概率及其计算
本章知识结构图
随机抽样
统计
概率
第十三章概率与统计
用样本估计总体
简单随机抽样
抽签法
随机数表法
系统抽样
厂共同特点：抽样、
过程中每个个体被
抽到的可能性
L (概率)相等J
频率分布表和频率分布直方图
样本频率分布估
计总体
总体密度曲线
茎叶图
样本数字特征1众数、中位数、平均数
估计总体方差、标准差
分层抽样
几何概型
-用随机模拟法求概率
条件概率
P(B | A)=
P(A □ B) = P(A) ? P(B) Jf
一事件的独立性
n次独立重复试验恰好
发生k次的概率为k k n- k
QP n(k)= Gp(1- p)丿
□随机变量□常用的分布及
期望、方差
二项分布
X?B(1, p)
I—两点分布
旦X) = p, D(X)= p(1-
p)
X?B(n , p)
E(X) = np, D(X)= np(1-p)
若Y= aX+ b，贝U
E(Y) = aE(X) + b
J D(Y) = a2D(X) /
X?H(N, M , n)
―超几何分布M
E(X)= n N
nM f M'N—n
D(X)=Nl1-G?厂 N N- 1
第一节概率及其计算
考纲解读
1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3.掌握古典概型及其概率计算公式。
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5.了解几何概型的意义。
命题趋势探究
1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。
知识点精讲
一、必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下：
①必然要发生的事件叫必然事件；
②一定不发生的事件叫不可能事件；
③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率
在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫
做A的概率，记作。对于必然事件A,;对于不可能事件A, =0.
三、基本事件和基本事件空间
在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、两个基本概型的概率公式
1、古典概型
条件：1、基本事件空间含有限个基本事件2、每个基本事件发生的可能性相同
P f A1 _ A包含基本事件数二card (A)
-基本事件总数=cardD
2、几何概型
条件：每个事件都可以看作某几何区域11的子集A，A的几何度量(长度、面积、体积或时
间)记为A.
J A
五、互斥事件的概率
1互斥事件
在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A与事件B互斥，则
P AUB =P A P B
2、对立事件
事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作B = A或A = B。
P A p A
O
3、互斥事件与对立事件的联系
对立事件必是互斥事件，即“事件A, B对立”是”事件 A B互斥“的充分不必要条件。
题型归纳及思路提示
题型176古典概型
思路提示
首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发
生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A所包含的基本事件数；最后计算A包含基本事件数
P A 一基本事件总数
例13.1 设平面向量a m 二m,1 ，0 二2,n ，其中m,n ^1.2,3,4：
(1)请列出有序数组m,n的所有可能结果;
(2)若“使得a m —a m - b n成立的m,n为事件A求事件A发生的概率。
变式1【2017课标II,文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再
随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
1 1 3
A.—
B.
C.—
10 5 10
变式2连抛两次骰子的点数分别为m,n，记向量才二m, n，向量b = 1,-1 ，a与b的
(TT "1
夹角为二，^y?的概率是( )
2
5175
A. B. C.— D.—
122126
例13.2【2017山东，理8】从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张?则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
/A、5 4 5 7
(A) ( B) (C) —( D)-
18 9 9 9
变式1【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
4 3 2 1
(A)经(B) ° (C)(D) 1
5 5 5 5
变式2【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1, 2, 3，4, 5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲
变式3【2016高考上海文科】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为
题型177
几何概型的计算
思路提示
首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间） ，其次计算出
基本事件区域的数值和事件 A 包含区域数值，最后计算
A 事件区域数值（长度、面积、体积或时间）
P （A ）
二基本事件区域数值（长度、面积、体积或时间）
画图、求面积。
例13.3【2017课标1,理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图
?正方形内
切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 ?在正方形内随机取一点， 则
此点取自黑色部分的概率是
1
A .-
4 1
C.—
2
变式1【2016高考新课标1卷】某公司的班车在 7:00,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之 间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10分钟的概率
是（ ） / 八、1 1 2 3 （A ）3
（ B ）2
（ C ）3
（ D ）4
，解几何概型问题的关键是
例13.4如图13-2所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影
部分的概率为(
)
图 13-2
变式1小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到
1
1
圆心的距离大于一，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
一，贝怯打篮球；否则,
2 4
在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 _________________ .
变式2【2016高考新课标2理数】从区间0,11随机抽取2n 个数x 1, x 2，…，x n , y 1 , y 2，…，
y n ,构成n 个数对x 1, y 1 , x 2, y 2，…，x n ,y n ，其中两数的平方和小于
1的数对共
有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
二的近似值为
、4n
2n
4m
2m
(A )
( B )
( C )
( D )
m m n n
A.-
B. C.
D.
例13.5 已知f ( x)= —X 十ax - b, a 回0, 4 , a,b壬R ,则f 1 0的概率为
变式1【2017江苏，7】记函数f(x)=；”6?x—x的定义域为D.在区间［—4,5］上随机取一个数x ,则x ? D的概率是 ______ .
例13.6 甲乙两人约定在20：00到21: 00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方
可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21 : 00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内能相见的概率。
分析由题意知，当甲乙两人到达目的地的时间相差小于或等于时间内
40分钟时两人便能在约定
相见。
变式1小明家的晚报在下午5: 30 ~ 6: 30之间的任何一个时刻随机地被送到，小明一家人在下午6 : 00 ~ 7: 00之间的任何一个时刻随机地开始晚餐。
（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？（不
用计算）?
（2 ）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
最有效训练题53 （限时40分钟）
1、甲乙丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（）
1111
A. B. - C. - D.-
2 3 4 6
2、【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续
时间为40秒?若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）
7 5 3 3
（A）—（B）° （C）° （D）
10 8 8 10
3、两根相距3 m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1 m的概率为（)
1112
A.-
B.—
C.—
D.-
2343
4、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为X,Y，则log 2X^1的概率为（) 1511
A.-
B.
C.—
D.
636122
5、在边长为18 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM 为边作正方形，则这个正
方形的面积介于36cm2与81 cm2之间的概率为（）
5 1 1 1
A. B. C. D.—
6 2 3 6
6、【2016高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则log a b为整数的概率= ______________
7、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K ”，事件B为“抽得的是黑桃”，则概率P（Au B）= ________ （结果用最简分数表示）.
&【2016高考山东理数】在［-1,1］上随机地取一个数k,则事件直线y=kx与圆
（x- 5）2+ y2= 9相交”发生的概率为_______ .
2
9、已知函数f x =ax b 1 x ^1，且a，0,3 ，则对于任意的b R，函数
F （x ）= f （x ）-x总有两个不同的零点的概率是______ .
10、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中
随机抽取一个数，则它小于8的概率是 _______________ .
_ 2 2
11、在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标x, y 满足x y乞5，从
区域W中随机取点M x,y .
(1)x三z, y三z ，求点M位于第四象限的概率；
(2)已知直线l : y =-x ? b b ? 0与圆O ：x2? y2=5相交所截得的弦长为J5，求y _ -x ? b的概率。
12、【2017山东，文】16(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A I,A2,A3和3 个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(I )若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(n )若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率?
概率计算方法
概率计算方法
概率计算方法 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0 摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率. 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1 1 22=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 1 122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 黄 白2白1蓝 黄白1蓝黄白2 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一 张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？ （2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率． 1 2 3 图 图3 第九章概率 第一节概率的简单计算【回顾与思考】 概率?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? 必然事件某一事件出现可能性的大小不确定事件 不可能事件 树状图 计算方法 列表格 【例题经典】 知道辨别确定事件、不确定事件 例1（2006年泸州市）下列事件中是必然事件的是（） （A）打开电视机，正在播广告 （B）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后朝上的点数是6 （C）地球总是绕着太阳转 （D）今年10月1日，泸州市一定会下雨 【点评】ABD都属于不确定事件C是必然事件 会用树状图求某一事件的概率 例2（2006年浙江省）有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，?其正面分别画有四 个不同的几何图形（如图），小华将这4张牌背面朝上洗匀后，摸出一张，放回 ．．洗匀后再摸一张． （1）用树状图表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A，B，C，D表示）； （2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率． 【点评】只有摸出BC两种图案才是中心对称图形 会用列表格方法求某一事件的概率 例3（2006年成都市）小明、小芳做一个“配色”的游戏．?下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A?转出了蓝色，转盘B 转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色．这种情况下小芳获胜；?同样，蓝色和黄色在一起配成紫色，这种情况下小明获胜；在其它情况下，则小明、小芳不分胜负．（1）利用列表方法表示此游戏所有可能的结果； （2）此游戏的规则，对小明、小芳公平吗？试说明理由． 【点评】列表格时要注意横栏与纵栏表示的对象是否与题意相符． 【考点精练】 一、基础训练 1．在拼图游戏中，从图中的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如下左图所示）的概率等于（） A．1 B．1 2 C． 1 3 D． 2 3 概率计算方法全攻略 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0 第十三章概率与统计本章知识结构图 统计 随机抽样 抽签法 随机数表法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 共同特点：抽样 过程中每个个体 被抽到的可能性 （概率）相等用样本估计总体 样本频率分布 估计总体 总体密度曲线 频率分布表和频率分布直方图 茎叶图 样本数字特征 估计总体 众数、中位数、平均数 方差、标准差 变量间的相关关系 两个变量的 线性相关 散点图回归直线 正态分布 列联表（2×2）独立性分析 概率 概率的基本性质互斥事件对立事件 古典概型 几何概型 条件概率 事件的独立性 用随机模拟法求概率 常用的分布及 期望、方差 随机变量 两点分布 X～B(1，p) E(X)＝p，D(X)＝p(1－p) 二项分布 X～B(n，p) E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) X～H(N，M，n) E(X)＝n M N D(X)＝ nM N? ? ? ? 1－ M N N－n N－1 n次独立重复试验恰好 发生k次的概率为 P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k 超几何分布 若Y＝aX＋b，则 E(Y)＝aE(X)＋b D(Y)＝a2D(X) P(A＋B)＝P(A)＋P(B) P(?A)＝1－P(A) P(A B)＝P(A)·P(B) P(B | A)＝ P(A B) P(A) 第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ. 全：遗传概率的计算方法（高中生物） 概率是对某一可能发生事件的估计，是指总事件与特定事件的比例，其范围介于0和1之间。相关概率计算方法介绍如下： 一、某一事件出现的概率计算法 例题1：杂合子（Aa）自交，求自交后代某一个体是杂合体的概率。 解析：对此问题首先必须明确该个体是已知表现型还是未知表现型。（1）若该个体表现型为显性性状，它的基因型有两种可能：AA和Aa。且比例为1∶2，所以它为杂合子的概率为2/3。（2）若该个体为未知表现型，那么该个体基因型为AA、Aa和aa，且比例为1∶2∶1，因此它为杂合子的概率为1/2。正确答案：2/3或1/2 二、亲代的基因型在未肯定的情况下，其后代某一性状发生的概率计算法 例题2：一对夫妇均正常，且他们的双亲也都正常，但双方都有一白化病的兄弟，求他们婚后生白化病孩子的概率是多少 解析：（1）首先确定该夫妇的基因型及其概率由前面例题1的分析可推知该夫妇均为Aa的概率为2/3，AA的概率为1/3。（2）假设该夫妇为Aa，后代患病的概率为1/4。（3）最后将该夫妇均为Aa的概率（2/3×2/3）与假设该夫妇均为Aa情况下生白化病患者的概率1/4相乘，其乘积1/9，即为该夫妇后代中出现白化病患者的概率。正确答案：1/9 三、利用不完全数学归纳法 例题3：自交系第一代基因型为Aa的玉米，自花传粉，逐代自交，到自交系第n代时，其杂合子的几率为。 解析：第一代 Aa 第二代 1AA 2Aa 1aa 杂合体几率为 1/2 第三代纯 1AA 2Aa 1aa 纯杂合体几率为（1/2）2 第n代杂合体几率为（1/2）n-1 正确答案：杂合体几率为（1/2）n-1 四、利用棋盘法 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 4.2 概率及其计算教案 4.2.1 概率的概念 教学目标 【知识与技能】 1.了解概率的定义，理解概率的意义. 2.理解P(A)=m n (在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种）的意义. 【过程与方法】 通过生活中简单的例子帮助学生理解概率的意义，掌握概率的计算方法. 【情感态度】 对概率意义的正确理解. 教学重难点 【教学重点】 概率计算方法的掌握. 教学过程 一、情境导入，初步认识 问题1：在一个袋子里放有1个白球和1个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同，从袋子中随机取出一个球.问(1)摸出的球可能是哪个球?(2)全部可能结果有几种?(3)每种结果的可能性大小如何? 学生讨论交流后回答，教师总结归纳： (1)摸出的球可能是白球或红球；(2)全部可能结果有2种.(3)每种结果的可能性大小都是 1 2. 二、思考探究，获取新知 1.概率的概念 问题2：如图是一个能自由转动的游戏转盘，红、黄、蓝3个扇形的圆心角均为120°，让转盘自由转动，当它停止时，问（1）指针可能停在哪个扇形区域？（2）全部可能结果有几种？（3）每种结果的可能大小如何？ 教师鼓励学生动脑，模仿问题作出回答. 概率的概念 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为 P(A) . 2.概率的计算 教师引导学生阅读完成教材P125动脑筋从而得出概率的计算方法. 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m种可能，那么事件A发生的概率为P(A)=m n ，其中 m n 的范围是0≤ m n ≤1， 因此，P（A）的范围是0≤P(A)≤1，当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时， 概率计算方法全攻略 概率计算方法全攻略 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了 统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数 随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图 如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 112 2=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果. ②无论哪种都是机会均等的 . 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡 片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的黄白2蓝白2白1蓝黄白1蓝黄白2 遗传几率计算题历来是高中生物学教学上的一个难点，也是众多学生惧怕的题目。遗传几率计算题以其多变的题型，丰富的考查手段，全新的试题情景和能很好的考查学生的能力而备受高考命题专家青睐。可以说每年的高考或多或少都有遗传几率题，遗传几率的计算能力应该是应试学生必须具备的一项基本技能。怎样在课堂教学中突破遗传几率的难点？下面本人以一些课堂教学的实例来进行探讨。 一、孟德尔豌豆杂交实验的相关计算 题目：纯种黄圆和绿皱的豌豆杂交（两对相对性状独立遗传），F1产生的配子种类有多少，F2中基因型、表现型的种类是多少？ 方法：把F1YyRr先分拆成Yy和Rr产生配子再组合。Yy产生Y、y两种配子，Rr 产生R、r两种配子，合起来是2×2=4种。 变式1:基因型为AaBbCc、AaBbCCDdee、AaBbCcX H X h或AaBbCcX H Y的个体产生的配子种类？（按上面的方法算分别是8、8、16、32种） 作用：能有效的区分某基因型个体产生的配子种类2n中的n是什么意思，n是等位基因的对数。 求F2中基因型、表现型的种类可以先把两对等位基因分拆按基因分离定律求出每对等位基因杂交后代的基因型、表现型数目再组合。 Yy×Yy→基因型：YY Yyyy 表现型：黄绿 Rr×Rr→基因型：RR Rrrr表现型：圆皱 比例：1 ：2 ：1 3： 1 1 ： 2 ： 1 3 ： 1 种类:基因型3(YY Yyyy)×3(RR Rrrr)=9种，表现型2（黄绿）×2（圆皱）=4种。 变式2：AaBbCc×AaBbCcAaBbCcX H X h×AaBbCcX H X h杂交后代的基因型种类，表现型种类？ 按照上述方法3（AA Aaaa）×3(BB Bb bb)×3(CC Cc cc)=27,表现型2×2×2=8，同理另一杂交组合后代的基因型、表现型种类是：3×3×3×3=81，2×2×2× 2=16. 作用：可以推导出杂交后代基因型种类用3n表示，表现型用2n表示，同时也可以引导学生用分支法计算后代几率比棋盘法要快和方便得多，特别3对以上的相对性状的杂交。 变式3：纯种黄圆和绿皱的豌豆杂交（两对相对性状独立遗传），F2中重组型性状、亲本型性状，与F1相同的性状各占多少？ 方法： Yy×Yy→基因型：YY Yyyy 表现型：黄绿 Rr×Rr→基因型：RR Rrrr表现型：圆皱 比例：1 ：2 ：1 3 ： 1 1 ： 2 ： 1 3 ： 1 重组型性状（黄皱、绿圆）黄皱=3／4（黄）×1／4（皱）=3／16 绿圆=1／4（绿）×3／4（圆）=3／16 所以：重组型性状：3／16＋3／16=6／16=3／8 同理：亲本型性状（黄圆、绿皱）黄圆=3／4×3／4=9／16 绿皱=1／4×1／4=1／16 所以：亲本型性状：9／16＋1／16=10／16=5／8 F1相同的性状（黄圆）：3／4×3／4=9／16 作用：能有效的区分重组型性状、亲本型性状，与F1相同的性状，在教学过程种发现学生往往不能正确区分以上概念，把亲本型性状认为是F1性状。 《简单的概率计算》教学设计 一、教学目标 （一）知识目标 1.在具体情景中进一步了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型. 2.了解一类事件发生概率的计算方法，并能进行简单计算. 3.能设计符合要求的简单概率模型. （二）能力目标 1.体会事件发生的不确定性，建立初步的随机观念. 2.进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生“用数学”的意识和能力. （三）情感目标 1.进一步培养学生公平、公正的态度，使学生形成正确的人生观. 2.提高学生之间的合作交流能力和学习数学的兴趣. 二、教学重难点 （一）教学重点 1.进一步体会概率是描述不确定现象的数学模型. 2.了解另一类（几何概率）事件发生概率的计算方法，并能进行简单计算. 3.能设计符合要求的简单数学模型. （二）教学难点 1.了解另一类（几何概率）事件发生概率的计算方法. 2.设计符合要求的简单数学模型. 三、教具准备 投影片四张： 第一张：（记作投影片§4.3 A） 第二张：议一议（记作投影片§4.3 B；） 第三张：例题（记作投影片§4.3 C；） 第四张：随堂练习（记作投影片§4.3 D） 四、教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课 ［师］我手中有两个不透明的袋子，一个袋子中装有8个黑球，2个白球；另一个袋子里装有2个黑球，8个白球.这些球除颜色外完全相同.在哪一个袋子里随意摸出一球，摸到黑球的概率较大？为 什么？ ［生］在第一个袋子里摸到黑球的概率较大.这是因为，在第一个袋子里，P （摸到黑球）=108=5 4；而在第二个袋子里，P （摸到黑球）=51102=. ［师］现在，我们把两个袋子换成两个房间——卧室和书房，把袋子中的黑白球换成黑白相间的地板砖，示意图4－7如下：（出示投影片§4.3 A ） 图4－7 图4－7中的每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大呢？（板书课题：停留在黑砖上的概率） Ⅱ.讲授新课——讨论停留在黑砖上的概率 1.议一议 ［师］我们首先观察卧室和书房的地板图，你会发现什么？ ［生］卧室中黑地板的面积大，书房中白色地板的面积大. ［生］每块方砖除颜色不同外完全相同，小猫自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，具有随机性. ［师］很好.这位同学已经能用随机观念，去解释我们所研究的事件.由此可知小猫停留在任意一块方砖上的可能性是相同的. ［生］老师，我知道了，卧室和书房面积是相等的，而卧室中黑砖的面积大于书房中黑砖的面积，故小猫在卧室里自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，其中停留在黑砖上的概率较大. ［师］那么，小猫在卧室里自由地走来走去，停留在黑砖上的概率为多少呢？如何计算呢？下面我们看投影片§4.3 B. 图4－8 ［议一议］假如小猫在如图4－8所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？（图中每一块除颜色外完全相同） （通过讨论，借助经验，学生可以意识到小猫在方砖上自由地走来走去的随机性，从而计算出最终停留在黑砖上的概率）. ［生］方砖除颜色外完全相同，小猫自由自在地走来走去，并随意停留在某块方砖上，那么小猫停留在任意一块方砖上的概率都相同.因此P （小猫最终停留在黑色方砖上）= 4 1164=. ［师］你是怎样想到计算小猫最终停留在黑色方砖上概率用164的. 第57课 概率及其计算 基础知识： 1. 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0()1P A ≤≤. (2)必然事件的概率()1P A =. (3)不可能事件的概率()0P A =. (4)概率的加法公式 如果事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+U . (5)对立事件的概率 若事件A 与事件B 互为对立事件，则()1()P A P B =-. 2. 古典概型的概率公式 ()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数 3. 几何概型中，事件A 的概率的计算公式 ()A P A = 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 一、典型例题 1. 从分别标有1，2，……，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）. A. 518 B. 49 C. 59 D. 79 2. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+. 在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）. A. 112 B. 114 C. 115 D. 118 3. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC . △ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III. 在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为123,,p p p ，则（ ）. A. 12p p = B. 13p p = C. 23p p = D. 123p p p =+ 二、课堂练习 1. 记函数()f x =D ，在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ）. A. 19 B. 13 C. 59 D. 79 2. 甲、乙两支足球队进行比赛，根据赛前的数据分析，甲队赢球的概率为0.55，乙队赢球的概率为0.2，则 第十三章概率与统计本章知识结构图 第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ. ()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果； （2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。 分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。 解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 （2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的 概率计算方法总结 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事 件）=0；0 概率计算方法 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:一、公式法P(随机事件)=、其中P(必然事件)=1,P（不可能事件）=0；0 图法，求两次摸到都是白球的概率、解析：⑴设蓝球个数为x 个、由题意得∴x=1 答：蓝球有1个（2）树状图如下：∴两次摸到都是白球的概率 =、说明:解有关的概率问题 首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果、②无论哪种都 是机会均等的、本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法 比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果、 四、列表法例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左 眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或 列表法求贴法正确的概率．解析:(1)所求概率是(2)解法一(树形图):1共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)、其中只有 两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是解法 二(列表法):11共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)、其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法 正确的概率是评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌 握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经 过多次步骤（三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有效、概率计算 概率计算方法 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0 白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为1 2 . （1）试求袋中蓝球的个数. （2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率. 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得 2 1 122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 = 6 1 122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？ （2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一 黄 白2白1蓝 黄白1蓝 黄白2 概率计算公式 加法法则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B) －P(AB 条件概率 当P(A)>0 ，P(B|A)=P(AB)/P(A) 乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 计算方法 “排列组合”的方法计算 记法 P(A)=A 加法法则 定理 :设 A 、 B 是互不相容事件(AB=φ)， P(AB)=0. 则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=p(A)+P(B) 推论 1:设 A1 、 A2 、?、 An 互不相容，则:P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +?+P(An)推论 2:设 A1 、 A2 、?、 An 构成完备事件组，则:P(A1+A2+...+An)=1 推论 3: P(A)=1-P(A') 推论 4:若 B 包含 A ，则 P(B-A)= P(B)-P(A) 推论 5(广义加法公式): 对任意两个事件 A 与 B，有 P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB) 折叠条件概率 条件概率 :已知事件 B 出现的条件下 A 出现的概率，称为条件概率，记作:P(A|B) 条件概率计算公式: 当P(A)>0 ，P(B|A)=P(AB)/P(A) 当P(B)>0 ，P(A|B)=P(AB)/P(B) 折叠乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 推广 :P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 折叠全概率公式 设: 若事件 A1 ， A2 ，?， An 互不相容，且 A1+A2+?+An=Ω，则称 A1 ，A2 ，?， An 构成一个完备事件组。 全概率公式的形式如下 : 以上公式就被称为全概率公式。 第一节 概率的简单计算 教学案 【回顾与思考】 概率????????????????? 必然事件某一事件出现可能性的大小不确定事件不可能事件树状图计算方法列表格 【例题经典】 知道辨别确定事件、不确定事件 例1 （2006年泸州市）下列事件中是必然事件的是（ ） （A ）打开电视机，正在播广告 （B ）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后朝上的点数是6 （C ）地球总是绕着太阳转 （D ）今年10月1日，泸州市一定会下雨 【点评】ABD 都属于不确定事件 C 是必然事件 会用树状图求某一事件的概率 例2 （2006年浙江省）有四张背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，?其正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张牌背面朝上洗匀后，摸出一张，放回．． 洗匀后再摸一张． （1）用树状图表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A ，B ，C ，D 表示）； （2 ）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率． 【点评】只有摸出BC 两种图案才是中心对称图形 会用列表格方法求某一事件的概率 例3 （2006年成都市）小明、小芳做一个“配色”的游戏．?下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A 转出了红色，转盘B 转出了蓝色，或者转盘A ?转出了蓝色，转盘B 转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色．这种情况下小芳获胜；?同样，蓝色和黄色在一起配成紫色，这种情况下小明获胜；在其它情况下，则小明、小芳不分胜负． （1） 利用列表方法表示此游戏所有可能的结果； （2）此游戏的规则，对小明、小芳公平吗？试 说明理由． 【点评】列表格时要注意横栏与纵栏表示的对象是 否与题意相符． 三、计算题（本大题共5小题，每小题7分，共35分） 1、古典概型（加法公式、乘法公式，全概公式、条件概率） 1.1 若将s n i e e c c ,,,,,,这七个字母任意排成一行，问恰排成science 的概率． 1.2设考生的报名表来自三个地区，各有10、15、25份，其中女生表分别为3、7、5份．现随机地取一地区的报名表， 从中先后抽两份报名表．求（1）先抽到的是女生表的概率p ；（2）已知后抽到的是男生表，求先抽到的是女生表的概 率q ． 1.3 在一次考试中，某班学生数学的及格率是0.7，外语的及格率是0.8，且这两门课学生及格与否相互独立, 现从该班 任取一名学生，求该生的数学、外语两门课中只有一门及格的概率． 1.4一副扑克牌（52张），从中任取13张，求至少有一张“A ”的概率。 1.5设玻璃杯整箱出售，每箱20只。各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1、0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯， 由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无残次品则买此箱玻璃杯，否则不买。求：（1）顾客买此箱玻璃杯 的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。 1.6进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，求在成功2次之前已经失败3次的概率。 1.7从0，1，2，…，9中任取两个（可重复使用）组成一个两位数的字码，求数码之和为3的概率． 1.8袋中有9只白球10只红球共19只球，从中随机取7只球，记A ＝｛取的是3白4红共7只球｝，分不放回、放回 两种情形，分别求)(A P 1.9现有n 个小球和n 个盒子，均编号1，2，…，n .将这n 个小球随机地投入到这n 个盒子中，每盒1球，求至少有一 个小球与所投盒的号码相同的概率. 1.10一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任意时刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有 两个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多 少？（4）至少有1个设备被使用的概率是多少？ 2、离散型随机变量及均值方差； 2.1将4个小球随机的投到4个盒子中去，记X 为投后的空盒子数，求)(X E ． 问（1）b a ,应满足什么条件？当2.0=a 时，求b ，（2）求)1(>X P ,)2.1(),0(=≤X P X P . 2.32.4设二维离散型随机变量（Y X ,）的分布列为 (1) 问常数a )0|1>X 。 2.5设二维离散型随机变量（Y X ,）的分布列为 （1） 若0=a Y X ,是否独立。 2.6假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一 只；如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前已取出的废品只数的分布、数学期望和方差。 2.7一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3 只球中的最大号码，写出随机 变量X 的分布律。 2.8 X 和Y 是否独立。 2.9设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取 1只，做不放回抽样.以X 表示取出次品的只数， （1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形. 3、连续型随机变量及均值方差； 十二、 概率及其计算 基础知识： 1. 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0()1P A ≤≤. (2)必然事件的概率()1P A =. (3)不可能事件的概率()0P A =. (4)概率的加法公式 如果事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+. (5)对立事件的概率 若事件A 与事件B 互为对立事件，则()1()P A P B =-. 2. 古典概型的概率公式 ()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数 3. 几何概型中，事件A 的概率的计算公式 ()A P A = 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 一、典型例题 1. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）. A. 110 B. 15 C. 310 D. 25 2. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）. A. 815 B. 18 C. 115 D. 130 3. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC . △ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III. 在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为123,,p p p ，则（ ）. A. 12p p B. 13p p C. 23p p D. 123p p p 二、课堂练习 1. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）. A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3第35讲 概率的简单计算(含答案)
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