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随机过程-习题-第4章-02

4.17 4.18

4.19 设有图题4-19所示的电路，其中W 0(t )为输入的随机过程，W 0(t )为标准维纳过程（即4.18中的z (t )，且其1=β）；其输出为)(t ξ=W 0(t )-W 0(t -1)。求)(t ξ的均值和相关函数。

图题4-19

解：由于W 0(t )为标准维纳过程，则E [W 0(t )]=0。因此

0)]1()([)]([00=--=t W t W E t E ξ

)(t ξ的相关函数为

)]}1()()][1()({[),(2020101021----=t W t W t W t W E t t R ξ

)

(t W

假设t 1

0)]}1()([)]1()({[),(2020101021=----=t W t W E t W t W E t t R ξ

当t 1>t 2-1时，[t 1-1, t 1]和[t 2-1, t 2]是两个交叠的区间。分别用A ，B ，C 表示区间[t 1-1，t 2-1]、[t 2-1，t 1]和[t 1，t 2]。于是

)]

(1[)1,min(2)1()]1()([2)]1([)]([}

)]1()({[]

[][][][][][][]E[)]

)(E[(),(1221212010220120220102221t t t t t t t W t W E t W E t W E t W t W E B E C E B E B E C E A E B E A C B B A t t R --=---+=---+=--==+++=++=ββββξ

即

????

?<<-=1

||,0

1|||]

|1[),(21τττβξt t R

其中，12t t -=τ。

4.20 定义)1()(20-=-t t e W e t αασξ。其中，σ、α均为常数，0,0>>ασ，)(0?W 代表标准维纳过程，称)(t ξ为Ornstein-Uhlenbeck 过程，求)(t ξ的均值和相关函数。解：显然，均值为

)]1([)]([20-=-t t e W E e t E αασξ

其中，)(0?W 为标准维纳过程，其均值为0。于是

0)]1([20=-t e W E α

相关函数为

{}

)

()()()()()()()(),()()()]()()()][()()([)

,(21212121212122211121t b t b t u t b t a t u t b t a t t R t a t a t b t t a t b t t a E t t R +++=++=ξξξξηηξξ

4.22 设有平稳随机过程)(t ξ，其相关函数为

()||1)(||τατταξ+=-Ae R

其中，A ，α为常数，0>α。求dt

t d t )

()(ξη=的相关函数。解：当0τ≥时，

()()αττατξ+=-1Ae R

于是，

()()[]

[]

()

ατατατ

αατατττ

τατατατατξη-==

++--=-

=----1)1(222

2e A e A d d

Ae e A d d

R d d R

同理可证，当0<τ时

()ατατατη+=1)(2e A R

所以，

()τααττ

αη-=-1)(2e

A R

图(a)(b)(c)分别给出了)(τξR 、)('

τξ

R 和)(τηR 的示意图。

(a) (b)

(c)

此外，还可以用功率谱的方法解决这类问题。 4.23 设有平稳随机过程)(t ξ，它的自协方差函数为

???

?+=-||sin cos )(||τββα

βττταξAe C 其中，A,α,β, 为常数。又t

t t d )

(d )(ξη=

，求)(t η的自协方差函数及方差。解：因为)(t ξ为平稳随机过程，其均值)(t ξμ为常数，所以

0d )(d )(==

t t ξημμ

于是，)(t η的自协方差函数与其自相关函数相等，即

)()()()

2(τττξηηR R C -==

其中，

)()(ξξξμττ+=C R

ξμ为常数。因此，)(t η的自协方差函数为

???

??????+-+=-=-||sin cos ][)()(3

2(τββααββτβαττταξηAe

C C 方差为

][)}({22βαη+=A t D

4.24

4.25 4.26

4.27 设有随机过程)(t ξ，它的相关函数为),(21t t R ξξ；若另有随机过程)(t η、)(t ζ定义如下：

t d b t a t )()()(ξξη+=

22)

()()(dt

t d f dt t d c t ξξζ+= 其中，a 、b 、c 、f 为常数。试求)(t η和)(t ζ的互关函数),(21t t R ηζ。解：首先，

[][]]

)()()()()()()()([]

)()()()([])()([),(2121212122112121t t bf t t bc t t af t t ac E t f t c t b t a E t t E t t R ξξξξξξξξξξηηζ'''+''+''+'=+'+==

根据公式

),(])()([),(21)

)

)(2)

(1)

(21)

()(t t R t t t t E t t R

m n m n m n m n ξξξξξ

???=

得

),(),(),(),(),(2122

212122122

21221t t R t t bf t t R t t bc t t R t af t t R t ac t t R ξξξξξξξξηζ???+???+??+??=

4.28. 设有平稳随机过程)(t ξ，它的均值为0，相关函数为)(τξR ；若du u t t

?=0

)()(ξη，

求)(t η的方差和自协方差函数。解：)(t ξ的均值为0，所以

[][]00)()(0

=?==??du du u E t E t

ξη

设21t t >，则)(t η的自协方差函数为

==12

2121d d )]()([),(),(t t v u v u E t t R t t C ξξηη 作如下积分变换

????

==-v v v u τ

得

----------+-+-++=-+++='+'+'=0

12120

10220

212

2121

1211

11212

)()()()()()()()()()()()()()(),(t t t t t t t t t t t t t t t t t t t d R t t d R t d R t d R t d R t d R t d v d R d v d R d v d R t t C τ

τττττττττττττττττ

τττττξξξξξξτξξτξη

于是，方差为

?--==t

d R t t t C t τττσξηη)(|)|(),()(

1 t v

122

4.29 设有随机过程)(t ξ，它的均值为()t ξμ，相关函数为()21,t t R ξξ，协方差函数为

()21,t t C ξξ，若

c du u e b dt

t d t t t u +++=?-011

0)()

()()(ξξαξαηλ

其中，0a 、1a 、1b 、c 均为实常数。求)(t η的均值和自协方差函数。解：首先，)(t η的均值为

[][][]c

du u e b dt

t d t c du u E e b dt t d E t E t E t

u t u +++=++?

???+=??--0

00110)()()()()()()(ξλξξλμμαμαξξαξαη

设

?-=??

???-=-=-t

u du

u u e b t C dt t d dt t d t B t t t A 0110)]()([)()()()()]()([)(ξλξξμξμξαμξα

于是，)(t η的相关函数为

()()[]

)

,(),(),(),(),(),(),(),(),()()()()()()(),(21212121212121212122211121t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t C t B t A t C t B t A E t t C CB CA BC BA AC AB CC BB AA ++++++++=++++=ηη ()

t u C

e b du t u C e b dv v t C

e b t t C dv v t C e

b t t C

dudv v u C e b t t C

t t C t u t u t v t v

t t v u ),(),(),(),(),(),(),(),(),(20

1120

1010

112

11010

10211000

1212

12120'

'12''ξξλξξλξ

ξλξξξξλξξ

ξξλξ

ξξξαααααααααα??????

----+-++++++++=

其中，

[]

),()()(),()()()()()()()()(),(212

1221212

122'

1'22112'221'1121''t t C t t t t t t R t t t t dt t d dt t d E t dt t d t dt t d E t t C

ξξξξξξξξμμμμξξμξμξξξξξ???=-???=-??????=?????????? ??-???? ?

?-=

和

()

[]

),()()(),()

()()()()()()()(),(211

21211

21'211221'1121't t C t t t t t R t t t t dt t d E t t t dt t d E t t C

ξξξξξξξξξξμμμμξξμξμξξξ??

-??

=-??????=??

????-???? ??-=

同理

),(),(212

21't t C t t t C

ξξξξ

因此，)(t η的相关函数可以表示为

()du

t u C t e b du t u C e b dv v t C t e b t t C t dv v t C e b t t C t dudv v u C e b t t C t t t t C t t C t u t u t v t v t t v u ??

?????++????????+??

++??++???+=??????----+-),(),(),()

,(),(),(),(),(),()

,(220

11021011011211

1010102121

00021212

122

212021112212ξξλξξλξξλξξξξλξξξξλξξξξ

ηηαααααααααα