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排列组合问题基本类型及解题方法

排列组合问题的基本模型及解题方法

导语:解决排列组合问题要讲究策略,首先要认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无序),还是排列与组合混合问题。其次,要抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题,分类必须满足两个条件:①类与类必须互斥(不相容),②总类必须完备(不遗漏);乘法原理的特征是分步解决问题,分步必须做到步与步互相独立,互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略,在实际操作中往往是“步”与“类”交叉,有机结合,可以是类中有步,也可以是步中有类,以上解题思路分析,可以用顺口溜概括为:审明题意,排(组)分清;合理分类,用准加乘;周密思考,防漏防重;直接间接,思路可循;元素位置,特殊先行;一题多解,检验真伪。注意以下几点:

1、解排列组合应用题的一般步骤为:

①什么事:明确要完成的是一件什么事(审题);

②怎么做:分步还是分类,有序还是无序。

2、解排列组合问题的思路

(1) 两种思路:直接法,间接法。

(2) 两种途径:元素分析法,位置分析法。

3、基本模型及解题方法:

(一)、元素相邻问题

(1)、全相邻问题,捆邦法

例1、6名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排法有( C )种。

A、720 B、360 C、240 D、120

说明:从上述解法可以看出,所谓“捆邦法”,就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时,可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

(2)、全不相邻问题插空法

例2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少不同的排法,

解:先将6个歌唱节目排好,其中不同的排法有6!,这6个节目的空隙及两端共有

4七个位置中再排4个舞蹈节目有A7种排法,由乘法原理可知,任何两个舞蹈节目不得相

46邻的排法为A7A6种

例3、高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是

A、1800 B、3600 C、4320 D、5040

52解:不同排法的种数为A5A6=3600,故选B

说明:从解题过程可以看出,不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它隔开,此类问题可以先将其它元素排好,再将特殊元素插入,故叫插空法。

(3)、不全相邻排除法,排除处理

例4、五个人站成一排,其中甲、乙、丙三人有两人相邻,有多少排法?

解:A5A3A3A2A3或3A2A3A272

例5、有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 .

解法一: ①前后各一个,有8×12×2=192种方法

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