当前位置：文档库 › 高一数学教案：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质1

高一数学教案：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质1

第四十五课时函数sin()y A x ω?=+的图象与性质(1)

【学习目标】

１．了解函数sin()y A x ω?=+的实际意义

２．会用“五点法”作sin()y A x ω?=+的图象

３．理解sin()y A x ω?=+的图象与曲线sin y x =之间的关系

【题型示例】

例1已知函数3sin(2)3y x π=+

（1）求出它的周期；

（2）用“五点法”作出一个周期的简图；

（3）指出该函数的单调区间. 【分析】考虑抓住哪五点？取“23x π+”为整体，对应的值分别为30,,,,222ππππ。【解】（1）2T π

πω==

（2）列表

描点连线

（例1）

减区间：7[,

]()1212k k k Z ππππ++∈ 增区间：5[,]()1212

k k k Z ππππ-++∈ 例2用两种方法将函数sin y x =的图象变换为函数1sin()24y x π=-的图象【分析】分清楚先平移变换还是先伸缩变换。

【解】方法1：（11()22224

x x x x ππ→→-=-）将函数sin y x =的图象横坐标伸长为原来的2倍

（纵坐标不变），得到sin

2x y =，再将sin 2x y =的图象向右平移2π个单位，就得到1sin()24y x π=-的图象

方法2：（1424x x x ππ→-→

-）将函数sin y x =的图象向右平移4π个单位，得到sin()4y x π=-的图象，再将sin()4

y x π=-的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），就得到1sin()24

y x π=-的图象例3已知函数15sin(2)264

y x π=++，x R ∈ （1）求函数y 的最大值及相应的x 的值;

（2）该函数图象可由sin y x =（x R ∈）的图象经怎样的平移和伸缩变换得到？

【分析】（1）利用正弦函数取最大值的条件；（2）掌握三角函数图象的综合变换，搞清先平移还是先伸缩.

【解】（1）2262x k πππ+

=+得()6x k k Z ππ=+∈ 所以当()6x k k Z π

π=+∈时，max 74

y = （2）把sin y x =图象向左平移

π个单位，得到sin()6y x π=+；再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半得sin(2)6y x π=+；再横坐标不变，纵坐标缩小为原来的一半得1sin(2)26

y x π=+；最后图象上移54个单位得到15sin(2)264y x π=++的图象.（可调整顺序）【拓展创新】

若将函数()y f x =的图象向右平移8

π个单位得到图象C 1，再将图象C 1上的每一点的横坐标变为原来的2倍得到图象C 2，再将图象C 2上的每一点的纵坐标变为原来的3倍得到图象C 3，若C 3是函数cos y x =的图象，试求()y f x =的表达式.

【分析】逆向思维解决本题. 【解】111cos cos cos 2cos 2()3338

y x y x y x y x π=→=→=→=+ （Ｃ3 Ｃ2 Ｃ1 ()y f x = ）

化简得1cos(2)34

y x π=+ 【反思升华】

1．把x ω?+看作整体，找准五点；

2．在图象变换过程中，考虑先平移还是先伸缩

3．通过表达式的运算方式知道图象的变换方式。

【学习评价】

1．振幅为

12，周期为23π，初相为6

π的函数可能是（） A 1sin()236x y π=+ B 2sin()26

x y π=- C 1sin(3)26y x π=+ D 1sin(3)26

y x π=- 2．函数1sin(2)26

y x π=-+的递减区间为（） A [2,2]()63k k k Z ππππ-++∈ B 5(2,2)()66

k k k Z ππππ++∈ C [,]()63k k k Z ππππ-++∈ D 5[,]()66

k k k Z ππππ++∈ 3

．函数12)4y x π=++的最大值为（）

C 1

D 1-4．函数2sin(2)3y x π

=+的图象（）Ａ．关于点π03?? ???，

对称Ｂ．关于直线π4x =对称Ｃ．关于点π

04?? ???，

对称Ｄ．关于直线π3x =对称 5．要得到3cos(2)4y x π=+

，x R ∈的图象，只需将函数3cos 2y x =，x R ∈的图象 A 向左平移4π个单位 B 向左平移8

π个单位（） C 向右平移4π个单位 D 向右平移8

π个单位 6．将函数2sin(2)5y x π=+的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12

，得到新函数的图象，那么这个新函数的解析式是（） A sin(2)5y x π=+ B 2sin()5y x π=+ C 2sin()10y x π=+ D 2sin(4)5y x π

=+ 7．一弹簧振子的位移y 与时间t 的函数关系为sin()(0,0)y A t A ω?ω=+>>，若已知此振动的

振幅为3，周期为

27π，初相为6

π，则这个函数的表达式为。 8．（1）要得到函数sin y x =的图象，需把函数1sin 2y x =的图象上所有的点坐标到原来的倍。坐标不变。

（2）要得到函数cos 3

x y =的图象，需把函数cos y x =的图象上所有的点坐标到原来的倍。坐标不变。

9．函数sin()5y x π=--，7[,]33

x ππ∈的减区间是。 10．关于函数4sin(2)3y x π

=+（x R ∈）

，有下列命题： ①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的表达式可改写为

4cos(2)6y x π=-；③()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图象关于直线6

x π=-对称。

其中正确的命题序号是。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

11．求函数12sin()24y x π=+

的振幅、周期和初相，并作出它的图象

12．指出经过怎样的图形变换，可将正弦曲线变换为3sin(2)6y x π=-

的图象

13．设有函数()sin()3f x a kx π=+和()tan()3g x b kx π=- (0,0,0)a b k >>>。若它们的最小正

周期之和为32π，且()()22f g ππ=，()()144

f ππ=+，求这两个函数的解析式。

高一函数单调性完整版

函数的单调性学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程【学习导航】知识网络学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、函数的单调性 1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。函数的单调性单调性的定义定义法证明函数的单调性增函数减函数单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f =

高一数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x) 定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f (x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则 f (x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： ○ 1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○ 2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○ 2确定f(－x)与f(x)的关系；○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f (x) = 0，则f (x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f (x)是奇函数。（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶 2．单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1，x 2，当x 1f(x 2)），那么就说f(x)在区间D 上是增函数（减函数）；注意： ○ 1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○ 2必须是对于区间D 内的任意两个自变量 x 1，x 2；当x 1

高中数学必修一函数的性质单调性测试题含答案解析

函数的性质单调性 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（） 222xxyxyyyx＋ 1 DC．．B．A．==2=3＋1 ＋=2＋1 x2mxxfx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间－2．函数((－∞，－)=42) 上是减函数，f(1)等于（则） B．1 C．17 A．－7 D．25 fxyfx＋5)的递增区间是 (（ (－2，3)上是增函数，则）=3．函数 ()在区间A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5) ax?1axf的取值范围是 )．函数上单调递增，则实数(()=－2，＋∞在区间（） 4x?211，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1) A．(0，B．( ，＋∞) 22fxabfafbfxab]内（， (）)=0]上单调，且在区间([) ()＜5．已知函数0()在区间[，，则方程 A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一的实根 22gxxgxfxxxf) (．已知函数)=( ))=8＋2( 2－－，那么函数，如果 (（） 6 A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数 C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数 fxf(x|，1)是其图象上的两点，那么不等式上的增函数，A(0，－1)．已知函数7、(B(3)是R＋1)|＜1的解集的补集是 A．(－1，2) B．(1，4) C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1)∪[2，＋∞） fxtftf(5＝，都有)(5R的函数＋(上单调递减，对任意实数)在区间(－∞，5)8．定义域为tfff(13) ＜(9)(－1)－＜)，下列式子一定成立的是 A．fffffffff(9) ＜－(13)＜(－1) ＜1)B．(13)＜(13) D(9)＜．(－1) C．((9)＜f(x)?|x|和g(x)?x(2?x)的递增区间依次是（．函数9 ） B． A． C． D )??[1,[0,????)),][0,,(??,0],(??1]??),(??,1[(??,0],1,??????a4?,?的取值范围是（10．已知函数）在区间上是减函数，则实数221fx??xx?2a?aaaa≥．3 ．D≤≤3 B．5 ≥－3 C A．fxabab≤0，则下列不等式中正确的是（∈R且＋11．已知())在区间(－∞，＋∞上是增函数，）、 fafbfafbfafbfafb) ()(＋)≤A ．(()＋(≤－)－()＋B()］．－()＋

函数的基本性质教案1第1课时

课题：§1.3.1函数的单调性及最大、小值 ⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； ⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质； ⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； ⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质；函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义．利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的最大（小）值． ⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ ⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律： ①f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． ③f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．．，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有 )()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．．，如图⑵ ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1

高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质

函数的基本性质基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.

即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ②

高一数学必修一函数概念表示及函数性质练习题(含答案)(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。 1．已知R 是实数集，21x x ?? M =.则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 取值范围是( ) 6．已知上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. B. C. D. 7．函数2 5 ---= a x x y 在（－1，＋∞）上单调递增，则a 的取值范围是 A ．3-=a B ．3f （2x ）的x 的取值范围是________.