一致收敛

定义1设是定义在上的一个函数序列，并设对每一数,都收敛。此

时，由(1) 确定了一个函数，称为在上的极限函数，也称在上逐点收敛于．

定义设是定义在上的一个函数项级数．记，称为的部分和函数列．如果在上收敛于，则称是在上的

和函数，即．(2)

此时也称在上逐点收敛．

我们要讨论的主题是：在极限运算 (1) 和 (2) 之下所得的函数和，能否保留函数序列原来所具有的分析性质（如连续，可微，可积等等）呢？例如，当

在中某一点都连续时，在点是否也连续呢？亦即是否能使等式

(3) 成立呢？

由(3)式看到，此等式能否成立的关键是第二个等号，即与这两个极限

过程是否能随意交换次序而不影响结果．下面举例说明两个极限过程的次序一般是不可随意交换的．

例1设一“双重序列”为．对每个固定的m有，于是

;对每个固定的m有,于是．

由此可见．

例2设函数项级数． (4)

由于，因此；而当时，(4)为一个收敛的几何级数，．所以

由此可见，对于上处处连续的的和函数

却出现了间断点，使得. 例3设函数序列，其极限函数为．

由于不收敛于，因此使得

．

例4设函数序列，其极限函数为．

分别计算与在上的定积分：，．

由此易见．

这些例子说明．仅有定义1和定义的收敛性概念，还不足以保证两个极限运算的次序可

以交换．为此我们需要引入一种新的收敛方式——一致收敛．

二、一致收敛概念

定义2，当时，对一切，都有．

这时称函数列在上一致收敛于，记作．

一致收敛与逐点收敛之间的区别：定义2中的只依赖于，它适用于一切；而定义

1中的极限式 (1) 若用陈述方式来表示时，其中的既与有关，又与中的考察点有关．

定义设函数项级数的部分和函数列为．如果，

则称在上一致收敛于．

由定义2与定义易知：

●若, 则．

●若或在上一致收敛，，则它们在上必一致收敛．

●当把数列看作一个特殊的函数序列时，如果收敛，则可认为它在上一致收敛．

●当把数项级数看作一个特殊的函数项级数时,如果收敛，则可认为它在

上一致收敛．

●又若，则同样可以认为．

把逐点收敛（即数列或数项级数收敛）的柯西准则推广为一致收敛的柯西准则，即为以下两个定理．

定理5.1在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切

和一切都有．

定理5.1'在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切

和一切都有．

有关定义2、定义以及柯西条件的否定说法，分别示于相关知识

例5讨论函数列分别在和上的一致收敛性．

解首先，对每一固定的，恒有，即在上处处收敛于．

(i) 当时，，，当时，对一切，都有

．由于上述只依赖于，依据定义2，证得，．(ii) 当时，由解出．由此可见既依赖，又依赖，故，

．

三、余部准则

已知，．要判别在（或的某一子集）上是否一致收敛于, 除用定义2或定理5.1外,还有一个很有效的判别准则.

定理5.2设．的充要条件是：

．

定理5.2'设，，它的余项为．

在E上一致收敛于的充要条件：（定义,定理5.2直接可得) 上面定理5.2和定理5.2'是通过对所有求“余部”或的最大可能值(取上确界)是否趋于()来判别一致收敛的，不妨把它称为“余部准则”．定理5.2有两个很有用的推论，它们可分别用来判定一致收敛和不一致收敛．

推论1 设，．若存在数列，使

，，则．

证由于对每个，是在上的上界，因此．

于是由，便得．依据定理5.2可知．

推论2设，；，．若，使

，则，，亦即，．

证倘若，，则由定理5.2得知．由于当时，

，因此．这与条件相矛盾，所以，

．[证毕]

例6用定理5.2(或它的推论)重新讨论例5．

解(i) 当时，由推论1(或定理5.2)知道，

而且．所以,．

(ii) 当时，由推论2，，使，，故，．

例7证明：1) 当且仅当时，在上一致收敛；

2) 在上一致收敛．

证1) 由于，因此对每一，有

于是求得．

又因，所以

．

由定理5.2可知：当且仅当时，．

2) 由于对每一个，关于是单调递减的(当时)，

且，因此该级数是莱布尼茨型的交错级数，为收敛．

利用莱布尼茨级数的余和性质，知道

，，．

所以满足，由定理5.2'推知在上一致收敛．

18.1 ，而，．是指：，，和，

使．

18.2，而，．是指：，，和，

使．18.3 在上不一致收敛．是

指：，，，和，使．

18.4在上不一致收敛．是指：，，，和，

使．

18.5 依据18.1，，，当取时，．故，．

18.7 因为

18.8对于莱布尼茨型级数．由于，因此

．

于是它的余和估计式可为．

复习与思考

1.举出尽可能简单的反例，说明当，，

时，不一定有，．

2．试讨论：当，，在上满足何样条件时，能保证

，？3．试讨论：当在上一致收敛，在上满足何样条件时，就能保证在上一致收敛呢？

4．下面给出课后练习第5题的一种“证明”，请指出错在何处？如何改正？

证明如下：由于；

而，，故；

又，故；

1．在积分判别法中，若只设为非负，则与不一定同时收敛、同时发散．举反例如下：

(i) 是发散的无穷积分，但因

，故为一收敛级数．

(ii) 在第十六讲（反常积分）讨论例1的2)，3)时，曾举过一反例：当取（稍有修改）

时，收敛．但因，使为发散．

所以，在命题2中还要求是递减的，这是一个很重要的条件（当然，为非负函数的条件也是不可缺少的）．

2．结论仍然成立．这是因为由收敛，必有；而又是单调的，故只能保持定号（非负递减趋于，或非正递增趋于）．

1函数项级数的一致收敛性

函数列与函数项级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ ()n f x = ,(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n = i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx =+ (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx = + i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑸ 2 233 (),1n n x f x n x = + i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x = ++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1n n n x f x x = + i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞> ⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈ ⑼ 1 (),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈ ⑽ ()ln ,n x x f x n n = (0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -= + (,);x ∈-∞+∞

⑿ 2 ()(),x n n f x e --= i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()] ()n nf x f x n = (1,2,)n =???. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时， (),nx n f x n xe α -= 1,2,3,n =??? 在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10 lim ()n n f x dx ->∞ ? 可在积分号下取极 限？ 4. 证明序列2 ()nx n f x nxe -=(1,2,)n =???在闭区间[0,1]上收敛，但 1 100 lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞ ->∞ ≠? ? 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又 [,]n x a b ∈(1,2,)n =???，满足0lim n n x x ->∞ =，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞ = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0 (1), [0,1];n n x x x ∞ =-∈∑ ⑵ 12 2 1 (1) , (,)(1) n n n x x x -∞ =-∈-∞+∞+∑ . 7. 设()n f x (1,2,)n =???在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证： ()n f x 在[,]a b 上一致有界. 8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且 1()[()()],n f x n f x f x n =+ - 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列

关于一致收敛

关于一致收敛，我提出了一些自然应该产生的问题，主要看定义和提出的问题，希望可以看完定义和从这个定义出发的许多问题，这里大部分比较简单，尤其是根据定义验证性质的希望可以验证一下，根据定义便可以得出的，其他的了解一下，可以等寒假或者以后再想。尤其举反例部分不用着急想，比如weierstrass 函数的反例和最后的一段比较难，不用浪费精力去着急想，了解一下即可，但心里要装着这些问题，不要放弃。 1一致收敛的定义：关键是共同的N （与x 无关），任意号与存在号的选择与排序问题，比如有四个空，每个空填写任意与存在，一共有2^4种可能，另外还可以对这些做排序（4！），就有2^4*4！=384种不同的结果，但其中只有一种是可以描述一致收敛的定义，因而这样的话，定义的准确性就显得很是必要了，这里仅仅有一种正确刻画了一致收敛 0,,,. n Given any there exists a capital N such that f f whenever n N εε-＞＜＞ 0ε?（任给，对任意固定的，对每个给定的）＞，N ?（存在找得到）正整数， n N ?使得对一切的(当……时)（或者用符号）＞， ,.(,)()()n x E s t such that f x f x ε?∈-对一切的（）＜ （一致性体现在，有共同的N 不依赖于x ，试若把x E ?∈对一切的（）放在，N ?（存在找得到）正整数前，则是逐点收敛的定义（N 依赖于x ），从逻辑上完全不是同一句话） 注：n x ε?（从“对一切的（）”开始的部分等价于用上确界范数的描述＜）2对定义的提问： 1 well-defined ？（是不是恰到好处的）比如对集合E 要有什么要求？ 如果说函数列分别按照逐点收敛和按照一致所得的极限函数存在的话，这个极限函数唯一吗？ 2如果是well-defined ，那么它的否定的正面描述是什么？并且举出一致收敛和不一致收敛的例子来体会定义（好例子的标准：1简洁（而并非去整自己去找很难的例子）2能反映一些重要性质体会到为什么一致收敛，为什么不一致收敛）既要有正面例子，又要有反面的例子 3一致收敛于逐点收敛的区别及其蕴含关系是什么？ 4每一种收敛方式都对应于一个基本列的表述方式，对比于n 维实空间，连续函数空间也是一个距离空间，那么它的基本列是什么定义，基本列与收敛列之间的关系呢？即它完备吗？ 注意到在考虑函数空间时候，我们考虑的是把函数作为一个“元素”放到整个函数空间中去看，因此我们在函数空间中引入了一致收敛的概念，注意力集中到函数作为一个元素上去，因而一致收敛的时候要求N 与x 要无关 5类似地可以问，连续函数空间中的子集有界是什么意思？也就有了一致有界的概念（感

收敛与一致收敛 开题报告

《收敛与一致收敛》开题报告 综述本课题研究动态、选题目的及意义 收敛与一致收敛的应用非常广泛，涉及到数学的许多领域，在数学的代数分支中有很重要的地位，许多数学家对收敛与一致收敛都进行了仔细的研究，并且有很多成果，有些著名的收敛判别法运用非常广泛(如两边夹定理，柯西收敛准则，M判别法，狄利克雷判别法)，它们在外表上结构美观，具有数学美。本课程在学习和研究已有文献资料的基础上，总结归纳关于数列，数值级数、函数级数、幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分瑕积分收敛与一致收敛的性质和判别方法及其应用。 努力通过此毕业论文的设计工作，初步掌握科学研究的基本方法，而且通过老师指导、自学思考、文献查询等方式。通过对数列，数值级数、函数级数、幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分瑕积分收敛与一致收敛的研究，认真总结和归纳研究的基本方法和怎样去解决一些关于收敛与一致收敛的问题在数学和生活中的应用。并形成相关的思路。掌握了科学研究的基本方法，养成动手查阅资料的好习惯。通过对这次毕业论文的研究培养思考问题并且有计划，有这样在以后的工作和学习中会起到事半功倍的作用。

研究基本内容、拟解决的主要问题 研究数列收敛与发散的概念，收敛数列的性质，四则运算以及判别方法；数值级数收敛与发散的概念，性质以及绝对收敛级数的性质；函数级数的一致收敛概念以及判别法；幂级数、泰勒级数傅、里叶级数的收敛性质。无穷积分以及瑕积分收敛与发散的概念，性质以及无穷积分和瑕积分的敛散性的判别法。 查询、阅读相关文献，在此基础上，重点阐述，解决数列，数值级数、函数级数幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分与瑕积分收敛与一致收敛的问题。在此过程中学习研究的基本方法，学会资料的收集和整理，努力通过此项研究，初步掌握科学研究的基本方法。 研究方法、步骤及措施研究方法 通过查阅相关参考书等自学方式，找到正确高效的学习方法，保证足够的时间，遇到问题与同学讨论，共同发现问题，找到解决问题的途径，在关键时候向指导老师请教，走出误区，获得启示，继续研究。 研究步骤及措施： 1、明确相关概念。 2、收集相关资料。 3、归纳、发现其它性质，运用性质解决实际问题。

函数项级数一致收敛的判定开题报告

一、本课题研究现状及可行性分析 目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M 判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。 函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于()n u x 一致收敛性的判别法，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。 基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。

函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用

函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）

一致收敛性及应用初步

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/cb10246712.html, 一致收敛性及应用初步 作者：缪彩花何天荣 来源：《文理导航》2018年第03期 【摘要】本文对函数项级数一致收敛性的判别法进行介绍和举例，还介绍了一致收敛函数项级数性质的初步应用，有助于加深对一致收敛的理解，体会一致收敛的作用，增强数学的应用意识。 【关键词】级数；一致收敛；判别法 函数项级数具有高度的抽象性，特别是函数项级数的一致收敛性更是教学和学习中的难点，以下我们介绍函数项级数一致收敛性的判别方法及其初步应用。 一、函数项级数一致收敛性的判别法 1.M判别法 M判别法的适用范围虽然较窄，但当它适用時，用起来却很方便。 如对于函数项级数，x∈[-1，1]。由于对任意的x∈[-1，1]有u （x）≤ ，而级数收敛，所以由M判别法知原函数项级数在[-1，1]上一致收敛。该函数项级数也可用“裂项相消法”去求 部分和序列，证明其一致收敛，但和M判别法比较，就可以发现M判别法简单得多。 2.狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法均适用于讨论通项是两个函数相乘的函数项级数，如对于函数项级数，x∈[0，+∞），记u （x）= ，v （x）= ， u （x）在[0，+∞）上一致收敛。 ∨x∈[0，+∞），函数列{v （x）}是单调减少的，又因为v （x）≤1对一切x∈[0，+∞）和任意n∈N都成立，所以{v （x）}在[0，+∞）一致有界，由阿贝尔判别法知函数项级数 u （x）v （x）在[0，+∞）上一致收敛。 3.柯西准则及其推论 判别函数项级数一致收敛的M判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法都是充分性判别法，不能用它们来判别函数项级数不一致收敛。判别函数项级数不一致收敛可应用柯西准则及其推论。对于函数项级数 2 sin（x/3 ），x∈（0，+∞），记u （x）=2 sin（x/3 ），取ε =1，∨N>0， n>N及x =π3 /2∈（0，+∞）有u （x ）=2 >1，由此得{u （x）}在（0，+∞）上不一致收敛于零，由柯西准则的推论得：函数项级数 2 sin（x/3 ）在（0，+∞）上不一致收敛。

函数项级数一致收敛性的判别法

函数项级数一致收敛性的判别法 摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识 如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数.

含参量反常积分一致收敛性的判别法资料

含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-

一致收敛判别法总结

学年论文 题目：一致收敛判别法总结 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：张学玉 学号：201071010374 指导教师：陶菊春

一致收敛判别法总结 学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春 摘要： 函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。 Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysis of the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics. 关键词： 函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法 Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion 引言： 函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。初学者需用灵活的思维以便在使用时选出正确又快捷的证明方法和技巧。为了更好的培养我们这方面的能力，总结出了函数项级数一致收敛性的若干证明方法。 一、定义 设(){}x S n 是函数项级数()x u n ∑的部分和函数列.若(){}x S n 在数集D 上一致收敛于函数()x S ，则称函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛于函数()x S ，或称函数项级数 ()x u n ∑在D 上一致收敛. 定理：若对?n ，?n a >0使得()()n n a x S x S ≤-()D x ∈?,并且当∞→n 时有 0→n a .则当∞→n 时()x S n 一致收敛于()x S . 例1：若()x f n 在[]b a ,上可积， ,2,1=n ，且()x f 与()x g 在[]b a ,上都可积

浅谈函数列收敛与一致收敛的关系及差异

摘要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异 关键词：函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛

Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view, through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergence Keyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence

目录 1 引言 (4) 2 函数列收敛与一致收敛的定义 (4) 2.1 函数列收敛 (5) 2.2函数列的一致收敛 (5) 3 论述函数列收敛与一致收敛的差异 (5) 4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系 (9) 4.1从定理的角度阐述 (10) 4.2从集合的角度阐述 (11) 结论 (12) 参考文献 (13) 致谢 (14)

1引言 收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。 特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把 函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的 理解这个概念。而且证明时学生常常都用""N -ε语言硬套，各个版本数学分析 中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。所以本文 为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数 列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立 建立 2 函数列收敛与一致收敛的定义 2.1函数列收敛： 设 ,2,1f f …,,n f … （1） 是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。（1）也可以简单地写作： ? ?????n f 或,n f n=1,2,… 设0x ∈E ，以0 x 代入（1）可得数列 ), 0 (),...0(2),0(1x n f x f x f （2） 若数列（2）收敛，则函数列（1）在点0x 收敛，0 x 称为函数列（1）的收敛点。若数列（1）在数集D E ?上每一点都收敛，则称（1）在数集D 上收敛。这时D 上每一点x ，都有数 列? ?? ???n f 的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列（1）的极限函数。若把此极限函数记作,f 则有

函数项级数的一致收敛性

第三节 函数项级数的一致收敛性 本节将讨论函数项级数有关性质。 定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为 )(1x u +)(2x u +……+)(x u n +…… 为E 上的函数项级数，简记为∑∞ =1 )(n n x u 。其中)(x u n 称为第n 项. )(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞ =k n n x u )(. 记号中n 可以用其它字母 代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设∑∞ =1)(n n x u 是集合E 上的函数项级数，记 ∑==n i i n x u x S 1 )()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ， 它称为级数∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列。 如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点收敛或称0x 为该级数 的收敛点。 如果|)(|1 ∑∞ =n n x u 在0x 点收敛，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点绝对收敛。非常容易证 明绝对收敛一定收敛。 {})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。如果{})(x S n 在0x 点不收敛，

我们说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点发散。 如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上点态收敛于 )(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前 n 项部分和的余项. {})(x R n 称为该级数的余项函数列. 如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1)(n n x u 在D 上一致收敛于 )(x S ， 或∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上内闭一致收敛. 用N -ε的进行叙述将是： 设∑∞ =1)(n n x u 是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。 若对任意ε>0，总存 在一个正数正数N （只能依赖于ε，绝对不依赖于x ），当N n >时，对一切的D x ∈，总有 ε<-∑=|)()(|1x S x u n i i ， 则称该函数项级数在D 上一致收敛于)(x S . 同样一致收敛一定点态收敛. 例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数） ΛΛΛΛ+++++=∑∞ =-n n n x x x x 21 1 1 的部分和函数是x x x S n n --=11)( .显然当|x |<1时

函数项级数的一致收敛

教案 函数项级数的一致收敛性 复旦大学数学系陈纪修金路 1．教学内容 通过讨论关于函数项级数（函数序列）的无限求和运算（极限运算）是否能与极限运算，求导运算或积分运算交换次序的问题，提出函数项级数（函数序列）的一致收敛概念与一致收敛的两个充分必要条件。 2．指导思想 （1）数学分析与初等函数的根本区别在于引入了极限运算（微分与积分的实质也是极限运算），极限运算应用到求和运算上就是级数的概念。由于有限求和运算可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，所以讨论级数与极限运算，求导运算或积分运算的交换次序问题就成为级数理论的一个基本问题。 （2）函数项级数的一致收敛性是数学分析课程教学中的一个难点，也是学生最难掌握的内容之一。以往的教材往往直接引进函数项级数的一致收敛概念，然后再讲解一致收敛的函数项级数可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，学生往往只能死记硬背概念，不能真正理解它的实质意义，过后很快容易忘记。我们则在教学中反其道而行之，先讨论一系列具体的函数项级数例子，指出在点态收敛的情况下，函数项级数不一定可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，从而理解为了保证运算的交换，有必要引进更强的收敛概念，然后再讲解函数项级数的一致收敛概念。（3）在数学分析课程中，一致收敛概念不仅出现于函数项级数部分，还出现于含参变量积分部分（它保证了积分运算与其他运算的可交换性），可以说，一致收敛性是数学分析，乃至整个分析学中最重要的概念之一，是学好如泛函分析，偏微分方程等后继课程的必备基础。因此在函数项级数部分第一次出现一致收敛概念时，必须将问题的背景，引人一致收敛概念的意义讲清楚，使学生从本质上理解它，做到终身不忘。 3．教学安排 （1）函数项级数与函数序列收敛性的等价性： 给定函数项级数∑∞ =1 ) ( n n x u（收敛域为集合D），设它的部分和函数序列为S n(x)： S n (x) = ∑ = n k k x u 1 ) (，x∈E， 则函数序列{S n(x)}的收敛域也是集合D，且极限函数就是∑∞ =1 ) ( n n x u的和函数 S(x)： S(x) = ∞ → n lim S n(x)，x∈D。 反过来，给定一个函数序列 {S n(x)}，只要令u1(x) = S1(x)，u n + 1(x) =

一致收敛和一致性

一致收敛和一致性9.520 第八课，2002年3月5日Sayan Mukherjee和Alex Rakhlin

计划 z映射和假设空间 z稳定性的简明回顾 z一致收敛 z一致收敛是一致性的充分必要条件 z当假设空间中有一个函数时的一致性 z当假设空间中有有穷个函数时的一致性 z再生核Hilbert空间中的一致性和Ivanov正则化z覆盖数

映射和假设空间 我们已经讨论如何应用学习映射A : S S f →的稳定性来获得泛化界，即，一致性。我们也注意到一致稳定性是一个很强的条件——存在映射是一致的但不具备这种稳定性。 我们现在以一个不同的观点来看：控制假设空间。映射和假设空间可以如下联系起来： 对于所有可能的集合S ，假设空间H 是映射A ：S S f →输出的所有可能的函数组成的空间。 我们利用假设空间的性质来获得泛化界，即：证明一致性。

通过控制假设空间来获得泛化边界 我们讨论了如何使用一个映射的稳定性来获得泛化界。现在通过控制假设空间的大小来获得泛化界。 例如，2 ||||K f M ≤的再生核Hilbert 空间上的函数构成一个完全界定了的假设空间，其“大小”可以被度量，并且可以被用来获得泛化界。我们现在来讨论这种方法。

风险回忆在第二课中我们定义了真实（期望）风险： 和经验风险：

泛化界 我们的目标是选择一个函数S f 使得[]S I f 很小。因为无法度量[]S I f ，所以这是困难的。 然而，我们可以度量[]S S I f 。一个泛化界是一个用来衡量偏差可能有多大的（概率的）界 如果我们可以界定这个偏差，并且我们可以观察到[]S S I f 是小的，那么[]S I f 必然是小的。 注意，如我们已经在第二课中定义的那样，这是经验风险最小化的一致性：当l →∞时，有 []0S D f →。

函数项级数一致收敛性判别法及其应用

函数项级数一致收敛性判别法及其应用 数学科学学院08级蒙班 包艳玲 20082115054 指导老师 苏雅拉图 摘 要：本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法，并通过例题给出了它的应用. 关键词：一致收敛，函数项级数，和函数. 下面我要给出函数项级数的一致收敛性的定义 定义 设给定函数项级数∑∞ =1 )(k k x u ，如果它的部分和序列= )(x S n ∑=π 1 )(k k x u 在 区间I 一致收敛到和函数)(x S ;那么称级数∑∞ =1 )(k k x u 在区间I 一致收敛到和函数 )(x S , 即用N -ε语言来叙述，函数项级数∑∞ =1 )(k k x u 在区间I 一致收敛到)(x S ，是指对 任给的0>ε，存在于x 无关的N ，只要N n >就有 ε<-= -∑=n k k n x S x u x S x S 1 )()()()( 对一切I x ∈一直成立. 例1 证明函数项级数∑∞ =-1 1k k x 在??? ???-21,21一致收敛. 证明 已知∑∞ =-1 1 k k x =x x n --11，?? ? ???-∈21,21x 时 x x x x S n n k k n --= =∑=-11)(1 1 ε<≤-≤-=--12111)()(n n n n x x x x x S x S ；??? ???-∈21,21x 时取121ln ln +????? ? ??????=εN 则只要N n >，就有ε<-)()(x S x S n ；??? ???-∈21,21x ， ∑∞ =-1 1 k k x 在??????-21,21一致收敛.

一致收敛

定义1设是定义在上的一个函数序列，并设对每一数,都收敛。此 时，由(1) 确定了一个函数，称为在上的极限函数，也称在上逐点收敛于． 定义设是定义在上的一个函数项级数．记，称为的部分和函数列．如果在上收敛于，则称是在上的 和函数，即．(2) 此时也称在上逐点收敛． 我们要讨论的主题是：在极限运算 (1) 和 (2) 之下所得的函数和，能否保留函数序列原来所具有的分析性质（如连续，可微，可积等等）呢？例如，当 在中某一点都连续时，在点是否也连续呢？亦即是否能使等式 (3) 成立呢？ 由(3)式看到，此等式能否成立的关键是第二个等号，即与这两个极限 过程是否能随意交换次序而不影响结果．下面举例说明两个极限过程的次序一般是不可随意交换的． 例1设一“双重序列”为．对每个固定的m有，于是 ;对每个固定的m有,于是． 由此可见．

例2设函数项级数． (4) 由于，因此；而当时，(4)为一个收敛的几何级数，．所以 由此可见，对于上处处连续的的和函数 却出现了间断点，使得. 例3设函数序列，其极限函数为． 由于不收敛于，因此使得 ． 例4设函数序列，其极限函数为． 分别计算与在上的定积分：，． 由此易见． 这些例子说明．仅有定义1和定义的收敛性概念，还不足以保证两个极限运算的次序可 以交换．为此我们需要引入一种新的收敛方式——一致收敛． 二、一致收敛概念 定义2，当时，对一切，都有． 这时称函数列在上一致收敛于，记作．

一致收敛与逐点收敛之间的区别：定义2中的只依赖于，它适用于一切；而定义 1中的极限式 (1) 若用陈述方式来表示时，其中的既与有关，又与中的考察点有关． 定义设函数项级数的部分和函数列为．如果， 则称在上一致收敛于． 由定义2与定义易知： ●若, 则． ●若或在上一致收敛，，则它们在上必一致收敛． ●当把数列看作一个特殊的函数序列时，如果收敛，则可认为它在上一致收敛． ●当把数项级数看作一个特殊的函数项级数时,如果收敛，则可认为它在 上一致收敛． ●又若，则同样可以认为． 把逐点收敛（即数列或数项级数收敛）的柯西准则推广为一致收敛的柯西准则，即为以下两个定理． 定理5.1在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切 和一切都有．

函数项级数的一致收敛性及其应用

函数项级数的一致收敛性及其应用 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers

函数项级数一致收敛性判别法及其应用.doc

函数项级数一致收敛性判别法及其应用 函数项级数一致收敛性的判别是试题中经常会遇到的问题，这里我把常用的函数项级数一致性的判别法归纳如下： 1.定义法 这种方法常用于证明函数项级数在某个区间的一致收敛性，下面我们一起来看一个关于用定义法证明的例题： 例1 证明函数项级数∑∞=-11k k x 在[- 21,21]上的一致收敛性。 证明：由题意得 ∑∞=-11k k x =x x n --11 则∞→n lim (x x n --11)=x -11 其中]2 1,21[-∈x ε<≤-≤-=--1211|1|)()(n n n n x x x x x s x s 其中]2 1,21[-∈x 故 取N=[2 1ln ln ε]，则 对有，上述的,,0N n N >??>?εε<|s(x )-(x )s |n 因此，由定义可知，此级数在]2 1,21[-上一致收敛。 2.Cauchy 收敛原理 用Cauchy 收敛原理既可以证明级数一致收敛，也可以证明级数不一致收敛，我们经常看到的是用它来证明级数一致收敛，下面我们看一个用它来证明级数不一致收敛的例子。 例2 判别级数 ∑∞ =1sin n n nx 的一致收敛性。 其中)2,0(π∈x 解： 由Cauchy 收敛原理有： 有：),2,0(,,,,00πε∈?>??>?x N m n N m |sinmx ...2)x sin(n 1)x sin(n ||sin ...2)2sin(1)1sin(|+++++≥+++++++m mx n x n n x n 取n x n m 1,2==，则：

2 1sin 1sin 2sin ...)12sin()11sin(ε==≥+++++≥m n m n n 故此级数不一致收敛。 3.weierstrass 判别法 这种判别法往往通过正项级数的收敛性来判断，用起来比较方便。下面我们来看一下有关的例子。 例3 若∑∞=1n n a 绝对收敛，由weierstrass 判别法易知：nx a n n cos 1∑∞ =在),(+∞-∞上 一致收敛。 判别级数一致收敛的方法还有很多，如Abel 判别法，Dirichlet 判别法，以及确界法，数列法等等，这里我不一一说明了，希望通过这几个简单的例子，能够让你们学会如何判别级数的一致收敛性，并能够学到精髓，达到举一反三的效果。

一致连续与一致收敛的关系

一致连续与一致收敛的关系 由于函数项级数的收敛等价于函数序列的收敛，为简单起见，下面只对函数序列作讨论。定理如果函数序列)(x F n ，?,3,2,1=n 中的每一个函数都在区间I 上一致连续，当∞→n 时，)(x F n 区间I 上一致收敛于函数)(x F ，那么)(x F 也在区间I 上一致连续。 证任意给定一个0>ε。 因为)(x F n 区间I 上一致收敛于函数)(x F ，所以对于给定的 03>ε，必有一个与x 无关的正整数N ，使得当N n ≥时，对任何 I x x ∈21,，有3)()(11εε，必有一个与x 无关的正数0>δ，使得对任何I x x ∈21,，只要有 δε，可以找到与x 无关的正整数N 和正数0>δ，使得对任何I x x ∈21,，只要有 δ