数学建模典型例题
一、人体重变化
某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/ 天。每天的体育运动消耗热量大约是69 焦/(千克? 天)乘以他的体重(千克) 。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1 千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。
一、问题分析
人体重W(t )随时间t 变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△ t 时间内体重W的变化值列出微分方
程。
二、模型假设
1、以脂肪形式贮存的热量100%有效
2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存
3、假设体重的变化是一个连续函数
4、初始体重为W0
三、模型建立
假设在△ t 时间内：
体重的变化量为W(t+ △t ) -W(t) ；
身体一天内的热量的剩余为( 10467-5038-69*W ( t ))
将其乘以△ t 即为一小段时间内剩下的热量；
转换成微分方程为：d[W(t+ △ t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt ；
四、模型求解
d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686
W(0)=W0
解得：
(-69t/41686)
5429-69W=(5429-69W0)e
即：
(-69t/41686)
W(t )=5429/69- (5429-69W0)/5429 e(-69t/41686)
当t 趋于无穷时，w=81;
二、投资策略模型
一、问题重述
一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。 5 年后，它将卖出所
有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个 5 年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j 的开始卖出汽车，将有净成本a ij (购入价减去折旧加上运营和维修成本)。以千元计数a ij 的由下面的表给出：
年
14691220
年2571116
年36813
年4811
年510
请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。
二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。因此可利
用图论法分析，用Dijkstra 算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。
三、条件假设
除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；
四、模型建立
运用Dijikstra 算法
1 2 3 4
12 20
9 12 20
12 20
20
可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现
6 9 12 20
即在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200 第六年全部卖出
三、飞机与防空炮的最优策略
一、问题重述：
红方攻击蓝方一目标，红方有 2 架飞机，蓝方有四门防空炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜。其中共有四个区域，红方可以其中任意一个接近目标，蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。那么双方各采取什么策略？
二、问题分析
该问题显然是红方与蓝方的博弈问题，因此可以用博弈论模型来分析本问题。1、对策参与者为两方（红蓝两方）
2、红军有两种行动方案，即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。蓝军有三种防御方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1-1-1-1 ）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为2-1-1-0 ）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2-2-0-0 ）。显然是不需要在某个区域布置 3 个防空炮的。
三、问题假设：
（1）红蓝双方均不知道对方的策略。
（2）蓝方可以在一个区域内布置3,4 门大炮，但是大炮数量大于飞机的数量，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取。
（3）红方有两种方案，一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。
（4）假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场，且双方必须同时作出决策。四、模型建立
行动及其产生的结果
A B
A= 1 0
0.75 0.50
0.50 0.83 B= 0 0.25 0.5
1 0.5 0.17
没有鞍点，故用混合策略模型解决本问题
设蓝方采取行动i 的概率为xi（i=1 ，2，3），红方采取行动j 的概率为yj（j=1,2），则蓝方与红方策略集分别为：
S1={ x=（x1，x2，x3）0< xi<1, ∑xi=1 }，S2={ y=（y1，y2）0< yi<1, ∑yi=1 }。
五、模型求解下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x* Max v1 0*x 1+0.25*x 2+0.5*x 3 >v1
x1+0.5*x 2+0.17*x 3 >v1 x1+x2 +x3 =1 xi<=1
列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y
Min v2
y2 0.25*y 1+0.5*y 2 0.5*y 1+0.17* y 2 yi<=1 四、雷达计量保障人员分配 开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。 现某雷达团共部署12种型号共16 部雷达，部署情况及计量保障任务分区情况如表所示： 说明：1．保障任务分区域进行保障； 2 ．B、H、L 型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务； 3 ．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4 ．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5 ．每个保障人员只能保障一个任务； 6 ．每个保障任务只由一个保障人员完成。雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定，即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。各雷达的重要性如下表所示（表中下标表示雷达所在保障区域）： 该雷达团修理所现在有10 名待分配计量保障人员，他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示： 问题：如何给该团三个营分配计量保障人员，使他们发挥最大军事效益？ 、问题分析： 该问题是人员指派问题，目的是得到最大效益。根据保障能力测试与雷达重要 性定义出效益矩阵，用0—1 整数规划方法来求解，得到最大效益矩阵。 二、模型假设 1．保障任务分区域进行保障； 2．B、H、L 型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个 保障任务； 3 ．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4 ．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5 ．每个保障人员只能保障一个任务； 6 ．每个保障任务只由一个保障人员完成。 三、模型建立 根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵： 0.80.300.70.40.80.70.60.70.90.30.40.40.6000.70.8 0.90.500.5000.50.50.50.50.50.500.50.50.50.50.5 00.9000000.40.60.40.70.400.40.40.30.40.5 0.7000.50.500.50.200.20.60.80.50.20.20.70.20.2 0.50.80.70.60.70.30.60.300.30.50.70.70.30.30.30.30.7 A 0.500.80.60.80.70.60.800.80.80.60.80.80.80.80.10.2 0.50.90.4000.200.30.40.30.3000.30.60.30.30.5 0.80.20.40.600.10.60.20.20.20.1000.20.20.10.20.2 0.40.70.50.50.30.60.50.70.80.70.60.40.30.70.30.70.60.2 0.70.30.80.60.80.80.60.30.50.200.40.80.30.90.700 根据题目，设保障任务的重要性向量 B (b1,b2,...,b i)，bi 表示第i 个任务的重要性。列出保障任务重 要性向量： B 0.8 0.9 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8 0.7 0.9 0.9 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.70.7 我们用二者的乘积表示效益矩阵：R A B 。 我们设元素rij 表示第i 个人完成j 件事的效益,Xij 表示第i 个人去保障第j 件任务，如果是，其值为1 ，否则为0 。 利用这一个矩阵和0-1 规划，我们就可以列出方程： mn maxZ r ij * x ij j1i1 m x1 ij ji n x ij 1 ,m<=n i1 model: sets: M/1..10/; N/1..18/:a; allowed(M,N):b,r,x; endsets data: a=0.8 0.9 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8 0.7 0.9 0.9 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7 0.7; b=0.8 0.3 0 0.7 0.4 0.8 0.7 0.6 0.7 0.9 0.3 0.4 0.4 0.6 0 0 0.7 0.8 0.9 0.5 0 0.5 0 0 0.5 0.5 0.9 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0.9 0 0 0 0 0 0.4 0.6 0.4 0.7 0.4 0 0.4 0.4 0.3 0.4 0.5 0.4 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.2 0 0.2 0.6 0.8 0.5 0.2 0.2 0.7 0.2 0.2 0.7 0.8 0.7 0.6 0.7 0.3 0.6 0.3 0 0.3 0.5 0.7 0.7 0.3 0.3 0.3 0.3 0.7 0.5 0 0.8 0.6 0.8 0.7 0.6 0.8 0 0.8 0.8 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8 0.1 0.2 0.5 0.9 0.4 0 0 0.2 0 0.3 0.4 0.3 0.3 0 0 0.3 0.6 0.3 0.3 0.5 0.8 0.2 0.4 0.6 0 0.1 0.6 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 0.4 0.7 0.5 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.7 0.3 0.7 0.6 0.2 0.7 0.3 0.8 0.6 0.8 0.8 0.6 0.3 0.5 0.2 0 0.4 0.8 0.3 0.9 0.7 0 0; enddata max=@sum(allowed(i,j):x(i,j)*r(i,j)); @for(M(i):@for(N(j):r(i,j)=a(j)*b(i,j))); @for(M(i):@sum(N(j):x(i,j))=1); @for(N(j):@sum(M(i):x(i,j))<=1); @for(M(i):@for(N(j):@bin(x(i,j)))); End 解得最大效益为 6.63 ， 8 号保障人员分配到区域 1，其中 8 号承担 A 型，5、 2、3、4、9号保障人员分配到区域 2，其中第 9号保 1、3号承担 H1，H2型，4号I 型；第 6、10号保障 分配到区域 3，6号F 型、10号 J 型 人员 分配方案为： 第 5、7、 7 号承担 B1，B2 型；第 1、 障人员承担 F 型 2号G 型，