2016届高三数学复习 第十章 第一节 排列与组合
第一节排列与组合
A组专项基础测试
三年模拟精选
一、选择题
1．(2015·山东滨州模拟)七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( )
A．240种B．192种C．120种D．96种
解析分三步：先排甲，有一种方法；再排乙、丙，排在甲的左边或右边各有4种方法；再排其余4人，有A44种方法，故共有2×4×A44＝192(种)．故选B.
答案 B
2．(2015·河南信阳模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有( )
A．36种B．30种C．24种D．6种
解析从4人中选出两个人作为一个元素有C24种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C24A33＝36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有36－6＝30，故选B.
答案 B
二、填空题
3．(2015·衡水模拟)20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．
解析先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C216＝120(种)方法．
答案120
4．(2014·陕西西安二模)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬
手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种(用数字作答)．
解析甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A44种方法．
乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A44种方法．
丙传第一棒，共有C12·A44种方法．
由分类加法计数原理得，共有A44＋A44＋C12·A44＝96种方法．
答案96
一年创新演练
5．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为( )
A．72 B．108 C．180 D．216
解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：
①从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分别分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法．
②从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法．
综合①②，共有C14C24A33＋C24A33＝180种参加方法．
答案 C
6．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有( )
A．24种B．18种C．48种D．36种
解析若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有C23C12 C12＝12种；若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则2名同学来自一个年级，另外2名分别来自两个年级，有C13C12C12＝12种．所以共有24种乘车方式，选A.
答案 A
B组专项提升测试
三年模拟精选
一、选择题
7．(2015·威海期末)从0，1，2，3，4，5六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位奇数，有多少种取法( )
A．72 B．84 C．144 D．180
解析若不选0，则有C23C12A33＝36，若选0，则有C12C23C12C12A22＝48，所以共有48＋36＝84种，所以选B.
答案 B
二、填空题
8．(2014·天津模拟)从－3，－2，－1，0，1，2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c的取值，则共能组成________个不同的二次函数．
解析a，b，c中不含0时，有A37个；由于a≠0，当b、c中含有0时，有2A27(个)．故共有A37＋2A27＝294(个)不同的二次函数．
答案294
9．(2014·潍坊检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________(用数字作答)．
解析第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A33种排法；第三步，将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A33＝24(种)．
答案24
三、解答题
10．(2014·苏州调研)已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测度，直至找到所有4件次品为止．
(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？
解(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，
第2次测到第一件次品有4种方法；
第8次测到最后一件次品有3种方法；
第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A25种方法；剩余4次抽到的是正品，共有A24A25A46＝86 400种抽法．
(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，
检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A16种；
检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A26＋A66种．
由分类计数原理，知满足条件的不同测试方法的种数为A44＋4A34A16＋4A35A26＋A66＝8 520.
一年创新演练
11．设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7，8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是( )
A．57 B．56 C．49 D．8
解析满足S?A的集合S的个数为26＝64，满足S?A且S∩B＝?的集合S的个数为23＝8，所以集合S的个数是64－8＝56.
答案 B
在概率的计算中的排列组合
预备知识 在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。 这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。 一. 两个原理 1. 乘法原理: 完成一项工作有m 个步骤，第一步有1n 种方法，第二步有2n 种方法，…， 第m 步有m n 种方法，且完成该项工作必须依次通过这m 个步骤， 则完成该项工作一共有 1n 2n …m n 种方法，这一原理称为乘法原理。 2. 加法原理: 完成一项工作有m 种方式，第一种方式有1n 种方法，第二种 方式有2n 种方法，…，第m 种方式有m n 种方法，且完成该项工作只需 选择这m 种方式中的一种，则完成这项工作一共有 1n +2n +…+m n 种方法，这一原理称为加法原理。 二. 排列: 从n 个元素里每次取出r 个元素，按一定顺序排成一列，称为 从n 个元素里每次取r 个元素的排列，这里n 和Z 。均为正整数(以 下同)。 当这n 个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我 们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。 对于无重复排列，要求当 时 r n 称为选排列，而当 r ＝n 时称为全排列。我们记排列数分别为 即将全排列看成选排列的特例。 利用乘法原理不难得到 由阶乘的定义
由阶乘的定义 将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素 都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可 以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl 成一列，称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列，排列数记 作，由乘法原理得 显然，此处r可以大于n 例3 将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几 种投法? 1)每个信箱至多只许投入一封信； 2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解1)显然是无重复排列问题，投法的种数为 2)是可重复排列问题，投法的种数为 三、组合 从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元 素里每次取出r个元素的组合。 设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作 将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为 ， 所有组合中的元素作全排列，共有 个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列，排列总数为 故有
高中数学-排列组合解法大全
排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得1 1 3434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5 2 2 522480A A A =种不同的排法 C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
高中数学搞定排列组合方法,各种问题大全
高考数学定排列组合方法 问题大全 排队问题大全 三男四女排队30问小结 [ 典例 ]：有3名男生和4名女生，若分别满足下列条件， 则各有多少种不同的排法： 1．全体排一排：50407 7=A 2、选5人排一排：==5 75557A A C 2520 ３．甲站在正中间：6!=720 ____________ ４．甲只能站在正中间或两头： ５．甲既不在排头也不在排尾： ６．甲、乙必须在两头： ______________ ７．甲、乙不站排头和排尾： ____________ ８．甲不在排头、乙不在排尾： ９．甲在乙的右边： ________________ １０．甲、乙必须相邻： _____________ １１．甲、乙不能相邻： １２．甲、乙、丙三人都相邻： １３．甲、乙、丙三人都不相邻： １４．７人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，有两人相邻，但这三人不同时相邻： １５．男女生各站在一起： １６．男生必排在一起： __( 或女生必排在一起：______________ ) １７．男女各不相邻(即男女相间、4女互不相邻)： １８．男生不排在一起： １９．任何两男生彼此不相邻： ２０．甲、乙两人之间须相隔１人： ２１．甲、乙两人中间恰有3人： ２２．甲、乙、丙3人自左至右顺序不变(即男生顺序一定,只排女生)： ２３．从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁的顺序不变(即只排男生)： ２４．甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻： ２５．甲、乙相邻且丙不站排头和排尾： ２６．排成前后两排，前3人后4人： ２７．前3后4人且甲、乙在前排，丙排后排： ２８．三名男生身高互不相同，且从左到右按从高到矮顺序排： ２９．若两端都不能排女生： 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13
集合---排列组合
职 高 数 学 单 元 测 试 集合---排列组合 (时间:100分钟,满分100分) 姓名________成绩__________ 一．填空：(每空2分,共38分) 1.从1,2,3,4,5中任选两数组成加法式子,共可组成______个不同的加法式子, 若组成无重复数字的二位数,则可组成_______个不同的二位数. 2.计算：0!+5!- C 62+P 62=____ 3.四人排成一列,甲只能站右边第一个位置,则有 种不同站法. 4.1,2,3,4,5中任取2数,可以组成______个两位偶数,如果数字可以重复, 则可组成________个两位偶数. 5.-8和-2的等比中项为________，等差中项为_______ 6.等比数列{a n }中S n =2n+1-2，则此数列的公比q=_________ 7.数列{a n }为等差数列，a n =2-3n 则S 10=__________ 8.集合A={0,1,2,3}的所有真子集有_______个. 9.已知a
高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)
高中数学选修2-3基础知识归纳（排列组合、概率问题） 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。
四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路： ①直接法： ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原
理得出结论。 注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； 例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公 益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48． 例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少
高中数学排列组合专题
排列组合 一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种 B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（） A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种B．240种C．144种D．96种 二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的
插法共有种． 三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项． 13．求值C n5﹣n+C n+19﹣n． 14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行； （2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； （3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； （5）全体站成一排，男、女各站在一起； （6）全体站成一排，男生必须排在一起； （7）全体站成一排，男生不能排在一起； （8）全体站成一排，男、女生各不相邻； （9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； （10）全体站成一排，甲必须在乙的右边； （11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； （12）排成前后两排，前排3人，后排4人． 15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）．
排列组合公式(全)教程文件
排列组合公式(全)
排列组合公式 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！
排列与组合的综合应用.
高三数学(理一轮复习—— 10.3排列与组合的综合应用 教学目标:1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解 法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想. 2. 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。 教学重点:排列组合综合题的解法。教学过程: 一.主要知识: 解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系, 还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 1.特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 2.科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行 3.分配、分组(堆问题的解法: 4. 插空法 :解决一些不相邻问题时, 可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决。 5.捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个” 6.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 . 7.剪截法(隔板法 :n 个相同小球放入m(m≤ n 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球
的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m 段 (插入 m -1块隔板 , 有 11 --m n C 种方法 . 8. 错位法:编号为 1至 n 的 n 个小球放入编号为 1到 n的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当 n=2,3,4,5时的错位数各为 1,2,9,44.2个、 3个、 4个元素的错位排列容易计算。关于 5个元素的错位排 列的计算,可以用剔除法转化为 2个、 3个、 4个元素的错位排列的问题: ① 5个元素的全排列为:5 5120A =; ②剔除恰好有 5对球盒同号 1种、恰好有 3对球盒同号 (2个错位的 351C ?种、恰好有 2对球盒同号 (3个错位的 252C ?种、恰好有 1对球盒同号 (4个错位的 1 59C ?种。 ∴ 120-1-351C ?-252C ?-1 59C ?=44. 用此法可以逐步计算:6个、 7个、 8个、……元素的错位排列问题。 二.典例分析 【题型一】“分配” 、“分组”问题 例 1.将 6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲 3 本,学生乙 2本,学生丙 1本;
高中数学排列组合概率练习题
高中数学排列组合概率练习题 1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （A ） 37 （B ） 47 （C ） 114 （D ） 1314 答案：D 解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是3 9C ．所以3 9 613114 C - = ． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种 答案：B 解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法． 3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 （A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个 答案：A 解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302 32 5=?C C 个，于是最多有30个交点． 推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有2 2 m n C C ?个 变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点． 答案：4 12C 4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A ） 15 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 45 111213212223313233a a a a a a a a a ?? ? ? ???
高三数学排列组合20种解题方法汇总含例题及解析
排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同 的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排 列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列 数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A
公务员考试排列组合与概率问题重难点讲解
2013国家公务员考试行测暑期向前冲数学运算：排列组合与 概率问题重难点讲解 排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。 在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。 一、基础原理 二、基本解题策略 面对排列组合问题常用以下三种策略解题： 1.合理分类策略 ①类与类之间必须互斥（互不相容）；②分类涵盖所有情况。 2.准确分步策略 ①步与步之间互相独立（不相互影响）；②步与步之间保持连续性。 3.先组后排策略 当排列问题和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。 【例题1】班上从7名男生和5名女生中选出3男2女去参加五个竞赛，每个竞赛参加一人。问有多少种选法？
A．120 B．600 C．1440 D．42000 中公解析：此题答案为D。此题既涉及排列问题（参加五个不同的竞赛），又涉及组合问题（从12名学生中选出5名），应该先组后排。 三、概率问题 概率是一个介于0到1之间的数，是对随机事件发生可能性的测度。概率问题经常与排列组合结合考查。因此解决概率问题要先明确概率的定义，然后运用排列组合知识求解。 1.传统概率问题 2.条件概率 在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即A在B条件下的概率。
P（AB）为AB同时发生的概率，P（B）为事件B单独发生的概率。 【例题3】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？ 四、排列组合问题特殊解法 排列组合问题用到的方法比较特殊，缘于这些方法都是在对问题进行变形，把不容易理解的问题转化为简单的排列组合问题。 1.捆绑法 排列时如要求几个元素相邻，则将它们捆绑起来视为一个整体参与排列，然后再考虑它们内部的排列情况。 【例题4】某展览馆计划4月上旬接待5个单位来参观，其中2个单位人较多，分别连续参观3天和2天，其他单位只参观1天，且每天最多只接待1个单位。问：参观的时间安排共（）种。 A.30 B.120 C.2520 D.30240
(完整版)人教版高中数学《排列组合》教案
排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一
排列组合二项式定理与概率统计
排列组合二项式定理与概率统计
例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 184 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ） 511 （B ）681 （C ）3061 （D ）408 1 例11、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4 5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A.16 625 B. 96625 C. 192625 D. 256625
高中数学排列组合典型例题精讲
概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．． 序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导 探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .
理科数学2010-2019高考真题分类训练排列与组合
专题十 计数原理 第三十讲 排列与组合 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥 德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115 D ．118 2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人 完成，则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 3．（2017山东）从分别标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取 1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518 B ．49 C ．59 D ．79 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 5．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60 D ．72 6．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的 偶数共有 A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A ． 18 B ．38 C ．58 D ．78 8．（2014广东）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中
排列 组合 定义 公式 原理
排列组合公式 久了不用竟然忘了 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！ 这就是我们用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。 例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
组合的综合应用
组合的综合应用 探究点1 有限制条件的组合问题 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选． (2)至多有两名女生当选． (3)既要有队长，又要有女生当选． 【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种． (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种． (3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有C412种； 第二类：女队长不当选， 有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种． 故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种． [变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解：分两类情况： 第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法． 所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种． 有限制条件的组合问题分类 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( ) A．60种B．63种
排列组合概率专题讲解
专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1． 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2． 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有 多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。 4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特 别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 5． 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求 对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。 6． 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌 握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1． 知识体系： 2．知识重点： （1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。 （2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式 的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。 （3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的 推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。 （4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独 立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 （5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。 （6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。
浙江省安吉县高三数学《排列与组合》学案
姓名 学习目标：①理解排列、组合的概念． ②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．③能解决简单的实际问题． 基础梳理： 1、 排列 （1） 定义：从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个元素， 排成一列，叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 （2） 排列数定义：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 表示。 （3） 排列数公式：n m N m n ≤∈,,*，m n A = = （4） 全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列， n n A = = ，规定0！= 。 2、 组合 （1） 定义：从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素 的一个组合。 （2） 组合数：从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中任 取m （n m ≤）个元素的组合数，用符号 表示。 （3） 组合数公式：m n C = = = ， n m N m n ≤∈,,*。由于0！= ，所以0 n C = 。 3、 组合数的公式 （1）m n C = ；（2）m n C 1+= + 。 典例精析 题型一 排列数与组合数的计算 【例1】 计算：(1)8！＋A 66A 28－A 410 ；(2) C 33＋C 34＋…＋C 310. 【变式训练1】解不等式x 9A ＞629A -x . 题型二 有限制条件的排列问题 【例2】 3男3女共6个同学排成一行. (1)女生都排在一起，有多少种排法？ (2)女生与男生相间，有多少种排法？ (3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？ (4)3名男生不排在一起，有多少种排法？ (5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？ 【变式训练2】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到 大的顺序排列构成一个数列. (1)43 251是这个数列的第几项？ (2)这个数列的第97项是多少？ 题型三 有限制条件的组合问题 【例3】 要从12人中选出5人去参加一项活动. (1)A ，B ，C 三人必须入选有多少种不同选法？ (2)A ，B ，C 三人都不能入选有多少种不同选法？
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