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初中数学竞赛辅导资料(36)三点共线

119 初中数学竞赛辅导资料(36)

三点共线

甲内容提要

1. 要证明A ,B ,C 三点在同一直线上, A 。 B 。 C 。 常用方法有:①连结AB ,BC 证明∠ABC 是平角

②连结AB ,AC 证明AB ,AC 重合

③连结AB ,BC ,AC 证明 AB +BC =AC

④连结并延长AB 证明延长线经过点C

2. 证明三点共线常用的定理有:

① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半

④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半

⑤ 两圆相切,切点在连心线上

⑥ 轴对称图形中,若对应线段(或延长线)相交,则交点在对称轴上

乙例题

例1.已知:梯形ABCD 中,AB ∥CD ,点P 是形内的任一点,PM ⊥AB , PN ⊥CD

初中数学竞赛辅导资料(36)三点共线

求证:M ,N ,P 三点在同一直线上 证明:过点P 作EF ∥AB , ∵AB ∥CD ,∴EF ∥CD ∠1+∠2=180 ,∠3+∠4=180

∵PM ⊥AB ,PN ⊥CD

∴∠1=90 ,∠3=90 ∴∠1+∠3=180 ∴ M ,N ,P 三点在同一直线上

例2.求证:平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点,三点在同一直

线上

已知:平行四边形ABCD 中,M ,N 分别是AD 和BC 的中点,O 是AC 和BD 的交点

求证:M ,O ,N 三点在同一直线上

初中数学竞赛辅导资料(36)三点共线

证明一:连结MO ,NO ∵MO ,NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线

∴MO ∥AB ,NO ∥AB

根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行