16.1 二次根式
第一课时
学习内容:
二次根式的概念及其运用 学习目标:
1a ≥0)的意义解答具体题目. 2、提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 学习过程
一、自主学习 (一)、复习引入
(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y=3
x
,那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是
___________..
问题2:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S 2,那
么S=_________.) (二)学生学习课本知识 (三)、探索新知
1、知识:
子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如 ?的式子叫做二次根式,为 .
例如:形如 、 、 是二次根式。
形如 、 、 不是二次根式。 2、应用举例
例11
x
x>0)
1
x y
+x ≥0,y ?≥0). 解:二次根式有: ;不是二次根式的有: 。
例2.当x 在实数范围内有意义? 解:由 得: 。
当 时,在实数范围内有意义.
(3)注意:1a≥0)的式子叫做二次根式的概念;
2a≥0)”解决具体问题
3、要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展
例3.当x
1
1
x+
在实数范围内有意义?
例4(1)已知,求x
y
的值.(答案:2)
(2)=0,求a2004+b2004的值.(答案:2 5 )
三、巩固练习
教材练习.
四、课堂检测
(1)、简答题
1.下列式子中,哪些是二次根式那些不是二次根式?
x 1 x
(2)、填空题
1.形如________的式子叫做二次根式.
2.面积为5的正方形的边长为________.
(3)、综合提高题
1.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,?底面应做成正方形,试问底面边长应是多少?
2.
3.x有()个.
A.0 B.1 C.2 D.无数
4.已知a、b,求a、b的值.
16.1 二次根式
第二课时
学习内容:
1a ≥0)是一个非负数; 2.2=a (a ≥0). 学习目标:
1a ≥02=a (a ≥0),并利用它进行计算和化简.
2a ≥0)是一个非负数,用具体数据结合算
2=a (a ≥0);最后运用结论严谨解题. 教学过程 一、自主学习
(一)复习引入 1.什么叫二次根式?
2.当a ≥0a<0 (二)学生学习课本知识 (三)、探究新知
1a ≥0)是一个 数。(正数、负数、零) 因为 。
2、 3、根据算术平方根的意义填空:
(2=_______;2=_______;2=______;2=_______;
同理可得:2=2, 2=9, 2=3, 2=1
3, )2=0,
所以 (4) 例1 计算
1、2
= 2、(2 = 3、2 = 4、)2=
(5)注意:1a ≥0)是一个非负数;2=a (a ≥0)及其运用.
2a ≥0)是一个非负数;?2=a (a ≥0). 二、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展
例2 计算 1.2(x ≥0) 2.2 3. 2 例3 在实数范围内分解下列因式:
(1)x 2-3 (2)x 4-4 (3) 2x 2-3
三、巩固练习
(一)计算下列各式的值:
2=2=2=2 = ( 2 =22
-
(二)课本P7、1
四、课堂检测
(一)、选择题
1.二次根式的个数是().A.4 B.3 C.2 D.1
(二)、填空题
1.(2=________.2_______数.
(三)、综合提高题
1.计算
(1)2(2)--2(3)(- 2 (4)
= = = =
= = = =
2.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
(1)5= (2)3.4= (3)1
6
(4)x(x≥0)=
3=0,求x y的值.
4.在实数范围内分解下列因式:
(1)x2-2 (2)x4-9 3x2-5
16.2二次根式的乘除
第一课时
学习内容
a≥0,b≥0)(a≥0,b≥0)及其运用.
学习目标
a≥0,b≥0)=a≥0,b≥0),并利用它们进行
计算和化简
学习过程:
一、自主学习
(一)复习引入
1.填空:(1;
(2;
(3.、探索新知
1、学生交流活动总结规律.
2、一般地,对二次根式的乘法规定为
反过来
例1 计算
(1(2(3)3(4
== == == ==
例2 化简
(1(2(3(4(5
== == == == ==
二、巩固练习
(1)计算:①②
== == ==
(2) 化简
== == == == ==
(3)教材练习
三、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展
(一)例3判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:
(1
(2=4
(二)归纳小结
(1(a≥0,b≥0)a≥0,b≥0)及其运用.
(2)要理解(a<0,b<0)=,如3=或
四、课堂检测
(一)、选择题
1.若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm,?那么此直角三角形斜边长是
(). A...9cm D.27cm
2.化简). A..
3=)
A.x≥1 B.x≥-1 C.-1≤x≤1 D.x≥1或x≤-1
(二)、填空题
1.
2.自由落体的公式为S=1
2
gt2(g为重力加速度,它的值为10m/s2),若物体下落的高度为720m,则
下落的时间是_________.
三、综合提高题
1.一个底面为30cm330cm长方体玻璃容器中装满水,?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20cm,铁桶的底面边长是多少厘米?
16.2 二次根式的乘除
第二课时
学习内容:
a ≥0,b>0)a ≥0b>0)及利用它们进行计算和化简.
学习目标:
a ≥0,b>0a ≥0,b>0)及利用它们进行运算.
教学过程
一、自主学习
(一)复习引入
1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式. 2.填空
(1
; 规律:
(2
;
(3
;
(4.
(二)、探索新知
一般地,对二次根式的除法规定:
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.
二、巩固练习
1、计算:(1
(2(3(4 == == == ==
2、化简:
(1(2(3 (4 == == == ==
3、巩固练习 教材练习.
三、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展
1、 例3.=,且x 为偶数,求(1+x
2、归纳小结
(1a ≥0,b>0a ≥0,b>0)及其运用.
并利用它们进行计算和化简.
四、课堂检测 (一)、选择题
1的结果是( )
.A .27.27 C .7
2
3==5== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”
).
A .2
B .6
C .1
3
D (二)、填空题
1.分母有理化
=______.
2.已知x=3,y=4,z=5_______.
(三)、综合提高题
(1(m>0,n>0)
16.3 二次根式的加减
第一课时
学习内容:
二次根式的加减
学习目标:
1、理解和掌握二次根式加减的方法.
2、先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.
学习过程
一、自主学习
(一)、复习引入
计算.(1)2x+3x;(2)2x2-3x2+5x2;(3)x+2x+3y;(4)3a2-2a2+a3
以上题目,是我们所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变,系数相加减.
(二)、探索新知
学生活动:计算下列各式.
(1);(2);
(3;(4)
由此可见,二次根式的被开方数相同也是可以合并的,如2与表面上看是不相同的,但它们可以合并吗?也可以.
所以,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,?再将被开方数相同的二次根式进行合并.
例1.计算(1(2
例2.计算
(1)( 2)+
归纳:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;
第二步,将相同的最简二次根式进行合并.
二、巩固练习教材练习
三、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展
1、 例3.已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0,求(
2
3+y -(x )的值. 2、归纳小结
本节课应掌握:(1)不是最简二次根式的,应化成最简二次根式;(2)相同的最简二次根式进行合并.
重难点关键 1.重点:二次根式化简为最简根式.
2.难点关键:会判定是否是最简二次根式. 四、课堂检测 (一)、选择题
1 ). A .①和② B .②和③ C .①和④ D .③和④
2.下列各式:①1
7
=1,其中错误的有( ).
A .3个
B .2个
C .1个
D .0个
二、填空题
1、是同类二次根式的有________.
2.计算二次根式________.
三、综合提高题
1 2.236-(结果精确到0.01)
2.先化简,再求值.(-(,其中x=32,y=27.
16.3 二次根式的加减
第二课时
学习内容:
利用二次根式化简的数学思想解应用题. 学习目标:
1、 运用二次根式、化简解应用题.
2、 通过复习,将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式,进行合并后解应用题. 学习过程
一、自主学习 (一)、复习引入
上节课,我们已经学习了二次根式如何加减的问题,我们把它归为两个步骤:第一步,先将二次根式化成最简二次根式;第二步,再将被开方数相同的二次根式进行合并, (二)、探索新知
例1.如图所示的Rt △ABC 中,∠B=90°,点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/?秒的速度向点A 移动;同时,点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动.问:几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米?PQ 的距离是多少厘米?(结果用最简二次根式表示)
分析:设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米,那么PB=x ,BQ=2x ,?根据三角形面积公式就可以求出x 的值.
解:设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米.
则有PB=x ,BQ=2x
依题意,得: 求解得:
PBQ 的面积为35平方厘米.
PQ=
PBQ 的面积为35平方厘米,PQ 的距离为
例2.要焊接如图所示的钢架,大约需要多少米钢材(精确到0.1m )?
分析:此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成,所以要求钢架的钢材,?只需知道这四段的长度. 解:由勾股定理,得AB=
BC=
所需钢材长度为: AB+BC+AC+BD== 二、巩固练习
教材练习
三、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展
1、 例3.
若最简根式3a
a 、
b 的值.(?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式)
分析:同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同的根式;
B
A
C Q
P
由题意得方程组:
解方程组得:
2、本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.
四、课堂检测
(一)、选择题
1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为().(?结果用最简二
次根式) A...以上都不对
2.小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框,?为了增加其稳定性,他沿长
方形的对角线又钉上了一根木条,木条的长应为()米.(结果同最简二次根式表示) A.
B. D.
(二)、填空题(结果用最简二次根式)
1.有一长方形鱼塘,已知鱼塘长是宽的2倍,面积是1600m2,?鱼塘的宽是_______m.
2____.(三)、综合提高题
12n m、n的值.
2.同学们,我们观察下式:)2=2-2212
反之,)2
∴)2
求:(1(2(3
二次根式小结与复习
1.二次根式的定义:一般地,我们把形如a (a ___0)的式子叫做二次根式,“
”称为二次根式.
定义诠释:(1)二次根式的定义是以形式界定的,如4是二次根式; (2)形如a b (a ≥0)的式子也叫做二次根式;
(3)二次根式a 中的被开方数a ,可以是数,也可以是单项式、多项式、分式,但必须满足a ≥0.
2.二次根式的基本性质 (1)a _____0(a ___0); (2)
()2
a =_____(a ___0);
(3)a a =2
=()
()
??
?0_____
0_____
a a ;
(4=____________(a ___0,b ___0);
(5=_____________(a ___0,b ___0). 3.最简二次根式必须满足的条件为:(1)被开方数中不含_______;(2)被开方数中所有因式的幂的指数都______.
4.二次根式的乘、除法则:
(1(a ___0,b ___0);
(2=____________(a ___0,b ___0). 复习提示:(1)进行乘法运算时,若结果是一个完全平方数,则应利用==a a 2
()
()
???<-≥00a a
a a 进行化简,即将根号内能够开的尽方的数移到根号外;
(2)进行除法运算时,若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数,应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.
5.同类二次根式:几个二次根式化成_________后,如果_______相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.
6.二次根式的加减法则:二次根式加减时,可以先将二次根式化成_______,然后把___ ______进行合并.
复习提示:(1)二次根式的加减分为两个步骤:第一步是_____,第二步是____,在合并时,只需将根号外的因式进行加减,被开方数和根指数不变;
(2)不是同类二次根式的不能合并,如:53+≠8; (3)在求含二次根式的代数式的值时,常用整体思想来计算.
7.二次根式的混合运算
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致,也是先____,再____,最后 ____,有括号的先_____内的.
复习提示:(1)在运算过程中,有理数(式)中的运算律,在二次根式中仍然适用,有理数(式)中的乘法公式在二次根式中仍然适用;
(2)二次根式的运算结果可能是有理式,也可能是二次根式,若是二次根式,一定要化成最简二次根式.
8.二次根式的实际应用
利用二次根式的运算解决实际问题,主要从实际问题中列出算式,然后根据运算的性质进行计算,注意最后的结果有时需要取近似值.
考点呈现
考点1 二次根式有意义的条件
例1 若式子43-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A.x ≥
34 B.x >34 C.x ≥43 D.x >4
3 解析:要使43-x 在实数范围内有意义,必须满足条件43-x ≥0,所以x ≥
3
4
,故应选 方法总结:判断含有字母的二次根式是否有意义,就是看根号内的被开方数是不是非负数,如果是,就有意义,否则就没有意义,当二次根式含有分母时,分母不能为0.
考点2 二次根式的性质
例2 下列各式中,正确的是( )
A.
()332
-=- B.332-=- C.
()332
±=± D.332±=
解析:本题利用二次根式的性质=2
a ()
()
??
?<-≥00a a
a a
进行解答,运用排除法不难知道只有选项
方法总结:
()
a a =2
成立的条件是a ≥0,而在化简
()2
a 时,先要判断a 的正负情况.
考点3 二次根式的非负性
例3 已知32552--+-=x x y ,则xy 2的值为( )
A.—15
B.15
C.215-
D.2
15 解析:由52-x ≥0,且x 25-≥0,解得25=x ,所以3-=y ,因此xy 2=232
5
3(—3)=—
15,故应选A.
方法总结:二次根式a (a ≥0)具有双重非负性,即a ≥0、a ≥0. 考点4 最简二次根式
例4 下列二次根式中,最简二次根式是( ) A.
5
1
B.5.0
C.5
D.50
解析:因为
5551=,2
2
215.0=
=,2550=,所以A 、B 、D 均不是最简二次根式. 方法总结:在进行二次根式化简时,一些同学不知道化到什么程度为止,切记,一定要化到最简二
次根式为止.
考点5 二次根式的运算
例5 计算1824-3
3
1
=____. 解析:本题是二次根式的混合运算,必须按法则进行,要注意最后结果的化简问题,即原式=
1824-3
3
1=2362-333=662-=6.
方法总结:二次根式的加减运算,一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并,除法运算
先化为乘法再运算,混合运算时要正确使用运算法则.
考点6 二次根式的化简求值
例6 若1
20142013-=
m ,则34
52013
2m m m --的值是_____. 解析:先化简m 的值,得m =
(
)
(
)(
)
()
2014120141
201420131
201412014120142013=-+=+-++1. 再变形
所求代数式3
4
5
2013
2m m m --=()
()[
]
20141201322
323--=--m m m m m =(
)()
??
????--+?+2014112014120142
3=0.
方法总结:解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.
误区点拨
一、考虑问题不全面 例1 代数式
2
1
-x 中,x 的取值范围是______. 错解:根据题意,得2-x ≥0,解得x ≥2,故填x ≥2.
剖析:整体观察式子的特点,存在分母,应满足分母不为0的条件;又存在二次根式,应满足被开方数为非负数. 错解只注意被开方数的非负性,而忽略了分式中分母不为0的条件.
正解:.
二、理解性质出错
例2 求()23-的值.
错解:()23-=—3.
剖析:()2
3-表示()2
3-的算术平方根,应为正数. 错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错.
正解:
三、忽略运算顺序 例3 计算33
1
2?÷
. 错解:原式=212=÷.
剖析:由于乘除是同一级运算,应按照从左到右的顺序进行. 正解:.
四、对最简二次根式判断不准
例4 下列各式中,是最简二次根式的是( ) A.
2
3 B.36 C.2.1 D.49
错解:选C.
剖析:最简二次根式的被开方数中既不含开的尽方的因式或因数,也不含分母,满足条件的只有B. 错解只看表面形式,不求甚解,C 中被开方数是小数形式,化为分数后,可继续化简.
正解: 跟踪训练
1.根式
3-x 中x 的取值范围是( )
A.x ≥3
B.x ≤3
C.x <3
D.x >3 2.下列各式是最简二次根式的是( )
A.20
B.1.2
C.72
D.
5
1 3.下列各式中,与3是同类二次根式的是( )
A.18
B.24
C.12
D.9 4.化简122
1
54+?
的结果是( ) A.25 B.36 C.3 D.35 5.下列运算正确的是( )
A.25=±5
B.12734=-
C.9218=÷
D.62
3
24=?
6.已知:132-=-b a ,3=ab ,则()()11-+b a 的值为( ) A.3- B.33 C.223- D.13-
7.已知三角形三边的长分别为18cm 、12cm 、18cm ,则它的周长为_____cm.
8.当m <0时,化简m
m 2
=____.
9.计算:
()2850÷
-的结果是_____.
10.实数在数轴上的位置如下图所示,化简()221-+
-a a =_____.
11.已知011=-++b a ,则20132013
b a
+=____.
12.如果最简二次根式a m a --7与m 2是同类二次根式,则a =____,m =____. 13.先化简,再求值:()()
()633--+-a a a a ,其中2
15+=a .
14.先化简,再求值:221a a a +-+,其中1007=a . 下图是小亮和小芳的解答过程:
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:___________. (3)先化简,再求值:9622+-+a a a ,其中2007-=a .
二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知a x =2 ,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________ 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12 +x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2 )4( (2) (3)2)5.0( (4)2 )3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2 )(a ,利用此公式可以把任意一个非负 数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2 . 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③ 2、(1有意义,则a 的值为___________. (2)若 x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中,x 的取值范围是____________. (2)已知42 -x +y x +2=0,则=-y x _____________. (3)已知233--+-= x x y ,则x y = _____________。 (四)达标测试 (一)填空题: 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ,那么x = ,y = 。 3、当x = 时,代数式有最小值,其最小值是 。 ________ )(2=a x --2142 )3(
16.3二次根式加减法教学设计(第一课时) 一、教材分析: 本节主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。学习本节之前,学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法,这是学习本节课的基础。本节课的重点是二次根式的加减及混合运算。本节课在以前及后续学习中起承上启下作用,因为本节既是第五章相关内容的发展,又是后面将学习的解直角三角形、一元二次方程、等章节的重要基础。 二、学情分析 我所带八年级一二班学生基础较差,两极分化较严重有部分学生对第五章平方根、立方根的知识掌握的不够扎实,对整式加减运算欠账比较多,因此学习本章时有困难。 三、教学目标: 1.知识与技能:探究二次根式加减法运算法则,会用二次根式加减法法则进行计算。 2.过程与方法:学生经历由实际问题引入数学问题的过程,发展学生的抽象概括能力。通过加减法运算,培养学生的运算能力。 3.情感态度与价值观:通过加减法运算解决生活中实际问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 1.重点:首先把二次根式化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式。 2.难点:二次根式加减法的实际应用,去括号问题。 五、教学方法:自主探究、合作、讨论。 六、教学媒体:多媒体,白板。 七、教学活动过程 1、引入新课 【活动一】:计算下列各式 教师点评:上面题目的结果,实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合
并就是字母不变,把系数相加减。 【活动二】: 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板,能否采用如教科书图16.3-1所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板? 分析:由于大小正方形的边长分别为8和18,显然木板够宽,下面考虑木板是否够长。由于两个正方形的边长和为188+,这实际上是求8和18这两个二次根式的和,计算188+之前,我们先来看下面几道题怎么算? 22+32(1)8-38+58(2)2 7+27+397 ?(3)3-23+2(4)3 师生行为:(1)学生分组讨论,探求方案。 (2)教师倾听学生的交流,指导学生探究。 教师关注:学生能否将8和18化成最简二次根式;能否将分配律运用到计算 中 。 师生行为:分析188+的计算过程 教师讲解点评: 师:用自己的语言描述二次根式加减法的法则. 生:二次根式加减法时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方
16. 1 《二次根式 (1) 》学案 班级 :姓名:小组: 学习内容:二次根式的概念及其运用 学习目标: 1、理解二次根式的概念,并利用 a (a≥0)的意义解答具体题目. 2、提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 学习过程 一、自主学习 (1) 16 的平方根是; (2) 一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h(单 位:米 ) 满足关系式h 5t 2。如果用含h的式子表示t,则t= ; (3) 圆的面积为 S,则圆的半径是; (4) 正方形的面积为 b 3 ,则边长为。 思考: 16 ,h ,s , b 3 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 5 定义 : 一般地我们把形如 a (a 0 )叫做二次根式, a 叫做_____________。读作。 二、应用举例 例 1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 2 、3 3 、1 、 x(x>0)、x 0、42、- 2 、 1 、 x y (x≥0,y?≥0). x y 解:二次根式有:;不是二次根式的有:。 例 2.当x是多少时,3x 1 在实数范围内有意义? 解:由得:。当时,3x 1 在实数范围内有意义.
注意: 1、形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式的概念; 2、利用“ a (a≥0)”解决具体问题 3、要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数。 三、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展 例 3.当x是多少时,2x 3 在实数范围内有意义? 例 4若 a 1 +b 1 =0,求a2004+b2004的值.(答案:2 ) 5 四、巩固练习 教材练习. 五、课堂检测 ( 1)、简答题 1.下列式子中,哪些是二次根式,那些不是二次根式? -7 3 7x x4168 1 x ( 2)、填空题 1.形如 ________的式子叫做二次根式. 2.面积为 5 的正方形的边长为________. ( 3)、综合提高题 1.二次根式 a 1 中,字母a的取值范围是() A、 a<l B、a≤1 C、a≥1 D、a>1 2.已知x 3 0 则x的值为 A 、 x>-3 B、x<-3C、x=-3 D、x的值不能确定 六、课后记
二次根式(1)导学案 (一)复习回顾: (1)已知a x =2 ,那么a 是x 的_____;x 是a 的______, 记为____,a 一定是_____数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____。称为 。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,3 4)0(3 ≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2 )3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2 . 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解:72-x 4a 2 -11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③ 2、(1a 的值为___________. (2)若 在实数范围内有意义,则x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中,x 的取值范围__________. (2)已知42 -x +y x +2=0,则=-y x _____________. (3)已知233--+ -=x x y ,则x y = _____________。 (四)达标测试 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ,那么x = ,y = 。 3、当x = 时,代数式有最小值,其最小值是 。 4、在实数范围内因式分解: (1)-=-229x x ( )2 =(x + )(y - )(2)-=-2 23x x ( )2 =(x + )(y - ) 5、一个数的算术平方根是a ,比这个数大3的数为 6、二次根式1-a 中,字母a 的取值范围是 ________)(2=a x --2142)3(
16.3二次根式加减法教学设计 (第一课时) 一、教材分析: 本节主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。学习本节之前,学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法,这是学习本节课的基础。本节课的重点是二次根式的加减。 二、学情分析 我班学生基础较差,两极分化较严重有部分学生对平方根、立方根的知识掌握的不够扎实,对整式加减运算欠账比较多,因此学习本章时有困难。 三、教学目标: 1.知识与技能:探究二次根式加减法运算法则,会用二次根式加减法法则进行计算。 2.过程与方法:学生经历由实际问题引入数学问题的过程,发展学生的抽象概括能力。通过加减法运算,培养学生的运算能力。 3.情感态度与价值观:通过加减法运算解决生活中实际问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 1.重点:首先把二次根式化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式。 2.难点:二次根式加减法的实际应用,去括号问题。
五、教学方法:自主探究、合作、讨论。 六、教学媒体:多媒体,白板。 七、教学活动过程 1、引入新课 【活动一】:计算下列各式 教师点评:上面题目的结果,实际上是我们以前所学的同类项合并.同 类项合并就是字母不变,把系数相加减。 【活动二】: 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板,能否采用如教科书图16.3-1所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板? 分析:由于大小正方形的边长分别为8和18,显然木板够宽,下面考虑木板是否够长。由于两个正方形的边长和为188+,这实际上是求8和18这两个二次根式的和,计算188+之前,我们先来看下面几道题怎么算? 22+32(1)8-38+58(2)2 7+27+397 ?)3-23+2(4)3 师生行为:(1)学生分组讨论,探求方案。 (2)教师倾听学生的交流,指导学生探究。 教师关注:学生能否将8和18化成最简二次根式;能否将分配律运 用到计算中 。 师生行为:分析188+的计算过程 教师讲解点评:
人教版初中数学八年级下册第19章《一次函数应用之行程问题》学案 核心素养 1.能看懂一次函数图象呈现的行程信息,会分析行程过程. 2.经历观察、对照、分析、想象、验证等过程体会数形结合的思想. 3.会解决“函数图象型行程问题”.会通过动手画简易草图分析行程的动态过程,并能构建一次函数模型解决实际行程问题. 【学习重点】准确地从函数图象中读取、理解行程信息,并解决问题. 【学习难点】对应函数图象,结合行程图,分析理解行程过程. 【学习过程】 一、知识回顾 小潘同学1000米跑步的路程S(米)与时间t(分钟)的关系如图所示:你能从图中获取哪些信息呢? 二、例题讲解 类型一:表示距同地距离 例1:甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地,A、B两地间的路程为20km.他们前进的路程为s(km),甲出发后的时间为t(h),甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示.根据图象信息,下列说法正确的是() A.甲出发1.5h两人相遇 B.乙的速度是10km/h C.乙追上甲时离出发点的距离 D.甲比乙晚到B地3h
追加问题:甲出发几小时后,两人相距2千米? 小结: 1.分析题应做到由“形”到“数”,由“数”到“形”. 2.“追上”就是求两个函数图象的交点,即由两个函数组成方程组的解就是交点 的横纵坐标. 3.常用解析式相减=两者相距多远(距同地的距离时) 练习: 1.“龟兔首次赛跑”之后,输了比赛的兔子总结惨痛教训后,决定和乌龟再赛一场.图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x表示乌龟从起点出发 所行的时间,1y表示乌龟所行的路程,2y表示兔子所行的路程.下列说法中: ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米;②兔子和乌龟同时从起点出发;③乌龟 在途中休息了10分钟;④兔子在途中750米处上了乌龟.正确的有:() A.1个B.2个C.3个D.4个 类型二:表示两者间的距离 例2:例2:已知 A、B 两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发, 甲车以60千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往B 地,乙车从B 地沿此公 路匀速开往 A 地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程 y(千米)与甲车的行驶时间 x (小时)之间的函数关系如图所示: (1)乙车的速度为___________千米/时,a=_____________,b=______________. (2)求甲、乙两车相遇后y 与 x之间的函数关系式. (3)当甲车到达距 B地70千米处时,求甲、乙两车之间的路程.
一、选择题 1.下列式子中,是二次根式的是() A. B C D.x 2.下列式子中,不是二次根式的是() A B C D. 1 x 3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是() A.5 B C. 1 5 D.以上皆不对 二、填空题 1.形如________的式子叫做二次根式. 2.面积为a的正方形的边长为________. 3.负数________平方根. 三、综合提高题 1.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,?底面应做成正方形,试问底面边长应是多少? 2.当x 是多少时, x +x2在实数范围内有意义? 3 . 4. x有()个. A.0 B.1 C.2 D.无数 5.已知a、b ,求a、b的值. 第一课时作业设计答案: 一、1.A 2.D 3.B 二、1 a≥0)2 3.没有 三、1.设底面边长为x,则0.2x2=1,解答: 2.依题意得: 230 x x +≥ ? ? ≠ ? , 3 2 x x ? ≥- ? ? ?≠ ? ∴当x>- 3 2 且x≠0 时, x +x2在实数范围内没有意义.3. 1 3 4.B
5.a=5,b=-4 第二课时作业设计 一、选择题 1是( ). A .4 B .3 C .2 D .1 2.数a 没有算术平方根,则a 的取值范围是( ). A .a>0 B .a ≥0 C .a<0 D .a=0 二、填空题 1.()2=________. 2_______数. 三、综合提高题 1.计算 (12 (2)-2 (3)( 12 )2 (4)( 2 (5) 2.把下列非负数写成一个数的平方的形式: (1)5 (2)3.4 (3) 1 6 (4)x (x ≥0) 3=0,求x y 的值. 4.在实数范围内分解下列因式: (1)x 2-2 (2)x 4-9 3x 2-5 第二课时作业设计答案: 一、1.B 2.C 二、1.3 2.非负数 三、1.(12=9 (2)-2=-3 (3)( 12 )2= 14×6=3 2 (4)(2=9×2 3 =6 (5)-6 2.(1)5=)2 (2)3.4=2 (3) 1 6 =2 (4)x=2(x ≥0)
在线分享文档 用科技让复杂 的世界变简单 让每个人平等地提升自己 二次根式的加减运算 一、学习目标 1.了解同类二次根式的定义。 2.能熟练进行二次根式的加减运算。 二、学习重点 重点:二次根式加减法的运算。 难点:快速准确进行二次根式加减法的运算。 三、自主预习 1.计算:(1)2x-3x+5x (2)2223a b ba ab +- 2.自学课本内容,完成下面的题目: 观察下列各组式子,哪些是同类二次根式: (1)2322与 (2)32与 (3)205与 (4)1218与 你判断同类二次根式的方法: 。 3.自学课本,仿例计算: (1)8+18 (2)7+27+397? (3)348-913 +312 小结:进行二次根式的加减法分三个步骤:①化成最简二次根式;②找出同类二 次根式;③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并。 四、 合作探究 1.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0,求(293x x +y 3x y )-(x 1x -5x y x )的值。 五、巩固反馈 1.122223 27中,与3是同类二次根式的是
在线分享文档 用科技让复杂的世界变简单 让每个人平等地提升自己 ( ) A .①和② B .②和③ C .①和④ D .③和④ 2.下列各组二次根式中,是同类二次根式的是( ) A 、2x 与2y B 、3449a b 与5892a b C 、mn 与n D 、m n +与n m + 3.已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式,则满足条件的 a,b 的值( ) A .不存在 B .有一组 C .有二组 D .多于二组 4.计算: (1)72 38550 (2))27131(12-- (3)213904540 (4) x x x x 1246932-+ (5)232282xy x x +-(0,0)x y >> (6) y y x y x x 1241+-+ (7))461(9322x x x x x x -- 5.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0,求(293x x +y 3x y )-(x 1x -5x y x )的值。
例3、 在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知: 的值。求代数式22,211881-+- +++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 (2009龙岩)已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a>时,①如果a b >,则a b >;②如果a b <,则a b <。 例1、比较35与53的大小。 (2)、平方法
① 1a a b b >?>; ② 1a a b b < 例8、比较53-与23+的大小。 5、规律性问题 例1. 观察下列各式及其验证过程: , 验证: ; 验证:. (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4 4 15 的变形结果,并进行验证; (2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥2,且n 是整数)表示的等式,并给出验证过程. 例2. 已知,则a _________ 发展:已知,则a ______。 例3、化简下列各式: (1)423+ (2)526- 例4、已知a>b>0,a+b=6ab ,则a b a b -+的值为( )A .22 B .2 C .2 D .12 例5、甲、乙两个同学化简 时,分别作了如下变形: 甲:==;
第18章二次根式 18.2二次根式的运算(4) ___年级___班姓名:_______ 学习目标: 1.能够正确进行简单的二次根式加减法的运算; 2.通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思想; 3.通过对二次根式加减法的探究,激发学生的探索热情,让学生充分参与到数学学习的过程中来,使他们体验到成功的乐趣。 学习重点:二次根式加减法的运算 学习难点:探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算 一.学前准备 1.同类项的概念______________________________________________________ 2.合并同类项法_____________________________________________________ 3.最简二次根式概念__________________________________________________ 二.探究活动 (一)独立思考·解决问题 1.一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是5米,第二块草坪的长是20米,宽也是5米,你能告诉运动场的负责人要准备面积为____________的草皮. 2.化简下列各根式 11 12,3,1,,27 33 48 观察化简后的根式,它们有什么共同特征?________________________________ (二)师生探究·合作交流 1.同类二次根式的概念______________________________________________ 2.下列3个小题怎样计算?
55;(2)5125;(3)55020(1)+ - -+ 问题:-3552还能继续往下合并吗? 3. 二次根式加减法法则:______________________________________________ ___________________________________________________________________. 4. 下列各式,哪些是同类二次根式? 31122,48,,,3,,8,62272a ab b b 3 5. 例1 计算: +- -+ 2212348475;(2)963 4 (1)2x x x x 练一练: 1.下列计算是否正确? += 2 -= 8- += ( 4 ) =- 235()()633() 6 (3)2323()43() 2(1) 2. 计算: 1 (1)2863;(2)32;8 21 (3)18(9827527);(4)240.53 )(6)38 - - --+ (----
一、学习目标 增强对一次函数性质、图象的理解和综合运用能力 二、重点、难点 教学重点:一次函数性质、图象运用 教学难点:一次函数性质、图象运用 三、学习方法 自主学习为主,合作学习为辅 四、知识结构 (一)温故知新 变量: ; 常量: ; 1:在函数3b-2a=1中,常量是 ,变量是 ,若a 是b 的函数,则其表达式是 . 2、 自变量, 函数. 函数值. 2、下列关系式中,y 不是x 的函数的是( ) A. 1 2y x = B. 22y x = C. 0)y x =≥ D. 0)y x =≥ 例3、下列图中,不表示某一函数图象的是( ) A B C D 3、一次函数y=kx+b(k ≠0,k,b 为常数) 当k>0,y 随x 的增大而增大;当k<0,y 随x 的增大而减小 当k>0,b>0时图象经过 象限;当k<0,b>0时图象经过 象限 当k>0,b<0时图象经过 象限;当k<0,b<0时图象经过 象限 (二)典型例题 例1. 直线23y x =-+与x 轴交于点A ,直线3y x =-与x 轴交于点B ,且两直线的交点为点C,求△ABC 的面积
例2、已知函数26 y x =--. (1)求当4 x=-时y的值,当x2 y=-时x的值; (2)画出函数的图像; (3)如果y的取值范围是-4≤x≤2,求x的取值范围. 五、技能训练 一、选择 1.下列说法不正确的是() A.一次函数不一定是正比例函数B.不是一次函数就一定不是正比例函数C.正比例函数是特殊的一次函数D.不是正比例函数就不是一次函数 2.已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过点A(-2,0)且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积为() A.4 B.5 C.6 D.7 3.一次函数y=x-1的图象不经过() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过第二、四象限,则() A.y随x的增大而减小B.y随x的增大而增大 C.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小 D.不论x如何变化,y不变 5.若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1
二次根式的性质专题 班级 姓名 学习目标: 1、加深理解二次根式的有关概念; 2、熟练掌握二次根式有意义的条件; 3、掌握二次根式的性质,并能利用其进行有关的计算。 学习重点:二次根式的性质的运用 学习难点:利用二次根式的性质进行有关的计算 课堂讲授: 一、二次根式的性质 性质1:0a ≥()0a ≥ 双重非负性 性质2:()2 a = 性质3:2a = 题组1: ①下列式子中,一定是二次根式的是( ) A.5- B.3x C.x D. 21x + ②若二次根式在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A. x 3 B .x 3 C. x 3 D. x 3 ③2 4= ()23- ) A.-3 B. 3或-3 C. 9 D. 3 二、利用二次根式的性质解题 例1:实数x,y 在数轴上对应点的位置如图所示,求222x y x y xy ++- 变式1:实数a ()()22411a a --= 。 2:若2294315y x x x x =+--+--x y 的值。 变式2:若4422 x x y --= -,则()2x y += 。 三、试试中考题 题组2: ①:(2016·四川内江)使代数式34 x x --有意义的x 的取值范围是 。 05a 10
②:(2016·广东汕头)若实数a ,b 满足20a +=,则2 a b = 。 ③:(2016·江苏泰州)实数a,b 22440a ab b ++=,则a b 的值为( ) A.2 B.12 C.2- D.12 - ④:(2017·山东枣庄)实数a ,b 在数轴上对应点的位置如下图所示,则化简a 的结果是( ) A.2a b -+ B.2a b - C.b - D.b ⑤:(2015·四川攀枝花)若2y = ,求y x . ⑥:(20172210b b ++=,求221a b a + -的值. 四、巩固练习 A 组 1a 的值是( ) A.0a ≥ B.0a ≤ C.0a = D.0a ≠ 2、下列说法错误的是( ) A.当4x < B. 当4x =0= C. 当4x >0> D. 3、若1a <=( ) A. 1a - B.1a - C. a D.a - 4、当3x ≥的结果为 5、已知()220a -=,则a b += 6、已知25x <<= 。 B 组 1 有意义,那么x 的取值范围是( )
初中数学八年级第十六章 16.1 二次根式第 2 课时
导学案
命制学校: 学习目标:
2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 五中
命制教师:
2 1、掌握二次根式的基本性质: a ? a
学习重点: 学习难点: 学法指导:
2 二次根式的性质 a ? a .
综合运用性 质
a 2 ? a 进行化简和计算。
先自学质疑,再小组互 助,最后请求老师帮助
知识链接
(1)什么是二次根式,它有哪些性质?
(2)二次根式
2 有意义,则 x x?5
。
(3)在实 数范围内因 式分解: x 2 ? 6 ? x 2 ? (
) =(x+
2
)(y-
)
自主学习
1 、计算:
42 ?
0.2 2 ?
4 ( )2 ? 5
202 ?
观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当 a ? 0时, a 2 ?
2、计算:
(?4) 2 ?
( ? 0 .2 ) 2 ?
4 (? ) 2 ? 5
( ?20 ) 2 ?
观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当 a ? 0时, a 2 ?
3、计算:
02 ?
当 a ? 0时, a 2 ?
合作探究
1、归纳总结 将上面做题过程中得到的结论综合 起来 ,得到二次根式的又一条非常重要 的性质:
a?0 ?a ? a ? a ? ?0 0 ?? a a?0 ?
2
2、化简下列各式: (1)、 0.32 ?
2 (2)、 (?0.5) ? 2 ( 3)、 ( ?6) ?
(4)、
?2a ?2
=
( a ? 0)
2 3、 请大家思考、 讨论二 次根 式的性质 ( a ) 2 ? a(a ? 0) 与 a ? a 有什么区别与联系。
课堂小结
知识方法小结:二次根式的性质: (1) (2) (3)
达标检测
1、化简下列各式 (1) 4 x 2 ( x ? 0) 2、化简下列各式 (1) (a ? 3) 2 (a ? 3) (2) (2)
x4
?2 x ? 3?2
2 (x<-2) 注:利用 a ? a 可将
二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来,达到化简的目的,进行化简的关键是 准确确定“a”的取值 。
二次根式知识点 【知识回顾】 1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4、二次根式的性质: 1 )0a ≥的最小值是0 )0a ≥ )0a ≥。 (2 )()20a a =≥; (3()()() 0000a a a a a a >??===??- 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术平方根代替而移 到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. (a ≥ 0,b ≥0);=b ≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 1、 概念与性质 例1、下列各式 1 )-, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1)x x -- +315;(2)22)-(x
例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-, 最简二次根式是( )A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知:的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a最新人教版 一次函数全章学案
第十九章一次函数 19.1.1 变量与函数 第一课时变量与常量 学习任务 1.认识变量、常量. 2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量. 3.了解常量与变量的关系. 素读检测 1.汽车以60km/h的速度匀速前进,行驶里程为s km,行驶的时间为t h,填写下面的表格,s的值随t的值的变化而变化吗? 2.电影票的售价为10元/张,如果第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗? 3.当圆的半径r分别为10 cm、20 cm、30 cm时,圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗? 4.用10m长的绳子围成一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m、3.5m、4m、4.5m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗? 问题辨析 1.上面4个问题反映了不同事物的变化过程,说一说其中哪些量的数值是变化的,哪些量的数值是不变的? 2.写出下列各问题中所满足的关系式,并指出各个关系式中,哪些量是变量,哪些量是常量? ⑴用总长为60m的篱笆围成矩形场地,求矩形的面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系式:,其中变量是,常量是; ⑵购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与购买的铅笔的数量n(支)的关系: ,其中变量是,常量是;
⑶运动员在4000m 一圈的跑道上训练,他跑一圈所用的时间t (s )与跑步的速度v (m /s )的关系: ,其中变量是,常量是; ⑷银行规定:五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x 元本金与所得的本息和y (元)之间的关系:,其中变量是,常量是. 当堂检测 1.汽车在匀速行驶过程中,若用s 表示路程,v 表示速度,t 表示时间,那么对于等式s =vt , 下列说法正确的是( ) A.s ,v ,t 三个量都是变量 B.s 与v 是变量,t 是常量 C.v 与t 是变量,s 是常量 D.s 与t 是变量,v 是常量 2.在△ABC 中,它的底边长是a ,底边上的高为h ,则△ABC 的面积ah S 2 1 =,当高h 为定值时,上述式子中( ) A.S 、a 是变量,21、h 是常量 B.S 、a 、h 是变量,2 1 是常量 C.a 、h 是变量,S 是常量 D.S 是变量,2 1 、a 、h 是常量 3.某人要在规定的时间内加工100个零件,则工作效率η与时间t 之间的关系中,下列说 法正确的是( ). A.数100和η,t 都是变量 B.数100和η都是常量 C.η和t 是变量 D.数100和t 都是常量 4.汽车离开甲站10千米后,以60千米/时的速度匀速前进了t 小时,则汽车离开甲站所 走的路程s (千米)与时间t (小时)之间的关系式是( ). A.1060s t =+ B.60s t = C.6010s t =- D.1060s t =- 19.1.1 变量与函数 第二课时 函数 学习任务 1.经过回顾思考认识变量中的自变量与函数. 2.进一步理解掌握确定函数关系式. 3.会确定自变量取值范围. 素读检测 1.如图是某日的气温变化图: (1)气温T 随着t 的值的变化而变化吗?
二次根式的定义学习目标: 理解二次根式的概念,并利用a(a≥0 )的意义解答具体题目.提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 一、自主学习 (一)温故知新 问题1:已知反比例函数y=3 x,那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是 ___________. 问题2:如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的长是__________. 问题3:甲射击6次,各次击中的环数如下:8.7.9.9.7.8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=_________. (二)探索新知 很明显3、10、4 6,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根 的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如 a(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 二、学习过程
例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x 、x (x>0)、0、 42、-2、1 x y +、x y +(x ≥0,y?≥0). 例2.当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? 例3.当x 是多少时,23x ++1 1x +在实数范围内有意义? 例4.(1)已知y=2x -+2x -+5,求x y 的值. (2)若1a ++1b -=0,求a2004+b2004的值. 三、巩固练习 教材P5练习1.2.3. 四、学后记 本节课要掌握: 1a (a ≥0 2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 1.教材P8复习巩固1.综合应用5. 五、课时训练 一、选择题
1.下列式子中,是二次根式的是()
二次根式导学案人教版 二次根式导学案人教版 一.学习目标: 1.了解并熟记二次根式的概念,理解二次根式的意义并能确定被开方数中字母的取值范围; 2.理解公式(a)2=a(a≥0),并能利用公式进行一般的二次根式的化简. 二.学习重点:二次根式的定义. 学习难点:二次根式的性质. 三.教学过程 想一想: 1.平方根的定义:. 2.一个正数有个平方根,它们;0的平方根是;负数. 3.算术平方根的定义:. 算一算: 1.圆的面积为S,则圆的半径是. 2.正方形的面积为b-3,则边长为. 3.在Rt△ABC中,∠B=90°.若AB=50m,BC=m,则AC=m 对上面各题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗? 定义:一般地,式子_____(a≥0)叫做二次根式,a叫做 ___________,“”称为二次根号. 二次根式应满足两个条件:①;②.
试一试: 1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? 2、、1x、x(x>0)、-12、0、a2+5、-5、1x+y、x+y(x≥0,y≥0)、xy. 2.a取何值时,下列二次根式有意义. (1)a+1(2)1-10a(3)1a-3(4)a2+1(5)-(3-a)2(6)x-1+1-x 议一议: ①-1有算术平方根吗?②0的算术平方根是多少? ③当a<0时,a有意义吗?为什么? ④当a≥0,a可能为负数吗?为什么? 所以,你得出的结论是:a.(a). 动一动: 1.已知1+x+5-y=0,则x+y的值为. 2.(10广安)若x-2y+y+2=0,则xy的值为. 3.(11内蒙古),则xy=. 4.(11日照)已知x,y为实数,且满足=0,那么x2011-y2011=. 二次根式性质的探索: 22=4,即(4)2=4;32=9,即(9)2=9,同样地,(2)2=2, (5)2=5,…… 你能用一般式来表示这样的规律吗? . Ⅰ.计算. (-5)2=_______;(2a)2=_______;(32)2=_______;(ab)2=_______;