已知等差数列{a n}满足：a1＞0，a1+a2+a3+…+a101=0，则使前n项和s n取得最大值的n值为 20．（2012?石家庄一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，则使S n取得最小值时n 21．（2012?荆州模拟）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为 n n123n 23．（2012?广州一模）等差数列{a n}的前n项和为，则常数a=（） * 25．（2011?天津）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*， 二．解答题（共5小题） 26．（2013?资阳一模）知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=5，S15=225． （Ⅰ）求数列{a n}的通项a n； （Ⅱ）设b n=+2n，求数列{b n}的前n项和T n．

高中数学等差数列性质总结大全

等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，

《等差数列求和公式》教案

等差数列求和公式 一、教材分析： 数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习数学的必备的基础知识。 二、学生分析： 数列在对于我们的学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要 三、教学目标： 1．与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2．过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 3．情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 四、教学重点与难点： 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 课堂系统部分： 五、教学过程 1．问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图）， 问题1：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 在知道了高斯算法之后，同学们很容易把本题与高斯 算法联系起来，也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,引引导学生去思考,如何将图与高斯的逆序相加结合起来,让 他们借助几何图形,将两个三角形拼成平行四边形.

获得算法： 设计说明： ? 源于历史，富有人文气息. ? 图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础. 2．探究发现： 问题3： 由前面的例子，不难用逆序相加法推出 3．公式应用 例题1： 2008年北京奥运会的体育馆已初步建成，其中有一块地的方砖成扇形铺开，有人数了第一排的方砖个数为10个，最后一排的方砖个数为2008个，而且一共有36排，问这一块地的方砖有多少块？ 本例提供了许多数据，学生可以从题目条件发现，只告知了首项、尾项和项数，于是从这一方向出发，可知使用公式1，达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。 通过两种公式的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。例题2： 2003年医护人员积极致力于研究人体内的非典病毒，已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列，且已知第一排的病毒数是2个，后面每一排比前一排多3个，一共有78排，问这个人体内的病毒数有多少个？ 本例已知首项，公差和项数，引导学生使用公式2。 事实上，根据提供的条件再与公式对比， 便不难知道应选公式。 例题3： 甲从A地出发骑车去B地，前1分钟他骑了了400米，后来每一分钟都比前一分钟多骑5米，当他到达B地时的那一分钟内骑了500米，问A地和B地之间的距离？

高中数学等差数列前n项求和教案

等差数列的前n 项和(一) 教学目标： 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识. 教学重点： 等差数列前n 项和公式的推导、理解及应用. 教学难点： 灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 经过前面的学习，我们知道，在等差数列中： （1）a n －a n －1＝d (n ≥1)，d 为常数. （2）若a ，A ，b 为等差数列，则A ＝a ＋b 2 . （3)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .（其中m ，n ，p ，q 均为正整数） Ⅱ.讲授新课 随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题. 例：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔? 这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意 图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系， 而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔 数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决 呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？ 首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？ 对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你 知道他是怎么算的吗？ 高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101， 第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101， 第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101， …… 第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×1002 ＝5050. 这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ① 把项的次序反过来，S n 又可写成S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1 ② ①＋② 2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1) 又∵a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝…＝a n ＋a 1 ∴2S n ＝n (a 1＋a n ) 即：S n ＝n （a 1＋a n ）2

等差数列求和公式

等差数列求和公式 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2)(11-+=+=,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2)(2)(111-+=+=+=+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2n S n -=,那么( ). (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(22+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 )1(21n d n n na S n -=-+=Θ对照系数易知,2-=d 此时由21)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例 2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为551S ,331S 与44 1S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a . 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 2413 1)51(4131432543S S S S S , 即?????=?++?+?+=?+??+ 2)2344(41)2233(3 1)2455(251)2344(41)2233(31112111d a d a d a d a d a

《等差数列求和公式》教案#(精选.)

等差数列求和公式 教学目标 1．知识目标 (1)掌握等差数列前n 项和公式，理解公式的推导方法； (2)能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 2．能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 3．情感目标 通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 学生已学等差数列的通项公式，对等差数列已有一定的认知。 教学重点、难点 1．等差数列前n 项和公式是重点。 2．获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学过程 复习回顾： 1．等差数列的定义； 2．等差数列的通项公式。 新课引入： 问题一： 介绍德国著名数学家高斯，相传高斯在10岁那年他的算术老师给他出了一道算术题：1+2+3+…+100=？。结果高斯很快就算出了答案，你知道高斯是怎么很快的算出结果的吗？ 请同学起来回答，如何进行首尾配对求和： 123...100n S =++++=(1100)(299)...(5051)+++++=10011002 +?（）=5050. 师：非常好！这位同学和数学家高斯一样聪明！这里高斯的配对法就是采用的“首尾配对法”。师：这里1,2,3，…，100这是一个什么数列？生：等差数列。师：这里123...100++++就是在求一个等差数列的和的问题。引出课题：7.2.2等差数列求和。 一、数列的前n 项和意义

一般地，设有数列123,,,,,n a a a a …,我们把123n a a a a ++++叫做数列{}n a 的 前n 项和，记作n S ．即123n n S a a a a =++++． 问题二： （课件出示印度泰姬陵的图片），介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共21层。你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗？ 学生回答：即求2112321S =++++。师：怎么求？ 生：仿照上面的方法，首尾配对（1+21）+（2+20）+…+(10+12)。师：这里一共配成了几对呢？生：10对，再加上中间一个数11，得到结果231。师：很好。我们用高斯的首尾配对法也能求出结果来。那么，有没有更简单一点的配对方法呢？ 课件演示，在三角形红宝石图案旁添一个相同倒置三角形蓝宝石图案，将两个三角形拼成平行四边形。则 原三角形红宝石图案：2112321S =++++， 后添的三角形蓝宝石图案：212120191S =++++， 平行四边形图案所有宝石数：212(121)21S =+?， 所以，21(121)212312 S +?==。 这种求和方法叫倒序相加法，与高斯的首尾相配法原理如出一辙。 师：上面我们求了10021,S S ，在这两个问题中，最后，这个和都可以写成首项与末项的和乘以项数的一半。那么，是不是所有的等差数列都有1()2n n a a n S += 这个求和公式呢？下面我们来证明这个公式。 二．等差数列的前n 项和公式 设有等差数列{}n a ：123,,, ,,n a a a a 公差为d ，前n 项和为n S ，则 1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++ ++-； ()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--. 将两式分别相加，得：12()n n S n a a =+， 由此得到等差数列{}n a 的前n 项和的公式