06-07高数I内A

暨 南 大 学 考 试 试 卷

一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

1．数列极限22212lim(

)n n n n n

→∞

+++= 。

2．设cos 2sin x t y t =??=?，则dy

dx = 。

3．函数x y xe -=的凸区间为 。

4．心形线1cos ρθ=+的全长为 。

5．函数ln(1)y x =+的带佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式为 。

二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）

1．设函数20

1

()ln(1)()2

x f x t dt g x x =+=?

，，则当0x →时，()()f x g x 是的（ ）

（A ）等价无穷小 （B ）同阶但非等价的无穷小 （C ）高阶无穷小 （D ）低阶无穷小

2．设函数0()10

x x f x x

x ?≠?

=??=?

，则()0f x x =在处（ ）

（A ）不连续 （B ）连续但不可导 （C ）可导但导数不连续 （D ）可导且导数连续

3．设()0f x x =在的某邻域内连续，20()

(0)0lim 1x f x f x

→==且，且，则()0f x x =在处

（ ）

（A ）不可导 （B ）可导且(0)0f '≠ （C ）有极大值 （D ）有极小值 4．设函数()f x 连续，()()x e x

F x f t dt --=?

，则()F x '=（ ）

（A ）()()x x e f e f x ----- （B ）()()x x e f e f x ---+- （C ）()()x x e f e f x ---- （D ）()()x x e f e f x --+- 5．下列等式中正确的是（ ）

（A ）()()df x f x =ò （B ）()()f x dx f x C ￠

=+ò （C ）()()d

f x dx f x C dx

=+ò （D ）[()]()d f x dx f x =ò

三、计算题（共7小题，每小题6分，共42分）

1．求极限3

lim x x →。 解：

2．设()y y x =是方程10y

e xy +-=所确定的隐函数，求22d y

dx

。

解：

3．求不定积分2

(1)x

dx x -?。

解：

4．求定积分10

arctan x x dx ?。

解：

5．判别反常积分1

dx ?的收敛性，如收敛则计算其值。

解：

6．设()arcsin xf x dx x C =+?，求1

()

dx f x ?。 解：

7．确定,a b 的值，使曲线2y x ax b =++与直线2y x =相切于点(2,4)。 解：

四、证明题（本题6分）

设函数()f x 在[,)a +∞上连续，当x a >时，()0f x k '>>，其中k 为常数，又有()0f a <。证明：（1）|()|[]0f a f a k +>；（2）方程()0f x =在|()|

(,)f a a a k

+内有唯一实根。

证明：

五、综合应用题（共22分）

1．一物体按规律38

S t =作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例系

数为k ），求物体由0S =移到1S =时，克服媒质阻力所作的功。（本题8分） 解：

2．设抛物线232y ax bx =+，当01x ≤≤时，0y ≥。（本题14分） （1） 求该抛物线与直线1x =及x 轴所围成平面图形D 的面积S ；（4分） （2） 求平面图形D 绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V ；（5分）

（3） 若平面图形D 的面积S 为1，求,a b 为何值时，旋转体体积V 最小。（5

分） 解：