2012年高中数学奥林匹克模拟真题(一)

2012年高中数学奥林匹克模拟真题（一）答案

第一试

一、填空题

1、设()10

2011

201022

222f x x =----- ，则()2011f = ．

答案：1．

解：注意0a ?>，当[]0, 2t a ∈时，有t a a -≤，而()

10

10

11110201120112

222<=

所以 102011

20111020112010201020112

2, 2011222-≤--≤，……， 10201120102201122222-----≤ ，又因()2011f =奇数，故()20111f =．

2、,x y 为实数，若对于满足cos cos 0αβ-≠ 的任何实数,αβ，都成立等式：

sin sin 66cot cos cos 2

x y ππαβαβαβ???

?++- ? ?

-????=+-，则(), x y = ．

答案：1 2?? ? ???

．

解：条件cos cos 0αβ-≠中蕴含sin

02

αβ

-≠，故所涉各式皆有意义；于所给等式中，

取, 2

6

π

π

αβ=

=

，得1 3 x y -+；再取 , 2

6

π

π

αβ=-

=

，得13

x y =-

+，

由此解得，1 22

x y =-

=． 3、二次函数2

y ax bx c =++的图像经过点(3,6)A 和1

,62B ??- ???

，若其与X 轴的两个交点,C D 的距离满足1

2

CD =

，则函数的具体表达式为y = ． 答案：2

253y x x =-+．

解：由条件得16(3)()2

y a x x -=-+，于是二次函数2

y ax bx c =++又可表为

253622a a y ax x =-

-+，设其两根为12,x x ，有1252x x +=，1212x x -=，12632

x x a =-， 据22

121212()()4x x x x x x +=-+，得2a =，代入得2253y x x =-+．

4、在用1,2,,8 这八个数码所组成的全部无重复数字的八位数中，能被11整除的有 个．

答案：4608.

解：由于1,2,,8 中有4个奇数，故任意添加正负符号后其代数和皆为偶数．因

1,2,,8 中最大的四数和与最小的四数和之差不大于16，于是符合条件的每个八位数，其

奇数数位上的四个数码和必等于偶数数位上的四个数码和，由于

12836+++= ，再将1,2,,8 分成和为18的两组，每组四个数，并考虑含8的组，该

组另三数的和为10，只有四种情况：()()()()1,2,7,8,1,3,6,8,1,4,5,8,2,3,5,8.对于每种情况，可将含8的组排在奇数数位上或者偶数数位上，得到24!4!??个数， 四种情况下共得84!4!4608??=个符合条件的八位数．

5、设数集{},,,M a b c d =，而,,,a b c d 两两之和构成集合{}5,8,9,11,12,15S =，则集合

M = ．

答案：{}1,4,7,8或{}2,3,6,9．

解：设 a b c d <<<，由于集S 中有2

46C =个元，即知,,,a b c d 两两的和互不相同，

因 a b a c a d b d c d +<+<+<+<+，且 a c b c b d +<+<+，只有两种情况：

()1．a d b c +<+，则 ()(,,,,,)5,8,9,11,12,15a b a c a d b c b d c d ++++++=，由

3, 11c b b c -=+=，得 4, 7b c ==，进而得 1, 8a d ==，{}{},,,1,4,7,8a b c d =；

()2．b c a d +<+，则 ()(,,,,,)5,8,9,11,12,15a b a c b c a d b d c d ++++++=，于是

3, 9c b b c -=+=，得 3, 6b c ==，进而得 2, 9a d ==，{}{},,,2,3,6,9a b c d =．

6、将正五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线段 对． 答案：50．

解：五角星的外围是由10条线段组成的封闭折线，将其按红、蓝间隔染色，（内圈的小正五边形不染色），则在这10条线段中，任

一对同色的线异面，而任一对异色的线共面，于是得到25

220C =对异面直线段；又每条有色线段恰与底面小正五边形的三条边异面，这种情况共有30对；因此总共有50个“异面直线段对”．

7、对于给定的正整数n ，则由直线2

y n =与抛物线2

y x =所围成的封闭区域内（包括边界）

3

1

的整点个数是 ． 答案：

()()21

21233

n n n +-+． 解：如图，直线2y n =与抛物线2y x =的交点A 、B 的坐

标为(

)2

,A n n

，()2

,B n n -， 设直线x k =上位于区域内的

线段的线段为CD ，其坐标为()()

22

, , , C k n D k k ，线段CD 上的整点数为

{}221, ,,1,0,1,2,, n k k n n -+∈-- ，故区域内的整点数为

()()()()()2

2

2

221

1

1211221233

n

n

k n

k n

k n n k n n n =-=-+=++-=

+-+∑∑． 8．若四面体的六条棱长分别为2,3,4,5,6,7，则不同的形状有 种． （若两个四面体经适当放置后可完全重合，则认为是相同的形状）. 答案：10种．

解：将长为k 的线段记为{}, 2,3,4,5,6,7k l k ∈，考虑23, l l ： 情形甲：23, l l 共面，则该面的另一边必为4l

()0

1.若234

,,l l l 按顺时针方向组成三角形（如图，均指从形内向该

面看三边的绕向，下同），则边DA 不能取6l （否则将使BCD ?的三边为2,5,7，矛盾）．

若取5DA l =，{}{}67,,DB DC l l =，有两种情况；若取7DA l =，{}{}56,,DB DC l l =，也有两种情况．共得4种情况．

()0

2.234

,,l l l 按反时针方向组成三角形，类似也得4种情况．

情形乙：23, l l 异面，设23, AB l CD l ==，则其余四条边，每一条皆与23,l l 相邻；于是27,l l 所在面的另一条边必为6l ，

()0

3.若267

,,l l l

按顺时针方向组成三角形，不妨设

67, AC l BC l ==（如图）

，剩下两条边，BD 不能取4l ， 故只有54, BD l AD l ==，得一种情况；

()0

4.若267

,,l l l

按反时针方向组成三角形，不妨设

76, AC l BC l ==（如图）

，剩下两条边，AD 不能取4l ， 故只有54, AD l BD l ==，得一种情况； 因此，本题中不同的情况共10种．

二、解答题

9、试确定，是否存在2011个实数122011,,,a a a ，满足：

()1. 1, 1,2,,2011i

a i <= ；

()2. 12

20111220112010a a a a a a +++-+++= ．

解：假若存在满足以上条件的2011个实数122011,,,a a a ，设

122011a a a t +++= ，则0t ≥，去掉绝对值符号，并分开其正、负部，

可记为，()()12201112122011k k a a a x x x y y y -+++=+++-+++ ，即有 ()()12122011k k x x x y y y t -+++-+++= ……○

1， 其中12,,,k x x x ；122011,,,k y y y - 是122011,,,a a a 的某个排列．

从而由条件()2，()()121220112010k k x x x y y y t -+++++++=+ ……○2 所以，121005k x x x t +++=+ ； 1220111005k y y y -+++= ．………○3 由于 01, 01i j x y ≤<≤<，1,2,,i k = ；1,2,,2011j k =- ． 则 121005k k x x x t >+++=+ ； 12201120111005k k y y y -->+++= ． 由此，1006, 20111006k k ≥-≥，相加得，20112012≥，矛盾． 因此这样的2011个实数不存在．

10、设数列{}{},n n a b 满足：00111, 57, 710n n n n n n a b a a b b a b ++===+=+． 证明：,m n N ?∈，m n m n m n m n a b a a b b +++=+． 证：若0m n +=，则0m n ==，结论显然；

若1m n +≥，固化m n +，改证以下命题：, 0k N k m n ?∈≤≤+，有 m n m n m n k k m n k k a b a a b b +++-+-+=+ ……○

1

对k 归纳：0k =时结论显然；设对于k r =时○1式成立，即

m n m n m n r r m n r r a b a a b b +++-+-+=+ ……○

2，当()1, k r r m n =+<+时，由于 ()()111157710m n r r m n r r m n r m n r r m n r m n r r a a b b a b a a b b +-+-+--+--+--+--+=+++

()()11111157710m n r r r m n r r r m n r r m n r r a a b b a b a a b b +--+--+--++--+=+++=+ ……○3 由○2○3得1111m n m n m n r r m n r r a b a a b b +++--++--++=+，即当()1, k r r m n =+<+时 ○

1式成立，因此○1得证，今在○1中取k n =，得m n m n m n m n a b a a b b +++=+． 11、 设,,x y z R +∈，1xy yz xz ++=，证明不等式：

()

()()2

2

2

6xy xz yz xyz x y z z

y

x

+

+

+≥++．

证：()()()()()3x y z x y z xy yz zx xy x y yz y z xz x z xyz ++=++++=++++++，

故即要证，

()()()()()()2

2

2

3xy xz yz xyz xy x y yz y z xz x z z

y

x

+

+

+≥+++++……○

1． 据对称，可设x y z ≥≥，由于，

()()()()2

xy xy

xyz xy x y x z y z z

z

+-+=

--……○

2； 同理有，

()()()()2

yz yz

xyz yz y z y x z x x

x

+-+=

--……○

3， ()

()()()2

xz xz

xyz xz x z x y z y y

y

+-+=

--……○

4 注意

()()()()0, 0xy yz x z y z y x z x z x --≥--≥，而 ()()0xz

x y z y y

--≤，又由 x y z ≥≥知，

()()()()()()xy xz xz

x z y z x y y z x y z y z y y

--≥--=---，即有 ()()()()0xy xz

x z y z x y z y z y

--+--≥，从而由○

2+○3+○4得， ()

()()()()()2

2

2

30xy xz yz xyz xy x y yz y z zx z x z

y

x

+

+

+-+-+-+≥，

即○1成立，当且仅当x y z ==时取得等号．从而所证结论成立．

第二试（加试题）

一． 以任意方式，把空间染成五种颜色（每点属于一色，每色的点都有）；

()1．证明：存在一个平面，至少含有四种不同颜色的点； ()2．是否一定存在五色平面？

()1．证：若存在四色线l ,则含有l 的平面为所

求；若存在三色线l ，则在线l 外可再取到一个第四色的点M ，过点M 和线l 的平面为所求；

假若任一直线上都不多于两色，为此，用

[][][][][],,,,A B C D E 分别表示这五种颜色的点所

构成的点集，今取点[][]11, A A B B ∈∈，过11,A B 的直线记为a ，则直线a 上其余的点也属于[]A 或[]B 色，不妨设，直线a 上有点2A 属于[]A ；在空间分别取点[][]11, C C D D ∈∈，过111,,B C D 的平面记为u ，则直线a 与平面u 有公共点1B ．

若a u ?，则平面u 为所求；（这时平面u 上含有[][][][],,,A B C D 四色）.

若a u ?，在空间再取一点[]1E E ∈，过点1E 和直线a 作平面w ，则平面u 和平面w 的交线为过1B 的直线b ，在平面w 内，过点1E 的两条直线11E A 和12E A 中，至少有一条要与直线b 相交，不妨设，12E A b P = （如图），则点P 属于[]A 或

[]E 色，于是平面u 至少含有四色(或含[][][][],,,B C D A ；或含[][][][],,,B C D E ).

()2．不一定存在五色面，例如，若将四面体ABCD 的四个顶点分别染成

[][][][],,,A B C D 四色，空间其余的点全染[]E 色，这时不存在五色

面．

二．如图，△PAB 中，,E F 分别是边,PA PB 上的点，在,AP BP

的延长线上分别取点,C D ，使 , PC AE PD BF ==，,M N 分别是

△PCD ，△PEF 的垂心.

证明：MN AB ⊥.

证：如图，设线段,,DE CF PF 的中点分别为,,G H K ，则K 也是BD 的中点，据中位线知，在△BDE 中，KG ∥BE ，1

2

KG BE =； 在△PCF 中，KH ∥PC ，1

2

KH PC =

，即 KH ∥AE ，1

2KH AE =

，所以△KHG △EAB ， 且HG ∥AB ，1

2

HG AB =.

为证MN AB ⊥，只要证MN HG ⊥.

以G 为圆心，DE 为直径作G ，其半径记为R ；以H 为圆心，CF 为直径作H ，其半径记为r ，设直线AC 交MD 于Q ，MC 交BD 于W ，由于点M 是△PCD 的垂心，

则MD PQ ⊥，MC PD ⊥，所以DWCQ 共圆，故有

MQ MD MC MW ?=? … … ○1

另一方面，由于90, 90,EQD FWC ??∠=∠=可知，Q 在G 上，W 在H 上，从而

2222, MQ MD MG R MC MW MH r ?=-?=-，因此○

1化为2222

MG R MH r -=-， 即 2

2

2

2

MG MH R r -=- … … ○2

又设直线NF 交AC 于S ，NE 交BD 于T ，由于点N 是△PEF 的垂心，，则NS PE ⊥，

NE PF ⊥，所以ETFS 共圆，故有 NT NE NF NS ?=? … … ○3

再由 90, 90,DTE CSF ??

∠=∠=可知，T 在G 上，S 在H 上，从而 2222, NT NE NG R NF NS NH r ?=-?=-，因此○

3化为2222

NG R NH r -=-， 即 2

2

2

2

NG NH R r -=- … … ○4

据○2、○4得，2222

MG MH NG NH -=-，所以 MN GH ⊥，而HG ∥AB ，所以

MN AB ⊥.

三、数列{}n a 为：1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,

，其构作方法是：首先给出11a =，接着复制该项1后，再添加其后继数2，于是得231,2a a ==；接下来再复制前面所有的项

1,1,2，再添加2的后继数3，于是得45671,1,2,3a a a a ====；

A B

接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3，再添加3的后继数4，于是得前15项为

1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3 如此继续．

试求2011a 以及数列前2011项的和2011s

解：据{}n a 的构作方法，易知137151,2,3,4,,a a a a ==== 一般地，我们有

21,n a n -=即数n 首次出现于第21n -项，并且，若()21,121n n m k k =-+≤≤-，则有m k a a =，由于10201121988,=-+ 998821477,=-+ 847721222,=-+ 7652222195,952132,32211=-+=-+=-+，所以 2011988477222953211a a a a a a a =======

为求2011s ，先计算21n s -，由{}n a 的构作方法知，数列的前21n

-个项中，恰有

1个n ，2个1n -，22个2,n - ，2k 个,n k - ，12n -个1，所以有，

21n s -()()22121222221n n n n n --=+-+-++?+? ○

1，从而 212n s -()()23122122222n n n n n -=+-+-++?+ ○2，据○1，○2得， 21n s -()()211222222n n n n n -+=-+++++=-+ ○

3 其次，当()

21,121n n

m k k =-+≤≤-，则

()()()2121121221n n n n m k s s a a a --+-+-+??=++++ ???

()1221n k s a a a -=++++ 21n k s s -=+

因此，10982011988988477477222212121,,,s s s s s s s s s ---=+=+=+72229521,s s s -=+ 6953221s s s -=+，5321121,1s s s s -=+=，因此由○

3得， ()()()()()()11109876201121221121029282713996s =-+-+-+-+-+-+=．

四、边长为n 的菱形ABCD , 其顶角A 为o 60,今用分别与,AB AD 及BD 平行的三组等距平行线，将菱形划分成22n 个边长为1的正三角形(如图所示).

试求以图中的线段为边的梯形个数()s n .

解一:由于图中任两条线段所在的直线，或者平行,或者相交成o 60的锐角, 因此,由图中线段组成的所有梯形都是底角为o 60的等腰梯形. 对于这种梯形, 若两腰延长线的交点在菱形内部或周界上,则称为“内置梯形”;若交点在菱形外,就称为“外延梯形”.

一．先求“内置梯形”的个数()f n .

将边长为k 的正三角形称为“k 级三角形”,相应地,下底(较长底边)的长为k 的梯形称为“k 级梯形”,再将腰长为() r r k <的k 级梯形称为(),k r 式梯形.并且,图中所有正三角形,要么顶点朝上, 要么顶点朝下,分别称作“顺置三角形”与“倒置三角形”.

易见,每个(),k r 式梯形,可看作由一个k 级三角形切去一个k r -级三角形而得到.每个

k 级三角形所切出的k 级梯形有()31k -种情况, (其中()()(),1,,2,,,1k k k k - 式梯形各

三个).

今计算图中k 级三角形的个数: 取A 为原点,,AB AD 为,X Y 轴,建立斜角坐标系,每个k 级顺置三角形,下底左端点P 的横坐标可取0,1,,n k - 共1n k -+个值,P 的纵坐标也可取0,1,,n k - 共1n k -+个值.因此,k 级顺置三角形有()2

1+-k n 个,据对称性, k 级倒

置三角形也有()2

1+-k n 个.从而k 级三角形有()2

21n k -+个,于是k 级内置梯形有

()[]()1162

---k k n 个,求和得:

()=n f ()()11

11

2

2

2

231

1

1

1

1

6

116()6()66n

n n n n k i j j j n k k n i i j

n j n j j ----=====---=-=-=-????∑∑∑∑∑

2)1(2)1(66)12)(1(6222

-=??

????----?=n n n n n n n n . 二．再求“外延梯形”的个数()g n ． 先考虑外延交点在线段AB 外侧的情况,任取,i j ，使n i j ≤<≤1,设诸点的斜角坐标为:)0,(i T i ,),0(j P j , )0,(j Q j ,),(j i R ij , 延长

j j Q P ；交直线x i =于ij M ，位于j j Q P 延长线上的交

点共有n j -个，对于确定的j ，三角形ij M ij j R P 为

一个倒置正三角形，当i T 在AB 上移动时，点ij R 在直线y=j 上移动，由于j ij P R ∥AB ，这

金太阳新课标资源网

两条线段间的平行线共j+1条（包括这两条线在内），任两条这种平行线都在三角形ij j ij

M P R 上截出一个梯形。因此,这种梯形共有2

)

1(21+=

+j j C j 个,它们都以ij M 为外延交点,而j

j Q P 延长线位于AB 外侧的交点ij M 共有n j -个,因此当j 固定时,共得到)(2

)

1(j n j j -+个外

延梯形,现让j 取遍1,2

,,1n - , 因此,位于AB 外侧的全部外延点,共形成)(2

)

1(1

1

j n j j n j -+∑

-=个“外延梯形”. 据对称性，在菱形另三条边外侧的外延点，也分别形成同样数目的“外延梯形”，从而全部外延梯形的个数为： ()g n =1

1

(1)

4

()2n j j j n j -=+-∑

=1

231

2[(1)]n j n j nj j -=-+-∑ =6

)

1)(2(]2)1([22)1(26)12)(1()1(222-+=---?+--?-n n n n n n n n n n n n .

因此，=+=)()()(n g n f n s 3

)

12)(1(6)1)(2(2)1(2222+-=-++-n n n n n n n n .

解二：易知，120, 10,S S ==（边长为2的菱形中，所有梯形的

下底长为2，因此，菱形的四条边各是一个梯形的下底，中间正六边形的三条对角线，每条恰是两个梯形的下底，共得10个梯形）．

为方便计，称题中的菱形为n 阶菱形，易知，1n +阶菱形可看作n 阶菱形外侧添加一对宽为1的平行四边形的框（称为单位框）而得.

如图，设ABCD 为1n +阶菱形，将其右方和上方的单位框染为红色，于是菱形ABCD 中带有红色（全红色或部分红色）的梯形数为1n n S S +-个，

而在右上方的n 阶菱形1n EB CC 中带有红色的梯形数为1n n S S --个， 又将不在（或不全在）菱形1n EB CC 中的带有红色的梯形（简称为“外梯形”）数记为n W ，则有

()11n n n n n S S S S W +--=-+ … …○1 今计算n W ：

C C C C

n

A

1

2

金太阳新课标资源网

下底在BC 上，且以B 为一个顶点的“外梯形”有()

1122

n n n ++++=

个，（其中下底为2BB 的1个，下底为3BB 的2个，…，下底为BC 的n 个）；类似地，上底在BC 上，且以B 为一个顶点的“外梯形”也有()

1122

n n n ++++=

个.于是得，底边在BC 上的“外梯形”有()1n n +个；同理，底边在,,CD DA AB 上的“外梯形”也各有()1n n +个.

其次，n 条平行线1211,,,n n n B D B D B D - 中，以任一对平行线互为上下底，可得两个“外梯形”，共计()2

21n C n n =-个；n 条平行线1211,,,n n n AC A C A C - 中，以任一对平行线为

底，也得两个“外梯形”，共计()2

21n C n n =-个.

下底在BD 上的“外梯形”共2

2n 个，（其中，落在,ABD CBD ??中的“外梯形”各有2

n 个）．

因此，()()2

2

4121282n W n n n n n n n =++-+=+ … …○2，从而○1化为：

()21182n n n n S S S S n n +--=-++ … …○3，注意 120, 10S S ==， 令2,3,,n m = ，求和得，()()()1121110812162m m m m m m m S S ++++????

-=+-+- ? ?????

.

即 32187

533

m m S S m m m +-=

++ … …○4，令1,2,,1m n =- ，求和得 ()()()()2

1121187532232n n n n n n n n S ----??

=+?

+? ???()

()2

1213

n n n -+=.

吉林省高中会考数学模拟试题Word

2016年吉林省普通高中学业考试模拟试题（数学） 注意事项： 1．答题前将自己的姓名、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡和试卷规定的位置上。考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。 2．本试题分两卷，第1卷为选择题，第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3．第1卷选择题的答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。选择题答案写在试卷上无效。 4．第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。 参考公式： 标准差： 锥体体积公式： V= 31S 底·h 其中．s 为底面面积，h 为高, 柱体体积公式 V=s.h 球的表面积、体积公式 S= 2 4R π V=343R π 其中．s 为底面面积，h 为高, V 为体积 ，R 为球的半径 第1卷 （选择题 共50分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1-10小题每 小题3分，第11-15小题每小题4分，共50分） 1.设集合M={－2，0，2}，N={0}，则( ). A ．N 为空集 B. N∈M C. N M D. M N 2．已知向量(3,1)=a ，(2,5)=-b ，那么2+a b 等于（ ） A (1,11)- B (4,7) C (1,6) D (5,4)- 3．函数2log (1)y x =+的定义域是（ ） A (0,)+∞ B (1,)-+∞ C (1,)+∞ D [1,)-+∞ 4．函数sin y x ω=的图象可以看做是把函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12 倍而得到的，那么ω的值为（ ） 222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-L

普通高中数学学业水平考试模拟试题

2018年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟试卷 数 学 试 卷 （本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 答案一律写在答题卡上，写在试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 3. 回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号. 参考公式： 柱体体积公式Sh V =，锥体体积公式Sh V 3 1 =（其中S 为底面面积，h 为高） ： 球的体积公式3 3 4R V π= （其中R 为球的半径）. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}3,2,1{=P ，集合}4,3,2{=S ，则集合P S ? A. }3,2,1{ B. }4,3,2{ C. }3,2{ D. {1,2,34}， 2．函数f (x) 的定义域是 A. {x |x 2}-> B. {x |x 2}-< C. {x |x 2}-1 D. {x |x 2}1 3. 已知角β的终边经过点P(1,2)-，则sin β= A. 2- B. 1 2 - C. - 4.不等式(x 2)(x 3)0+-<的解集是 A. {x |2x 3}-<< B. {x |3x 2}-<< C. {x |x 2x 3}或<-> D. {x |x 3x 2}或<-> 5.某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采 用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n 为 A. 3 B. 2 C. 5 D. 9 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

2018年高中数学会考题

2018年高中数学会考题

2018届吉林省普通高中学业模拟考试（数学） 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。 第Ⅰ卷 选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于 （ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（ ） A ． 若 ac>bc ， 则 a>b B ．若a 2>b 2，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c

C ．65π D ．32π 4．已知奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数，且 最小值为5，那么函数()f x 在区间 [-7，-3]上（ ） A ．是减函数且最小值为-5 B ．是减 函数且最大值为-5 C ．是增函数且最小值为-5 D ．是增 函数且最大值为-5 5. 函数2 ()1log f x x =-的零点是（ ） A. 1 B. (1,1) C. 2 D. (2,0) 6．在等比数列{}n a 中，若3 2 a =，则12345 a a a a a = （ ） A. 8 B. 16

高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)

奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+

高中数学奥林匹克训练题

第1页共10页 高中数学高中数学奥林匹克训练题 奥林匹克训练题第一试 一、填空题 1.若集合22{(,)|(20)(12),}P x y x y x Z y Z =?+?≤ ∈∈,则集合P 中的元素个数为____________. 2.已知矩形ABCD 的顶点依次为(1,0)A ?,(1,0)B ,(1,1)C ,(1,1)D ?.若抛物线2y ax =平分矩形ABCD 的面积,则实数a 的值为______. 3.在各边长均为整数的直角三角形中,斜边上的高也是整数的三角形的周长的最小值为______. 4.在四面体ABCD 中,3,1==CD AB ,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为°60,则四面体ABCD 的体积为____________. 5.若直线134=+y x 与椭圆19 162 2=+y x 相交于B A ,两点,则在该椭圆上满足PAB ?的面积为3的点P 的个 数为____________. 6.若关于x 的方程sin cos 2x x m =+在[,]2 π π? 内有两个不同实根,则m 的取值范围为____________.7.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.8.若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足:对任意的],[,21b a x x ∈,都有))()((2 1 )2( 2121x f x f x x f +≤+,则称函数)(x f 在],[b a 上具有性质P .如果已知函数)(x f 在]3,1[上具有性质P ,那么以下四个命题是真命题的有____________(写出相应命题的序号即可). ①函数)(x f 在]3,1[上的图像是连续(不间断)的；②函数)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若函数 )(x f 在2=x 处取得最大值1,且1)1(=f ,则1)(=x f ,]3,1[∈x ；④对任意的]3,1[,,,4321∈x x x x ,都有不 等式))()()()((4 1 )4( 43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++成立. 二、解答题 9.已知F 是椭圆2222x y +=的左焦点,椭圆上的动点,A B 使得ABF ?的内心总在直线1x =?上,求证:直线AB 过定点. 10.数列}{n a 的前4项依次为?,5,8,9,1,且4+i a 是i i a a ++3的个位数字,求证:2 20002198621985|4a a a +++?.

高中数学会考模拟考试(A)

高中数学会考模拟考试(A)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

高中数学会考模拟试题（A ） 一选择题（共20个小题，每小题3分，共60分） 在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字母按要求填在相应的位置上 1． 满足条件}3,2,1{}1{=?M 的集合M 的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 2．0 600sin 的值为 A 23 B 23- C 21- D 2 1 3．"2 1 "= m 是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的 A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 4．设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的图象过点（1 8，–3），则a 的值 A 2 B –2 C – 12 D 1 2 5．直线a ∥平面M, 直线a ⊥直线b ,则直线b 与平面M 的位置关系是 A 平行 B 在面内 C 相交 D 平行或相交或在面内 6．下列函数是奇函数的是 A 12 +=x y B x y sin = C )5(log 2+=x y D 32-=x y 7．点（2，5）关于直线01=++y x 的对称点的坐标是 A （6，3） B （-6，-3） C （3，6） D （-3，-6） 8．2 1cos 12 π +值为 A 634+ B 234+ C 34 D 7 4 9．已知等差数列}{n a 中，882=+a a ，则该数列前9项和9S 等于 A 18 B 27 C 3 6 D 45 10．甲、乙两个人投篮，他们投进蓝的概率分别为21 ,52 ，现甲、乙两人各投篮1次

高中数学会考试题

兴仁县民族中学高二数学测试卷 班级: 姓名: 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,4,6,8A =，{}1,2,3,6,7B =，则 =)(B C A U （ ） A ．{}2,4,6,8 B ．{}1,3,7 C ．{}4,8 D ．{}2,6 2 0y -=的倾斜角为（ ） A ． 6π B ．3 π C ．23π D ．56π 3 ．函数y = ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞ 4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情 况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ） A ．14、12 B ．13、12 C ．14、13 D ．12、14 5．在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ． 4π B ．14π- C ．8π D ．18 π- 6．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于（ ） A ．1 B C ．2 D ．3 7．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为（ ） A ．2 12cm π B. 2 15cm π C. 224cm π D. 2 36cm π 主视图 6 侧视图 图2 图1

8．若23x <<，12x P ?? = ??? ，2log Q x =，R x =， 则P ，Q ，R 的大小关系是（ ） A ．Q P R << B ．Q R P << C ．P R Q << D ．P Q R << 9．已知函数()2sin()f x x ω?=+0,2πω?? ?>< ?? ?的图像如图3所示，则函数)(x f 的解析式是（ ） A ．10()2sin 11 6f x x π??=+ ? ?? B ．10()2sin 11 6f x x π??=- ??? C ．()2sin 26f x x π??=+ ??? D ．()2sin 26f x x π??=- ?? ? 10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是 最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ） A ． 378 B ．34 C ．74 D ．1 8 11.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和9S 等于 ( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．9 12.函数x e x f x 1 )(-=的零点所在的区间是（ ） A ．)21,0( B ．)1,21( C ．)2 3,1( D ．)2,23 ( 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 ． 14．如图4，函数()2x f x =，()2 g x x =，若输入的x 值为3， 则输出的()h x 的值为 . 15．设不等式组0,02036x y x y x y -+-?? -+??? ≤≥≥， 表示的平面区域为D ，若直线0kx y k -+=上存在区域D 上的点，则k 的取值范围是 ． 16．若函数()()()2 213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间 为 ． 1 O x y 1112 π图3 否 是 开始 ()()h x f x = ()() f x g x >输 出 输入x 结束 ()()h x g x = 图4

高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理

竞赛专题讲座－几个重要定理 《定理1》正弦定理 △ABC中，设外接圆半径为R，则 证明概要如图1-1，图1-2 过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故 即；同理可 得 当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A. 当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。 《定理2》余弦定理△ABC中，有关系 a2=b2+c2-2bccosA；（*） b2=c2+a2-2cacosB； c2=a2+b2-2abcosC； 有时也用它的等价形式 a=ccosB+bcosC； b=acosC+ccosA；（**） c=acosB+bcosA. 证明简介 余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法 如图建立复平面，则有 =（bcosA-c2）+(bsinθ)2即 a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。 《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线 于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有

《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点） 设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明： （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 同理 ④ ⑤ ③×④×⑤得 《定理5》塞瓦定理逆定理 在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。 证法简介 （Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则 EA CE BD BC = 代入已知式：1=??FB AF BD BC DC BD 于是 CB DC FB AF = ， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF （Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得 1='??B F AF EA CE DC BD 而已知1=??FB AF EA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FB AF AF B F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+'ΘAF F A ='Θ 即F '即F ，可见命题成立 《定理6》斯特瓦尔特定理

【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（206） ______年______月______日 ____________________部门

第一试 一、填空题（每小题8分，共64分） 1。已知正整数组成等比数列，且则的最大值为 。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为 。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为 。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若 。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点，满足直线A1B 与平面B1CP 所成角 为，则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数，集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中，P 为椭圆在第三象限内的动点，过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ，则面积的最小值为 。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题（共56分）

高中会考数学考试试题

2011级高中数学毕业会考试题 命题： 二高高二数学组 2012.11.10 一、选择题（共20个小题，每小题3分，共60分）每题只有一个符合题目要求,请把所选答案涂在“机读答题卡”相应位置上 1．已知集合{}{}13,25A x x B x x A B =-≤<=<≤=,则（ ） A. ( 2, 3 ) B. [-1,5] C. (-1,5) D. (-1,5] 2．sin 3π4cos 6π5tan ?? ? ??3π4－＝( )．A ．－433 B ．433 C ．－ 43 D ．4 3 3．奇函数)(x f 在区间[]a b --,上单调递减，且)0(0)(b a x f <<>，那么)(x f 在区间[]b a ,上（ ） A ．单调递减 B ．单调递增 C ．先增后减 D ．先减后增 4．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5，两个直径为5的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球， 则水面将下降的高度为（ ）A 、53 B 、3 C 、2 D 、 4 3 5．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y(元)有如下表统计资料：若y 对x 呈线性相关关系，则回归直线方程y bx a =+表示的直线一定过定点( ) A (3,4) B (4,6) C (4,5) D (5,7) 6．在等比数列{}n a 中，若32a =，则12345a a a a a = （ ） （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ） 7．在某次测量中得到的A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据 都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．标准差 8．已知点()0,0O 与点()0,2A 分别在直线y x m =+的两侧，那么m 的取值范围是 （ ） （A ）20m -<< （B ）02m << （C ）0m <或2m > （D ）0m >或2m <- 9．函数sin 26y x π?? =+ ?? ? 图像的一个对称中心是 （ ） （A ）(,0)12 π - （B ）(,0)6 π - （C ）(,0)6 π （D ）(,0)3 π 10．已知0a >且1a ≠，且23a a >，那么函数()x f x a =的图像可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）

(完整word版)高中数学会考模拟试题(A).doc

高中数学会考模拟试题（ A ） 一选择题（共20 个小题，每小题 3 分，共 60 分） 在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字母按要求填在相应的位置上1．满足条件M {1} {1,2,3} 的集合M的个数是 A4 B3 C 2 D 1 2．sin 6000的值为 A 3 3 1 D 1 2 B C 2 2 2 3．" m 1 " 是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线 (m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直的2 A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 4．设函数f ( x) log a x( a 0, a 1) 的图象过点（1 ，– 3），则 a 的值8 A2 B – 2 C 1 D 1 – 2 2 ∥ 5．直线 a 平面 M, 直线 a⊥直线 b,则直线 b 与平面 M 的位置关系是 A 平行 B 在面内 C 相交 D 平行或相交或在面内 6．下列函数是奇函数的是 A y x 2 1 B y sin x C y log 2 ( x 5) D y 2x 3 7．点（ 2，5）关于直线x y 1 0 的对称点的坐标是 A （ 6， 3）B（ -6， -3）C（3， 6）D（ -3， -6） 8．1 cos2 值为 12 6 3 2 3 C 3 D 7 A 4 B 4 4 4 9．已知等差数列{ a n}中，a2 a8 8，则该数列前9 项和S9等于 A 18 B 27 C 3 6 D 45 10．甲、乙两个人投篮，他们投进蓝的概率分别为 2 , 1 ，现甲、乙两人各投篮 1 次 5 2

2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛） 及答案 （时间：5月16日18：40～20：40） 满分：120分 一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且 P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ） A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 ＋(cos 2 θ－5)m ＋4sin 2 θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ，则 c b a +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是 （ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞． 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。

高中数学会考习题精选

高中数学会考练习题集 练习一 集合与函数(一) 1. 已知S ＝｛1，2，3，4，5｝，A ＝｛1，2｝，B ＝｛2，3，6｝， 则______=B A I ,______=B A Y ，______)(=B A C S Y . 2. 已知},31|{},21|{<<=<<-=x x B x x A 则______=B A I ,______=B A Y . 3. 集合},,,{d c b a 的所有子集个数是_____，含有2个元素子集个数是_____. 4. 图中阴影部分的集合表示正确的有________. (1))(B A C U Y (2))(B A C U I (3))()(B C A C U U Y (4))()(B C A C U U I 5. 已知 },6|),{(},4|),{(=+==-=y x y x B y x y x A ________B A ＝则I . 6. 下列表达式正确的有__________. (1)A B A B A =??I (2)B A A B A ??=Y (3)A A C A U =)(I (4)U A C A U =)(Y 7. 若}2,1{≠?}4,3,2,1{?A ，则满足A 集合的个数为____. 8. 下列函数可以表示同一函数的有________. (1)2)()(,)(x x g x x f == (2)2)(,)(x x g x x f == (3)x x x g x x f 0 )(,1)(== (4))1()(,1)(+=+?=x x x g x x x f 9. 函数x x x f -+-=32)(的定义域为________. 10. 函数291 )(x x f -=的定义域为________. 11. 若函数_____)1(,)(2=+=x f x x f 则.

首届中国东南地区高中数学奥林匹克

首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。 首届中国东南地区数学奥林匹克（答案）

高中数学会考模拟试题(附答案)

高二数学会考模拟试卷 班级: 姓名: 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,4,6,8A =， {}1,2,3,6,7B =，则=)(B C A U （ ） A ．{}2,4,6,8 B ．{}1,3,7 C ．{}4,8 D ．{}2,6 2 0y -=的倾斜角为（ ） A ． 6π B ．3 π C ．23π D ．56π 3 ．函数y ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞ 4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情 况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ） A ．14、12 B ．13、12 C ．14、13 D ．12、14 5．在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ． 4π B ．14π- C ．8π D ．18 π- 6．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于（ ） A ．1 B C ．2 D ．3 7．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm ）， （ A ．2 12 cm π B. 2 15cm π C. 224 c m π D. 2 36cm π 8.若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A . a b c >> B . b a c >> C . c a b >> D . b 主视图 6 侧视图 图2 图1

高中数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧

数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。 例1.从数集{}3,4,12开始，每一次从其中任选两个数,a b ，用345 5 a b -和435 5 a b +代替它们，能否通过有限多次代替得到数集{}4,6,12。 解：对于数集{},,a b c ，经过一次替代后，得出3 443,,5 5 5 5a b a b c ??-+???? ， 有2222223443()()5555 a b a b c a b c -+++=++ 即每一次替代后，保持3个元素的平方和不变（不变量）。 由22222234124612++≠++知，不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。 例2.设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ；从其中任意去掉一个，剩下的2n 个数可以分成个数相等的两组，其和相等。证明这2n+1个整数全相等。 证明：分三步进行，每一步都有“不变量”的想法： 第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的 因为任意去掉一个数后，剩下的数可分成两组，其和相等，故剩下的2n 个数的和都是偶数，因此，任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性； 第二步 如果1221,,,n a a a +…具有性质P ，则每个数都减去整数c 之后，仍具有性质P ，特别地取1c a =，得21312110,,,,n a a a a a a +---… 也具有性质P ，由第一步的结论知，2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数； 第三步 由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质P ，可得 31 211210, ,,,222 n a a a a a a +---… 都是整数，且仍具有性质P ，再由第一步知，这21n +个数的奇偶性相同，为偶数，所以都除以2后，仍是整数且具有性质P ，余此类推，对任意的正整数k ，均有 31 211210, ,,,222n k k k a a a a a a +---…为整数，且具有性质P ，因k 可以任意大，这就推得 21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221n a a a +===…。

贵州省普通高中会考数学试题(优质教学)

2019年贵州省普通高中会考数学试题 二、填空题：本大题共35个小题，每小题105 分，共60分，把答案填在题中的横线上。 1.sin150的值为（） A . 3 - B. 3 C. 1 2 - D. 1 2 2. 设集合A={1，2，5，7}，B={2，4，5}，则A B=（） A. {1，2, 4，5，7} B. {3，4，5} C .{5} D. {2，5} 3. 函数的定义域是（） A. B. C. D. 4.直线y = 3x + 6 在y 轴上的截距为（） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 5.双曲线 22 22 1 43 x y -= 的离心率为（） A. 2 B. 5 4 C. 5 3 D. 3 4 6.已知平面向量x b a x b a则 , // 且 ), 6, ( ), 3,1(= == （） A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 7.函数y=sin(2x+1)的最小正周期是（） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 8. 函数f (x) = x -1的零点是（） 得分评卷人

A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 9. 若a0 D. |a|>|b| 11.已知数列=+==+311,13,1}{a a a a a n n n 则满足 （ ） A. 4 B. 7 C. 10 D. 13 12.抛物线24y x =的准线方程为 （ ） A. x=4 B. x=1 C. x=-1 D. x=2 13.若函数 f (x) = kx +1为R 上的增函数，则实数 k 的值为（ ） A.（-∞，2） B.（- 2，+ ∞） C.（-∞，0） D. （0，+ ∞） 14.已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数， =（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 15.已知 ?ABC 中，且 A = 60° , B = 30°,b =1,则a = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 16.不等式0)5)(3(>+-x x 的解集是（ ） A. }35{<<-x x B.}3,5{>--

高中数学奥林匹克基础教程1.21

高中数学奥林匹克基础教程 江苏沛县孙统权 前言 2007年7月15日至24日，江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖江举办，由省数学学会组织专家学者亲自授课。编者作为夏令营中的受训教练，亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教学风格，并做了课堂笔记，对相关教学资料进行了整理。夏令营结束后，从自身实践出发，编成本教程。 教程共8讲，每讲4学时，共32学时。指导思想为“领略奥赛风采，拓展数学视野，训练数学思维，启迪数学方法”，内容选取原则为“参照竞赛数学知识体系，根据学生接受能力，与当前中学数学教学内容协调互补”。 对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模式，使学生思维密度大，所受局限少，能充分的体会数学智慧和创造的乐趣，较直接的感受竞赛数学。在各知识点章节讲授时，宜通过具体解题展示数学体系，淡化数学术语而突出数学思想，选择、补充题目时注意结合实际情况，减少复杂度，使学生负担轻，进步感强，在领略数学美的同时达到训练目的。 本教程参考了2007年省夏令营专家的授课内容，使用了部分原题。同时，参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》，安徽少儿版《初中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。在此予以感谢，并在补注中注明各题的直接来源。 本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材，或供学生选修的一个模块。将它整理出来，意在抛砖引玉，为我们江苏乃至全国的数学奥林匹克的发展作一点贡献。虽力求严谨，由于个人能力经验所限，其中错误和不完善之处仍在所不少，恳请广大专家、教练、数学奥林匹克爱好者不吝指教。 本版版本号1.2。编者电子信箱：suntrain@https://www.wendangku.net/doc/c310762910.html,。

高中数学会考模拟试题(一)

高中数学会考模拟试题（一） 一. 选择题：（每小题2分，共40分） 1. 已知I 为全集，P 、Q 为非空集合，且≠?P Q ≠?I ，则下列结论不正确的是（ ） A. I Q P =? B. Q Q P =? C. φ=?Q P D. φ=?Q P 2. 若3 1 )180sin(=+?α，则=+?)270cos(α（ ） A. 31 B. 3 1 - C. 322 D. 322- 3. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到两焦点的距离之积为m 。则当m 取最大值时，点P 的坐标是（ ） A. )0,5(和)0,5(- B. )233,25( 和)233,25(- C. )3,0(和)3,0(- D. )23,235(和)23 ,235(- 4. 函数x x x y 2 sin 21cos sin 2-+?=的最小正周期是（ ） A. 2 π B. π C. π2 D. π4 5. 直线λ与两条直线1=y ，07=--y x 分别交于P 、Q 两点。线段PQ 的中点坐标为)1,1(-，那么直线λ的斜率是（ ） A. 32 B. 23 C. 32- D. 2 3 - 6. 为了得到函数x y 2sin 3=，R x ∈的图象，只需将函数)3 2sin(3π -=x y ，R x ∈的 图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动 3π 个单位长度 B. 向右平行移动 3π 个单位长度 C. 向左平行移动6 π 个单位长度 D. 向右平行移动6 π 个单位长度 7. 在正方体1111D C B A ABCD -中，面对角线11C A 与体对角线D B 1所成角等于（ ） A. ?30 B. ?45 C. ?60 D. ?90 8. 如果b a >，则在① b a 1 1<，② 33b a >，③ )1lg()1lg(22+>+b a ，④ b a 22>中，正确的只有（ ） A. ②和③ B. ①和③ C. ③和④ D. ②和④ 9. 如果)3,2(-=，)6,(-=x ，而且b a ⊥，那么x 的值是（ ） A. 4 B. 4- C. 9 D. 9- 10. 在等差数列}{n a 中，32=a ，137=a ，则10S 等于（ ）

高中数学奥林匹克竞赛全真试题

1 2003年全国高中数学联合竞赛试题 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（ ） A ．2046 B ．2047 C ．2048 D ．2049 2、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么，直线ax －y ＋b =0和曲线bx 2＋ay 2=ab 的图形是（ ） 3、过抛物线y 2=8（x ＋2）的焦点F 作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于( ) A ． 163 B ．8 3 C D ． 4、若5[,]123 x ππ ∈--，则2tan()tan()cos()366y x x x πππ=+-+++的最大值是（ ）. A B C D 5、已知x 、y 都在区间（－2，2）内，且xy =－1，则函数2 2 4949u x y = + --的最小值是（ ） A ． 85 B ．2411 C ．127 D ．125 6、在四面体ABCD 中，设AB =1，CD AB 与CD 的距离为2，夹角为3 π ，则四 面体ABCD 的体积等于（ ） A B ．12 C ．1 3 D 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、不等式|x |3－2x 2－4|x |＋3<0的解集是__________. 8、设F 1，F 2是椭圆22 194 x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△PF 1F 2的面积等于__________. 9、已知A ={x |x 2－4x ＋3<0，x ∈R }，B ={ x |21－ x ＋a ≤0，x 2－2（a ＋7）x ＋5≤0，x ∈R }.若A B ?，则实数a 的取值范围是__________. 10、已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且35 log ,log 24 a c b d ==，若a － c =9，b － d =__________. 11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________. 12、设M n ={（十进制）n 位纯小数0.12 |n i a a a a 只取0或1（i =1，2，…，n －1） ，a n =1}，