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2018年四川省绵阳中学实验学校自主招生数学试卷(含答案解析)

2018年四川省绵阳中学实验学校自主招生数学试卷

副标题

题号一二三四总分得分

一、选择题（本大题共15小题，共60.0分）

1. 在3.14，22

7，√8，√643，π

3，sin60°这6个数中，无理数的个数是( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是( )

A. 18cm 2

B. 20cm 2

C. (18+2√3)cm 2

D. (18+4√3)cm 2

3. 当0

x ，x 2的大小顺序是( )

A. 1

B. x

C. x 2

D. 1

4. 编号 1 2 3 4 5 方差平均成绩得分

■

那么被遮盖的两个数据依次是

A. 35，2

B. 36，4

C. 35，3

D. 36，3 5. 若代数式y 2+y ?2=0，则代数式y 3+4y 2+y +2014的值为( )

A. 2020

B. 2025

C. 2014

D. 2015 6. 下列命题正确的是( )

A. 对角线相等的四边形是矩形

B. 相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形

C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

D. 三点确定一个圆

7. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足a 3+ab 2+bc 2=b 3+a 2b +ac 2，则△ABC

的形状是( )

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等腰三角形或直角三角形

D. 等腰直角三角形

8. 如果关于x 的一元二次方程kx 2?√2k +1x +1=0有两个不相等的实数根，那么k

的取值范围是( )

A. k <1

2 B. k <1

2且k ≠0 C. ?1

2≤k <1

D. ?1

2≤k <1

2且k ≠0

9.阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮

区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=

8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC

为()

A. 4米

B. 3.8米

C. 3.6米

D. 3.4米

10.如图，三角形ABC和DEF是两个形状大小完全相同的等腰

直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点B，C，E，F在同一

直线上，现从点C，E重合的位置出发，让三角形ABC在

直线EF上向右作匀速运动，而DEF的位置不动，设两个

三角形重合部分的面积为y，运动的距离为x，下面表示y与x的函数关系的图象大致是()

A. B. C. D.

11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=√2，将

△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，

则BM的长是()

A. 4

B. √3+1

C. √3+2

D. √7

12.如图，AB是圆O的直径，弦AC，BD相交于点E，AC=

BD，若∠BEC=60°，C是BD?的中点，则tan∠ACD值是

()

A. 1

B. √3

C. 1

D. √2

13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2√2，

E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、B

F、EF.若四边形

ABCD的面积为6，则△BEF的面积为()

A. 2

B. 9

C. 5

2 D. 3

14. 已知函数y ={(x ?1)2?1(x ≤3)

(x ?5)2?1(x >3)，则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为

( ) A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

15. 如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点

E 处，过点E 作EG//CD 交A

F 于点

G ，连接DG.给出以下结论：①DG =DF ；②四边形EFDG 是菱形；③EG 2=

GF ×AF ；④当AG =6，EG =2√5时，BE 的长为12

5√5，其中正确的结论个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

16. 已知关于x 的方程x

x?3?2=m

x?3有一个正数解，则m 的取值范围______． 17. 如图，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，AB =2，点D

为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为______． 18. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，tanA =3

4，过AB 边

上一点P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，E 、F 是垂足，则EF 的最小值等于______．

19. 任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[√3]=1，现对72进

行如下操作：

72→第一次

[√72]=8→第二次

[√8]=2→第三次

[√2]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：

(1)对81只需进行______ 次操作后变为1；

(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是______．

20. 如图，已知∠AOB =60°，点P 在边OA 上，

OP =10，点M ，N 在边OB 上，PM =PN ，点C 为线段OP 上

任意一点，

CD//ON 交PM 、PN 分别为D 、E.若MN =3，则CD DE 的值为______．

21.当n=1，2，3，…，2017时．则所有二次函数y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1的

图象被x轴所截得的线段长度之和为______．

三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）

22.(1)计算：?22

18|1?4sin45°|+(1?√2)0+

2?1

(2)先化简，再求值：b2?a2

a2?ab ÷(a+2ab+b2

)?(1

)，其中a，b是方程x2?2√2x?1=

0的两个根．

23.两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同)，但是

他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人采用了不同的乘车方案：

甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：

(1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能情况？请你列举出来．

(2)你认为甲、乙两采用的方案，哪一种方案使自己乘坐舒适程度为上等的车的可

能性大？为什么？

四、解答题（本大题共4小题，共46.0分）

24.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价

是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数)，月销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．

(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？

(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

25.已知双曲线y=k

x 与直线y=1

x相交于A、B两点．第一象限上的点M(m,n)(在A点

左侧)是双曲线y=k

上的动点．过点B作BD//y轴交x轴于点D.过N(0,?n)作NC//x

轴交双曲线y=k

于点E，交BD于点C．

(1)若点D坐标是(?8,0)，求A、B两点坐标及k的值．

(2)若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

26.如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，

PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．

(1)求证：CD是小半圆M的切线；

(2)若AB=8，点P在大半圆O上运动(点P不与A，B两点重合)，设PD=x，CD2=y．

①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②当y=3时，求P，M两点之间的距离．

27.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2?5ax+4a与x轴交于A、B(A点在B点的

左侧)与y轴交于点C．

(1)如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；

(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标；

(3)如图3，在(2)的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH 的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=4√2a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：在3.14，22

7，√8，√643，π

3，sin60°这6个数中，无理数有：√8，π

3，sin60°，共3个．

故选：C ．

由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．

此题主要考查了无理数的定义．解决问题的关键是会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 2.【答案】A

【解析】解：根据三视图判断，该几何体是正三棱柱，

底边边长为2cm ，侧棱长是3cm ，

所以侧面积是：(3×2)×3=6×3=18cm 2．故选：A ．

根据三视图判断出该几何体是底面边长为2cm ，侧棱长为3cm 的正三棱柱，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

本题考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三棱柱的三视图，然后判断出该几何体是三棱柱是解本题的关键． 3.【答案】C

【解析】解：∵0

2， ∴1

x =2，x 2=1

4， ∴x 2

x ，

故选：C ．

采用取特殊值法，取x =1

2，求出x 2和1

x 的值，再比较即可．

本题考查了不等式的性质，有理数的大小比较的应用，能选择适当的方法比较代数式的大小是解此题的关键． 4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ?

，则方差S 2=1

n [(x 1?

x?)2+(x2?x?)2+?+(x n?x?)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据平均数的计算公式先求出编号3的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．

【解答】

解：∵这组数据的平均数是37，

∴编号3的得分是：37×5?(38+34+37+40)=36；

[(38?37)2+(34?37)2+(36?37)2+(37?37)2+(40?

被遮盖的方差是：1

37)2]=4；

故选B．

5.【答案】A

【解析】解，∵y2+y?2=0，∴y=1或?2

将y值代入y3+4y2+y+2014得2020，

故选：A．

由代数式y2+y?2=0，求得y的值，带入后即可．

本题主要考查一元二次方程的求解方法．熟练掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键

6.【答案】B

【解析】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形；

B、正确；符合平行四边形的判定定理；

C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

D、不在同一直线上的三点确定一个圆；

故选：B．

根据矩形、平行四边形、垂径定理、过三点的圆的有关知识即可作出判断．

要明确命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．7.【答案】C

【解析】解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，

∴a3?b3?a2b+ab2?ac2+bc2=0，

(a3?a2b)+(ab2?b3)?(ac2?bc2)=0，

a2(a?b)+b2(a?b)?c2(a?b)=0，

(a?b)(a2+b2?c2)=0，

所以a?b=0或a2+b2?c2=0．

所以a=b或a2+b2=c2．

故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．

故选：C．

把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．

本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键．

8.【答案】D

【解析】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1?4k>0，

∴?1

2≤k<1

，且k≠0．

故选：D．

根据方程有两个不相等的实数根，则△>0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．

此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2?4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法．

9.【答案】A

【解析】解：连接AE、BD，

∵光是沿直线传播的，

∴AE//BD，

∴△BCD∽△ACE，

∴AC

即1.8+BC

BC =8.7

8.7?2.7

解得：BC=4．故选：A．

作辅助线，连接AE和BD，根据题意知：窗口A点到墙角C的距离

A点的影子E到墙角C的距离=窗口B点到墙角C的距离B点的影子D到墙角C的距离

，

可将窗口底边离地面的高BC求出．

本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可．

10.【答案】C

【解析】解：本题的运动过程应分两部分，从开始到两三角形重合，另一部分是从重合到分离；在第一部分，三角形ABC在直线EF上向右作匀速运动，则重合部分面积的增加速度不断变快；而另一部分面积的减小速度越来越小．

故选：C．

注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．

要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

11.【答案】B

【解析】解：如图，连接AM，

由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，

∴△ACM为等边三角形，

∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；

∵∠ABC=90°，AB=BC=√2，

∴AC=2=CM=2，

∵AB=BC，CM=AM，

∴BM垂直平分AC，

∴BO=1

AC=1，OM=CM?sin60°=√3，

∴BM=BO+OM=1+√3，

故选：B．

如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=1

AC=1，OM=CM?sin60°=√3，最终得到答案B M=BO+OM=1+√3．

本题考查了图形的变换?旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．

12.【答案】B

【解析】解：连接AD、BC．

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°．

在Rt△ADB与Rt△BCA中，

AB=AB，AC=BD，

∴Rt△ADB≌Rt△BCA，(HL)

∴AD=BC，BC?=AD?．

故∠BDC=∠BAC=∠3=∠4，

△DEC是等腰三角形，

∵∠BEC=60°是△DEC的外角，

∴∠BDC+∠3=∠BEC=60°，

∴∠3=30°，

∴tan∠ACD=tan∠3=tan30°=√3

．

故选：B．

连接AD、BC，根据圆周角定理，三角函数的定义即可得到结果．

本题考查了圆周角定理即同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．

13.【答案】C

【解析】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，可知AC//EF，

∵∠ABC=90°，AB=BC=2√2，

∴AC=√AB2+BC2=√(2√2)2+(2√2)2=4，

∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，

∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，

∴AG=BG=2．

∵S△ABC=1

2?AB?BC=1

×2√2×2√2=4，

∴S△ADC=2，∵S△ABC

S△ACD

=2，

∵△DEF∽△DAC，

∴GH=1

4BG=1

，

∴BH=5

．

又∵EF=1

AC=2，

∴S△BEF=1

2?EF?BH=1

×2×5

．

故选C．

方法二：S△BEF=S四边形ABCD?S△ABE?S△BCF?S△FED，

易知S△ABE+S△BCF=1

四边形ABCD

=3，S△EDF=1

，

∴S△BEF=S

四边形ABCD ?S△ABE?S△BCF?S△FED=6?3?1

．

故选：C．

连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC 的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD 以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．

此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．

14.【答案】D

【解析】解：如图，

当y=k成立的x值恰好有三个，即直线y=

k与两抛物线有三个交点，

而当x=3，两函数的函数值都为3，即它们

的交点为(3,3)，

所以k=3．

故选：D．

大致画出两抛物线，注意取值范围，可得到

它们的交点为(3,3)，所以直线y=3与两抛物线有三个交点，则得到k=3．

本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是

(?b

2a ,4ac?b2

)，对称轴直线x=?b

，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下

性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x

时，y随x的

增大而减小；x>?b

2a 时，y随x的增大而增大；x=?b

时，y取得最小值4ac?b2

，即顶

点是抛物线的最低点．当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x

时，y随x的增大而增大；x>?b

2a 时，y随x的增大而减小；x=?b

时，y取得最大值

4ac?b2

，即顶点是抛物线的最高点．

15.【答案】D

【解析】解：∵GE//DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF.故①正确；

∴DG=GE=DF=EF．

∴四边形EFDG为菱形，故②正确；

如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF=1

GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴DF

AF =OF

，即DF2=FO?AF．

∵FO=1

GF，DF=EG，

∴EG2=1

GF?AF.故③正确；

如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2=1

GF?AF，AG=6，EG=2√5，

∴20=1

FG(FG+6)，整理得：FG2+6FG?40=0．解得：FG=4，FG=?10(舍去)．

∵DF=GE=2√5，AF=10，

∴AD=√AF2?DF2=4√5．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH//AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴GH

AD =FG

，即

4√5

，

∴GH=8√5

，

∴BE=AD?GH=4√5?8√5

5=12√5

.故④正确．

故选：D．

先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，连接DE，交AF于点O.由菱形的性质可知

GF⊥DE，OG=OF=1

GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证

明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD?GH求解即可．

本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO?AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．

16.【答案】m<6且m≠3

【解析】解：去分母得：x?2x+6=m，

解得：x=6?m，

由分式方程有一个正数解，得到6?m>0，且6?m≠3，

解得：m<6且m≠3，

故答案为：m<6且m≠3

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，确定出m的范围即可．

此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．

17.【答案】π

4?1

【解析】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴DC=1

2AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=√2

．

则扇形FDE的面积是：90π×12

360=π

．

∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，

又∵DM⊥BC，DN⊥AC，

∴DM=DN，

∵∠GDH=∠MDN=90°，

∴∠GDM=∠HDN，

在△DMG和△DNH中，

{∠DMG=∠DNH ∠GDM=∠HDN DM=DN

，

∴△DMG≌△DNH(AAS)，

∴S

四边形DGCH =S

四边形DMCN

．

则阴影部分的面积是：π

4?1

．

故答案为π

4?1

．

连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，

求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．

本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．

18.【答案】4.8

【解析】解：如图：连接EF，CP

∵∠ACB=90°，AB=10，tanA=3

，

∴BC

AC =3

，BC2+AC2=AB2=100

∴BC=6，AC=8

∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°

∴四边形ECFP是矩形

∴EF=CP

∴当CP⊥AB时，CP的长度最小，即EF的长度最小．

即此时，S△ABC=1

2AC×BC=1

×AB×CP

∴CP=4.8

∴EF最小值为4.8

故答案为：4.8

连接EF，CP，由题意可得EF=CP，AC=8，BC=6，根据垂线段最短可得当CP⊥AB 时，CP的长度最小，即可求EF的最小值．

本题考查了矩形的性质和判定，垂线段最短，锐角三角函数，熟练运用矩形的性质是本题的关键．

19.【答案】(1)3；

(2)255；

【解析】解：(1)∵[√81]=9，[√9]=3，[√3]=1，

∴对81只需进行3次操作后变为1，

故答案为：3．

(2)最大的正整数是255，

理由是：∵[√255]=15，[√15]=3，[√3]=1，

∴对255只需进行3次操作后变为1，

∵[√256]=16，[√16]=4，[√4]=2，[√2]=1，

∴对256只需进行4次操作后变为1，

∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，

故答案为：255．

【分析】

(1)根据运算过程得出[√81]=9，[√9]=3，[√3]=1，即可得出答案．

(2)最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．

本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．

20.【答案】7

【解析】解：过P作PQ⊥MN，

∵PM=PN，

∴MQ=NQ=3

，

在Rt△OPQ中，OP=10，∠AOB=60°，

∴∠OPQ=30°，

∴OQ=5，

则OM=OQ?QM=7

，

∵CD//ON，

∴CD

OM =PD

=DE

，

∴CD

DE =OM

，

故答案为；7

．

过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在直角三角形OPQ中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ?MQ求出OM的长，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论．

此题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

21.【答案】2007

2008

【解析】解：∵y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1=(nx?1)[(n+1)x?1]

∴抛物线与x轴交点(1

n ,0)，(1

n+1

,0)

∴二次函数y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1的图象被x轴所截得的线段长度=1

n ?1

n+1

当n=1，2，3，…，2017时，所有二次函数y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1的图象被x

轴所截得的线段长度之和=1

1?1

+?+1

2007

2008

=1?1

2008

=2007

2008

故答案为：2007

2008

由题意可求抛物线与x轴交点(1

n ,0)，(1

n+1

,0)，即可求二次函数y=(n2+n)x2?(2n+

1)x+1的图象被x轴所截得的线段长度=1

n ?1

n+1

，则可求线段和．

本题考查了抛物线与x轴的交点，找出图象被x轴所截得的线段长度的规律是本题的关键．

22.【答案】解：(1)原式=?4?√2

3+|1?4×√2

|+1+√2+1

=?4?√2

+2√2?1+1+√2+1

=?3+8√2

；

(2)原式=?(a+b)(a?b)

a(a?b)÷a2+2ab+b2

?a+b

a+b

(a+b)2

a+b

=?1

，

∵a，b是方程x2?2√2x?1=0的两个根，

∴ab=?1，

则原式=1．

【解析】(1)根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；

(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由根与系数的关系得出ab=?1，代入计算可得．

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的混合运算顺序和运算法则，一元二次方程根与系数的关系．

23.【答案】解：(1)三辆车开来的先后顺序有6种可能：

(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、中、上)、(下、上、中)；

甲乘上、中、下三辆车的概率都是1

；

而乙乘上等车的概率=3

6=1

，

所以乙乘坐舒适程度为上等的车的可能性大．

【解析】(1)利用列举法整数展示所有6种可能的结果；

(3)利用列表法展示甲乙乘车的所有结果，然后计算他们乘坐上等车的概率，再比较概

率的大小．

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．24.【答案】解：(1)根据题意得：

y=(30+x?20)(230?10x)=?10x2+130x+2300，

自变量x的取值范围是：0

(2)当y=2520时，得?10x2+130x+2300=2520，

解得x1=2，x2=11(不合题意，舍去)

当x=2时，30+x=32(元)

答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．

(3)根据题意得：

y=?10x2+130x+2300

=?10(x?6.5)2+2722.5，

∵a=?10<0，

∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，

∵0

∴当x=6时，30+x=36，y=2720(元)，

当x=7时，30+x=37，y=2720(元)，

答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．

【解析】(1)根据题意知一件玩具的利润为(30+x?20)元，月销售量为(230?10x)，然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．

(2)把y=2520时代入y=?10x2+130x+2300中，求出x的值即可．

(3)把y=?10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0< x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．

本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．

25.【答案】解：(1)∵D(?8,0)，

∴B点的横坐标为?8，代入y=1

x中，得y=?2．

∴B点坐标为(?8,?2)．

∵A、B两点关于原点对称，∴A(8,2)．

∴k=xy=8×2=16；

(2)∵N(0,?n)，B是CD的中点，A、B、M、E四点

均在双曲线上，

∴mn=k，B(?2m,?n

)，C(?2m,?n)，E(?m,?n)．

矩形DCNO =2mn=2k，S

△DBO

mn=1

k，S△OEN=1

mn=1

k，

∴S

四边形OBCE =S

矩形DCNO

?S△DBO?S△OEN=k=4．

∴k=4．

∵B(?2m,?n

2)在双曲线y=4

与直线y=1

x上

∴{1

×(?2m)=?n

(?2m)(?n

)=4

得{

m1=2

n1=2{

m2=?2

n2=?2(舍去)

∴C(?4,?2)，M(2,2)．

设直线CM的解析式是y=ax+b，把C(?4,?2)和M(2,2)代入得：

{?4a+b=?2

2a+b=2.

解得a=b=2

．

∴直线CM的解析式是y=2

3x+2

．

【解析】(1)根据B点的横坐标为?8，代入y=1

x中，得y=?2，得出B点的坐标，即可得出A点的坐标，再根据k=xy求出即可；

(2)根据S矩形DCNO=2mn=2k，S△DBO=1

2mn=1

k，S△OEN=1

mn=1

k，即可得出k

的值，进而得出B，C点的坐标，再求出解析式即可．

此题主要考查了待定系数法函数解析式以及一次函数与反比例函数交点的性质，根据四边形OBCE的面积为4得出k的值是解决问题的关键．

26.【答案】解：(1)连接CO、CM，如图1所示．

∵AO是小半圆M的直径，

∴∠ACO=90°即CO⊥AP．

∵OA=OP，

∴AC=PC．

∵AM=OM，

∴CM//PO．

∴∠MCD=∠PDC．

∵CD⊥OP，

∴∠PDC=90°．

∴∠MCD=90°，即CD⊥CM．

∵CD经过半径CM的外端C，且CD⊥CM，

∴直线CD是小半圆M的切线．

(2)①∵CO⊥AP，CD⊥OP，

∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．

∴∠OCD=90°?∠DCP=∠P．

∴△ODC∽△CDP．

∴CD

DP =OD

．

∴CD2=DP?OD．

∵PD=x，CD2=y，OP=1

AB=4，

∴y=x(4?x)=?x2+4x．

当点P与点A重合时，x=0；当点P与点B重合时，x=4；∵点P在大半圆O上运动(点P不与A，B两点重合)，

∴0

∴y与x之间的函数关系式为y=?x2+4x，

自变量x的取值范围是0

②当y=3时，?x2+4x=3．

解得：x1=1，x2=3．

Ⅰ.当x=1时，如图2所示．

在Rt△CDP中，

∵PD=1，CD=√3．

∴tan∠CPD=CD

=√3，

∴∠CPD=60°．

∵OA=OP，

∴△OAP是等边三角形．

∵AM=OM，

∴PM⊥AO．

∴PM=√PO2?MO2

=√42?22

=2√3．

Ⅱ.当x=3时，如图3所示．

同理可得：∠CPD=30°．

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠APO=30°．

∴∠POB=60°

过点P作PH⊥AB，垂足为H，连接PM，如图3所示．

∵sin∠POH=PH

OP =PH

=√3

，

∴PH=2√3．

同理：OH=2．

在Rt△MHP中，

∵MH=4，PH=2√3，

∴PM=√MH2+PH2

=√42+(2√3)2

=2√7．

综上所述：当y=3时，P，M两点之间的距离为2√3或2√7．

【解析】(1)连接CO、CM，只需证到CD⊥CM.由于CD⊥OP，只需证到CM//OP，只

需证到CM是△AOP的中位线即可．

(2)①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP?OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上

运动(点P不与A，B两点重合)，因此自变量x的取值范围为0

②当y=3时，得到?x2+4x=3，求出x.根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．

本题考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．

27.【答案】解：(1)当y=0时，ax2?5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，则A(1,0)，B(4,0)，

∴AB=3，

∵△ABC的面积为3，

∴1

?3?OC=3，解得OC=2，则C(0,?2)，

把C(0,?2)代入y=ax2?5ax+4a得4a=?2，解得a=?1

，

∴抛物线的解析式为y=?1

2x2+5

x?2；

(2)过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P(x,ax2?5ax+4a)，则PD=4a?(ax2?5ax+4a)=?ax2+5ax，

∵AB//CD，

∴∠ABC=∠BCD，

∵∠BCP=2∠ABC，

∴∠PCD=∠ABC，

∴Rt△PCD∽Rt△CBO，

∴PD：OC=CD：OB，

即(?ax2+5ax)：(?4a)=x：4，解得x1=0，x2=6，

∴点P的横坐标为6；

(3)过点F作FG⊥PK于点G，如图3，

∵AK=FK，

∴∠KAF=∠KFA，

而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，

∵∠KAH=∠FKP，

∴∠HAP=∠KPA，

∴HA=HP，

∴△AHP为等腰直角三角形，

∵P(6,10a)，

∴?10a=6?1，解得a=?1

，

在Rt△PFG中，∵PF=?4√2a=2√2，∠FPG=45°，

∴FG=PG=√2

PF=2，

在△AKH和△KFG中

{∠AHK=∠KGF ∠KAH=GKF KA=FK

，

∴△AKH≌△KFG(AAS)，

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重点高中自主招生考试数学试卷集大全集)

6.如图，点A 在函数=y x 6 -)0(

则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点 P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15 =2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ． . 19.将背面相同，正面分别标有数字 1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. 21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、 D 的点，若10 10 sin = ∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠. 22.如图，抛物线的顶点坐标是?? ? ??892 5，－，且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式； (2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边），试求点B 、C 、D 的坐标； (3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．试判断：PB PA +与BC AC +23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点(第21题图) N (第22题图) C D F （第16题图）

漳州一中自主招生试卷漳州一中高中自主招生考试数学试卷

漳州一中自主招生试卷 2011年漳州一中高中自主招生考试数学试卷 2011年漳州一中高中自主招生考试数学试卷 1.下列运算正确的是…………………………………………………………( ) A.2ab,3ab 5ab B.a2 a3 a6 2 2 1 (a 0) D.x,y x,y 2a 2.如图，点A在数轴上表示的实数为a，则a～2等于…………………( ) C.a ～2 1 A 0 –1 1 2 3 (第2题图) A.a～2 B.a,2 C.～a～2 D.～a,2 4.如图，A、B、C、D是直线l上顺次四点，M、N分别是 AB、CD的中点，且MN 6cm，BC 1cm，则AD的长等于……………………( ) l A M B C N D (第4题图) A.10cm B.11cm C.12cm

D.13cm 7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为………………( ) A.22个 B.19个 C.16个 D.13个 (正视图) (俯视图) (第7题图) 2 8.用半径为6cm、圆心角为120的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………… ……( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 9.若n为整数，则能使 … n,1 也为整数的n的个数有……………………( n～1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知a为实数，则代数式27～12a,2a2的最小值为………………( 13 题图) ) (第A.0 B.3 C.33 D.9 x,211.函数y 的自变量x的取值范围是( x～1 12.分解因式:～3xy,27xy 13.把2007个边长为1的正方形排成如右图所示的图形，则这个图形的周长

2018年上中自主招生数学试卷及答案

2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成；

4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是【答案】 4 9

【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?，则点C 的坐标是【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是【答案】 454 【解析】

8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】

合肥一中自主招生数学试卷(含答案[1]

2011年合肥一中自主招生《科学素养》测试数学试题（满分：150分）一、选择题：（本大题共4小题，每小题8分，共32分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．） 1.如图一张圆桌旁有四个座位，A,B,C,D 四人随机坐在四个座位上，A 则D 与相邻的概率是（） 2.3A B. 12 C. 14 D. 29 2. 小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为（） A ．40 B ．30+22 C ．202 D ．10+102 3.在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1,0）, 点D 的坐标为（1,0）,延长CB 交x 轴与A 1，作作第二个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第二个正方形 A 2B 2C 2C 1???，按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（） A. 20093 5()2 B. 200895()4 C. 401835()2 D. 2010 95()4

若该县常住居民共24万人，则估计该县常住居民中，利用“五·一”期间出游采集发展信息的人数约为万人。 6.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y ≤x+4,x,y 为整数，符合上述条件的点P 共有个。 7. 如图，已知菱形OABC,点C 在直线y=x 经过点A ，菱形OABC 的面积是2，若反比例函数的图象经过点B,则此反比例函数表达式为。（第7题）（第8题） 8.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC,，AD ＝2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转 90°至DE ，连结AE ，若△ADE 的面积是3，则BC 的长为_ ________． 9.如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为。 A B C D E

高中自主招生考试数学试卷

高中自主招生考试数学试卷亲爱的同学：欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟Ｂ．22分钟Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：欲购买的商品原价（元）优惠方式 A B C D B ' D C '

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设函数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分)

１1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像．１３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:

高中自主招生考试数学试卷

2017高中自主招生考试数学模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）． 1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（） A ． m＞3 B．m≥3C．m≤3D． m＜3 2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）（2）（3）A．B．C．D． 3．（3分）（2011?南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（） A．到CD的距离保持不变B．位置不变 C．等分 D．随C点移动而移动 4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（） A． 2﹣1 B． 4﹣2 C． 3﹣2 D． 2﹣2 5．（3分）（2010?泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（） A．B．C．D． 6．（3分）如图（6），已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）

A． 6圈B．圈C． 7圈D． 8圈 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图（7），则以下结论正确的有：①abc＞0； ②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）（6）（7）（8）A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个 8．（3分）如图8，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（） A． 1 B．C． 2 D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=_________． 10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________． 11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则= _________．（11）（12） 12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________．

重点高中自主招生数学模拟试题含答案

F 2010年重点中学自主招生数学模拟试题一姓名一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分） 1、如果关于x 的方程2 2 30x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（） A 、22<<-a B 、23≤