数学必修(二)知识梳理与解题方法分析
第一章《空间几何体》
一、本章总知识结构
二、各节内容分析
1.1空间几何体的结构
1.本节知识结构
1.2空间几何体三视图和直观图
1、本节知识结构
1.3 空间几何体的表面积与体积
1、本节知识结构
。
三、高考考点解析
本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容:
1.多面体的体积(表面积)问题;
2.点到平面的距离(多面体的一个顶点到多面体一个面的距离)问题—“等体积代换法”。
(一)多面体的体积(表面积)问题
1.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60ο,对角线AC与BD 相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为
60ο.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
【解】(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,
于是,PO=BOtan60°=3,
而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=
3
1×23×3=2. 2.如图,长方体ABCD-1111D C B A 中,E 、P 分别是BC 、11A D 的中点,M 、N 分别是AE 、
1CD 的中点,1AD=AA ,a =AB=2,a
(Ⅲ)求三棱锥P -DEN 的体积。 【解】 (Ⅲ)1111
24
NEP ECD P S S BC CD ?=
=?矩形 222
15444
a a a a =
??+= 作1DQ CD ⊥,交1CD 于Q ,由11A D ⊥面11CDD C 得11AC DQ ⊥ ∴DQ ⊥面11BCD A ∴在1Rt CDD ?中,1122
55
CD DD a a DQ a CD a ??=
==
∴13P DEN D ENP NEP V V S DQ --?==
?2152345
a a =?316a =。 (二)点到平面的距离问题—“等体积代换法”。
1 如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,
2, 2.CA CB CD BD AB AD ======
(III )求点E 到平面ACD 的距离。
【解】 (III ) 设点E 到平面ACD 的距离为.h
E ACD A CDE V V --=Q ,
∴ 11
.33
ACD CDE h S AO S ??=g g g
在
ACD
?中,
2,2,CA CD AD ===
2212722().222
ACD S ?∴=??-=
而2133
1,2,242
CDE AO S ?==
??= C
A
D
B
O
E
3
1.21
2.77
2CDE
ACD
AO S h S ???
∴=
=
=
∴点E 到平面ACD 的距离为
21.7
2.如图,已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长为1,M 是底面BC 边上的中点,N 是侧棱1CC 上的点,且12CN C N =。
(Ⅱ)求点1B 到平面AMN 的距离。 【解】(Ⅱ)过1B 在面11BCC B 内作直线
1B H MN ⊥,H 为垂足。又AM ⊥平面11BCC B ,所以AM ⊥1B H 。于是1B H ⊥平面AMN ,
故1B H 即为1B 到平面AMN 的距离。在11R B HM ?中,1B H =
1B M 151
sin 115
B MH =
?-=。故点1B 到平面AMN 的距离为1。
3 如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC 、、两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E 是OC 的中点。 (1)求O 点到面ABC 的距离;
【解】(1)取BC 的中点D ,连AD 、OD 。 OB OC =Q ,则OD BC AD BC ⊥⊥、, ∴BC ⊥面OAD 。过O 点作OH ⊥AD 于H , 则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离。
22BC =,222OD OC CD =-=。
OA OB OA OC
⊥⊥
Q,,∴OA⊥面OBC,则OA OD
⊥。
223
AD OA OD
=+=,在直角三角形OAD中,有
26
3
3
OA OD
OH
AD
?
===。
(另解:由
112
363
O ABC ABC
V S OH OA OB OC
-??
=?=??=知:
6
OH=)
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》一、本章的知识结构
二、各节内容分析
2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系
1、本节知识结构
2.内容归纳总结
(1)四个公理
公理
1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 三个推论:① ② ③
它给出了确定一个平面的依据。
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。
符号语言:,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈I 且。
公理4:(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言://,////a l b l a b ?且。
(2)空间中直线与直线之间的位置关系
1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b '',我们把a '与b '所成的角(或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。(易知:夹角范围090θ<≤?) 定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。(注意:会画两个角互补的图形)
2.位置关系:????
???
?相交直线:_______________________________;
共面直线平行直线:_______________________________;异面直线:_________________________________________.
(3)空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系有三种: 1.23//l l A l ααα
???
=??????
I 直线在平面内:.直线与平面相交:直线在平面外.直线与平面平行:
(4)空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系有两种: 1.//2.l
αβαβ??=?I 两个平面平行:两个平面相交:
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
1、本节知识结构
(1)四个定理
定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法
直线与平面
平行的判定
平面外的一条直
线与平面内的一条直
线平行,则该直线与
此平面平行。
,,//
//
a b a b
a
αα
α
??
?
且
在已知平面内“找出”
一条直线与已知直线平行
就可以判定直线与平面平
行。即将“空间问题”转化
为“平面问题”
平面与平面
平行的判定
一个平面内的两
条相交直线与另一个
平面平行,则这两个
平面平行。
,,
,//,//
//
a b
a b P a b
ββ
αα
βα
??
=
?
I
判定的关键:在一个已
知平面内“找出”两条相交
直线与另一平面平行。即将
“面面平行问题”转化为
“线面平行问题”
直线与平面
平行的性质
一条直线与一个
平面平行,则过这条
直线的任一平面与此
平面的交线与该直线
平行。
//,,
//
a a b
a b
αβαβ
?=
?
I
平面与平面
平行的性质
如果两个平行平
面同时和第三个平面
相交,那么它们的交
线平行。
//,,
//
a
b a b
αβαγ
βγ
=
=?
I
I
(2)定理之间的关系及其转化
两平面平行问题常转化为直线与直线平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是:将“高维问题”转化为“低维问题”,将“空间问题”转化为“平面问题”。
2.3 直线、平面平垂直的判定及其性质
1、本节知识结构
(一)基本概念
1.直线与平面垂直:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α垂直,记作lα
⊥。直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。直线与平面的公共点P叫做垂足。
2. 直线与平面所成的角:
角的取值范围:090
θ
<。
3.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的记法:
二面角的取值范围:0180
θ
<
两个平面垂直:直二面角。
(二)四个定理
平面与平面 垂直的性质
两个平面垂直,
则一个平面内垂直与交线的直线与另一个
平面垂直。
,,,l a a l a αβαββα
⊥=?⊥?⊥I
解决问题时,常添加的
辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线
(三)定理之间的关系及其转化:
两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直,而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂
直,所以在解题时应注意从“高维”到“低维” 的转化,即“空间问题”到“平面问题”的转化。
三、高考考点解析
第一部分、三类角(异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角)的求解问题
(一)异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线 1.异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。
异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量,掌握好概念是解题的关键,其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”,然后证明这个角就是所求的角,再利用三角形解出所求的角(简言之:①“转化角”、②“证明”、③“求角”)。以上三个步骤“转化角”是求解的关键,因为转化的过程往往就是求解的过程——其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题(角问题)”。
1. 如图所示,AF 、DE 分别是O e 、1O e 的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,
8AD =.BC 是O e 的直径, 6AB AC ==,//OE AD 。
(II )求直线BD 与EF 所成的角。
【解】(II )第一步:将“问题”转化为求“平面角”问题
根据定义和题设,我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线,此题我们只能从点D 作符合条件的直线。
连结DO ,则∠ODB 即为所求的角。 第二步:证明∠ODB 就是所求的角
在平面ADEF 中,DE//AF ,且DE=AF ,所以四边形ODEF 为平行四边形 所以DO//EF
所以根据定义,∠ODB 就是所求的角。 第三步:求角
由题设可知:底面ABCD 为正方形
∵ DA ⊥平面ABCD BC ?平面ABCD ∴ DA ⊥BC 又 ∵AF ⊥BC ∴ BC ⊥平面ADO
∴ DO ⊥BC ∴ △DOB 为直角三角形 ∴ 在Rt △ODB ,10BD = 82DO =
∴ 82cos 10ODB ∠=
(或用反三角函数表示为:82arccos 10
) 2.在四棱锥P -ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠DAB =60ο,对角线AC 与BD
相交于点O ,PO ⊥平面ABCD ,PB 与平面ABCD 所成的角为60ο.
(2)若E 是PB 的中点,求异面直线DE 与PA 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). 【解】(2)取AB 的中点F ,连接EF 、DF. 由E 是PB 的中点,得EF ∥PA,
∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成角(或它的补角)。 在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP,
于是,在等腰Rt △POA 中,PA=6,则EF=
2
6
. 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3. cos ∠FED=3
4621=DE EF
=42
∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos
4
2
. 3. 如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,
2, 2.CA CB CD BD AB AD ======
(II )求异面直线AB 与CD 所成角的大小; 【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 方法一:(II ) 取AC 的中点M ,连结OM 、ME 、
OE ,由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角
C
A
D
B
O
E
在OME ?中,121,1,2
2
2
EM AB OE DC =
=== OM Q 是直角AOC ?斜边AC 上的中线,1
1,2
OM AC ∴=
= 2cos ,4OEM ∴∠= ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为2
arccos
.4
4. 如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC 、、两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E 是OC 的中点。
(2)求异面直线BE 与AC 所成的角;
【解】(2)取OA 的中点M ,连EM 、BM ,则EM ∥AC ,∠BEM 是异面直线BE 与AC 所成的角。 求得:2215522EM AC BE OB OE =
==+=,,22172
BM OM OB =+=。 2222cos 25BE ME BM BEM BE ME +-∠==?, ∴2
arccos 5
BEM ∠=。
2. 异面直线的公垂线问题
异面直线的公垂线问题也是高考的考点之一。
与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
1.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,,AB BC D =、E 分别为1BB 、1AC 的中点。 (I )证明:ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线;
【解】 (Ⅰ)设O 为AC 中点,连接EO ,BO ,则EO ∥=12C 1C ,
又C 1C ∥=B 1B ,所以EO ∥=DB ,EOBD 为平行四边形,ED ∥O B . ∵AB =BC ,∴BO ⊥AC ,
又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1, BO ?面ABC , 故BO ⊥平面
B
A
C
C 1
B 1
A 1
D E D
A 1
B 1
C 1
A
B
C
A 1
V
B 1
C 1
ACC 1A 1,
∴ED ⊥平面ACC 1A 1, ED ⊥AC 1, ED ⊥CC 1, ∴ED ⊥BB 1,ED 为异面直线AC 1与BB 1的公垂线.
2如图,已知平面111A B C 平行于三棱锥V ABC -的底面ABC ,等边△1AB C 所在的平面与底面ABC 垂直,且∠ACB=90°,设2,AC a BC a == (Ⅰ)求证直线11B C 是异面直线1AB 与11A C 的公垂线; 【解】解法1:(Ⅰ)证明: ∵平面
111A B C ∥平面ABC ,
1111//,//B C BC AC AC ∴
BC AC ⊥Q 1111B C A C ∴⊥
又∵平面1AB C ⊥平面ABC ,平面1AB C ∩平面ABC AC =, ∴BC ⊥平面1AB C , 1BC AB ∴⊥ 111B C AB ∴⊥,
又11111A C B C C ?=Q ,1111B C AB B ?=. 11B C ∴为1AB 与11A C 的公垂线.
(二) 直线与平面所成夹角
1.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面为直角梯形,//AD BC ,
90BAD ∠=o ,PA ⊥ 底面ABCD ,且2PA AD AB BC ===,
M N 、分别为PC 、PB 的中点。
(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角。
【解】 (II )取AD 的中点G ,连结BG 、NG , 则//BG CD ,
所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所
成的角相等.
因为PB ⊥平面ADMN ,
所以BGN ∠是BG 与平面ADMN 所成的角. 在Rt BNG ?中,10
sin 5
BN BGN BG ∠==。 故CD 与平面ADMN 所成的角是10
arcsin
。 2. 在正三角形ABC 中,E 、F 、P 分别是AB 、
A
F
E
A 1
E
F
AC 、BC 边上的点,满足AE:EB =CF:FA =CP:PB =1:2(如图1)。将△AEF 沿EF 折起到EF A 1?的位置,使二面角A 1-EF -B 成直二面角,连结A 1B 、A 1P (如图2)
(Ⅱ)求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小; 【解】不妨设正三角形的边长为3,则
(II )在图2中,∵A 1E 不垂直于A 1B ,∴A 1E 是面A 1BP 的斜线,又A 1E ⊥面BEP , ∴A 1E ⊥BP ,∴BP 垂直于A 1E 在面A 1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理) 设A 1E 在面A 1BP 内的射影为A 1Q ,且A 1Q 交BP 于Q , 则∠EA 1Q 就是A 1E 与面A 1BP 所成的角,且BP ⊥A 1Q 。
在△EBP 中,∵BE=BP=2,∠EBP=60o ,∴△EBP 为正三角形,∴BE=EP 。 又A 1E ⊥面BEP ,∴A 1B=A 1P ,∴Q 为BP 的中点,且EQ=3,而A 1E=1, ∴在Rt △A 1EQ 中,3tan 11==
∠E
A EQ
EQ A ,即直线A 1E 与面A 1BP 所成角为60o 。 (三) 二面角与二面角的平面角问题
1. 如图所示,AF 、DE 分别是O e 、1O e 的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,
8AD =.BC 是O e 的直径, 6AB AC ==,//OE AD 。
(I )求二面角B AD F --的大小;
【解】(I )∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD ⊥AB ,AD ⊥AF ,
故∠BAF 是二面角B —AD —F 的平面角, 依题意可知,ABFC 是正方形,所以∠BAF =450. 即二面角B —AD —F 的大小为450;
2.如图,P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点,1PA =,P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。
(Ⅱ)求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。 【解】连结AD ,则易知AD 与BF 的交点为O 。
(II )设M 为PB 的中点,连结AM ,MD 。
,,ABP PA AB PB AM ?=∴⊥Q 在中
Q 斜线PB 在平面ABC 内的射影为OB ,BF AD ⊥。
.PB AD ∴⊥由三垂线定理得
又,AM AD A ?=Q .PB AMD ∴⊥平面
,MD AMD ?Q 平面 .PR MD ∴⊥
因此,AMD ∠为所求二面角的平面角。
在正六边形ABCDEF 中,23, 2.BD BF OB AD ==== 在Rt 11,,2
AOP PA OA ?==
中, 223.PO PA OA ∴=
-=
在Rt 2262BOP PB PO OB ?=
+=
中,,则16
,24
BM PB ==
2210,4AM AB BM =
-=
2242
.4
MD BD BM =-= 在AMD ?中,由余弦定理得222105
cos 235
MA MD AD AMD MA MD +-∠==-??
因此,所求二面角的大小为105arccos().-
3. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中,AB AC ⊥,PA ⊥平面ABCD ,且PA AB =,点E 是PD 的中点. (Ⅲ)求二面角E AC B --的大小. 【解】(Ⅲ)如图,取AD 的中点F ,连EF ,FO ,则EF 是△PAD 的中位线, ∴EF //PA 又PA ⊥平面ABCD , ∴EF ⊥平面ABCD
同理FO 是△ADC 的中位线,∴FO //AB ∴FO ⊥AC 由三垂线定理可知∴∠EOF 是二面角E -AC -D 的平面角. 又FO =12
AB =
1
2
PA =EF 。 ∴∠EOF =45?而二面角E AC B --与二面角E -AC -D 互补,
故所求二面角E AC B --的大小为135?.
4. 如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形,//,AB DC
,AC BD AC ⊥与BD 相交于点O ,且顶点P 在底面上的
射影恰为O 点,又2,BO =2,PO PB PD =
⊥.
(Ⅱ)求二面角P AB C --的大小;
【解】 PO ⊥Q 平面ABCD , PO BD ∴⊥
又,2,2PB PD BO PO ⊥==,
由平面几何知识得:1,3,6OD PD PB ==
=
(Ⅱ)连结OE ,由(Ⅰ)及三垂线定理知,PEO ∠为二面角P AB C --的平面角
2sin 2
PO PEO PE ∴∠=
=, 0
45PEO ∴∠= ∴二面角P AB C --的大小为045
5. 如图,α⊥β,α∩β=l , A ∈α, B ∈β,点A 在直线l 上的射影为A 1, 点B 在l 的射影为B 1,已知AB=2,AA 1=1, BB 1=2, 求:
(II )二面角A 1-AB -B 1的大小。
【解】 (Ⅱ)∵BB 1⊥α, ∴平面ABB 1⊥α。
在平面α内过A 1作A 1E ⊥AB 1交AB 1于E ,则A 1E ⊥平面AB 1B 。过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ,连接A 1F ,则由三垂线定理得A 1F ⊥AB ,
∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.
在Rt △ABB 1中,∠BAB 1=45°, ∴AB 1=B 1B= 2. ∴Rt △AA 1B 中,
A 1B=A
B 2-AA 12 =4-1 = 3。 由AA 1·A 1B=A 1F ·AB 得 A 1F=
AA 1·A 1B AB = 1×32 = 3
2
, ∴在Rt △A 1EF 中,sin ∠A 1FE =
A 1E A 1F = 6
3
, ∴二面角A 1-AB -B 1的大小为arcsin
6
3
. 第二部分 《空间直线、平面的平行问题》 将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想” (一)“线线平行”与“线面平行”的转化问题
1 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中,AB AC ⊥,PA ⊥平面
ABCD ,且PA AB =,点E 是PD 的中点. (Ⅱ)求证://PB 平面AEC ;
【解】 证明本题的关键:在平面EAC 中“找”一条与PB 平行的直线,由于点E 在平面PBD 中,所以可以在平面PBD 中过点E “找”(显然,要“找”的直线就是平面PBD 与平面EAC 的交线)。最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题。
(Ⅱ)连接BD ,与AC 相交与O ,连接EO ,
Q ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点
又E 是PD 的中点, ∴EO//PB. 又PB ?平面AEC ,EO ?平面AEC , ∴PB //平面AEC 。
2.如图,在五面体ABCDEF 中,点O 是矩形ABCD 的对角线的交点,面CDE 是等边三角形,棱//
1
2
EF BC =. (1)证明FO //平面CDE ;
(2)设3BC CD =,证明EO ⊥平面CDF .
【解】分析通上题。
(Ⅰ)证明:取CD 中点M ,连结OM. 在矩形ABCD 中。 1
//
2
OM BC ,又1
//2
EF BC ,
则//OM EF ,连结EM ,于是四边形EFOM 为平行四边形. //FO EM ∴ 又FO ?Q 平面CDE ,且EM ?平面CDE ,∵FO ∥平面CDE
(二) “线面平行”与“面面平行”的转化问题
2.如图,长方体ABCD-1111D C B A 中,E 、P 分别是BC 、11A D 的中点,M 、N 分别是AE 、
1CD 的中点,1AD=AA ,a =AB=2,a
(Ⅰ)求证:11//MN ADD A 平面;
【证明】本题如果利用“线线平行”找“线”比较复杂(不是不可以),所以我们可以考虑利用“面面平行”来将问题转化。关键是:考虑到点M 、N 都是中点,于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点K
(OC 的中点),将“线面平行”问题转化为“面面平行”问题。
(Ⅰ)取CD 的中点K ,连结,MK NK ∵,,M N K 分别为1,,AK CD CD 的中点 ∵1//,//MK AD NK DD
∴//MK 面11ADD A ,//NK 面11
ADD A
∴面//MNK 面11ADD A ∴//MN 面11ADD A
第三部分 《 空间直线、平面的垂直问题》 将“空间问题”转化为“平面问题”转化思想。 (一)“线线垂直”到“线面垂直”
1.如图,1111ABCD A B C D -是正四棱柱。 (I )求证:BD ⊥平面11ACC A ;
【解】 根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条
相交的直线AC 、A 1A 与BD 垂直。
(Ⅰ)∵ 1111ABCD A B C D -是正四棱柱, ∴ CC 1⊥平面ABCD , ∴ BD ⊥CC 1, ∵ ABCD 是正方形, ∴ BD ⊥AC
又 ∵AC ,CC 1?平面11ACC A ,且AC ∩CC 1=C , ∴ BD ⊥平面11ACC A 。
2. 如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,
2, 2.CA CB CD BD AB AD ======
(I )求证:AO ⊥平面BCD ; 【解】(I )证明:连结OC
,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥Q ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥Q
在AOC ?中,由已知可得1, 3.AO CO == 而2,AC = 2
2
2
,AO CO AC ∴+=
90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O =Q I AO ∴⊥平面BCD
3. 如图4, 已知两个正四棱锥ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2, 4=AB 。 (I )证明: ABCD PQ 平面⊥;
【解】(Ⅰ)取AD 的中点M ,连接PM 、QM 。
因为P -ABCD 与Q -ABCD 都是正四棱锥,所以
C
A
D
B
O
E
D
C
B
A
P
AD ⊥PM ,AD ⊥QM 。 从而AD ⊥平面PQM 。
又PQ ?平面PQM ,所以PQ ⊥AD 。 同理PQ ⊥AB ,所以PQ ⊥平面ABCD 。
9. 在正三角形ABC 中,E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点,满足AE:EB =CF:FA =CP:PB =1:2(如图1)。将△AEF 沿EF 折起到EF A 1?的位置,使二面角A 1-EF -B 成直二面角,连结A 1B 、A 1P (如图2)
(Ⅰ)求证:A 1E ⊥平面BEP ; 【解】
不妨设正三角形的边长为3,则
(I )在图1中,取BE 的中点D ,连结DF ,
∵AE ∶EB=CF ∶FA=1∶2,∴AF=AD=2,而∠A=60o ,∴△ADF 为正三角形。 又AE=DE=1,∴EF ⊥AD 。
在图2中,A 1E ⊥EF ,BE ⊥EF ,∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF -B 的一个平面角, 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A 1E ⊥BE 。 又BE I EF=E ,∴A 1E ⊥面BEF ,即A 1E ⊥面BEP 。
(二) “线面垂直” 到“线线垂直”
1.如图,P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点,1PA =,P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。 (Ⅰ)证明PA ⊥BF ;
(Ⅱ)求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。 【解】连结AD ,则易知AD 与BF 的交点为O 。 (I )证法1:
,AB AF O BF =Q 为的中点,
.AO BF ∴⊥
又,PO ABC ⊥Q 平面
.PA BF ∴⊥由三垂线定理得
A F
E
C
B
A 1
E
F
C
P B
图1
图2
证法2:
,,,BF PO BF AO PO AO O ⊥⊥?=Q ,BF AOP ∴⊥平面 ,.PA AOP PA BF ? ∴⊥Q 平面
2.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面为直角梯形,//AD BC ,
90BAD ∠=o ,PA ⊥ 底面ABCD ,且2PA AD AB BC ===,
M N 、分别为PC 、PB 的中点。 (Ⅰ)求证:PB DM ⊥; 【解】 (I )因为N 是PB 的中点,PA AB =,所以AN PB ⊥. 因为AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥,
从而PB ⊥平面ADMN .因为DM ?平面ADMN ,
所以PB DM ⊥.
3.如图,在三棱锥A -BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且AD =3,BD =CD =1,另一个侧面是正三角形 (1)求证:AD ⊥BC ;
【解】 (1)方法一:作AH ⊥面BCD 于H ,连DH 。 AB ⊥BD ?HB ⊥BD ,又AD =3,BD =1 ∴AB =2=BC =AC ∴BD ⊥DC
又BD =CD ,则BHCD 是正方形,则DH ⊥ BC ∴AD ⊥BC
方法二:取BC 的中点O ,连AO 、DO
则有AO ⊥BC ,DO ⊥BC , ∴BC ⊥面AOD ∴BC ⊥AD
4. 如图,1l 、2l 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段。点A 、B 在1l 上,C 在2l 上,AM=MB=MN 。 (Ⅰ)证明AC ⊥NB 【解】 (Ⅰ)
221121,,,l MN l l MN l M l ABN MN l AM MB MN AN NB AN NB
⊥⊥?=⊥⊥==⊥由已知可得平面由已知,=,可知且 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影
AC NB ∴⊥
B
D
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 1、 多面体(棱柱、棱锥)的结构特征 (1)棱柱: ①定义:有两个面互相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行,由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱; 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面
棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形;Ⅱ、两底面是全等多边形; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形; Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 (2)棱锥: ①定义:有一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形,由这些面 围成的几何体叫做棱锥; 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥; ②性质: Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似, 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比;
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比; Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三 角形;通过四个直角三角形POH Rt ?,POB Rt ?, PBH Rt ?,BOH Rt ?实现边,高,斜高间的换算 2、 旋转体(圆柱、圆锥、球)的结构特征 A B C D O H P
(2)性质: ①任意截面是圆面(经过球心的平面,截得 的圆叫大圆,不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆) ②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且 2d 2 =,其中R为球半径,r为截 r- R 面半径,d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
立体几何知识点汇总(全) 1.平面 平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 (1).证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点在线上,线在面内,推出点在面内),这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 (2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。 (3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面,然后再证明其余的也在这个平面内,或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. (1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线:共面有且仅有一个公共点;平行直线:共面没有公共点;异面直线:不同在任一平面内,无公共点 [注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(也可能两条直线平行,也可能是点和直线等) ②直线在平面外,指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面,a平行于平面α,b与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线,也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一.点.向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦b a,是夹在两平行平面间的线段,若 a,的位置关系为相交或平行或异面. a=,则b b ⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平 面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是
异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) (2). 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 (直线与直线所成角]90,0[??∈θ)(向量与向量所成角])180,0[οο∈θ 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. (3). 两异面直线的距离:公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. [注]:21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. (1L 或2L 在这个做出的平面内不能 叫1L 与2L 平行的平面) 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. (1). 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. (2). 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行?线面平行”) [注]:①直线a 与平面α内一条直线平行,则a ∥α. (×)(平面外一条直线) ②直线a 与平面α内一条直线相交,则a 与平面α相交. (×)(平面外一条直线) ③若直线a 与平面α平行,则α内必存在无数条直线与a 平行. (√)(不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×)(可能在此平面内) ⑤平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面) ⑥直线l 与平面α、β所成角相等,则α∥β.(×)(α、β可能相交) (3). 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行?线线
2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦,知识点众多而且杂,对于高一的同学们很不友好,建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学,这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结,希望能帮助到大家! 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴
的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 (7)函数总是通过(0,1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地,对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q 是偶数,函数的定义域是[0,+)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x0,函数的定义域是(-,0)(0,+).因此可以看到x所受到的限制****于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x0和x0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。
立体几何知识点整理(文科) 一. 直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 l 符号表示: 2. 线面相交 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二:用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 方法四:用向量方法: 若向量l和向量m共线且l、 m不重合,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三:用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量,l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l l
方法二:用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三:用向量方法: 若向量l 和向量m 的数量积为0,则m l ⊥。 三. 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(?? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。
必修2 第一章 空间几何体知识点总结 一.空间几何体的三视图 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;反映了物体的高度和长度 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图;反映了物体的高度和宽度 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等” 二.空间几何体的直观图 斜二测画法的基本步骤:①建立适当直角坐标系xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系'''x O y ∠,使'''x O y ∠=450 (或1350 ) ③画对应图形 在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘ 轴,且长度保持不变; 在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘ 轴,且长度变为原来的一半; 直观图与原图形的面积关系:4 2S ?=原图形直观图S 三.空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积;l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积:l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积:l R l r S ??+??=ππ侧面 h S V ?=柱体h S V ?= 3 1锥体() 1 3 V h S S S S =+?+下下 台体上上 球的表面积和体积 32 3 44R V R S ππ= =球球,. 正三棱锥是底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。 第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 一. 平面基本性质即三条公理 公理1 公理2 公理3 图形语言 文字 语言 如果一条直线上的两点在 一个平面内,那么这条直线 在此平面内. 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号 语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈????∈∈? ,,,,A B C A B C α ?不共线确定平面 ,l P P P l αβαβ=?∈∈??∈? 作用 判断线在面内 确定一个平面 证明多点共线 公理2的三条推论: 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 二.直线与直线的位置关系 共面直线: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。(既不平行,也不相交) 三.直线与平面的位置关系有三种情况: 在平面内——有无数个公共点 . 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a ∩α= A 平行——没有公共点 符号 a ∥α 说明:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 1.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号: ////a b a a b ααα ?? ?????? 2.直线和平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行,则线线平行. 符号: a a a b b α βαβ??=? ???? 3.直线与平面垂直 ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
立体几何空间向量知识点总结 知识网络: 知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广. 2、当a 、b 为非零向量时.0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别),再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ?=?⊥.
(3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.(4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? , 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???, 故实质上应有:cos cos,a b θ=<> . (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=| cosφ|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离. 备考建议:
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集, 它有2 2n -非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ (1)A A A = (2)A?=? (3)A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ (1)A A A = (2)A A ?= (3)A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体,化成||x a<, ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = (其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =
高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形
1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1 个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|22 M N M N f x +-- ()0()f x N M f x ->- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学立体几何知识 点归纳总结 公司内部编号:(GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-
高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正 棱柱)的关系: ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱
底面为平行四边形 侧棱垂直于底面 底面为矩形 底面为正方形 棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和;【如图】 222211AC AB AD AA =++ ②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是 αβγ,,,那么222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=; ③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则222cos cos cos 2αβγ++=,222sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.
高考立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四 边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成 的几何体叫 做棱柱。 1.2 棱柱的分类 棱柱 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧(c 是底周长,h 是 高) S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的底面是四边形 底面是平行四边形 侧棱垂直于底面 底面是矩形 底面是正方形 棱长都相等 图1-1 棱柱
收集整理:宋氏资料 2016-1-1 2016高考立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类 棱柱 四棱柱平行六面体 直平行 六面体长方体 正四棱柱正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h? 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 图1-1 棱柱
所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积:1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 对棱间的距离为 a 2 (正方体的边长) 正四面体的高 a 6(正方体体对角线l 3 2 =) 正四面体的体积为 32a (正方体小三棱锥正方体V V V 3 1 4=-) 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线:l l 2 1 61= ) 3 、棱台的结构特征 3.1 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 3.2 正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面也是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点。 4 、圆柱的结构特征 A B C D P O H
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的
平方和;【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ,,,那么 222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=; ③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=,2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式: 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底,V (其中c 为底面周长,h 为棱柱的高) 2.圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 2.3侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式: S 圆柱侧=2rh π;S 圆柱全=2 22rh r ππ+,V 圆柱=S 底h=2 r h π(其中r 为底面半径,h 为圆柱高) 3.棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形,其余各 面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质: ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。)(如上图:,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形) 3.3侧面展开图:正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。 侧面 母线 B
γm βα l l α β立体几何知识点整理(文科) 一. 直线和平面的三种位置关 系: 1. 线面平行 α l 符号表示: 2. 线面相交 α A l 符号表示: 3. 线在面内 α l 符号表示: 二. 平行关系: 1. 线线平行: 方法一:用线面平行实 现。 m l m l l ////??? ? ??=??βαβ α 方法二:用面面平行实现。 m l m l ////??? ? ?? =?=?βγαγβα 方法三:用线面垂直实现。 若αα⊥⊥m l ,,则m l //。 方法四:用向量方法: 若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合,则 m l //。 2. 线面平行: 方法一:用线线平行实现。 ααα////l l m m l ??? ? ?? ?? 方 法二:用面面平行实现。 αββα////l l ?? ?? ? 方法三:用平面法向量实现。 若n 为平面α的一个法向量, l n ⊥且α?l ,则α//l 。 3. 面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β ααβ//',',' //'//????? ??? ??且相交且相交m l m l m m l l 方法二:用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ?? ?且相交m l m l m l α n α l m'l'l α βm m β α l l m β α
三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三:用向量方法: 若向量l 和向量m 的数量积为0,则m l ⊥。 三. 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(?? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理: ab c b a 2cos 2 22-+=θ (计算结果可能是其补角) 方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角): AC AB AC AB ??= θcos (二) 线面角 (1)定义:直线l 上任取一点P (交点除外),作PO ⊥α于O,连结AO ,则AO 为斜线PA 在面α内的射影,PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 A B C αl l β α m l β α m α l θ c b a A B C θn A O θ P αl A O P α
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定
高中数学知识点总结 1. 首先对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? (答:,,)-??? ??? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 4. 请问你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30 555 5015392522 ∈----≥?∈? ? ????M a a M a a a 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧ “非”().?
若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() (答:,,,)022334 10. 如何求复合函数的定义域? [] 如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] (答:,)a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? ( ) 如:,求f x e x f x x +=+1(). 令,则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210
高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版
一、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合: Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?,但存在元素B x ∈,且A x ?, 则称集合A 是集合B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子 集,21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A Y . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A I . 3、全集、补集?{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记作:()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则: ()()21x f x f -=… (2)导数法:设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数; 若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f =-,那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f -=-,那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ;