2021届中考数学热点题型专练：三角形【含答案】

2021届中考数学热点题型专练

三角形

【命题趋势】

首先说明——三角形是中考必考内容，而且也是热点内容，无论是小题还是大题．因为三角形包括的内容很多，例如三角形的基本知识（内角和定理推论、三边关系）、三角形的三线（角平分线、中线、高线）五心（内心，外心，重心，垂心，旁心），特殊的三角形（等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形）的性质及判定方法，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，最后在此要特别强调的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函数的相关知识是重中之重，它是我们计算线段长度的最重要的工具，所以这是考查的重点中的重点。

【满分技巧】

一、利用思维导图的方式整理有关三角形的相关内容

有关三角形的内容非常多，利用思维导图的方式可以很好地整理和归纳本部分内容，让这部分知识在我们的大脑中能形成一个完整的知识网络，这可以让我们在做题时可以快速地在大脑中搜索这部分知识．

二、总结与三角形有关的基本模型

（1）有关三角形全等模型

（2）有关三角形相似的模型：A字型，反A字型，8字型，反8字型，母子型，一线三等角型，一线三直角型，

．

【限时检测】（建议用时：30分钟） 一、选择题

1.如图，在△ABC 中，△B=90°，tan△C=，AB=6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（ ）

A ．18cm 2

B ．12cm 2

C ．9cm 2

D ．3cm 2

【答案】C

【解析】△tan△C=3

4 ，AB=6cm ， △AB BC =6BC =34 ，

△BC=8，

由题意得：AP=t ，BP=6﹣t ，BQ=2t ， 设△PBQ 的面积为S ，

则S=12 ×BP×BQ=1

2 ×2t×（6﹣t ），

S=﹣t 2+6t=﹣（t 2﹣6t+9﹣9）=﹣（t ﹣3）2+9， P ：0≤t≤6，Q ：0≤t≤4， △当t=3时，S 有最大值为9，

即当t=3时，△PBQ 的最大面积为9cm 2； 故选C ．

2.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是（ ）

A ．6

B ．12

C ．18

D ．24 【答案】B

【解析】因为DE//BC ，所以△ADE△△ABC ，k=1

2 ,所以△ABC 的周长为12

3.如图，已知等腰三角形ABC ，AB=AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）

A ．AE=EC

B ．AE=BE

C ．△EBC=△BAC

D ．△EBC=△AB

E 【答案】C 【解析】 △AB=AC ， △△ABC=△ACB ，

△以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，

△BE=BC，

△△ACB=△BEC，

△△BEC=△ABC=△ACB，

△△A=△EBC，

故选C．

4.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）

A．20B．24C．D．

【答案】B

【解析】

设小正方形的边长为x，

△a=3，b=4，

△AB=3+4=7，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

即（3+x）2+（x+4）2=72，

整理得，x2+7x﹣12=0，

解得x=或x=（舍去），

△该矩形的面积=（+3）（+4）=24，

故选：B．

5.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．16

【答案】D

【解析】

△在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

△DE△BC，DE=BC，

△△ADE△△ABC，

△=，

△=，

△△ADE的面积为4，

△△ABC的面积为：16，

故选：D．

6.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一

个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是（）

A．△A＝△D B．AC＝DF

C．AB＝ED D．BF＝EC

【答案】A

【解析】

选项A、添加△A＝△D不能判定△ABC△△DEF，故本选项正确；

选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．

故选：A．

7.已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

【答案】B

【解析】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，

△AC2+BC2＝AB2，

△△ABC是直角三角形，且△ACB＝90°，

故选：B．

8.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）

A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm

C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm

【答案】B

【解析】

A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；

B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；

C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；

D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．

故选：B．

9.已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个

【答案】D

【解析】△若n+2＜n+8≤3n，则

，

解得，即4≤n＜10，

△正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；

△若n+2＜3n≤n+8，则

，

解得，即2＜n≤4，

△正整数n有2个：3和4；

综上所述，满足条件的n的值有7个，

故选：D．

10.如图，在Rt ABC ?中，90B ∠=?，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于1

2

DE 为半径画弧，两弧交于点

F ，作射线AF 交边BC 于点

G ，若1BG =，4AC =，则ACG ?的面积是( )

A ．1

B ．

32

C ．2

D ．

52

【答案】C 【解析】

由作法得AG 平分BAC ∠，

G ∴点到AC 的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1，

所以ACG ?的面积1

4122

=??=．

故选：C ．

11.满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为（ ） A ．AB ＝

，BC ＝4，AC ＝5

B ．AB ：B

C ：AC ＝3：4：5 C ．△A ：△B ：△C ＝3：4：5

D ．|cos A ﹣|+（tan B ﹣

）2＝0

【答案】C 【解析】A 、△

，△△ABC 是直角三角形，错误；

B 、△（3x ）2+（4x ）2＝9x 2+16x 2＝25x 2＝（5x ）2，△△AB

C 是直角三角形，错误； C 、△△A ：△B ：△C ＝3：4：5，△△C ＝

，△△ABC 不是直角三角形，正确；

D 、△|cos A ﹣|+（tan B ﹣）2＝0，△，△△A ＝60°，△B ＝30°，△△C ＝90°，△△ABC

是直角三角形，错误；

故选：C．

12.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若

BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（）

A.8

B.11

C.16

D.17

【答案】B

【解析】因为DE垂直平分AB，所以BE=AE，

所以BC=BE+CE=AE+CE=6

又AC=5

所以△ACE的周长为5+6=11

故选B

13.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A．直角三角形的面积

B．最大正方形的面积

C．较小两个正方形重叠部分的面积

D ．最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【解析】

设直角三角形的斜边长为c ，较长直角边为b ，较短直角边为a ， 由勾股定理得，c 2＝a 2+b 2，

阴影部分的面积＝c 2﹣b 2﹣a （c ﹣b ）＝a 2﹣ac +ab ＝a （a +b ﹣c ）， 较小两个正方形重叠部分的长＝a ﹣（c ﹣b ），宽＝a ， 则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ），

△知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选：C ．

14.如图，在ABC ?中，AC BC =，40A ∠=?，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为( ) A ．40? B ．45? C ．50? D ．60?

【答案】C 【解析】

由作法得CG AB ⊥， AB AC =，

CG ∴平分ACB ∠，A B ∠=∠， 1804040100ACB ∠=?-?-?=?，

1

502

BCG ACB ∴∠=∠=?．

故选：C ．

15.如图，点D在BC的延长线上，DE△AB于点E，交AC于点F．若△A＝35°，△D＝15°，则△ACB的度数为（）

A．65°B．70°

C．75°D．85°

【答案】B

【解析】△DE△AB，△A＝35°

△△AFE＝△CFD＝55°，

△△ACB＝△D+△CFD＝15°+55°＝70°．

故选：B．

二、填空题

16.腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．

【答案】6或25或45

【解析】△如图1

当5

AD=，

AB AC

==，4

则3

BD CD

==，

∴底边长为6；

△如图2．

当5

==，4

AB AC

CD=时，

则3

AD=，

BD

∴=，

2

22

∴=+=，

2425

BC

∴此时底边长为25；

△如图3:

当5AB AC ==，4CD =时，

则223AD AC CD =-=， 8BD ∴=，

45BC ∴=，

∴此时底边长为45．

故答案为：6或25或45．

17.如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△B ＝60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 至F ，使CF ＝BC ，连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC ＝a ，则△FMB 的周长为 ． 【答案】

【解析】

在Rt△ABC 中，△B ＝60°， △△A ＝30°， △AB ＝2a ，AC ＝a ．

△DE 是中位线， △CE ＝

a ．

在Rt△FEC 中，利用勾股定理求出FE ＝a ， △△FEC ＝30°．

△△A＝△AEM＝30°，

△EM＝AM．

△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝．

故答案为．

18.如图，在△ABC中，△ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC△BC，则△ABC的面积是．

【答案】8

【解析】△DC△BC，

△△BCD＝90°，

△△ACB＝120°，

△△ACD＝30°，

延长CD到H使DH＝CD，

△D为AB的中点，

△AD＝BD，

在△ADH与△BCD中，，

△△ADH△△BCD（SAS），

△AH＝BC＝4，△H＝△BCD＝90°，

△△ACH＝30°，

△CH＝AH＝4，

△CD ＝2，

△△ABC 的面积＝2S △BCD ＝2××4×2

＝8

，

故答案为：8．

19.如图，已知直线121//l ，含30?角的三角板的直角顶点C 在1l 上，30?角的顶点A 在2l 上，如果边AB 与1l 的交点D 是AB 的中点，那么1∠= 度．

【答案】120

【解析】D 是斜边AB 的中点，

DA DC ∴=，

30DCA DAC ∴∠=∠=?， 260DCA DAC ∴∠=∠+∠=?， 121//l ，

12180∴∠+∠=?，

118060120

∴∠=?-?=?．

故答案为120．

20.等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为cm．

由题意知，应分两种情况：

【答案】32

【解析】（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．

故答案为32．

三、证明题

21.已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：△A+△B+△C=180°．

【证明】：过点A作EF△BC，

△EF△BC，

△△1=△B，△2=△C，

△△1+△2+△BAC=180°，

△△BAC+△B+△C=180°，

即△A+△B+△C=180°．

22.如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．

（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出△A与△B的和与△C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；

（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．

【解】：（1）△在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，

△△A+△B＜△C；

（2）如图，过点A作MN△BC，

△MN△BC，

△△MAB＝△B，△NAC＝△C（两直线平行，同位角相等），

△△MAB+△BAC+△NAC＝180°（平角的定义），

△△B+△BAC+△C＝180°（等量代换），

即：三角形三个内角的和等于180°；

（3）△＝，

△ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，

△2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，

△a 2+c 2＝b 2，

△△ABC 是直角三角形．

23.已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠．求证：E C ∠=∠．

【证明】：BAE DAC ∠=∠ BAE CAE DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠ CAB EAD ∴∠=∠，且AB AD =，AC AE =

()ABC ADE SAS ∴??? C E ∴∠=∠

24.如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C 在直线m 上，分别过点A 、B 作AE △直线m 于点E ，BD △直线m 于点D ． △求证：EC ＝BD ；

△若设△AEC 三边分别为a 、b 、c ，利用此图证明勾股定理． △【证明】：△△ACB ＝90°， △△ACE +△BCD ＝90°． △△ACE +△CAE ＝90°， △△CAE ＝△BCD ． 在△AEC 与△BCD 中，

△△CAE△△BCD（AAS）．

△EC＝BD；

△解：由△知：BD＝CE＝a

CD＝AE＝b

△S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）

＝a2+ab+b2．

又△S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC

＝ab+ab+c2

＝ab+c2．

△a2+ab+b2＝ab+c2．

整理，得a2+b2＝c2．

25.如图，已知：在△ABC中，△BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．

【证明】：△△BAC＝90°，

△△DAF＝90°，

△点E，F分别是边BC，AC的中点，

△AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，

△FE＝AB，FE△AB，

△△EFC ＝△BAC ＝90°， △△DAF ＝△EFC ， △AD ＝AB ，

△AD ＝FE ，

在△ADF 和△FEC 中，，

△△ADF △△FEC （SAS ）， △DF ＝EC ， △DF ＝BE ． 四、作图题

26.如图，已知等腰ABC ?顶角30A ∠=?．

（1）在AC 上作一点D ，使AD BD =（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；

（2）求证：BCD ?是等腰三角形． （1）解：如图，点D 为所作；

（2）证明：

AB AC =，

1

(18036)722

ABC C ∴∠=∠=?-?=?，